Введение к работе
Актуальность тени. Интерес к моделям теории протекания и моделям фазовых переходе» на угасает ка протяжении ухе десятков лет. Быстро увеличивается число я разнообразие моделей. Они назли ..ри-мекекие но только в самых различных областях фкэики, но и шагнули в биологи», хшош, экономику и другие науки. Существует глубокая аналогия между фазовыкк переходами гторого рода п процессом образования бесконечного кластера в теории протекания. Образованно бесконечного кластера есть фазовый переход, для описания которого «водят набор критических показателей полиость» аналогичный показателям суцёстауэдиы в термодинамических фазовых переходах. В обеих теориях критические показатели связаны «езду собой сотношениямм подобия. Эта утверждения объясняются существование у системы области промежуточной асимптотики, где все характеристики кластеров подобны их характеристикам в самой -критической точко. Эти свойства позволяв? эффективно в обоих случаях пригонять ренормапизационну» группу й реальном пространстве,
Беркеру А.Н. и Остлунду 0. Ш принадлежит замечают, что ро-курсиоиное соотношение возникающее в метода реноршипюациояной группы мохвт интерпретироваться как точное ренормализациовное преобразование на некоторой решетке, которая строятся рекурсивным образом. Подобные решетки получили в литературе названиеиерархн-
l.Berker А.Н. ,0stlund S. Renor realisation - group calculation of finite systems:order parameter and specific heat for epitaxial odering. J.Phys.C: Solids State Phys.. 1979, V.12, pp. 4961-4973.
- 4 -часких. После работ» Кауфмана М. и Грй#ф;ггса Р. Б. С23 было понято, что решений моделей фазових переходоа и моделей теории протекания на таких решетках самостоятельная н яктересяая-проблема.
Исторически первое появление.иерархической решетки обязано с именем Шеннона К. 131, ври рассмотрении «м-вробленії сочдааия надежных схеи вз ненадеяндас реле.
Цель работа состоит:
-
в установлении обдах свойств моделей протекания на иерархических решетках, которые kwsut строгое математическое обоснование,
-
ь нахождении способа точного вычисления спонтанной намагниченности и критических индексов в модели йзияга на иерархических решетках,
-
построение н обоснование метода эффективной среды, для решеточных моделей неупорядоченных сред, у которых матрица уравиевП Киргофа представима в виде суммы некоррелированных кезду собой слагаемых;.
Научная новизна и положения выиосяше на вааиту,, і. Найдена верхняя оценка полного числа кластеров в задаче связей на квадратной решетке. В общем случае, оценка выражается через 'статсумау модели Поттса.
2. Установлены обаве свойства .функций геометрического и физическо
го протехаийд на иерархических решетках. С помощь» неравенства
Мура-Юэянока устанавливается совпадаете критических точек указан
ных функций.
2.Kaufman И., Griffiths R.В. Exactly soluble Izing models on hierarchical lattices. Phys.Rev.B, 1981, v.24, pp.498-438.
3. Мур Э. .Ееннон К. Надежные схема из ненадежных реле. Кибернети
ческий сборник. М.: ИЛ., 1960,«1,109-148.
- у -
З.Дан строгай ьывод формулы для спонтанной намагниченности в «оде
ли йзиига яа "бубновой" иерархической ретстко при двук 0110000=1
включения поля.
-
Локаеано, чго свободная энергъя а еиовтанная намагниченность а модэли І5зкнга на иерархических решетках удсьлйворяят фуякциокань-ьым уравнениям, кэ которые заходятся точные выражения для критическую индексов а, (1, у, о".
-
Введен критический индекс у дія иерархических моделей, котсркй имеете с другими найденими критическим! похаяатекянк точно удовлетворяют соотношениям подобия, » которая роль пространственной рзз-ыерноота играет раакерность подобия иерархической решетки.
6. Предложен нотод эффективной среда для ьычисяения глектропрсвод-
ввС* решеточных неделей неупорядоченным сред, з которых матрица
?ї*а'і«тй Киргофа представима в ьиде нехсреяяироваяннг спагаешх.
Проведены вычисления на прикере задачи узлов. Показано, что полу
ченное решение удовлетворяет решетотаоиу аналогу /звестлоїіу дяч
ПЭПрерЫВЯИХ СреД СООТНОШеНИО ДЗОЙСТБЄЙЯ06ТК.
7. Сформ/лироваи вариационный принцип для решеточных моделей неу
порядоченных сред. Получены верхняя я газяяя оценки зффекттеней
проводимости в задаче связей, аналогичные оценкам Хааияа-Страхкана
в непрерывной случае. Оцеьки различай для решеток с различными
координационными числами.
Практическая значимость работы. Полученные з диссертации теоретические реауяьтаты могут быть использована а различная областях теории неупорядоченных систем и физики разовых переходов: пра ка-хождении критических индексов л сяойтанноЯ намагниченности з иетоде ренориаянзацнонпой группы в реальном пространство для моделей фазовых переходов, при приближенной вычисления я оценке эффективных кинетических коэффициэнтов неупорядоченных сред, таких как лрово-
- б -
дидость, наїякткая прояицаеыобть, диэлектрическая проницаемость,
нро&^вяыость явух$аа:юй пот* кристаллизувдэгося сплава и т.д.
Anpodatma работы.. Результаты работы докладывались на
-4-ой Всесоюзная конференции "Проблемы исследования структуры
_ашр$ных материалов" С&севокДШЮ -на Ижевском, городской математическом сешшаре (Икеаск,1383)
-на теоретическом семинаре Физико-технического института УрО
АН СССР СИхэвсх,198йЭ
-на школе семаяаре "Физика аморфных сялаеов" (Ижевск, 1984) -на семинаре по динамически»' системам и статистической $взике
на мгхаяико-ыатештичаскоы факультете МГУ км. М. В. Ломоносова
Публикации. Основные результаты опубликовали в шеста работах, список которых приведен в конце реферэта.
Структура диссертации. Диссертация изложена яз 128 страницах ш состоит из введения, четырех глав, еаключаяия и списка цитируемой литературы. В ней содержится 6 рисунков и 8 таблиц'. Список цитируемой литература вклвчаот 106 найменований.
