Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы расчета течений с турбулентностью и стратификацией 19
1.1. Определяющие уравнения и иерархия методов моделирования 19
1.1.1. Прямое численное моделирование (DNS) 22
1.1.2. Моделирование крупных вихрей (LES) 22
1.1.3. Осредненные по Рейнольдсу уравнения (RANS)
1.2. Иерархия моделей RANS-метода 28
1.3. Дифференциальные модели второго уровня замыкания
1.3.1. Аппроксимации для диссипативных членов єі и slf 37
1.3.2. Моделирование корреляций с пульсациями давления 45
1.3.3. Параметризация «быстрых» членов я 2) и ж(р 52
1.3.4. Модельные представления для корреляции nlf 56
1.3.5. Учет влияния свободной поверхности (стенки) 59
1.3.6. Аппроксимации членов турбулентной диффузии 63
1.3.7. Моделирование скалярной диссипации sf
1.4. Развитие, численная реализация и применение RANS-моделей 70
1.5. Выводы по главе 1 78
Глава 2. RANS-расчеты течений со стратификацией и препятствием 79
2.1. Тонкие сдвиговые течения со стратификацией среды 79
2.1.1. Определяющие уравнения модели второго порядка 81
2.1.2. Граничные условия и метод численного решения 87
2.2. Слой смешения двух потоков разной скорости (и плотности) 92
2.2.1. Моделирование слоя смешения постоянной плотности .93
2.2.2. Расчет слоя смешения с устойчивой стратификацией 97
2.3. Течение в канале со свободной поверхностью, нагретой сверху 105
2.3.1. Моделирование развитого изотермического течения 106
2.3.2. Средние величины в случае устойчивой стратификации
2.3.3. Турбулентные потоки в стратифицированном течении
2.4. Горизонтальная поверхностная плавучая струя 120
2.5. Особенности моделирования течений с препятствиями 128
2.6. Обтекание выступа квадратного сечения в пограничном слое
2.6.1. Выбор границ и сетки, аппроксимационная сходимость 138
2.6.2. Влияние толщины погранслоя на структуру течения 147
2.7. Обтекание выступа квадратного сечения в плоском канале 151
2.8. Выводы по главе 2 162
Глава 3. Моделирование течений с поверхностью раздела текучих сред 164
3.1. Численный алгоритм разрешения поверхности раздела сред 165
3.2. Течение при разрушении плотины
3.2.1. Выбор границ и сетки, аппроксимационная сходимость 172
3.2.2. Влияние условий на стенке 176
3.2.3. Эффекты численных схем и вязких членов 179
3.3. Неустойчивость Рэлея-Тейлора в двухфазной среде 183
3.3.1. Расчеты без поверхностного натяжения и с его учетом 187
3.3.2. Эволюция поверхности раздела вода-бензол 191
3.3.3. Эволюция поверхности раздела вода-воздух 195
3.3.4. Влияние перепада плотности, поверхностного натяжения 199
3.4. Выводы по главе 3 204
Глава 4. Развитие турбулентности при обрушении внутренних волн 205
4.1. Алгоритмы расчета и их верификация 208
4.1.1. Верификация алгоритма в течении в плоском канале 209
4.1.2. Генерация внутренних волн при введении препятствия 217
4.1.3. Влияние геометрических и физических параметров 223
4.1.4. Введение слоев, поглощающих отраженные волны 232
4.2. DNS-расчет обтекания холма при Re = 4000, h = 0.6, Sc = 1 234
4.2.1. Общая картина течения 238
4.2.2. Характеристики турбулентной области 241
4.2.3. Бюджет уравнения турбулентной кинетической энергии .249
4.2.4. Спектральный анализ 257
4.2.5. Бюджет уравнений переноса напряжений Рейнольдса 261
4.2.6. Общие замечания по результатам моделирования
4.3. LES-расчет обтекания холма при Re = 4000, h = 0.6, Sc = 700 267
4.4. Изучение неустойчивости при обрушении внутренних волн
4.4.1. Начальные этапы развития возмущений при Sc = 1 275
4.4.2. Промежуточные этапы роста возмущений при Sc = 1 282
4.4.3. Спектральная информация и поздние стадии перехода 291
4.4.4. Развитие неустойчивости при Sc = 700 298
4.4.5. Общие замечания по результатам моделирования 302
4.5. Выводы по главе 4 304
Заключение 307
Литература
- Моделирование крупных вихрей (LES)
- Слой смешения двух потоков разной скорости (и плотности)
- Выбор границ и сетки, аппроксимационная сходимость
- Бюджет уравнений переноса напряжений Рейнольдса
Моделирование крупных вихрей (LES)
