Содержание к диссертации
Введение
2 Элементы теории динамических систем 8
2.1 Бифуркации и развитие хаоса в динамических системах 8
2.1.1 Общие положения 8
2.1.2 Удвоение периода 11
2.1.3 Перемежаемость 12
2.1.4 Разрушение тора 13
2.1.5 Гомоклинические структуры 14
2.2 Характерные свойства хаотических динамических систем . 15
2.2.1 Показатели Ляпунова 15
2.2.2 Характеристики хаотичности 15
2.2.3 Хаотические аттракторы 17
2.2.4 Одномерные отображения 18
2.3 Методы стабилизации хаотической динамики 20
2.3.1 Системы с внешними возмущениями 21
2.3.2 Силовое и параметрическое воздействия 21
2.3.3 Метод резонансных возбуждений 24
2.3.4 Метод Гребоджи-Отта-Йорка 25
2.3.5 Параметрическое возбуждение и подавление хаоса . 26
2.3.6 Методы резонансной и высокочастотной стабилизации 26
2.4 Динамика диффузионно сцепленных систем 27
2.5 Современное состояние исследования хаотических систем . 33
3 Особенности динамики агрегатов взаимодействующих отображений 35
3.1 Подавление хаоса в одномерных унимодальных отображениях . 35
3.1.1 Формулировка подхода . 35
3.1.2 Аналитический подход 36
3.1.3 Численный анализ 44
3.2 Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии 49
3.2.1 Понятие циклических каскадов отображений 49
3.2.2 Численные исследования 52
3.3 Агрегаты каскадов с дефектами 54
3.3.1 Результаты численного моделирования 55
4 Динамика диффузионно сцепленных подсистем 58
4.1 Пространственно однородная цепочка 58
4.2 Пространственно неоднородные цепочки 61
4.2.1 Кольцевая цепочка с периодической пространственной неоднородностью 62
4.2.2 Кольцевая цепочка с единственным дефектом 66
4.3 Заключение 73
5 Структурообразование в движущихся средах 76
5.1 Анализ вращающихся DLА-кластеров 76
5.2 Теоретическая модель 77
5.3 Численные исследования 80
5.4 Прямое компьютерное моделирование вращающихся DLA-кластеров 82
5.5 Заключение 86
6 Заключение
- Характерные свойства хаотических динамических систем
- Силовое и параметрическое воздействия
- Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии
- Пространственно неоднородные цепочки
Введение к работе
Обсуждая такое всеобъемлющее явление как хаос, в настоящее время имеют ввиду не только фундаментальные вопросы статистической физики, но и разнообразные приложения к конкретным задачам механики, астрофизики, физики плазмы, медицины, биологии и др. Проявление хаотического поведения в той или иной системе не связано с действием каких-либо случайных по своей природе сил. Сущность хаотического поведения полностью детерминированных систем заключается в свойстве приобретать экспоненциально сильную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Принципиальное значение исследований в этой области состоит в том, что они вскрывают природу случайного, развивая гипотезу динамической стохастич-ности в дополнение к гипотезе молекулярного хаоса.
Впервые на связь между статистикой и неустойчивостью указал А. Пуанкаре [1]. В тот же период времени статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы был предложен Л. Больцманом [2]. Он высказал предположение, что движение частиц в разреженном газе следует рассматривать как случайное, и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Такое представление о системах многих частиц известно как эргодическая гипотеза [2,3], которая стала основой классической статистической механики. Однако ее строгое обоснование долгое время не находило подтверждения. Некоторое продвижение в этом направлении было достигнуто благодаря исследованиям П. Эренфеста [4], которые позволяли в том числе установить рамки применимости законов статистической механики. Однако известная работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама [5], где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы, вновь выдвинула проблему обоснования статистической физики на первый план.
