Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модельное уравнение внутренней динамики молекулы ДНК 18
1.1. Модель, описывающая вращательные движения оснований в однородных полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК 18
1.2. Кинк как модель локального конформационного возмущения в молекуле ДНК 24
1.3.Физические характеристики кинка в однородных полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК 28
1.4. Параметры вращательных колебаний оснований в однородных полинуклеотидных цепочках ДНК 32
1.5. Основные результаты 34
Глава 2. Исследование динамики кинка в ДНК под действием диссипации и нестационарной внешней силы 36
2.1. Скорость движения кинка в нестационарном внешнем поле с учетом диссипации 37
2.2. Движение кинка в поле гармонической силы в условиях диссипации 41
2.3. Движение кинка под действием эффектов диссипации и внешней'силы вида ступенчатой функции 44
2.4. Особенности движения кинка вдоль молекулы ДНК 49
2.4.1. Движение кинка в однородных полинуклеотидных цепочках в условиях диссипации и действия периодической внешней силы 49
2.4.2. Движение кинка в однородных полинуклеотидных цепочках в условиях диссипации и действия постоянной внешней силы 54
2.4.3. Движение кинка в однородных полинуклеотидных цепочках в условиях диссипации 58
2.4.4. Оценка времени жизни и длины пути кинка в однородных полинуклеотидных цепочках ДНК 60
2.4.5. Движение кинка в однородных полинуклеотидных цепочках под действием постоянной внешней силы 62
2.4.6. Оценка критического значения внешней силы FKpum 64
2.5. Основные результаты 67
Глава 3. Динамика кинка с среде со случайной силой и диссипацией 68
3.1. Уравнение Фоккера-Планка для функции распределения импульса кинка 69
3.2. Нелинейное уравнение Фоккера-Планка 75
3.3. Основные результаты 80
Глава 4. Особенности динамики кинка в неоднородной молекуле ДНК 82
4.1. Модель неоднородной ДНК 84
4.2. Физические характеристики кинка в неоднородных полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК 85
4.3. Динамика кинка в бинарных полинуклеотидных последовательностях 86
4.4. Динамика кинка в реальных последовательностях промоторов бактериофага Т7 97
4.5. Основные результаты 101
Заключение 102
Литература 104
- Кинк как модель локального конформационного возмущения в молекуле ДНК
- Движение кинка в поле гармонической силы в условиях диссипации
- Нелинейное уравнение Фоккера-Планка
- Физические характеристики кинка в неоднородных полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК
Введение к работе
Работа посвящена применению методов теоретической физики к исследованию особенностей движения локального конформационного возмущения (ЛКВ) вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновой кислоты) в условиях влияния внешней среды и структурной неоднородности полинуклеотидных цепочек. В качестве динамической модели ДНК используется уравнение си ну с-Гордона, а его решение, имеющее форму кинка, рассматривается как математическая модель локального конформационного возмущения (ЛКВ) внутренней структуры ДНК [1-4].
Актуальность темы работы обусловлена тем, что фундаментальной
проблемой физики живых систем на молекулярном уровне является изучение
' внутренней структуры и функций основных биомолекул и важнейшей из них
— молекулы ДНК, которая принадлежит к классу биополимеров и осуществляет одну из основных биологических функций — сохранять и передавать генетическую информацию. Накопленный за много лет материал по исследованию структуры ДНК со времени ее открытия Иоганном Фридрихом Мишером в 1869 году [5], был собран и проанализирован Уотсоном и Криком [6, 7]. В результате ими была предложена модель двойной спирали ДНК, которая давала простое объяснение главных особенностей функционирования ДНК. Это открытие дало импульс интенсивному развитию биохимии, молекулярной биологии и генетики. Оно было отмечено Нобелевской премией в 1962 году и подробно описано в книге Уотсона "Двойная спираль" [8]. Наиболее характерные особенности этой структуры заключаются в следующем:
1. Две спиральные полинуклеотидные цепочки закручены вокруг общей
«, оси. Цепочки направлены в противоположные стороны.
!
! \
2. Пуриновые (аденин (А), гуанан (G)) и пиримидиновые (тимин (Т),
цитозин (С)) основания расположены внутри двойной спирали.
3. Диаметр спирали равен 20 А, расстояние между соседними
основаниями вдоль спирали - 3.4 А. На рисунке 1 схематически изображена
модель ДНК [8].
Цитозин
Тимин
Аденинн
Гуанин
Сахаро-фосфатный остов
Рисунок 1 - Модель двойной спирали молекулы ДНК
4. Две цепочки удерживаются вместе водородными связями между основаниями, образующими пары. Пары образуются таким образом, что аденин (А) всегда спаривается с тимином (Т), а гуанин (G) - с цитозином (С). Поэтому цепи ДНК всегда комплементарны друг другу (см. рисунок 2). Комплементарность двойной спирали означает, что информация, содержащаяся в одной цепочке, содержится и в другой цепочке. Обратимость и специфичность взаимодействий между комплементарными парами оснований важна для репликации ДНК и всех остальных функций ДНК в живых организмах.