Для замыкания системы определяющих уравнений (1.1) и (1.4), записанной в приближении Буссинеска для течений с небольшими изменениями плотности (стратификацией), необходимы дополнительные соотношения. Например, при неизотермических условиях с небольшими отклонениями температуры 1 1 = 1 -7 1 :7 от характерного значения температуры Т0 (что обычно имеет место в течениях окружающей среды) выполняется линейный закон р1 = РъРТх, где Р = -р 1 (др/дТ)р - коэффициент теплового - коэффициент объемного расширения, равный величине /?, расширения. Изменения плотности также могут быть обусловлены различной концентрацией примеси, которая определяется как с = -(р-р0)/Ар, например, для массовой доли пресной воды плотности р0 - Ар в морской воде плотности р0. Можно также ввести функцию плавучести, связанную с плотностью и концентрацией примеси как B = -g(p-р0)/р0 [64]. Видно, что все рассматриваемые здесь величины связаны с плотностью по одному и тому же линейному закону: PI/PO=(P-PO)/PO = af (1-7) где а если в качестве/рассматривать Тх (или а = І/g, если/= В, или а = Ар/р0, если/= с). Отметим, что случай двойной диффузии (изменения плотности обусловлены одновременно изменениями температуры и конценуравнение состояния» для рассмат риваемых ниже задач. Подстановка (1.7) в (1.4) приводит к единому виду уравнения Навье Стокса в приближении Буссинеска для любой функции f: где величина/? здесь и далее (в главах 1-2) обозначает динамическое давление рх, а р - постоянную плотность р0. Для замыкания (1.1), (1.8) вводят дополнительное уравнение (теплопроводности или диффузии) для скаляра f [2,63]: где X - коэффициент молекулярной диффузии (если/= В или с) или температуртрации) в настоящей работе не рассматривается, и (1.7) используется как « опроводности (если/= 7\), а в правой части могут появляться источниковые члены, обусловленные, например, химической реакцией.
Уравнения свободной конвекции (1.1), (1.8), (1.9) описывают течения со стратификацией в поле внешней силы, где плотность испытывает небольшие изменения, зависящие от/ Если число Фруда стремится к бесконечности, то стратификация течения оказывается нейтральной и примесь/будет пассивной, т.е. не влияющей на поле скорости из-за пренебрежимо малого члена плавучести в (1.8). В противном случае / непосредственно влияет на поле скорости. При этом среда по-прежнему полагается несжимаемой, поскольку изменения плотности обусловлены только изменениями функции / (но не давления, т.к. характерный масштаб скорости много меньше скорости звука) [2].
Как сказано во Введении, при достаточно больших числах Рейнольдса Re, характеризующих отношение нелинейных инерционных и вязких членов в (1.5), течения жидкости и газа становятся турбулентными. В большинстве потоков в лабораторных и промышленных установках Re 103 +106, а в атмосфере и оке 7 Q ане Re достигает значений 10 - КГ из-за больших масштабов длины. При та-ких условиях (Re 10 ) движение частиц среды теряет устойчивость и оказывается нерегулярным, турбулентным независимо от геометрии течения [2,63]. Точные решения основных уравнений, приведенных выше, получены лишь в некоторых простых ситуациях, в основном, при малых Re. Несмотря на более чем столетнее изучение, общее решение нелинейных дифференциальных уравнений движения не удается получить даже в стационарных (по средней скорости) течениях несжимаемой жидкости. Это связано с очень сложным взаимодействием вязких и нелинейных инерционных членов в (1.5), порождающим неустойчивость течения и возникновение турбулентности при больших Re.
Прямые численные методы способны воспроизвести детали крупномасштабного турбулентного движения, в частности, когерентные структуры и другие характеристики мгновенных полей скорости и скаляра. Однако, численное решение трехмерных нестационарных уравнений движения методом DNS даже на современных суперкомпьютерах оказывается возможным при относительно небольших числах Рейнольдса, Re 103- 104. Это связано, в первую очередь, с необходимостью разрешения всех турбулентных масштабов от наибольших (порядка размера течения L) до наименьших (порядка колмогоровского дисси-пативного микромасштаба //). Число пространственных степеней свободы (узлов вычислительной сетки) составляет в одном из направлений в пространстве N (L/l) « Re", где RQL = йЦу - турбулентное число Рейнольдса, и - масштаб скорости крупных турбулентных вихрей, п 3/4 (если I = rj) или п «1 (если / толщина вязкого подслоя у стенки) [11]. Полное число шагов по времени и пространству должно быть порядка Л 4 Re , что предъявляет высокие требования к памяти и быстродействию компьютерной техники, означая быстрый рост стоимости расчетов при небольшом увеличении ReL.