Отчасти, разрешение этой проблемы можно получить, опираясь на работы А. Пуанкаре (см. [6]), в которых он показал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это явилось первым указанием на то, что нелинейные динамические системы могут проявлять хаотические свойства. Впоследствии Д. Биркгоф [7] показал, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. Теория возмущений, как оказалось, не описывает такие резонансы, поскольку регулярные решения вблизи них сильно возмущены, а это влечет появление малых знаменателей и расходимость рядов.
Н. С. Крылов провел первое глубокое исследование природы статистических законов [8]. Он показал, что в основе её лежит свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость почти всех траекторий соответствующих динамических систем. Именно в этой связи М. Борн [9] высказывал предположение о непредсказуемости поведения систем классической механики. Позднее динамика систем, вызванная такого рода неустойчивостью, стала называться динамической стохастичностью или детерминированным (динамическим) хаосом.
Другой этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерминированных системах возник после работ А. Н. Колмогорова и Я. Г. Синая [10,11], где впервые для динамических систем было введено понятие энтропии. Эти работы положили начало созданию теории стохастических динамических систем. Большую роль в развитии теории детерминированного хаоса также сыграли различные абстрактные математические конструкции. Например, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С. Смейл построил пример («подкова Смей-ла») [12,13], показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклинической траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. В свою очередь, из существования подковы вытекает, что отображение д должно иметь бесконечное число как периодических точек различного периода, так и несчетное число апериодических траекторий. Почти в одно время с «подковой Смейла» появились у-системы Аносова [14], которые характеризуются наиболее выраженными свойствами перемешивания. Последовавшее обобщение таких систем — введение «аксио- мы А» Смейла [13] и гиперболических множеств, — породило важный класс динамических систем, обладающих свойством экспоненциальной неустойчивости траекторий.
Примерно в то же время стали появляться математические работы, где на базе изучения систем типа «бильярд» были предприняты попытки обоснования статистической механики (см., например [15]). Бильярды впервые появились как упрощенные модели, на которых можно изучать ряд задач статистической физики [7] (см. также ссылки в [16,17]). Используя такие системы, впервые была решена задача Н. С. Крылова о перемешивании в системе упругих шаров [8]. Более того, было показано, что системы, отвечающие бильярдам с рассеивающими границами, имеют много общего с геодезическими потоками в пространствах отрицательной кривизны, т.е. потоками Аносова. Позже класс бильярдных систем, которые способны проявлять хаотические свойства, был значительно расширен (см. [17,18] а также цитируемую там литературу). Опираясь на обобщение таких систем — модификацию двумерного газа Лоренца — было доказано, что и в чисто детерминированных системах движение может быть подобно броуновскому [16,17]. Этот результат явился первым строгим подтверждением проявления хаотичности динамическими (т.е. без какого-либо случайного механизма) системами.
Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показали, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то возможно, лишь потому, что либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики), стала общей для многих направлений современной науки. Наряду с этим выяснилось, что хаотические динамические системы легко управляемы при помощи внешних воздействий, что можно использовать для создания условий контроля над хаотическими системами и подавления в них хаоса, если его развитие нежелательно. Таким образом, появилось новое направление в теории хаотических динамических систем, связанное со стабилизацией и регулированием их неустойчивого поведения посредством внешних воздействий. Позже стало ясно, что посредством слабых возмущений можно найти неожи- данные подходы к решению давно известных проблем, таких как инженерия динамических систем, дефибрилляция, обработка информации, явление само-организациии и др. (см., например, [19-22]).
Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию систем с внешними воздействиями (см., например, [23-35] и цитируемую литературу в [26,27]). Однако построить теорию регулирования хаотических систем в общем виде пока не представляется возможным. Тем не менее, для достаточно типичных семейств динамических систем эта задача вполне разрешима.
В настоящее время существуют два качественно различных подхода к этой проблеме. Первый основан на использовании обратной связи, т.е. учете текущего состояния системы. В другом (и наиболее приемлемом для большинства приложений) подходе не учитывается обратная связь, и стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. В литературе первый метод обычно называется контролированием хаоса, а второй — подавлением хаоса без обратной связи. Оба подхода могут быть реализованы как при помощи параметрических, так и силовых способов воздействия.