Силами, стабилизирующими структуру ДНК, являются: горизонтальные или водородные связи между основаниями внутри пар, вертикальные или стэкинговые взаимодействия между соседними основаниями по оси ДНК.
Водородные взаимодействия. А-Т пара содержит две водородные связи, а пара G-C три водородные связи, поэтому на разрыв G-C пар требуется больше энергии. На разрыв одной А-Т пары требуется 6.96 * 10"20 (дж), а на разрыв G-C пары 10.43 х 10"20 (дж) [9]. Следовательно, длинные молекулы ДНК с большим содержанием G-C пар более тугоплавки [10]: Хотя, водородные связи слабы и не обладают высокой направленностью [7], они вносят вклад в стабильность спаривания по типу Уотсона-Крика, и следовательно, играют важную роль в кодировании генетической информации.
Стэкингоеые взаимодействия представляют другой тип сил, стабилизирующих структуру ДНК [11, 12]. Они удерживают одно основание над другим и формируют стопку оснований. Стэкинговые взаимодействия зависят так же от последовательности оснований [13-17]. Результаты квантово-химических вычислений показали, что стопки с высокой концентрацией G-C пар более стабильны, чем стопки с высокой концентрацией А-Т пар [4]. Поскольку водородные связи внутри пар легко разрываются в результате тепловых флуктуации, воздействий радиации, внешней среды [4, 18] при сохранении стэкинговых взаимодействий, это приводит к образованию и распространению открытых состояний или локальному конформационному возмущению вдоль одной из двух полинуклеотидных цепочек ДНК. Образование открытых состояний» играют важную роль в процессах хранения и передачи генетической информации.
Моделирование движений ЛКВ в одной из двух полинуклеотидных цепочек началось с первой работы, опубликованной Инглэндером в 1980 году [19]. В последующем был создан ряд простых базовых моделей ДНК [20, 21, 24, 23, 24], которые описывали внутренние движения в ДНК. Эти модели были использованы для интерпретации имеющихся экспериментальных данных, а также для объяснения некоторых элементов в сложном механизме функционирования ДНК [4].
В настоящее время исследования динамического поведения локальных конформационных возмущений активно развиваются с привлечением, как экспериментальных методов [25—27], так и методов компьютерного моделирования [28]. Математическое моделирование сложных биологических систем [29-36], внутренней подвижности молекулы ДІЖ [39-47] и использование построенных на их основе теоретических моделей [48-56] для изучения механизмов функционирования биомолекулы - одно из наиболее интересных и перспективных направлений физики живых систем.
Общая картина внутренней подвижности ДНК оказывается значительно сложнее. Кроме вращательных движений существуют продольные и поперечные смещения структурных элементов ДНК. Например, в работах [57, 58] описываются продольные смещения в ДНК с помощью нелинейного уравнения Буссинеска и нелинейной решетки Тоды. В этих работах полученные решения, нелинейных динамических уравнений используются для интерпретации данных по микроволновому поглощению ДНК.
Модели, учитывающие не только вращательные движения оснований, но и другие внутренние движения были предложены Волковым [59] и Крумханслом и Александром [60]. Так, в модели Волкова рассматривается движение Сахаров, а в работе Крумхансла и Александра - вращательные колебания азотистых оснований, подвижность Сахаров и продольных смещений нуклеотидов. Пейрард и соавторы [61, 62] детально исследовали поперечные движения и показали их важную роль в процессах денатурации ДНК. Модель, предложенная в работе [63, 64] была применена для исследования торсионных движений в ДНК.
Анализ моделей [20-64] проводился в основном методами компьютерного моделирования [65—72], а также аналитическими методами [73-77]. Методы компьютерного моделирования использовались в исследованиях динамики ЛКВ в моделях двойной спирали ДНК, в которых
применение аналитических методов затруднено рядом сложных математических проблем. Сделанный выше вывод о том, что локальные конформационные возмущения распространяются вдоль одной из двух полинуклеотидных цепочек, позволяет обойти эти трудности. В данной работе исследована модифицированная модель Инглэндера и соавторов, описывающая вращательные движения оснований вокруг сахаро-фосфатного остова, имитирующие локальные конформационные возмущения вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек ДНК. Для такой модели влияние окружающей среды и состава полинуклеотиднои цепочки на динамику ЛКВ удается исследовать с помощью аналитических решений основных динамических уравнений моделей.
Целью данной работы является исследования аналитическими методами динамики локальных конформационных возмущений под действием окружающей среды и с учетом влияния структурной неоднородности полинуклеотиднои цепочки молекулы ДНК.
Согласно поставленной цели, в работе решались следующие задачи:
1. Моделирование локальных конформационных возмущений (кинков) в
однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочках молекулы
ДНК.
Оценка физических характеристик (размера, энергии активации, плотности энергии и массы покоя) локального конформационного возмущения, распространяющегося вдоль А-, Т-, G- и С-цепочек без учета влияния внешней среды.
Исследование особенностей динамического поведения локального конформационного возмущения в А-, Т-, G- и С-цепочках под
/
действием окружающей среды с помощью энергетического метода и формализма стохастических дифференциальных уравнений.