Трудностями DNS также являются проблемы получения устойчивой статистики, выбора начальных условий, разработки экономичных алгоритмов решения основных уравнений [3,11] и обработки больших (четырехмерных) массивов полученных данных. Тем не менее, точность метода позволяет использовать его в виде дополнения к опытам и в качестве самостоятельного средства изучения и моделирования физических свойств течений, в частности, мелкомасштабной турбулентности, а также для тестирования подсеточных моделей в LES-методе и замыкающих аппроксимаций в RANS-подходе.
Метод LES может применяться к течениям с более высокими числами Рейнольдса, чем DNS, поскольку использует более грубые сетки с размером ячейки Лх » /. Крупные турбулентные вихри размера L Дх в LES разрешаются явно благодаря процедуре фильтрования (осреднения по ячейке сетки) [11]. При этом отношение L/Ax должно быть достаточно велико (N L/Ax » 1), чтобы выполнялась гипотеза Колмогорова об изотропности мелкомасштабных движений, с которыми практически не взаимодействуют крупномасштабные вихри. Поэтому для LES остаются те же проблемы, что и для DNS (плюс слож ности в тонких пристеночных слоях, отмеченные во Введении). отвечающие за движения мелких турбулентных вихрей размера г Дх Для SGS-величин в (1.11)-(1.12) обычно применяют [65,66] алгебраические модели вихревой вязкости для анизотропной части напряжений, линейно зависящей от разрешаемого явно (отфильтрованного) тензора скоростей деформации, где SGS-вязкость может меняться в пространстве и времени в зависимости от локальных значений разрешаемого явно тензора скоростей деформации и размеров сетки (если она неравномерна). Тогда, для замыкания (1.10)-(1.16), необходимо задать подсеточное число Прандтля/Шмидта ScJgJ (или «совместный» коэффициент, Q2Sc ) и константу Смагоринского Cs.
Слой смешения двух потоков разной скорости (и плотности)
В [101] приведены данные расчетов с (1.56) и (1.62) при fe = &хр(-А2) с аккуратным моделированием лг. и коррекцией уравнения для s, хорошо совпадающие с результатами DNS для и и вплоть до стенки, отражая поведение є1} при х2 — 0 согласно (1.60). Однако, при х+2 5 наблюдается значительное расхождение величин (єу и\и )-(к1е), найденных из модели второго порядка и DNS. Для описания сильно неизотропной природы диссипативных процессов, отличающейся от анизотропии и и ., в некоторых работах (напр., в [102]) используют точки зрения проще и разумнее применять алгебраические выражения (1.56), (1. приближенные уравнения переноса для єг, которые содержат в точном виде примерно в два раза больше требующих модельных представлений членов, чем е-уравнение. Привлечение таких громоздких уравнений, затрудняющих замыкание, можно оправдать только достижением достаточно точного воспроизведения єtJ и, как следствие, и и . Однако, в [102] получено согласие результатов RANS и DNS только для єп, а є22, є33, є12, є воспроизведены лишь качественно. Более того, компоненты и и . определены с меньшей точностью, чем в других работах (напр., в [101]). Поэтому с практической 59), (1.62), которые хотя и неточно описывают компоненты .. , но позволяют найти напряжения Рейнольдса в согласии с данными опыта и DNS. Аналогичный подход к модели sif (альтернатива (1.54) и включению sif в фу=Лу-Бу, как в [91]) применен в [103]. Величина sif, значительная при низких числах Пекле PQt= Ret/crt по сравнению с другими членами в (1.47), полагалась зависящей от числа Прандтля-Шмидта а и параметра R: slf = -0.35(1 + ст){стКУ12 (k/ syj\ R = (W /slf)(k/). (1.63) Выражение (1.63) и формулы для nlf с зависимостью от Re,, і?, т приводят к согласию с данными DNS в случае изотропной турбулентности и неадекватному описанию в пристеночном течении в канале [103]. То есть, для учета анизотропии в соотношение для sif нужно ввести зависимость от а подобно тому, как это делается для s . Создание работоспособной модели для slf (и для nlf) затруднено из-за отсутствия данных опыта и DNS (кроме приведенных в [103]) и малочисленности данных для u[f. Современная тенденция моделирования (1.47) состоит в приближенном расчете u[f при sif&0 или аппроксимации совместного члена ф = nif - sjf. Это позволяет правильно учесть влияние u[f на распределения среднего скаляра и дисперсии пульсаций скаляра, для которых имеется большее число опытных данных.
