Введение к работе
Актуальность темы. Основные принципы решения квантовой обратной задачи сформулированы в работах советских математиков И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, В.А. Марченко, М.Г. Крейна, Л.Д. Фаддеева. Дальнейшее развитие теории с учетом физических приложений в сильной степени продвинуто в работах Р.Г. Ньютона, П. Сабатье, К. Шадана. Два подхода, данные Гельфандом - Левитаном и Марченко, стали классическими и являются моделью для постановки других вариантов обратных задач (03). Это касается формулировок одномерной задачи на всей оси, многомерной и многоканальной обратной задачи, 03 в R - матричной теории рассеяния, дискретных конечно - разностных аналогов 03. Спектр применения методов 03 весьма широк: от теории вихрей до интерпретации экспериментов с распространением волн в световодах, от линейных мало-, многочастичных задач ядерной, молекулярной физики, многомерных задач оптики неоднородных сред, геофизики, акустики до нелинейных задач, моделирующих ряд физических явлений в гидродинамике, нелинейной оптике, плазме, кристаллических телах... .
К основным достоинствам метода следует отнести возможность существенного расширения перечня моделей квантовой механики и нелинейной теории волн, допускающих решения в замкнутом аналитическом виде. Поэтому весьма актуальна разработка методов получения точно решаемых моделей обратной задачи и примыкающих к ним обобщенных преобразований Баргмана и Дарбу, в особенности для исследования сложных многомерных, мало- и многочастичных объектов как с постоянными, так и с изменяющимися физическими характеристиками.
Перспективны в этой связи разработки адиабатического подхода, в котором естественным образом учитываются различные свойства и взаимное влияние медленной и быстрой квантовых подсистем. Один из интересных аспектов адиабатического представления связан с возникновением калибровочных полей в нерелятивистских мало- и многочастичных квантовых системах в особенности в связи с открытием Берри геометрической адиабатической фазы. Дальнейшие этапы развития теории существенным образом определены работами Вильчека и Зи, Ааронова и Анандана. Виль-чек и Зи показали, что неабелевы эффективные калибровочные поля возникают в адиабатической трактовке молекулярных систем с вырожденными электронными состояниями. Ааронов и Анандан обобщили подход введением неадиабатических неабелевых геометрических фаз. Одно из следствий подхода - возможность предсказания и объяснения возникающих в молекулярных системах эффектов, эквивалентных эффектам Ааронова - Бома
и Холла, сверхпроводимости, нелинейных явлений. Условия для возникновения эффектов, подобных квантовому эффекту Холла и нестандартной статистики, туннелирования, нелинейных явлений, появляются при наличии суперсимметрии для систем многомерных калибровочных уравнений; при этом основное состояние - состояние вакуума - вырождено. Возникают важные вопросы, можно ли сохранить суперсимметрию в более общем случае с дополнительной матрицей скалярных потенциалов, сохранятся ли при этом условия для топологических эффектов, геометрических фаз. Необходимо также учитывать возникновение неадиабатических геометрических фаз вследствие пересечения термов. Супер симметричная квантовая механика к тому же позволяет находить точные решения для широкого класса задач, включая многие из моделей, получаемых методами обратной задачи рассеяния и преобразований Дарбу.
Как известно, непосредственное решение многомерной 03 встречается с определенными трудностями. Представляет интерес поиск и разработка конструктивных способов решения 03, посредством сведения их к задачам меньшей размерности. Важное значение в современной физике придается изучению трехчастичных систем, где необходимо учитывать такие разнородные процессы как перераспределение фрагментов и полный развал. После создания Фаддеевым строгой теории рассеяния в системе трех частиц в ядерной и молекулярной физике начался интенсивный процесс ее применения. Возникла насущная потребность в развитии методов практического решения трехчастичных задач рассеяния. Для изучения процессов взаимодействия в системе трех частиц М. Борном было предложено использовать метод адиабатического разложения. Решения двухцентровых задач могут служить адиабатическим 'базисом, по которому разлагаются решения более сложных задач при описании быстрого движения легкой частицы в поле двух тяжелых. Сюда же относятся задачи о столкновении атомов и мезоатомов. Последние можно рассматривать как практически важные случаи более общей постановки трехчастичной задачи в глобальном адиабатическом подходе. В ядерной физике существует класс задач о квантово-механическом рассеянии в произвольном аксиально-симметричном поле, для которого уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сфероидальных координатах. Все это делает привлекательной возможность использования различных типов адиабатических базисов при решении прямой и обратной трехчастичных или многомерных задач рассеяния и построении соответствующих точно решаемых моделей. Можно ожидать, что благодаря достоинствам адиабатического подхода развитие его в прямой, постановка и разработка в обратной трехчастичных и многомерных задачах позволят достичь успеха в этих сложных и бурно развивающихся областях.
Применение методов обратной задачи наряду с алгебраическими преобразованиями Баргмана, Дарбу позволяет занять активную позицию при разработке и прогнозировании свойств физических систем с требуемыми характеристиками рассеяния. Например, в квантовой теории рассеяния -это разработка моделей с прозрачными (безотражательными) потенциалами; со связанными состояниями, погруженными в непрерывный спектр и дающими в отличие от прозрачных полное надбарьерное отражение; запирающими потенциалами, вообще не имеющими спектра излучения; потенциалами ограниченного радиуса действиями на основе JJ-матричной теории обратной-оадачи; спектрально- пли фазово-эквивалентными потенциалами. В оптике неоднородных сред при синтезе нанравляющих устройств (световодов, ответвителей ... ) с заданными спетральпыми характеристиками пропускания - это установление закона распределения электродинаических характеристик и оптимизация режимов процессов их изготовления. При этом необходимо согласованное решение двух обратных задач: электродинамики и тепло- и массообмена.