4. Исследование влияния структурной неоднородности
полинуклеотидной цепочки ДНК (наличие последовательности оснований) на характер динамического поведения локального конформационного возмущения.
При решении поставленных задач нами впервые получены следующие основные результаты:
Сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований ДНК, имитирующие локальные конформационные возмущения в однородных полинуклеотидных А-,. Т-, G- и С-цепочках .
Рассчитаны физические характеристики локального конформационного возмущения (размер, энергия активации, плотность энергии и масса покоя) и построены профили нелинейных односолитонных волн в рамках рассматриваемой модели для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек без учета влияния внешней среды.
Получено аналитическое выражение для эволюции скорости кинка, распространяющегося вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G-и С-цепочек, с учетом влияния диссипации и нестационарных внешних полей специального вида.
Показано, что при одновременном действии периодической внешней силы и диссипации эволюция скорости кинка носит характер
осцилляции относительно монотонно убывающего тренда. Для нестационарной внешней силы ступенчатого вида найдены условия торможения и ускорения кинка.
Определены условия, при которых влияния диссипации и постоянной внешней силы уравновешивают друг друга, позволяя кинку двигаться с постоянной скоростью вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G-и С-цепочек. В отсутствие влияния постоянной внешней силы рассчитаны динамические характеристики кинка (длина пути и время жизни) в А-, Т-, G- и С-цепочках.
Исследовано совместное влияние внешней случайной силы и диссипации на динамику кинка в рамках стохастического анализа в формализме уравнения Фоккера-Планка. На основе полученного точного решения уравнения Фоккера-Планка найдено, что среднее значение импульса кинка затухает, а его дисперсия возрастает в условиях совместного влияния внешней случайной силы и диссипации.
Влияние нелинейных стохастических эффектов на динамику кинка рассмотрено с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка с коэффициентом сдвига, зависящим от первого момента функции распределения импульса кинка. Установлено, что при специальном выборе начальных значений импульса кинка его ускорение со временем сменяется торможением.
Предложен подход, позволяющий исследовать влияние структурной неоднородности полинуклеотидной цепочки на характер динамического поведения кинка в бинарных последовательностях и реальных последовательностях промоторов Аь А2 и А3 генома
бактериофага Т7. Показано, что активация кинка в AT- и GC-цепочках и промоторе Ai энергетически предпочтительнее по сравнению с другими бинарными цепочками и промоторами генома бактериофага Т7.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.
Диссертация объемом 117 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 143 наименований и включает в себя 4 рисунка, 59 графиков и 24 таблицы.
В первой главе сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований в однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочках ДНК. Показано, что основное уравнение модели имеет вид уравнения синус-Гордона [19], коэффициенты которого определяются структурой молекулы ДНК [78]. Решение модельного уравнения - уравнения синус-Гордона, имеющее форму кинка, рассматривается как математическая модель локального конформационного возмущения. Рассчитаны профили нелинейных односолитонных волн - кинков для различных однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек и оценены физические характеристики: размер, энергия активации, плотность энергии и масса покоя кинка, распространяющегося вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек, которые позволяют выявить энергетически наиболее выгодные цепочки для активации кинка в отсутствие внешних воздействий.
В модели Инглэндера [19] не учитывается влияние внешней среды, однако в природе (in vivo), молекула ДНК находится в ядре клетки, т.е. в некоторой внутриклеточной жидкости. В лабораторных условиях (in vitro) ДНК находится в растворе. Для того, что бы учесть влияние внешних факторов на распространение кинков вдоль А-, Т-, G- и С-цепочек в динамическое уравнение синус-Гордона введены дополнительные слагаемые,
имитирующие эффекты диссипации (/?) и влияние нестационарной внешней силы (F(t)).
Во второй главе для анализа, полученного модифицированного уравнения синус-Гордона используется энергетический метод, предложенный Мак-Лафлином и Скоттом [79], в котором предполагается, что под действием внешних факторов форма кинка сохраняется, а изменяются его параметры, основным из которых является скорость. Для того, чтобы проанализировать влияния внешнего воздействия общего вида на скорость кинка исследованы общие математические свойства уравнения эволюции скорости кинка и получены аналитические выражения, позволяющие в явном виде проанализировать совместное влияние диссипации (/?) и внешней нестационарной силы (F(t)). Под действием периодической внешней силы (F(t) = F0 cosQt) эволюция скорости кинка
носит характер осцилляции относительно монотонно убывающего тренда. Показано, что найденное аналитическое выражение для скорости тренда может быть использовано для описания средней за период скорости. Проведен анализ влияния ступенчатой внешней силы на среднюю за период скорость кинка на различных временных интервалах и найдены условия торможения и ускорения кинка под действием этой силы [80]. Построены и проанализированы зависимости скорости кинка, распространяющегося вдоль однородных А-, Т-, G- и С-цепочек с помощью динамических параметров /, К' и V, а. также модельных значений Р и FQ, в условиях одновременного
действия: диссипации (/?) и периодической внешней силы (F(t) = F0cosQt); диссипации (/?) и постоянной внешней силы (F0) [81]; а также при /7^0, F0=0, и при Р = 0, F0 Ф 0 . При одновременном действии диссипации (/?) и постоянной внешней силы (F0) определены условия, при которых влияние диссипации и постоянной внешней силы компенсируют друг друга, позволяя
кинку двигаться с постоянной скоростью вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек [82-85].
