Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Новая модель для описания нелинейных пространственных волн на поверхностях раздела неглубоких слоев жидкостей
1.1 Эволюция трехмерных умеренно длинных возмущений свободной поверхности слоя вязкой жидкости 21
1.2 Распространение пространственных волн на границе раздела двух неглубоких слоев вязких жидкостей 31
1.3 Динамика трехмерных возмущений на поверхности раздела двух горизонтальных потоков 44
Заключение 59
Глава 2 Моделирование умеренно длинных волн на границе раздела горизонтального двухслойного течения Пуазейля
2.1 Определение картины возмущенного течения 63
2.2 Динамика плоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока 73
2.3 Эволюция квазиплоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока 83
Заключение 97
Глава 3 Использование тензорного подхода для моделирования волновых течений пленок жидкости
3.1 Моделирование напряжений на пленке жидкости, обтекаемой турбулентным потоком газа 99
3.2 Дивергентная система для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости 116
Заключение 129
Приложение 130
Список цитируемой литературы
- Распространение пространственных волн на границе раздела двух неглубоких слоев вязких жидкостей
- Динамика трехмерных возмущений на поверхности раздела двух горизонтальных потоков
- Динамика плоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока
- Дивергентная система для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости
Введение к работе
Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью теоретического осмысления богатого экспериментального материала, посвященного широко распространенному как в естественных, так и в искусственных условиях явлению волн на границах раздела, а также пленочному и расслоенному режимам двухфазного течения, активно используемых в промышленных тепломассообменных аппаратах и системах охлаждения.
Разработка новых математических моделей позволяет глубже понять механизмы распространения и взаимодействия нелинейных волн в каналах различной геометрии и, в перспективе, найти ответы на фундаментальные вопросы физики моря, связанные с динамикой поверхностных и внутренних гравитационных волн, а также со взаимодействием волн и течений. Внутренние гравитационные волны, вследствие малости относительных скачков плотности жидкости, обыкновенно имеют низкую скорость распространения, сравнимую со скоростями стационарных течений, и достаточно большую амплитуду, что приводит к их сильному взаимному влиянию и оказывает значительное воздействие на динамику океана в целом.
Важнейшие, с точки зрения приложений, задачи устойчивости расслоенного режима течения двухкомпонентной среды имеют непосредственное отношение к эволюции линейных и нелинейных возмущений границы раздела. Описание нелинейных волновых режимов в области их линейной неустойчивости имеет большое значение для расширения границ режимной карты двухфазных потоков и определения наиболее важных параметров течения в различных технологических задачах.
Постоянное требование уменьшения размеров теплообменных установок с одновременным повышением их эффективности приводит к необходимости активного применения пленочного режима течения совместно со спутным потоком газа. Существенная нелинейность возмущений, подвижность границы раздела, а также турбулентное трение со стороны газовой фазы делают задачу чрезвычайно сложной для теоретического анализа. Для ее решения необходимо построение адекватных математических моделей при одновременном развитии соответствующих вычислительных методов.
Основная цель данной работы состоит в разработке новых подходов к моделированию распространения волн малой, но конечной амплитуды на свободной поверхности одного слоя жидкости и на границе раздела двух различных жидкостей, как в отсутствии, так и при наличии в слоях стационарных ламинарных течений, а также в детальном анализе и совершенствовании существующих методов решения задачи об эволюции длинных нелинейных волн на стекающей, обдуваемой турбулентным потоком газа, пленке жидкости.
Научная новизна состоит в том, что в работе получены новые уравнения и системы, а также использованы оригинальные методики их вывода:
Разработан новый подход для моделирования распространения существенно трехмерных волн малой, но конечной амплитуды в неглубоких слоях жидкости.
Выведено эволюционное уравнение для нелинейных волн на границе раздела двухслойного течения Пуазейля. При его получении использованы результаты численного решения уравнения Орра-Зоммерфельда для нахождения профилей возмущенных скоростей в слоях.
В результате проведенного математического анализа взаимного соответствия моделей для расчета турбулентного трения газа о жесткую волнистую стенку: Бенджамина, Абрамса-Ханратти и модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень, выведено модернизированное уравнение Бенджамина с корректным учетом тензора турбулентных напряжений.