Введение обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к требуемому результату: выбранный заранее седловой предельный цикл стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Однако этот метод эффективен, если только изображающая точка находится вблизи выбранного цикла. В противном случае необходимо использовать дополнительные способы воздействия [37,38]. В то же время методы стабилизации без обратной связи не требуют введения постоянного компьютерного слежения за состоянием системы и менее подвержены воздействиям шумов, что существенно упрощает их использование в приложениях [39].
В представленной диссертационной работе в главе 2 дан краткий обзор теории динамических систем: описаны основные их свойства, перечислены способы развития хаоса и методы стабилизации хаотической динамики. Кроме того, представлены основы теории диффузионно сцепленных систем.
В главе 3.1 на примере одномерных отображений (квадратичного и экспоненциального) решена задача об управлении их динамикой. Чтобы получить более полное представление относительно структуры множества в пространстве параметров, на котором имеет место подавление хаоса, были проведены численные исследования. Для возмущенного логистического и экспоненциаь- ного отображений найдены области с устойчивым поведением и рассчитаны периоды соответствующих устойчивых циклов. Кроме того, были оценены размеры окрестностей значений параметров, при которых возникают такие циклы.
В главе 3.2 решена задача построения каскадов отображений с предписанными свойствами. Дан ответ на вопрос, при каких условиях поведение циклического каскада отображений является регулярным (сходящимся), если сами компоненты каскада обладают хаотической динамикой. Аналитический метод, описанный в главе 3.1, перенесен на каскады, состоящие из произвольного числа компонент. На основе аналитических результатов численно рассмотрены циклические каскады с дефектами, которые могут быть получены из циклических каскадов, если в некоторые регулярные моменты времени отображения, составляющие такие циклические каскады, меняются местами.
Характерные свойства хаотических динамических систем
Другой путь к хаосу реализуется через перемежаемость. Строгий подход к этому явлению менее развит, поскольку невозможно точно определить, при каких параметрических значениях достигается полный хаотический режим. Впервые переход к хаосу через перемежаемость исследован на примере системы Лоренца [49, 50], однако несколько ранее возможность появления касательной бифуркации была подробно описана и строго обоснована в работе [51]. Перемежаемость свидетельствует о рождении странного аттрактора посредством исчезновения полуустойчивого предельного цикла. Это происходит, когда а = ах и мультипликатор цикла имеет действительное собственное значение +1. В этот момент происходит слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый. В отображении Пуанкаре такая бифуркация выглядит как слияние устойчивой и неустойчивой неподвижных точек. С переходом через критическое значение oi, а а\, полуустойчивый цикл исчезает. Типичное поведение системы вблизи значений а ai, а Oi, будет почти периодическим, но прерывающимся короткими хаотическими всплесками. С увеличением параметра число хаотических пульсаций увеличивается и постепенно наступает развитый хаос.
Отображение Пуанкаре по траекториям, проходящим в окрестности полуустойчивого цикла в некоторых координатах записывается как: Первое соотношение описывает динамику отображения на центральном многообразии. Рассмотрим его подробнее. При є 0 почти все траектории при тягиваются к единственной устойчивой неподвижной точке отображения. При є —V 0 к ней приближается неустойчивая неподвижная точка. В момент є = 0 в начале координат х — О происходит слияние устойчивой и неустойчивой точек в одну полуустойчивую. С превышением бифуркационного значения, є О, эта точка исчезает. Допустим, что одномерное отображение имеет участок, порождающий сложную динамику. Тогда при а « а.\ (но при є 0) диаграмма Ламерея такого отображения будет представлять собой длинный периодический участок, соответствующий проходу в достаточно малой окрестности U начала координат и хаотический всплеск, который завершается при новом попадании в U. И так далее. Поведение, возникающее в системах при обратной касательной бифуркации, называется перемежаемостью 1-го рода.