Воздействие окружающей среды носит нерегулярный, стохастический характер, обусловленный случайными столкновениями молекулы ДНК с молекулами внутриклеточной жидкости, тепловыми флуктуациями и т.п. Наличие таких флуктуации может быть учтено в рамках формализма стохастических дифференциальных уравнений [86].
В третьей главе с целью учета флуктуации в уравнение синус-Гордона
введена случайная сила (V-D <^(t)). С помощью энергетического метода записано уравнение эволюции, как для скорости, так и для импульса кинка под действием случайной силы, которые имеют смысл, в соответствие с работой [87, 88], стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича. В соответствии с общими положениями стохастического-анализа [86] получено уравнение Фоккера-Планка, соответствующее стохастическому дифференциальному уравнению- для импульса. Данное уравнение Фоккера-Планка совпадает с уравнением, описывающим случайный процесс Орнштейна-Уленбека [89]. Получены явные аналитические выражения для функции распределения плотности вероятности, с помощью которых исследовано поведение среднего импульса и его дисперсии [90]. Полученные результаты были применены для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек.
В предположении, что рассматриваемый стохастический процесс является сложным и обладает стохастической обратной связью, дано описание его влияния на динамику импульса кинка с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка. Описание влияния такого стохастического процесса на динамику импульса кинка построено с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка [91]. Получены явные аналитические выражения для функции распределения и проведен анализ поведения среднего значения
импульса и его дисперсии при совместном воздействии диссипации и случайной силы со стохастической обратной связью для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек.
Молекула ДНК неоднородна [6, 7] поскольку содержит четыре вида азотистых оснований: аденин (А), тимин (Т), гуанин (G) и цитозин (С), которые образуют последовательность, специфичную для каждого живого организма.
В четвертой главе исследовано влияние структурной неоднородности молекулы ДНК на динамику кинка посредством введения концентрационных зависимостей СЛ, Ст, Со и Gq оснований А, Т, G и С в коэффициенты уравнения синус-Гордона. Получены аналитические выражения^ определяющие основные динамические характеристики кинка: его размер, энергию активации, плотность энергии, массу покоя и скорость распространения в: неоднородных; полинуклеотидных цепочках. Проиллюстрированы возможности метода, в исследовании особенностей, динамики кинка в бинарных полинуклеотидных цепочках и в реальных последовательностях промоторов Аь А2 и А3 генома бактериофага Т7.
Теоретические исследования, результаты которых изложены в данной диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре теоретической физики совместно с Институтом биофизикшклетки Российской Академии Наук (ИБК РАН г. Пущино).
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на XI Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2004; XII Международном Симпозиуме по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул г. Пущино, 2004; «XVI Международной летней школе-саминар по современным проблемам теоретической и математической физике. Петровские чтения», Казань, 2004; XII Международной конференции
«Математика. Компьютер. Образование» г. Пущино 2005; XIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2006; X Пущинской школе-конференции молодых ученых «Биология - Наука XXI века» г. Пущино, 2006; XIII Международном Симпозиуме по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул г. Санкт-Петербург, 2006; XIV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» г. Пущино, 2007; Международной междисциплинарной научной конференции. Третьи Курдюмовские чтения: «Синергетика в естественных науках», г. Тверь, 2007; X междисциплинарной научной конференции МГТУ "СТАНКИН" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатики г. Москва 2007; Международной конференции «Albany 2007 The 15th Conversation» New York 2007; Международной конференции «Dynamical' Methods and Mathematical Modelling» Spain 2007; XV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» г. Дубна, 2008.
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах [78, 80-85,90,98,117].
Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: профессору Шаповалову Александру Васильевичу и доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику ИБК РАН Якушевич Людмиле Владимировне, за постоянное внимание к работе, неизменную поддержку, заинтересованное обсуждение и доброжелательную критику получаемых результатов. Автор благодарен профессору Багрову В.Г. за моральную поддержку и внимание к диссертационной работе, а также всем сотрудникам кафедры теоретической физики и кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета и сотрудникам лаборатории механизмов функционирования клеточного генома, сотрудникам лаборатории структуры и динамики биомолекулярных систем
Института биофизики клетки РАН (г. Пущино) за доброжелательное отношение и постоянную дружескую поддержку.
Я посвящаю свою диссертацию светлой памяти своего отца Краснобаева Александр Яковлевича.
Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично как в постановке задач, так и в проведении непосредственных аналитических и численных расчетов. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные положения, которые выносятся на защиту:
Сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований ДНК, имитирующие локальные конформационные возмущения в четырех возможных типах (А-, Т-, G-и С-) однородных полинуклеотидных цепочек молекулы ДНК, в виде модифицированного уравнения синус-Гордона. В этой модели распространению локальных конформационный возмущений соответствует односолитонное решение в виде кинка.