Получена новая дивергентная система нелинейных уравнений для пленки жидкости, свободно стекающей по вертикальной плоскости в системе координат, преобразующей неизвестную заранее область течения в полосу, постоянной ширины.
Предложен метод вывода эволюционных систем для задач со свободными границами на основе специального преобразования координат в системе уравнений релятивистской гидродинамики.
Научная и практическая ценность разработанных моделей и подходов к решению эволюционных задач состоит в их относительной простоте, позволяющей анализировать механизмы волновых явлений, используя только надежные, хорошо зарекомендовавшие себя аналитические и численные методы. Алгоритмы получения модельных уравнений могут быть применены в других областях физики нелинейных волн. Перспективной является возможность рассматривать нелинейное эволюционное уравнение для гравитационных волн в двухслойном течении Пуазейля, как уравнение, описывающее развитие неустойчивости границы раздела от бесконечно малых к конечным возмущениям. Использование бескоординатного тензорного подхода, как для чисто пространственных, так и для пространственно-временных задач, позволяет единообразно и математически строго делать практически произвольные замены переменных, что может быть полезно для весьма широкого спектра проблем.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классических допущений и приближений при аналитическом выводе модельных уравнений и систем. Все уравнения и системы проверялись на соответствие с известными моделями в предельных случаях. Численные алгоритмы тестировались на аналитических решениях типа уединенной волны. В случае, когда аналитическая проверка оказывалась затруднитель-
ной (уравнение Орра-Зоммерфельда и аналогичное уравнение Бенджамина), для проверки корректности результатов использовалось два независимых метода решения.
Автор защищает следующие положения и результаты диссертации:
Систему уравнений для описания динамики слабонелинейных пространственных возмущений на поверхности одного слоя идеальной жидкости с медленно меняющейся глубиной. Уравнения для плоских волн, распространяющихся в двух направлениях и для аксиально-симметричных возмущений, полученные на основе данной системы. Аналогичные системы уравнений для волн на границе раздела двух вязких жидкостей в горизонтальном канале и двух идеальных жидкостей, стационарно текущих с постоянными по глубине скоростями.
Метод численного решения выведенной системы, использующий неявную схему «предиктор-корректор» для основного эволюционного уравнения и быстрое преобразование Фурье для вспомогательных уравнений.
Результаты расчетов по уравнению Орра-Зоммерфельда профилей вертикальной и горизонтальной скоростей для умеренно-длинных гравитационных возмущений границы раздела двухслойного течения Пуа-зейля.
Эволюционное уравнение для плоских нелинейных волн на границе раздела сдвигового ламинарного течения в горизонтальном канале, (коэффициенты уравнения рассчитываются по найденным профилям). Нелинейное эволюционное уравнение для квазиплоских возмущений границы раздела двухслойного течения Пуазейля в приближении линейности профилей вертикальных скоростей жидкостей.
Вывод основных уравнений моделей Бенджамина и Абрамса-Ханратти для определения нормальных и касательных напряжений турбулентного потока газа на волнистой поверхности из модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень путем корректной подстановки тензора рейнольдсовских напряжений взятого из соответствующей модели. Модернизированное уравнение Бенджамина, явно включающее тензор турбулентных напряжений.
Дивергентную систему уравнений для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости. Методику вывода этой системы из системы уравнений релятивистской гидродинамики на основе преобразования координат, переводящего область течения в вертикальную полосу. Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях:
IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям» (Красноярск, 2003), IX и X конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2004 и 2008), Всероссийская конфе-
ренция «Новые математические модели в механике: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), XXI и XXII Международные конгрессы по теоретической и прикладной механике (Варшава, 2004; Аделаида, 2008), Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, 2004, Павлодар 2006), Всероссийская конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2004), VI Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005), Всероссийские конференции «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2005 и 2008), XXVIII Сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005), VI Европейская конференция по механике жидкости и газа (Стокгольм, 2006), Международная конференция «Рубежи нелинейной физики» (Нижний Новгород, 2007), Международный семинар «Явления переноса с подвижными границами» (Берлин, 2007), Международная конференция «Двухфазные системы для космических и земных приложений» (Брюссель, 2008), Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008). На всех этих мероприятиях докладывались и обсуждались основные результаты диссертации.