Все указанные выше обстоятельства предопределили цель настоящей диссертации, которая состоит в формулировке обратной задачи рассеяния в адиабатическом подходе, разработке па этой оспове точно решаемых моделей квантовой теории рассеяния, конструировании обобщенных алгебраических преобразований Баргмана, Дарбу применительно к сложным многомерным и трехчастичным квантовым системам, а также вопноведущим структурам в оптике неоднородных сред; исследовании проблем суперспм-метрии систем калибровочных уравнений, связанных с введением скалярных потенциалов и неадпабатическими геометрическими фазами.
Научная новизна: Сформулирована многомерная обратная задача рассеяния в адиабатическом подходе на основе согласованной формулировки двух взаимосвязанных нестандартных обратных задач: параметрической для гамильтониана быстрого движения с характеристиками рассеяния, зависящими от медленной координатной переменной, и многоканальной для систем уравнений калибровочного типа, описывающей медленную динамику. В этом методе исследованы прямая и обратная трехчастичные задачи рассеяния с учетом процессов с перераспределением п развалом на основе адиабатического гиперсферического представления для уравнений Фаддеева и Шредингера.
Предложен и разработан метод построения многопараметрических многомерных и трехчастичных точно решаемых моделей посредством обобщения техники баргмановекпх потенциалов на параметрическое семейство обратных задач и для систем уравнений с ковариантной производной. Этот
метод применен также к задачам рассеяния на аксиально - симметричном двухцентровом потенциале, в котором расстояние между двумя взаимодействующими частицами, помещенными в центрах сфероида, имеет смысл адиабатической переменной.
Разработаны алгебраические методы конструирования точно решаемых моделей с переменными значениями энергии и орбитального момента, обобщающие преобразования Баргмака и Дарбу. Предложенные алгебраические преобразования используются для построения многоканальных потенциальных матриц баргмановского типа и соответствующих им решений без применения интегральных уравнений обратной задачи, а также для конструирования аксиально-симметричных аналитических потенциалов.
На основе обобщенного метода Марченко дан простой способ построения семейств фазово-эквивалентных потенциалов в том числе с параметрической зависимостью в данных рассеяния от внешней динамической переменной.
В замкнутом аналитическом виде конструируются потенциалы ограниченного радиуса действия и соответствующие им решения в одноканальной и многоканальной Д-матричной 03; Получены некоторые экзотические модели со связанными состояниями в непрерывном спектре.
Предложены способы реализации спектральных методов 03 в технологии изготовления оптических вопноведущих устройств, работающих в заданном /V-модовом режиме.
Практическая ценность. Разрабатываемые точно решаемые модели обратной задачи дают единую концепцию решения ряда практически важных вопросов, касающихся выбора класса потенциалов, получения тестовых вариантов и приближений в реальных малочастичных и многочастичных задачах ядерной физики, в задачах синтеза оптических устройств и элементов интегральной оптики, которые сводятся к многомерным и параметрическим задачам рассеяния в средах с изменяющимися свойствами. Представленная формулировка прямой и обратной трехчастичных и многомерных задач рассеяния в адиабатическом подходе дает конструктивный метод решения широкого круга практически важных задач ядерной, атомной, молекулярной физики и оптики неоднородных сред. Обратная задача рассеяния в адиабатическом подходе расширяет область применимости метода в теории нелинейных волновых уравнений, моделирующих ряд физических процессов в различных областях физики. Предложенные алгебраические методы, обобщающие преобразования Баргмана и Дарбу, легко адаптируются для расчетов на ЭВМ и позволяют избежать трудоемких-расчетов интегральных уравнений обратных задач рассеяния. Основные результаты диссер-
тацип представляют практический интерес и могут быть использованы в институтах, зашшающїгхся развитием таких актуальных направлений как физика взаимодействия нескольких частиц, дифференциально - геометрические методы в физике, теория нелинейных эволюционных уравнений, в частности, в ОИЯИ, ЛГУ, МГУ, ИФВЭ, ИФ АН Б, Фпоико-Технпческий Институт АН Б, ИТМО АН Б, ИРФХП АН Республики Беларусь.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации доложены на семпнарах ЛТФ и ЛВТА ОИЯИ, Института тепло - п массообмена АН БССР, Института Физики АН БССР, Института ядерной энергетики АН БССР, теоретического отдела ИФВЭ, представлены на международных конференциях "Few Body system, Тбилпссп, 1984, Япония, 1986, Van - Cou-ver, 1989, Ужгород, 1990, Международном симпозиуме по электромагнитной теории, Будапешт 1986, на Международных семпнарах "Микроскопические методы в теории систем нескольких частиц", Калинин, 1988, "Schrodinger operators, standard and nonstandard", Duhna, 1988, "Topological Phases in Quantum Theory", Dubna, 1988.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-36].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Каждая глава содержит введение, основную часть и заключение. Общий объем диссертации - 250 страниц машинописного текста. Список литературы состоит из 221 наименований.