Перемежаемость может возникать и в других случаях [50, 52]. В частности, если отображение Пуанкаре на центральном многообразии (в полярных координатах) имеет вид гп+1 = (1 + є)гп + br„; вп+і = 9п + с, то система проявляет перемежаемость 2-го рода. Основное отличие от перемежаемости 1-го рода состоит в том, что в результате слияния устойчивой и неустойчивой неподвижных точек они не исчезают, а происходит передача неустойчивости от неустойчивой точки к устойчивой. Перемежаемость 3-го рода возникает, если отображение Пуанкаре запишется как хп+і = — (1 + є)хп — bx„. В этом случае изображающая точка подходит по спирали к единственной устойчивой неподвижной точке, а перемежаемость появляется вследствие потери устойчивости: лестница Ламерея представляет собой медленно раскручивающуюся спираль.
Бифуркации двумерного тора, родившегося в результате перехода пары комплексно сопряженных собственных значений цикла через единичную окружность, также могут привести к появлению хаоса в динамических системах. При этом плоскость параметров динамической системы разбивается на резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля предельных циклов, расположенных на торе. Тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. Прежде чем в такой системе произойдет переход к хаотическим колебаниям, тор должен потерять гладкость: существуют такие значения параметров, при которых неустойчивое многообразие седлового цикла начинает «гофрироваться», либо у седло вого цикла возникает негрубая гомоклиническая кривая, либо устойчивый и неустойчивый циклы на торе сливаются и исчезают на негладком торе. Этот результат известен как теорема о разрушении тора. При выполнении некоторых дополнительных условий разрушение тора приводит к рождению хаоса [40,48,50,53,54].
Помимо перечисленных путей развития хаоса, в динамических системах возможен переход к хаотическому поведению через гомоклинические бифуркации. Пусть Та М — М — некоторое преобразование множества М в себя. Точка р Є М называется гиперболической неподвижной точкой отображения Та, если Тар = р и DTa не имеет собственного значения равного единице. При этом устойчивое и неустойчивое многообразия точки р определяются соответственно следующим образом: Предположим, что р — гиперболическая неподвижная точка отображения Та. Точка q называется гомоклипической к точке р, если рф q Є Ws(p) f] Wu(p). Это означает, что lim Tlq = p.
Одномерное отображение имеет гомоклинические точки, если оно обладает периодической орбитой, период которой отличен от 2г, і = 0,1,2,... [55-57]. В свою очередь, наличие гомоклинических точек гарантирует положительность энтропии [57], т.е. существование хаотичности. Более того, позже были получены достаточно общие утверждения, касающиеся сложного поведения двумерных динамических систем [58,59]. Они касаются условий существования положительной меры параметрического множества Ас, соответствующего хаотическому поведению системы.
Другой важный результат был получен Ньюхаузом [60], который показал, что семейство двумерных диффеоморфизмов, имеющее гомоклиническое касание устойчивых и неустойчивых сепаратрис, обладает чрезвычайно сложным поведением. Такая динамика действительно была обнаружена на примере уравнения Дюффинга [61] посредством обобщенной теории Мельникова [62] (см. 2.3.6). Более того, формирование гомоклинических траекторий всегда сопровождается глубокими перестройками динамики, которые включают появление подков Смейла [13], каскадов удвоения периода [63], седло-узловых циклов [64], неограниченного количества сосуществующих периодических аттракторов [65].