Кроме того, ряд разделов данной работы был поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-01-00183, 06-08-01501 и 07-01-00574), Советом по господдержке ведущих научных школ Российской Федерации (гранты НШ-6749.2006.8 и НШ-4366.2008.8), СО РАН и ИНТАС (грант 06-1000013-9236).
Работа опубликована в 31 научном труде (в отечественных и зарубежных изданиях). Основными из них являются 9 наименований, список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора в защищаемую работу является следующим: вывод всех модельных нелинейных эволюционных уравнений и систем, нахождение их аналитических решений, разработка численного алгоритма и проведение расчетов для первой главы диссертации, а также анализ полученных результатов. Постановки задач для первых двух глав принадлежат Г.А.Хабахпашеву, постановка задачи для третьей главы - С.В.Алексеенко. Вывод системы для пространственных волн и уравнения для волн на двухслойном сдвиговом течении разработан совместно с Г.А.Хабахпашевьш. Модернизация первоначальной версии программы расчета пространственных возмущений проведена Н.С.Сафаровой. Детерминантный метод решения уравнения Орра-Зоммерфельда реализован И.А.Верещетиным. Массой полезных обсуждений и консультаций автор обязан О.Ю.Цвелодубу.
Структура и объем диссертации: работа состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащего 82 наименования; общий объем диссертации- 125 страниц, включая 18 рисунков.
Распространение пространственных волн на границе раздела двух неглубоких слоев вязких жидкостей
Несмотря на эффективность разработанной авторами методики, расчеты показывают, что аналитические выражения для профилей скоростей и, соответственно для коэффициентов уравнения остаются справедливыми только при относительно малых скоростях потока.
В последнее время интерес к исследованиям по взаимодействию волн и сдвиговых течений возрастает (см. [Степанянц и Фабрикант (1996), Ляпидевский и Тешуков (2000)]). Модельные уравнения для внутренних волн, учитывающие стационарные потоки идеальных жидкостей с кусочно-постоянной зависимостью скорости от глубины предложены в [Пелиновский и др. (2000), Grimshaw et al. (2002)]. Эволюционное уравнение для возмущений границы раздела двухслойной системы с учетом диссипации, но в отсутствие установившегося течения выведено в [Hooper &; Grimshaw (1985)]. В данной работе предлагается вывод модельного эволюционного уравнения для умеренно-длинных волн на границе раздела двухслойного течения Пуазейля.
Начиная с первых экспериментов [Капица (1948)] исследование волн на поверхности жидких пленок интересует исследователей всего мира. Прикладная значимость пленочных течений обусловлена широким использованием их в технологических процессах химической промышленности, металлургии, энергетике. Для теоретического описания волн на поверхности пленки требуется решить в полной постановке систему уравнений Навье-Стокса с кинематическими и динамическими граничными условиями. При этом основными параметрами являются отношение невозмущенной толщины пленки к длине волны б = h/X и характерное число Рейнольдса. В случае, когда (Re І/є) систему уравнений можно свести к системе пограничного слоя [Капица (1948), Алексеенко и др. (1992), Бочаров (2004)]. Несмотря на то, что на основе этой системы проводились расчеты (см., например, [Демехин и др. (1983), Гешев и Ездин (1985), Chang et al (1993)] необходимо разрабатывать более эффективные алгоритмы для решения задачи, ввиду сложности течения. В практических приложениях зачастую пленочное течение сопровождается спутным турбулентным потоком газа, оказывающего значительное влияние на волновое движение. Решение сопряженной задачи чрезвычайно трудоемко, поэтому обычно (см., например, [Гугучкин, Демехин и др. (1979)] задача разделяется на две: определение напряжений газ на поверхности плен История и современное состояние проблемы ки жидкости и моделирование течения пленки в известном поле напряжений на границе.
Одним из наиболее эффективных методов решения задач со сложными подвижными и неподвижными границами является метод адаптивных сеток [см., например, [Хакимзянов, Шокин, Барахнин, Шокина (2001)]. Его реализация основана на преобразованиях координат, позволяющих сделать граничные условия более простыми. Для пленочных течений подобные методы рассматривались ранее [см., например, Гешев и Ездин (1985)]. Однако при этом не производилось полного преоразования координат, а делалась только замена переменных. В третьей главе диссертации на примере двух задач пленочных течений продемонстрированы возможности применения полных тензорных преобразований координат как для неподвижных, так и для подвижных сеток.