Получено явное аналитическое выражение эволюции скорости кинка в однородных полинуклеотидных цепочках при совместном действии диссипации и момента нестационарной внешней силы общего вида. Показано, что зависимость скорости локального конформационного возмущения от времени для периодической внешней силы, силы ступенчатого вида представляет собой незатухающие осцилляции в окрестности кривой тренда. Найдены и проанализированы аналитические выражения для кривых тренда.
Из анализа полученных точных решений линейного и нелинейного уравнения Фоккера-Планка установлено, что среднее значение импульса кинка затухает, а его дисперсия возрастает в условиях совместного влияния внешней случайной силы и диссипации. Влияние нелинейных стохастических эффектов приводит к тому, - что при
различных направлениях начального импульса кинка его ускорение со временем сменяется торможением. 4. В модели динамики локальных конформационных возмущений с параметрами, зависящими от концентрации оснований ДНК, рассчитаны динамические характеристики кинка в полинуклеотидных цепочках с бинарными последовательностями и с реальными последовательностями промоторов Аь Аг и А3 генома бактериофага Т7. Показано, что активация кинка в AT- и GC-цепочках и промоторе А] энергетически предпочтительнее по сравнению с другими бинарными цепочками и промоторами генома бактериофага Т7.
Кинк как модель локального конформационного возмущения в молекуле ДНК
В качестве динамической модели ДНК используется уравнение си ну с-Гордона, а его решение, имеющее форму кинка, рассматривается как математическая модель локального конформационного возмущения (ЛКВ) внутренней структуры ДНК [1-4]. Актуальность темы работы обусловлена тем, что фундаментальной проблемой физики живых систем на молекулярном уровне является изучение внутренней структуры и функций основных биомолекул и важнейшей из них — молекулы ДНК, которая принадлежит к классу биополимеров и осуществляет одну из основных биологических функций — сохранять и передавать генетическую информацию. Накопленный за много лет материал по исследованию структуры ДНК со времени ее открытия Иоганном Фридрихом Мишером в 1869 году [5], был собран и проанализирован Уотсоном и Криком [6, 7]. В результате ими была предложена модель двойной спирали ДНК, которая давала простое объяснение главных особенностей функционирования ДНК. Это открытие дало импульс интенсивному развитию биохимии, молекулярной биологии и генетики. Оно было отмечено Нобелевской премией в 1962 году и подробно описано в книге Уотсона "Двойная спираль" [8]. Наиболее характерные особенности этой структуры заключаются в следующем: 1. Две спиральные полинуклеотидные цепочки закручены вокруг общей «, оси. Цепочки направлены в противоположные стороны. і ! ! \ 2. Пуриновые (аденин (А), гуанан (G)) и пиримидиновые (тимин (Т), цитозин (С)) основания расположены внутри двойной спирали. 3. Диаметр спирали равен 20 А, расстояние между соседними основаниями вдоль спирали - 3.4 А. На рисунке 1 схематически изображена модель ДНК [8]. Цитозин Тимин Аденинн Гуанин Сахаро-фосфатный остов Рисунок 1 - Модель двойной спирали молекулы ДНК 4. Две цепочки удерживаются вместе водородными связями между основаниями, образующими пары. Пары образуются таким образом, что аденин (А) всегда спаривается с тимином (Т), а гуанин (G) - с цитозином (С). Поэтому цепи ДНК всегда комплементарны друг другу (см. рисунок 2). Комплементарность двойной спирали означает, что информация, содержащаяся в одной цепочке, содержится и в другой цепочке. Обратимость и специфичность взаимодействий между комплементарными парами оснований важна для репликации ДНК и всех остальных функций ДНК в живых организмах.
Силами, стабилизирующими структуру ДНК, являются: горизонтальные или водородные связи между основаниями внутри пар, вертикальные или стэкинговые взаимодействия между соседними основаниями по оси ДНК. Водородные взаимодействия. А-Т пара содержит две водородные связи, а пара G-C три водородные связи, поэтому на разрыв G-C пар требуется больше энергии. На разрыв одной А-Т пары требуется 6.96 10"20 (дж), а на разрыв G-C пары 10.43 х 10"20 (дж) [9]. Следовательно, длинные молекулы ДНК с большим содержанием G-C пар более тугоплавки [10]: Хотя, водородные связи слабы и не обладают высокой направленностью [7], они вносят вклад в стабильность спаривания по типу Уотсона-Крика, и следовательно, играют важную роль в кодировании генетической информации.
Стэкингоеые взаимодействия представляют другой тип сил, стабилизирующих структуру ДНК [11, 12]. Они удерживают одно основание над другим и формируют стопку оснований. Стэкинговые взаимодействия зависят так же от последовательности оснований [13-17]. Результаты квантово-химических вычислений показали, что стопки с высокой концентрацией G-C пар более стабильны, чем стопки с высокой концентрацией А-Т пар [4]. Поскольку водородные связи внутри пар легко разрываются в результате тепловых флуктуации, воздействий радиации, внешней среды [4, 18] при сохранении стэкинговых взаимодействий, это приводит к образованию и распространению открытых состояний или локальному конформационному возмущению вдоль одной из двух полинуклеотидных цепочек ДНК. Образование открытых состояний» играют важную роль в процессах хранения и передачи генетической информации.