Силовое и параметрическое воздействия
Существует несколько типов моделей распределенных динамических систем. Среди них системы взаимодействующих частиц являются единственными представителями систем, полученных из основных принципов. Вывод коэффициентов диффузии, уравнений Навье-Стокса и других макроуравнений из микросистем взаимодействующих частиц всегда было предметом неравновесной статистической механики. Выводимые таким образом макроуравнения являются уравнениями в частных производных. Системы, описываемые уравнениями в частных производных, образуют наиболее часто используемый класс в теоретическом исследовании распределенных динамических систем. Состояние системы в этих моделях описывается некоторой функцией f{x,t), где х — элемент физического пространства X, которое в принципе может быть множеством любой природы. Но так как уравнение, описывающее процесс, является дифференциальным, то предполагают наличие некоторой гладкости (и таким образом, непрерывности) структуры пространства X (наиболее часто X является дифференцируемым многообразием).
Все другие модели распределенных систем предполагают некоторую дискретизацию. Введение таких моделей было тесно связано с появлением компьютеров. Достаточно упомянуть здесь знаменитую модель Ферми-Паста-Улама, использованную в первых компьютерных исследованиях нелинейных динамических систем. Эта и многие другие модели подобного вида принадлежат к широко известнму классу физических моделей, которые называются системами взаимодействующих (нелинейных) осцилляторов. Математически эти модели описываются системой связанных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Система связанных осцилляторов сама по себе еще не является моделью распределенной среды. Для того чтобы получить такую модель из системы осцилляторов, необходимо определить положение (координаты) всех осцилляторов в физическом пространстве. Это очень важный шаг от системы связан ных осцилляторов к системам связанных (по пространству) обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие модели естественным образом возникают при попытке описать движение распределенной среды, которая содержит некоторые структурные элементы (вихри, волны и т. д.). В этом случае, если положения таких структурных элементов (почти) фиксированы в физическом пространстве, мы получаем цепочку сцепленных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, такие цепочки были впервые рассмотрены при изучении динамики ансамбля вихрей Тейлора в потоке Коте (см., например, [116] и приведённые там ссылки ). Следующим существенным шагом, который был предложен в работе [117], явилось введение в общем виде неограниченной цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений.
Важным различием между моделями, описываемыми уравнениями в частных производных, и цепочкой связанных обыкновенных дифференциальных уравнений является то, что в последнем случае физическое пространство рассматривается как дискретное множество, в отличие от непрерывного пространства уравнений в частных производных. Чтобы получить цепочку сцепленных отображений, необходимо дополнительно произвести дискретизацию цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. В частности, при всяком компьютерном исследовании цепочки сцепленных обыкновенных дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений в частных производных реально имеют дело с соответсвующими цепочками сцепленных отображений. Исторически, однако, цепочки сцепленных отображений появились вне их связи с цепочками сцепленных обыкновенных дифференциальных уравнений. Цепочки сцепленных отображений были введены в работе [118]. Было предпринято несколько попыток дать наиболее общее определение цепочки сцепленных отображений, как физически наглядное, так и математически строгое [118,119]. Эти определения, однако, остаются все еще слишком ограниченными.
Первой и наиболее важной особенностью сцепленных отображений является то, что соответсвующее физическое пространство — цепочка $7, т. е. оно имеет дискретную структуру. Точки 1 называются элементами цепочки. Множество О, ограниченным, счетным, несчетным и т. д. Простейшие примеры — 1 = Z и ft = Z„, где Z — множество всех целых чисел, a Zn — Z, взятое по модулю п.
В каждом элементе цепочки из Є f2 имеется локальное пространство Хш с несчетным множеством состояний. Фазовое пространство всей цепочки М — Y[ Хш является прямым произведением локальных фазовых пространств, ко торые, в общем, могут отличаться друг от друга. Таким образом, точка фазового пространства цепочки х Є М представляется набором х = (хи),и Є Q.
Динамика цепочки сцепленных отображений задается некоторым отображением Ф пространства М на себя, которое сохраняет структуру цепочки, т. е. отображение, определяющее текущее значение элемента и в зависимости от предыдущего состояния цепочки. Это единственное, но важное, ограничение на отображение Ф, чтобы оно задавало динамику некоторой цепочкисцепленных отображений. Следует отметить, что отображение Фш действует, в общем, на всем фазовом пространстве М, а не обязательно только на некоторой ограниченной окрестности Хш в М.