Первая глава данной работы посвящена моделированию трехмерных волн в слоях, как первоначально покоящейся жидкости, так и системы двух несме-шивающихся жидкостей, стационарно движущихся в прямоугольном канале. Несмотря на «классичность постановки, задача и сейчас вызывает большой интерес гидромехаников, а также инженеров-проектантов прибрежных и морских конструкций, защитных береговых сооружений. Значительное внимание к внутренним волнам в стратифицированной жидкости и, в особенности, к волнам на границах раздела течений уделяют океанологи, Кроме того, с известной долей условности к стратифицированным двухслойным течениям относят также раздельные двухфазные потоки, характеризующиеся большим отношением плотностей сред. Волны на границах раздела таких течений являются одним из наиболее широко исследуемых объектов в теплофизике и энергетике.
Во второй главе представлена новая нелинейно-дисперсионная модель, позволяющая рассчитывать взаимодействия существенно трехмерных возмущений, движущихся под произвольными углами друг к другу. Для получения модельной системы уравнений был несколько модернизирован подход, активно разрабатываемый Г.А.Хабахпашевым [Хабахпашев (2005)], а также предложено сохранить вектор скорости в нелинейных членах основного эволюционного уравнения, и, по аналогии с моделью Джонсона, выписать для него линеаризированное уравнение неразрывности. В задачах о локализованных или периодических возмущениях это дополнительное уравнение легко решается в Фурье-пространстве так, что машинное время затрачиваемое на него на каждом расчетном шаге пренебрежимо мало по сравнению с временем решения основного эволюционного уравнения. Интересно отметить, что полученная
Краткая характеристика диссертации система уравнений имеет точное решение в виде уединенной стационарно-бегущей волны, которое удобно использовать для тестирования численной схемы. Солитон тонко чувствует численные и алгоритмические ошибки, так как в нем уравновешены дисперсионные и нелинейные эффекты, представляемые в рамках выбранных предположений членами второго порядка малости.
Краткая характеристика диссертации Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью теоретического осмысления богатого экспериментального материала, посвященного широко распространенному как в естественных, так и в искусственных условиях явлению волн на границах раздела, а также пленочному и расслоенному режимам двухфазного течения, активно используемых в промышленных теп-ломассообменных аппаратах и системах охлаждения.
Разработка новых математических моделей позволяет глубже понять механизмы распространения и взаимодействия нелинейных волн в каналах различной геометрии и, в перспективе, найти ответы на фундаментальные вопросы физики моря, связанные с динамикой поверхностных и внутренних гравитационных волн, а также со взаимодействием волн и течений. Внутренние гравитационные волны, вследствие малости относительных скачков плотности жидкости, обыкновенно имеют низкую скорость распространения, сравнимую со скоростями стационарных течений, и достаточно большую амплитуду, что приводит к их сильному взаимному влиянию и оказывает значительное воздействие на динамику океана в целом.
Динамика трехмерных возмущений на поверхности раздела двух горизонтальных потоков
Представленные на рис. 2.2, результаты расчетов показывают, что при малых скоростях стационарного потока профиль практически линеен. С увеличением скорости течения в верхнем слое выпуклость профиля вниз возрастает, и при с maxwoi(-z) (для значений параметров рис. 2.2 UQ РУ 1.25 или с pa 1.86с0, где с0 = у/д Ь,\Ь,2{р2 Рі)/(рі 2 + Р2Ы)) в верхней части данного слоя возмущенного движения нет.
Отметим, что аналогичная картина наблюдается и в нижнем слое, если скорость стационарного течения достигает максимальной величины именно в нем. Принципиально важно, чтобы трение в установившемся сдвиговом потоке меняло знак. Например, для двухжидкостного течения Куэтта подобные
решения получить нельзя. Таким образом, при увеличении скорости потока наблюдается сужение области волнового движения в одном из слоев (между границей раздела и критическим уровнем, т. е. линией, на которой скорость стационарного потока достигает значения фазовой скорости). Это явление можно назвать экранированием или блокировкой линейных гравитационных возмущений в критическом слое.