Моделирование движений ЛКВ в одной из двух полинуклеотидных цепочек началось с первой работы, опубликованной Инглэндером в 1980 году [19]. В последующем был создан ряд простых базовых моделей ДНК [20, 21, 24, 23, 24], которые описывали внутренние движения в ДНК. Эти модели были использованы для интерпретации имеющихся экспериментальных данных, а также для объяснения некоторых элементов в сложном механизме функционирования ДНК [4]. В настоящее время исследования динамического поведения локальных конформационных возмущений активно развиваются с привлечением, как экспериментальных методов [25—27], так и методов компьютерного моделирования [28]. Математическое моделирование сложных биологических систем [29-36], внутренней подвижности молекулы ДІЖ [39-47] и использование построенных на их основе теоретических моделей [48-56] для изучения механизмов функционирования биомолекулы - одно из наиболее интересных и перспективных направлений физики живых систем.
Движение кинка в поле гармонической силы в условиях диссипации
Общая картина внутренней подвижности ДНК оказывается значительно сложнее. Кроме вращательных движений существуют продольные и поперечные смещения структурных элементов ДНК. Например, в работах [57, 58] описываются продольные смещения в ДНК с помощью нелинейного уравнения Буссинеска и нелинейной решетки Тоды. В этих работах полученные решения, нелинейных динамических уравнений используются для интерпретации данных по микроволновому поглощению ДНК.
Модели, учитывающие не только вращательные движения оснований, но и другие внутренние движения были предложены Волковым [59] и Крумханслом и Александром [60]. Так, в модели Волкова рассматривается движение Сахаров, а в работе Крумхансла и Александра - вращательные колебания азотистых оснований, подвижность Сахаров и продольных смещений нуклеотидов. Пейрард и соавторы [61, 62] детально исследовали поперечные движения и показали их важную роль в процессах денатурации ДНК. Модель, предложенная в работе [63, 64] была применена для исследования торсионных движений в ДНК.
Анализ моделей [20-64] проводился в основном методами компьютерного моделирования [65—72], а также аналитическими методами [73-77]. Методы компьютерного моделирования использовались в исследованиях динамики ЛКВ в моделях двойной спирали ДНК, в которых применение аналитических методов затруднено рядом сложных математических проблем. Сделанный выше вывод о том, что локальные конформационные возмущения распространяются вдоль одной из двух полинуклеотидных цепочек, позволяет обойти эти трудности. В данной работе исследована модифицированная модель Инглэндера и соавторов, описывающая вращательные движения оснований вокруг сахаро-фосфатного остова, имитирующие локальные конформационные возмущения вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек ДНК. Для такой модели влияние окружающей среды и состава полинуклеотиднои цепочки на динамику ЛКВ удается исследовать с помощью аналитических решений основных динамических уравнений моделей.
Целью данной работы является исследования аналитическими методами динамики локальных конформационных возмущений под действием окружающей среды и с учетом влияния структурной неоднородности полинуклеотиднои цепочки молекулы ДНК. Согласно поставленной цели, в работе решались следующие задачи: 1. Моделирование локальных конформационных возмущений (кинков) в однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочках молекулы ДНК. 2. Оценка физических характеристик (размера, энергии активации, плотности энергии и массы покоя) локального конформационного возмущения, распространяющегося вдоль А-, Т-, G- и С-цепочек без учета влияния внешней среды. 3. Исследование особенностей динамического поведения локального конформационного возмущения в А-, Т-, G- и С-цепочках под / действием окружающей среды с помощью энергетического метода и формализма стохастических дифференциальных уравнений. 4. Исследование влияния структурной неоднородности полинуклеотидной цепочки ДНК (наличие последовательности оснований) на характер динамического поведения локального конформационного возмущения. При решении поставленных задач нами впервые получены следующие основные результаты: 1. Сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований ДНК, имитирующие локальные конформационные возмущения в однородных полинуклеотидных А-,. Т-, G- и С-цепочках . 2. Рассчитаны физические характеристики локального конформационного возмущения (размер, энергия активации, плотность энергии и масса покоя) и построены профили нелинейных односолитонных волн в рамках рассматриваемой модели для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек без учета влияния внешней среды. 3. Получено аналитическое выражение для эволюции скорости кинка, распространяющегося вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G-и С-цепочек, с учетом влияния диссипации и нестационарных внешних полей специального вида.
Нелинейное уравнение Фоккера-Планка
Показано, что при одновременном действии периодической внешней силы и диссипации эволюция скорости кинка носит характер осцилляции относительно монотонно убывающего тренда. Для нестационарной внешней силы ступенчатого вида найдены условия торможения и ускорения кинка.
Определены условия, при которых влияния диссипации и постоянной внешней силы уравновешивают друг друга, позволяя кинку двигаться с постоянной скоростью вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G-и С-цепочек. В отсутствие влияния постоянной внешней силы рассчитаны динамические характеристики кинка (длина пути и время жизни) в А-, Т-, G- и С-цепочках.