При рассмотрении цепочек сцепленных отображений, чаще всего предполагают, что динамика, задаваемая отображением Ф, может быть представлена в виде композиции двух отображений Ф = G о F, где (Fx)u = /ш(хш) — независимое действие локального отображения /ы : хш і-» х ш и (Gx)w = дш(х) — взаимодействие.
Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии
Известно, что поведение многих физических, химических и некоторых других систем может быть эквивалентно сети динамических систем с дискретным временем, т. е. некоторому сообществу взаимодействующих автоматов. Такие автоматы могут быть как вероятностными, когда определена только вероятность перехода в новое состояние, так и детерминированными, для которых следующее состояние xn+i однозначно определяется последовательностью
Предыдущих СОСТОЯНИЙ Хп, Xn-i,Xn-2, Ниже рассмотрены совокупности детерминированных автоматов без памяти, т. е. фактически одномерных отображений, для которых состояние хп+х определено только предыдущим состоянием хп: xn+i = f(xn,a).
Циклические каскады строятся из отображений таким образом, что (в терминах радиоэлектронных цепей) выход каждого отображения, рассматриваемого как четырехполюсный преобразователь, подается на вход следующего отображения и так далее. «Выход» последнего отображения в каскаде подается на «вход» первого отображения, которое, таким образом, замыкает цепь. Концепция каскадов автоматов в контексте нейросетевого описания была развита Хиршем, который произвел формализацию описания слоистых сетей. Хирш первым поднял вопрос, который является краеугольным камнем синтеза каскадов сетей с предсказуемыми свойствами: в каких случаях динамика отдельных каскадных компонентов задает динамику целого каскада? В работе [136] получены условия, при которых каскад сетей и его компоненты обладают сходящейся динамикой. Позже эти результаты были обобщены на случай периодического поведения каскада с тем же самым (колебательным) поведением компонент [146].
Следуя Хиршу, определим понятие циклического каскада следующим образом. Рассмотрим г автоматов, определенных отображениями вида
Выберем два автомата Т ,Т и соединим их циклически, в каскад К2 таким путем, что выход автомата Т подается на вход автомата Т% и наоборот, выход автомата Г подается на вход автомата Т . Определим каскад автоматов Т\ в Т% через композицию функций F2 = Д о Д и каскад автоматов Т% в Т через композицию функций Fi = Д о Д. Тогда циклический каскад длины 2 определяется как бесконечная композиция К2 = F2 о F2 о ... или К2 — F\ о F\ о ... . Таким же образом можно строить циклические каскады из трех автоматов TlTl,Tl В этом случае Fx = /3 о Д о Д, F2 = Д о Д о Д, F3 = Д о Д о Д, и циклические каскады длины 3 представляют собой композиции функций следующего вида: Кз = FJOFJO. ., , где j — 1,...,3. Для г отображений получаем т каскадных функций, и строим соответствующий циклический каскад длины т. Очевидно, композиция, определенная отображением (3.16) дает каскад К\ — f о / о ... единичной длины.
Нетрудно видеть, что циклический каскад есть не что иное как итерации отображения.
Естественно сформулировать следующий вопрос: в каких случаях динамика циклического каскада является периодической, если компоненты этого каскада (т.е. сами отображения Д) обладают хаотическим поведением? Для циклических каскадов длины 2 некоторые ответы были даны в части 3.1 настоящей работы. Именно, если в качестве функции / в (3.16) выбрать отображения (3.1) или (3.2), то при 01,02 Є Ad построенный из хаотических компонент циклический каскад будет обладать устойчивой динамикой.
Дальнейшее развитие задачи приводит к идее рассмотреть так называемые каскады с дефектами и их динамические свойства. Эти каскады сформиро ваны из тех же каскадных функций F, но содержат неоднородности в виде каскадных функций с другим индексом.