Провести анализ для скоростей выше критической в рамках описанного выше подхода достаточно сложно, так как не удается проинтегрировать уравнение (2.6). Для преодоления этой трудности необходимо учесть отброшенные ранее члены уравнения, ответственные за эффекты дисперсии и диссипации. Линеаризуем систему уравнений (2.2) - (2.4), а затем продифференцируем уравнение (2.3) по координате z, а уравнение (2.4) по координате х и вычтем результаты друг из друга, чтобы исключить давление. Далее, используя уравнение неразрывности, заменим в получившемся уравнении горизонтальные скорости на вертикальные и будем искать решение в виде: wi = wia Wi(z) exp[ia(x — ct)]. Таким образом, получим известные в теории гидродинамической устойчивости уравнения Орра-Зоммерфельда для каждого слоя:
Важно указать, что для обезразмеривания данных уравнений обычная нормировка на скорость течения не подходит так, как безразмерная фазовая скорость гравитационных волн с = CQ/U — оо при уменьшении скорости течения. Поэтому в качестве характерной скорости выбиралось значение л/ghi, а в качестве характерного размера - hi, тогда: dz4 dz2 (и- - )- ] " где Rei = y/ghihi/пщ. Запишем условия прилипания на крышке и дне: dWo W2(-h2/hi) = 0, - (-h2/hi) = О Wi(l) = 0, L(l) = 0 (2.10) и условия непрерывности скорости жидкости, а также касательных и нормальных напряжений на границе раздела: W2{0) = Wi{Q) = Wi 2.1 Определение картины ... —— (0) - В2ЩІ = —— (0) - Віщі - = az с — ЩІ az с — щі С — ЩІ )+ж 0 - )) = U j+ fe(SW-3 (0))) (2.П) Здесь использовано кинематическое условие Wi — (ЩІ — c)dr]/dx.
При высоких значениях параметра aRe уравнение (2.9) становится жестким, что существенно затрудняет его численное решение. В данной работе, были использованы три различных метода решения краевой задачи (2.9) -(2.11). Наиболее универсальным методом решения линейных уравнений является «метод стрельбы». Перепишем уравнения (2.9) в виде систем: dVt dTi Г = ТЬ — = aVi + 6i, az az где гйТІ Хі = iaRe(Ui - С), Й = -юЛе-ту, р2 = a2 -f- A/ Для удобства введем вектор #2 = (V/, 2], 0/, 5/), компоненты которого полностью определяют решение задачи (2.9) - (2.11). Существует по два линейно независимых решения системы в каждом слое, удовлетворяющих граничным условиям на крышке и дне соответственно: Z&) = KZU(Z) + \Zi2(z) Z2(z) = \xZ2X{z) + aZ22(z) где к, А, ц, a - произвольные константы. Здесь и далее в параграфе жирным шрифтом (например Z) выделены матрицы и вектора. Выберем значения Zu и Z[2 на крышке и дне: 5Гц = (0,0,1,0) = (0,0,0,1) Очевидно, что при этом векторы Z\\ и Z\2 линейно независимы и удовлетворяют граничным условиям на крышке и дне. Решая задачу Коши для системы 2.1 Определение картины ... 68 уравнений (2.12) с такими граничными условиями в каждом слое, находим значения Zn(0) и Z ip). Далее перепишем условия на границе раздела (2.11) в матричной форме: Аи = 0 (2.13) где вектор и = (к, А, а, у).
Для существования нетривиального решения необходимо чтобы определитель матрицы А был равен нулю. В данном случае параметром задачи является фазовая скорость С так, что из уравнения А (С) = 0 методом Ньютона находится собственное число задачи. После этого, с точностью до нормировки находим значения величин к, Л, сг, /х и получаем решение системы (2.12) в каждом слое. При небольших значениях параметра aRe такой метод позволяет получить профили вертикальной скорости достаточно просто, однако с увеличением этого значения проинтегрировать систему (2.12) становится невозможно даже методом Рунге-Кутта (7-8 порядка) так, как ошибки округления накапливаются чрезвычайно быстро. Поэтому расчеты в этой области параметров проводились с использованием расширенной арифметики ( с сохранением до 50 знаков в числах с плавающей точкой) что потребовало гигантских объемов вычислений.