Исследовано совместное влияние внешней случайной силы и диссипации на динамику кинка в рамках стохастического анализа в формализме уравнения Фоккера-Планка. На основе полученного точного решения уравнения Фоккера-Планка найдено, что среднее значение импульса кинка затухает, а его дисперсия возрастает в условиях совместного влияния внешней случайной силы и диссипации.
Влияние нелинейных стохастических эффектов на динамику кинка рассмотрено с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка с коэффициентом сдвига, зависящим от первого момента функции распределения импульса кинка. Установлено, что при специальном выборе начальных значений импульса кинка его ускорение со временем сменяется торможением.
Предложен подход, позволяющий исследовать влияние структурной неоднородности полинуклеотидной цепочки на характер динамического поведения кинка в бинарных последовательностях и реальных последовательностях промоторов Аь А2 и А3 генома бактериофага Т7. Показано, что активация кинка в AT- и GC-цепочках и промоторе Ai энергетически предпочтительнее по сравнению с другими бинарными цепочками и промоторами генома бактериофага Т7. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация объемом 117 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 143 наименований и включает в себя 4 рисунка, 59 графиков и 24 таблицы. В первой главе сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований в однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочках ДНК. Показано, что основное уравнение модели имеет вид уравнения синус-Гордона [19], коэффициенты которого определяются структурой молекулы ДНК [78]. Решение модельного уравнения - уравнения синус-Гордона, имеющее форму кинка, рассматривается как математическая модель локального конформационного возмущения. Рассчитаны профили нелинейных односолитонных волн - кинков для различных однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек и оценены физические характеристики: размер, энергия активации, плотность энергии и масса покоя кинка, распространяющегося вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек, которые позволяют выявить энергетически наиболее выгодные цепочки для активации кинка в отсутствие внешних воздействий.
В модели Инглэндера [19] не учитывается влияние внешней среды, однако в природе (in vivo), молекула ДНК находится в ядре клетки, т.е. в некоторой внутриклеточной жидкости. В лабораторных условиях (in vitro) ДНК находится в растворе. Для того, что бы учесть влияние внешних факторов на распространение кинков вдоль А-, Т-, G- и С-цепочек в динамическое уравнение синус-Гордона введены дополнительные слагаемые, имитирующие эффекты диссипации (/?) и влияние нестационарной внешней силы (F(t)).
Во второй главе для анализа, полученного модифицированного уравнения синус-Гордона используется энергетический метод, предложенный Мак-Лафлином и Скоттом [79], в котором предполагается, что под действием внешних факторов форма кинка сохраняется, а изменяются его параметры, основным из которых является скорость. Для того, чтобы проанализировать влияния внешнего воздействия общего вида на скорость кинка исследованы общие математические свойства уравнения эволюции скорости кинка и получены аналитические выражения, позволяющие в явном виде проанализировать совместное влияние диссипации (/?) и внешней нестационарной силы (F(t)). Под действием периодической внешней силы (F(t) = F0 cosQt) эволюция скорости кинка носит характер осцилляции относительно монотонно убывающего тренда. Показано, что найденное аналитическое выражение для скорости тренда может быть использовано для описания средней за период скорости. Проведен анализ влияния ступенчатой внешней силы на среднюю за период скорость кинка на различных временных интервалах и найдены условия торможения и ускорения кинка под действием этой силы [80]. Построены и проанализированы зависимости скорости кинка, распространяющегося вдоль однородных А-, Т-, G- и С-цепочек с помощью динамических параметров /, К и V, а. также модельных значений Р и FQ, в условиях одновременного действия: диссипации (/?) и периодической внешней силы (F(t) = F0cosQt); диссипации (/?) и постоянной внешней силы (F0) [81]; а также при /7 0, F0=0, и при Р = 0, F0 Ф 0 . При одновременном действии диссипации (/?) и постоянной внешней силы (F0) определены условия, при которых влияние диссипации и постоянной внешней силы компенсируют друг друга, позволяя кинку двигаться с постоянной скоростью вдоль однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек [82-85]. Воздействие окружающей среды носит нерегулярный, стохастический характер, обусловленный случайными столкновениями молекулы ДНК с молекулами внутриклеточной жидкости, тепловыми флуктуациями и т.п. Наличие таких флуктуации может быть учтено в рамках формализма стохастических дифференциальных уравнений [86]. В третьей главе с целью учета флуктуации в уравнение синус-Гордона введена случайная сила (V-D (t)). С помощью энергетического метода записано уравнение эволюции, как для скорости, так и для импульса кинка под действием случайной силы, которые имеют смысл, в соответствие с работой [87, 88], стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича. В соответствии с общими положениями стохастического-анализа [86] получено уравнение Фоккера-Планка, соответствующее стохастическому дифференциальному уравнению- для импульса. Данное уравнение Фоккера-Планка совпадает с уравнением, описывающим случайный процесс Орнштейна-Уленбека [89]. Получены явные аналитические выражения для функции распределения плотности вероятности, с помощью которых исследовано поведение среднего импульса и его дисперсии [90]. Полученные результаты были применены для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек.