Формально циклические каскады с дефектами являются композициями тех же каскадных функций Fi и также представляют собой отображения, но следующего сложного вида
Поясним подробнее сказанное. Для наглядности предположим, что внешнее возмущение (шум) действует на циклический каскад отображений таким образом, что последовательный порядок компонент fi и f3 нарушается, и в циклическом каскаде композиция Fi периодически заменяется на композицию Fji Ї Ф 3 (или наоборот). Например, Для циклических каскадов длины 2 это соответствует тому, что через равномерные промежутки времени компоненты циклического каскада /j и fj меняются местами.
Будем говорить, что циклические каскады вида (3.18) или (3.19) являются циклическими каскадами с дефектом. Расстояние между двумя соседними функциями-«дефектами» Fj, і ф j, мы называем длиной I циклического каскада с дефектом. Например, для каскада с дефектом (3.18) длина I = 3, и для каскада (3.19) — I = 4.
Ниже изучается динамика отображений, представляющих собой каскады с дефектами, то есть имеющими вид
Здесь и возникает основной вопрос данной задачи: какова должна быть длина / циклического каскада с дефектом, чтобы сохранилась регулярная (периодическая) динамика соответствующего циклического каскада? Теория, развитая в разделе 3.1.2, в принципе позволяет изучить циклические каскады с дефектами [141]. Именно, можно проделать декомпозицию начального отображения и определить г каскадных функций (3.8) в их явном виде. Однако в отличие от каскадов без дефекта, когда достаточно проанализировать только одну каскадную функцию і , в данном случае, чтобы найти решение уравнений неподвижных точек необходимо рассмотреть соответствующий циклический каскад с дефектом длины /, F ef = F oFfo.. ,oFl loFj. Очевидно, что эти уравнения являются много более сложными, чем аналогичные уравнения для каскада без дефекта. Поэтому, как и в части 3.1, приходится в исследовании опереться на численный эксперимент. Численные исследования
Поскольку циклические каскады даже наименьшей длины являются очень сложными, ограничимся простейшим случаем г = 2. Тогда Fx = f2 о fx и F2 = f\ о /2. В терминах каскадных функций F; можно записать
Очевидно, соответствующие циклические каскады с дефектом получаются из (3.18), (3.19) с г = 1, з = 2 В ходе расчетов были построены зависимости показателя Ляпунова от длины каскада с дефектом (периода появления дефекта). В качестве базовых элементов / были взяты логистические отображения с различными значениями параметров а. При этом необходимыми условиями были: а) хаотическое поведение отдельных отображений «і, а2 Є Ас и б) регулярная динамика циклического каскада, («1,0:2) Є А . Как критерий различия регулярного и хаотического поведения мы вновь использовали показатель Ляпунова (3.14), который легко может быть обобщен на случай циклических каскадов с дефектами. При этом под знак логарифма необходимо включить полное отображение Фг.
Пространственно неоднородные цепочки
Рассмотрим теперь другой интересный случай пространственно неоднородной цепочки диффузионно сцепленных отображений: цепочку с одним единственным «дефектом». Этот случай означает, что один из N элементов цепочки имеет параметр /5 (см. (4.2)), а остальные (N — 1) элементов — параметр а. Без потери общности будем считать, что этот один выделенный элемент цепочки находится в точке п — 1. Таким образом, рассмотрим систему следующего (l-d)/(2-d) 0.5 для нахождения ляпуновских показателей системы (4.12), (4.2) ту же технику, что и ранее (см. предыдущий пункт, а также монографию [115]), то решение характеристического уравнения для дифференциала отображения 4.13 сведется к определению корней многочлена порядка 2N + 2. Это можно сделать только численно, поэтому сначала для цепочки (4.12), (4.2) применим несколько иной подход.