Для решения задач теории устойчивости широкое распространение получил метод дифференциальной прогонки [Абрамов(1961), Бахвалов(1975), Гольдштик и Штерн(1977)]. Запишем систему уравнений (2.9) - (2.11) в матричном виде: Z = AZ Выпишем таким же образом граничные условия на дне: MZ = 0 (2.14) Предположим, что матрица М зависит от переменной z, тогда продифференцировав уравнение (2.14), находим: (М + MA) Z = 0 М = -МА (2.15) Это уравнение можно рассматривать как уравнение для поиска подпространства решений системы (2.12), удовлетворяющих граничным условиям (2.10), в любой точке z. Разрешим систему (2.14) относительно переменных (T,v): Т - BnS + В12в, v = B2lS + В220 2.1 Определение картины ... 69 тогда уравнение (2.15) представляется следующим образом: B n = (а2 - цВп)В21 - В12, В 12 = 1 + а2В22 - (МВ22 + р2)Вп В21 = Вп - В22 - (лВ2ъ В22 = В12 - (fj,B22 + р2)В21 В случае, когда скорость потока равна нулю, данная нелинейная система дифференциальных уравнений вырождается в линейную и оказывается, также, как исходное уравнение (2.9) жесткой. Поэтому, вопреки ожиданиям, получить достоверные результаты с помощью метода дифференциальной прогонки не удалось.
В работе [Желтухин(1973)] предложен эффективный метод решения уравнения Орра-Зоммерфельда, названный автором детерминантным . В зарубежной печати этот метод ассоциирован с циклом статей [Ng &; Reid (1979), (1985)], где он получил название Compound matrix method». Впервые, по-видимому, для расчета двухслойных задач он был использован в работах [Yiantsios (1986)],[Yiantsios & Higgins (1986),(1988)], где проведен анализ устойчивости основных гидродинамических мод в двухслойном течении Пуазей-ля. Следуя статье [Yiantsios & Higgins (1988)], представим уравнения Орра-Зоммерфельда в каждом слое в виде систем: ф = F0, 0 х 1 ф = G-ф, -h2jhi х 0 (2.16) а граничные условия на крышке, дне и границе раздела в виде: Вф{1) = 0, Q -h h) = О Рф{0) + вф(0) = 0 (2.17) Любое решение задачи в верхнем слое, удовлетворяющее двум условиям на крышке может быть представлено в виде суперпозиции двух линейно независимых векторов, аналогично для решения в нижнем слое с условиями на дне, поэтому запишем:
Динамика плоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока
Таким образом, коэффициенты при всех членах определяются только физическими (д, а, /Зі, р2, i i, v2 и им) и геометрическими (hi, h2) параметрами задачи. Важно отметить, что полученное в рамках теории возмущений уравнение, использует рассчитанные по линейному приближению профили вертикальной скорости, которые могут при значительных по сравнению с характерной скоростях течения существенно отличаться от линейных.
На рисунках 2.5 и 2.6 продемонстрировано поведение коэффициентов уравнения (2.40) в зависимости от величины и направления стационарного потока. Видно, что спутное течение меньше меняет суммарный коэффици 2.2 Динамика, плоских нелинейных... ент при дисперсионном члене CJ, чем противоток. Наличие поверхностного натяжения приводит к тому, что при некоторых значениях отношения глубин жидкостей этот коэффициент может быть не только положительным, но и отрицательным. Что касается суммарного коэффициента при нелинейных членах Cjy, то он изменяется почти линейным образом (особенно когда глубина нижнего слоя больше глубины верхнего). Лишь при противотоке в ситуациях, когда глубина верхней жидкости больше глубины нижней, кривизна становится заметной. Интересно, что в широком интервале значений отношения глубин слоев и данный коэффициент может менять свой знак только благодаря зависимости от скорости установившегося течения при неизменности остальных параметров системы.