Физические характеристики кинка в неоднородных полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК
В предположении, что рассматриваемый стохастический процесс является сложным и обладает стохастической обратной связью, дано описание его влияния на динамику импульса кинка с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка. Описание влияния такого стохастического процесса на динамику импульса кинка построено с помощью нелинейного уравнения Фоккера-Планка [91]. Получены явные аналитические выражения для функции распределения и проведен анализ поведения среднего значения импульса и его дисперсии при совместном воздействии диссипации и случайной силы со стохастической обратной связью для однородных полинуклеотидных А-, Т-, G- и С-цепочек.
Молекула ДНК неоднородна [6, 7] поскольку содержит четыре вида азотистых оснований: аденин (А), тимин (Т), гуанин (G) и цитозин (С), которые образуют последовательность, специфичную для каждого живого организма.
В четвертой главе исследовано влияние структурной неоднородности молекулы ДНК на динамику кинка посредством введения концентрационных зависимостей СЛ, Ст, Со и GQ оснований А, Т, G и С в коэффициенты уравнения синус-Гордона. Получены аналитические выражения определяющие основные динамические характеристики кинка: его размер, энергию активации, плотность энергии, массу покоя и скорость распространения в: неоднородных; полинуклеотидных цепочках. Проиллюстрированы возможности метода, в исследовании особенностей, динамики кинка в бинарных полинуклеотидных цепочках и в реальных последовательностях промоторов Аь А2 и А3 генома бактериофага Т7.
Теоретические исследования, результаты которых изложены в данной диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре теоретической физики совместно с Институтом биофизикшклетки Российской Академии Наук (ИБК РАН г. Пущино).
Основные результаты диссертации докладывались на XI Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2004; XII Международном Симпозиуме по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул г. Пущино, 2004; «XVI Международной летней школе-саминар по современным проблемам теоретической и математической физике. Петровские чтения», Казань, 2004; XII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Пущино 2005; XIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2006; X Пущинской школе-конференции молодых ученых «Биология - Наука XXI века» г. Пущино, 2006; XIII Международном Симпозиуме по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул г. Санкт-Петербург, 2006; XIV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» г. Пущино, 2007; Международной междисциплинарной научной конференции. Третьи Курдюмовские чтения: «Синергетика в естественных науках», г. Тверь, 2007; X междисциплинарной научной конференции МГТУ "СТАНКИН" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатики г. Москва 2007; Международной конференции «Albany 2007 The 15th Conversation» New York 2007; Международной конференции «Dynamical Methods and Mathematical Modelling» Spain 2007; XV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» г. Дубна, 2008. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах [78, 80-85,90,98,117]. Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: профессору Шаповалову Александру Васильевичу и доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику ИБК РАН Якушевич Людмиле Владимировне, за постоянное внимание к работе, неизменную поддержку, заинтересованное обсуждение и доброжелательную критику получаемых результатов. Автор благодарен профессору Багрову В.Г. за моральную поддержку и внимание к диссертационной работе, а также всем сотрудникам кафедры теоретической физики и кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета и сотрудникам лаборатории механизмов функционирования клеточного генома, сотрудникам лаборатории структуры и динамики биомолекулярных систем Института биофизики клетки РАН (г. Пущино) за доброжелательное отношение и постоянную дружескую поддержку. Я посвящаю свою диссертацию светлой памяти своего отца Краснобаева Александр Яковлевича. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично как в постановке задач, так и в проведении непосредственных аналитических и численных расчетов. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные положения, которые выносятся на защиту: 1. Сформулирована математическая модель, описывающая вращательные движения оснований ДНК, имитирующие локальные конформационные возмущения в четырех возможных типах (А-, Т-, G-и С-) однородных полинуклеотидных цепочек молекулы ДНК, в виде модифицированного уравнения синус-Гордона. В этой модели распространению локальных конформационный возмущений соответствует односолитонное решение в виде кинка. 2. Получено явное аналитическое выражение эволюции скорости кинка в однородных полинуклеотидных цепочках при совместном действии диссипации и момента нестационарной внешней силы общего вида. Показано, что зависимость скорости локального конформационного возмущения от времени для периодической внешней силы, силы ступенчатого вида представляет собой незатухающие осцилляции в окрестности кривой тренда. Найдены и проанализированы аналитические выражения для кривых тренда. 3. Из анализа полученных точных решений линейного и нелинейного уравнения Фоккера-Планка установлено, что среднее значение импульса кинка затухает, а его дисперсия возрастает в условиях совместного влияния внешней случайной силы и диссипации. Влияние нелинейных стохастических эффектов приводит к тому, - что при различных направлениях начального импульса кинка его ускорение со временем сменяется торможением. 4. В модели динамики локальных конформационных возмущений с параметрами, зависящими от концентрации оснований ДНК, рассчитаны динамические характеристики кинка в полинуклеотидных цепочках с бинарными последовательностями и с реальными последовательностями промоторов Аь Аг и А3 генома бактериофага Т7. Показано, что активация кинка в AT- и GC-цепочках и промоторе А] энергетически предпочтительнее по сравнению с другими бинарными цепочками и промоторами генома бактериофага Т7.