Пользуясь оценкой собственных значений матрицы (4.13) по теореме Гер-шгорина [131], построим оценки областей регулярной и хаотической динамики цепочки 4.12, 4.2. Согласно утверждению этой теоремы, все собственные числа матрицы А = {a,ij}nxn принадлежат объединению кругов на комплексной плоскости:
Так как дифференциал отображения (4.13) представляет собой действительную симметричную матрицу, то, во-первых, строчная и столбцевая почти-нормы совпадают, а, во-вторых, собственные значения D/ являются действительными. Следовательно, круги Гершгорина преобразуются в интервалы на действительной оси:
Пространство параметров кольцевой цепочки с единственным дефектом. системы, так как она получена с помощью оценки сверху собственных значений дифференциала отображения. Любая точка пространства параметров из D\ будет соответствовать регулярной динамике цепочки, а любая точка из Di — либо регулярной, либо хаотической динамике.
Важным свойством полученной оценки является то, что она верна не только для рассмотренной цепочки с одним «дефектом», но и для целого класса кольцевых цепочек отображений с диффузионной связью вида (4.1), характеризующихся наличием двух типов элементов (с разными параметрами щ функции G{xi,ai,"/)). Дело в том, что количество элементов каждого типа и их взаимное расположение не играет никакой роли для проведенной оценки. В самом деле, почти-нормы дифференциалов отображения всех таких цепочек совпадают и центры двух возможных интервалов, в которых по теореме Гершгорина содержатся собственные значения D/, также общие.
В случае, когда два интервала, оценивающих ps, не пересекаются, происходит, согласно следствию из теоремы Гершгорина, «кластеризация» собственных значений дифференциала отображения. Именно, q собственных значений ра, s = 1,2, ...,д, будут лежать внутри одного интервала, a (N — q) собственных значений ps, s = q + l,q + 2,...,N, — внутри другого интервала. Здесь q — число элементов цепочки с параметром ос и, соответственно, (N — q) — число элементов цепочки с параметром /3. Однако учет такой «кластеризации» значений ps, очевидно, не позволяет улучшить оценку области регулярной динамики.
Для того, чтобы оценить качество полученной оценки (4.14), сравним ее с точным результатом, полученным для кольцевой цепочки с пространственно периодической неоднородностью. Очевидно, эта цепочка, относится к классу,
Сечение в пространстве параметров кольцевой цепочки с единственным дефектом. для которого верна наша оценка. Для наглядности построим сечения 6 = const области D\, соответствующей регулярной динамике цепочки (4.4),(4.2), и ее оценки Di (рис. 4.5). Из этого рисунка следует, что оценка (4.14) области регулярной динамики достаточно хорошо приближает истинное поведение системы, но не отражает того факта, что при — 1 6 0 область регулярной динамики цепочки (4.4),(4.2) шире области регулярной динамики пространственно однородной цепочки.
Вернемся теперь к цепочке отображений (4.12),(4.2), пространственная неоднородность которой связана с наличием одного «дефекта», и численно найдем точные собственные значения дифференциала отображения (4.13). Для этого случая характеристический многочлен можно записать как:
Теперь, численно определив корни уравнения (4.18), легко вычислить р3. Сравнивая значения ps с единицей при всех возможных значениях параметров а, /З, є нетрудно получить области регулярной {D\) и хаотической (D2) динамики для кольцевой цепочки диффузионно связанных отображений с одним «дефектом». На рис. 4.6 приведены сечения этих областей плоскостями S — const, где 5 — /3 — а. Пунктиром указана оценка (4.14) области регулярной динамики цепочки. Также как для цепочки с периодической неоднородностью, в данном случае при положительных 6 эта область шире, чем предсказывает оценка. Однако в отличие от периодической неоднородности, при 8 О оценка полностью совпадает с численным результатом и одновременно с результатом для однородной цепочки. Таким образом, если один из элементов цепочки имеет параметр меньший, чем остальные, то на характер динамики всего ансамбля такой «дефект» не окажет никакого влияния. Если же параметр отличается в ббльшую сторону, это сужает область регулярной динамики цепочки по сравнению с однородным случаем.