Нелинейные решения модельного эволюционного уравнения. Проанализируем частные и предельные случаи исследуемой задачи. Получившееся модельное уравнение подобно модифицированному уравнению Буссинеска [Хабахпашев (1990)] и, соответственно, уравнению Кортевега - де Вриза (например, [Карпман (1973), Уизем(1977)]), хотя сложнее, чем они. Для поиска установившихся решений данного уравнения перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с возмущением (со скоростью U). В итоге, приходим к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка г2 0 = Iу2 - u »(i + sf) -4 + 4 s,] -Сп% где = х — Ut. Решения уравнения (2.41) содержат эллиптические функции Якоби, т. е. они являются кноидальными волнами (также [Карпман (1973), Уизем(1977)]): V = lcnCn2[- -): Lm = mUmJ-! (2.42) JcnJ V Vcn n Uan = «ОІ(1 + Sf) + \ul{l - Sjf + eg + VcnCn(2 - m-2) Здесь m - модуль эллиптической функции Якоби. На рис.2.7 продемонстрировано влияние модуля и направления скорости стационарного потока на форму возмущений. Как было показано в предыдущем разделе, при данном значении отношения равновесных глубин слоев воды и анилина коэффициент при нелинейном члене См не только заметно изменяется по величине, но и по знаку, а суммарный коэффициент при дисперсионном члене в уравнении (2.40) не меняет свой знак. Таким образом, в
Профили кноидальных волн при Г)сп/Н = 0,1, р\/р2 = 0,98, V\/v 2 — 0,23, /г://г2 = 0, 8, hi = 22 мм, а — 45 мН/м, J = 0,96 и различных значениях скорости и 0. рассматриваемой ситуации именно этим определяются длины кноидальных волн и их профили, т. е. что является более острым - вершины или впадины. Уединенные решения уравнения (2.41), как обычно, найдем, если параметр m — 1 и перейдем от эллиптического косинуса к гиперболическому
Для этих возмущений, конечно, наблюдается логичная картина (см. рис. 2.8). Спутное течение увеличивает, а противоток уменьшает ширину волны, когда коэффициент Cd 0. Если же знак в этом неравенстве другой, то и эффект влияния стационарного течения будет обратным. Видно, что величина и направление установившегося потока могут изменять как длины волн, так и их полярность.
Исходные уравнения Стокса и уравнения неразрывности для возмущенного движения несжимаемой жидкости в каждом слое запишем в форме: + uQl-Vul+wl +urVul+wl + -Vpi = vl [y2ui + -Q ) (2-45) дщ V Ul dJ = 0 (2 47) Здесь и - горизонтальная компонента вектора скорости жидкости; w - вертикальная составляющая скорости жидкости. Сделаем обычные предположения: 1) характерный горизонтальный размер волны lw существенно больше, а амплитуда возмущения ца значительно меньше равновесных глубин слоев hi {hiflw є1!2, r]a/hi є, где є - малый параметр), 2) капиллярные эффекты невелики (модифицированное число Бонда Во = (р2 — Pi)gh\h2/cr 1, где а - поверхностное натяжение), 3)толщина пограничных слоев для возмущенной скорости остается малой, т. е. время распространения нестационарного пограничного слоя на толщину жидкости значительно больше характерного времени прохождения волны через какую-либо точку исследуемой области канала tw (числа гидродинамической гомохронности Но = uitw/hf є2). Кроме того, скорость стационарного течения будем считать небольшой по сравнению с фазовой скоростью волн (uQi/c є).
Дивергентная система для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости
Видно, что уравнения (3.30) и (3.44), а также граничные условия (3.35) - (3.36) и (3.45) совпадают, то есть функция F{rj), получаемая в результате решения задачи в координатах Бенджамина, идентична функции F(y), являющейся решением задачи в декартовых координатах при использовании метода переноса граничных условий на невозмущенный уровень. Более того, сравнение (3.41) и (3.47) показывает, что результирующие напряжения, получаемые в двух этих подходах в точности равны между собой. Таким образом, при выборе тензора рейнольдсовских напряжений в виде (3.26), результаты расчетов напряжения на пленке по уравнению (3.25) идентичны результатам, полученным в модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень.
В случае с выбором тензора в виде (3.31) несложно видеть, что граничные условия (3.35) - (3.36) и (3.45) одинаковы, но уравнение (3.32) , содержит по сравнению с (3.44), дополнительные члены с высокими производными от профиля течения. Поэтому очевидно, что результаты, полученные по модели Бенджамина будут отличаться от результатов модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень.
Отметим также, что предлагаемый в параграфе тензорный подход был применен автором для получения уравнения модели Абрамса-Ханратти, учитывающей также как и уравнение (3.25) тензор рейнольдсовских напряжений в линеаризованном виде. Для этого была использована система координат пограничного слоя и соответствующий выбор функции тока [Abrams & Hanratty (1985)]. В литературе, предложено немало формул для профиля осредненного турбулентного течения над плоской поверхностью. В данной работе использован непрерывный профиль, предложенный в работе [Гешев (1981)]: U0{y)/v = 4.33Ц1 + 0.091у/6] + 5.59arctan[0.116y/ - 0.492] -0.915Ц1 - 0№2у/8 + 0.0108(у/ )2] здесь v - динамическая скорость, 5 - толщина пограничного слоя.
Для численного решения уравнений Орра-Зоммерфельда (3.44) и Бенджамина (3.32), был использован метод дифференциальной прогонки, описанный во второй главе диссертации. Рассчитанные по этим моделям, реальные и мнимые части возмущения касательного напряжения, нормированные на величину стационарного трения, приведены на Рис.3.2. Видно, что при до 3.1 Моделирование напряжений... статочно больших числах Рейнольдса, результаты не совпадают даже качественно.
Подводя итоги, важно отметить, что используемый в работе тензорный подход позволяет получить уравнения типа (3.25) или уравнения Абрамса-Ханратти в любых системах координат, однако если ограничиться только ортогональными системами, то, по-видимому все интересные системы представляются тремя перечисленными выше: декартова, система координат (3.1)
Реальная (сверху) и мнимая (снизу) компоненты возмущения трения нормированные на невозмущенное значение трения над плоской поверхностью в зависимости от числа Рейнольдса. Сплошная линия - модель переноса граничных условий, прерывистая - модель Бенджамина.
На Рис.3.3. качественно показаны координатные линии каждой из систем. Значительное преимущество системы координат Бенджамина, по сравнению с координатами пограничного слоя связано с их конформностью: ш = z — iaeiaz позволяющей использовать развитый математический аппарат теории аналитических функций для анализа. Как показано в данном параграфе, результаты по вязким напряжениям на границе, получаемые в любой из этих систем координат идентичны при одинаковом выборе тензора Рейнольдсовых напряжений. Различия между моделями определяются выбором вида этого тензора, неявно (в случае уравнения Бенджамина) или явно (в случае уравнения Абрамса-Ханратти и данной работы) вводимого в уравнение. Рис.3.4. грубо демонстрирует данное утверждение. Если пренебречь искривленностью
Координатные линии декартовой системы, системы Бенджамина и системы пограничного слоя границы, то все различие между подходами, например, переноса граничных условий и Бенджамина сводится к тому, что тензор турбулентных напряжений, связанный с невозмущенным профилем скорости искуственно поднят на высоту равную возмущению поверхности, что и приводит к дополнительным членам в уравнении.
На вопрос о соответствии той или иной модели реальным условиям пристенной турбулентности, строгого ответа ожидать трудно, однако можно предположить, что в случае, когда амплитуда возмущений мала по сравнению с толщиной вязкого ламинарного слоя, что соответствует не слишком высоким скоростям течения газа, то подход основанный на уравнении Орра-Зоммерфельда ближе соответствует физической системе. Действительно, в этом случае турбулентный тензор практически не замечает» шероховатости. В случае, когда амплитуда сравнима с толщиной подслоя, более естественно ожидать адекватности модели Бенджамина. Турбулентный тензор обтека-ет» холм, но возмущение быстро затухает вглубь среды. Наконец, в случае когда толщина пограничного слоя существенно меньше амплитуды, большее отношение к реальности может иметь модель Абрамса-Ханратти. Тензор об-текая» гору локально устроен так, как будто газ течет над плоской поверхностью. Важно отметить, что причина того, что невозможно сформулировать модель (коэффициенты разложения тензора турбулентных напряжений), подходящую во всех этих случаях, заключена в линейности задачи, неизбежно приводящей к разным уравнениям при стремлении параметра aot к нулю.
Похожие диссертации на Моделирование динамики нелинейных возмущений границы раздела вязких сред