Сильная анизотропия тензора и и . и стремление трехмерной турбулентности к двумерному состоянию происходит как у стенки, так и на свободной поверхности жидкости [104]. При столкновении с поверхностью движущиеся турбулентные вихри немного приподнимают ее, что, в свою очередь, порождает добавочное гидростатическое давление, возвращающее вихри назад. То есть, свободная поверхность демпфирует вертикальное турбулентное движение (с амплитудой и 2), а параллельные поверхности флуктуации (и[ и и 3) увеличиваются вследствие неразрывности. Экспериментально это показано в [105]: у поверхности и[и[ « и ъи ъ « ul, а и 2и 2 « 0.04w , так что и[и[/и 2и2 «25 и А — 0. Подобное происходит и у стенок, где эти процессы, однако, осложняются воздей ствием сильного сдвига средней скорости. Однако, если стенка движется со скоростью окружающей турбулентной среды, т.е. отсутствуют градиенты скорости и напряжения трения, то ее воздействие подобно влиянию свободной поверхности. Опыт с движущейся стенкой [106] отчетливо показал демпфирование нормальных к стенке и2 и рост продольных и[ пульсаций у стенки, транс версальные флуктуации и ъ при этом незначительно увеличивались. Линейный масштаб пульсаций и ъ в [106] немного возрастал, а масштабы длины и[ и и 2 падали вблизи движущейся стенки. Если характеризовать турбулентное движение одним линейным масштабом L («размер» турбулентного вихря), то можно ожидать уменьшение L при приближении к свободной поверхности.
Таким образом, влияние свободной поверхности жидкости сводится к демпфированию вертикальных пульсаций и2 (и соответствующему росту и[ и и 3) и масштаба турбулентности L [104]. Последний эффект учитывается введением специального граничного условия для є (=cDk3/2/L при ReL »1). Подавление и 2 поверхностью и переход турбулентности к двумерному состоянию описываются при помощи адекватных реальности аппроксимаций для (сформулированных выше для течений у стенки) и я (см. ниже).
Корреляции с пульсациями давления играют решающую роль в описании турбулентных течений и в некоторых случаях доминируют над другими членами в (1.46) и (1.47), приближенно компенсируя порождение Рр + Gtj,, Pif + Gjf. В то же время, яг] и яіГ наиболее трудны для моделирования, как я и sif, из-за нехватки данных опытов. Для аппроксимации яц и яіГ можно получить интегральные представления, исключив пульсации давления. Дифференцирование (1.34) по х. и учет (1.33) дают уравнение Пуассона для пульсаций давления где подынтегральные выражения с двухточечными корреляциями отражают: взаимодействие пульсационных компонент - члены ;гг(1) и nf), взаимодействие средних деформаций dUl/dxm и пульсаций - л и ж\р, действие сил плавучести - я 3) и я(р. Интегралы W , Wl}, Wlf возникают, если есть твердая граница или свободная поверхность жидкости (вид Wv приведен, напр., в [107,108]).
В однородной турбулентности, когда отсутствуют (или малы) эффекты средних деформаций, массовых сил и границ течения, описываемые величина ми 7Гу , 7Гу и Wt., корреляция я содержит только вклад 7і\} , обусловленный взаимодействием пульсаций скорости. Это взаимодействие приводит [89] к выравниванию нормальных компонент (перераспределению ТКЭ между ее ком J понентами) и уменьшению касательных компонент и\и , т.е. к переходу турбу лентности в изотропное состояние ( и[и ъ = и 2и ъ = и[и 2 = 0 , и[и[ = и 2и 2 = и 3и 3 ).
Анизотропная турбулентность создается (и поддерживается) только благодаря внешним воздействиям, например, неоднородным основным потоком. В реальных случаях изотропное состояние не достигается, поскольку обычно имеются внешние воздействия, а при их отсутствии турбулентные пульсации затухают под влиянием диссипации, не успевая стать изотропными.
Выбор границ и сетки, аппроксимационная сходимость
Система уравнений параболического типа (2.48) в переменных Мизеса (х ) не содержит поперечной скорости, которую теперь нет необходимости отдельно вычислять (кроме того, в приближении пограничного слоя, V с U). Замена у функцией позволяет также автоматически учесть изменение формы тонкого сдвигового слоя в поперечном направлении (растяжение, сжатие, изгиб).
Для решения двумерных параболизованных задач механики жидкости и газа с выделенным направлением х (вниз по потоку), описываемых уравнениями вида (2.48), применена маршевая безытерационная процедура пошагового, послойного (при х = const) расчета искомых функций [339]. При этом помимо краевых условий (см. выше) задаются начальные данные на первом слое (приведенные ниже при моделировании конкретных течений). В [198,199] предложен метод решения двумерных параболизованных уравнений, основанный на численном интегрировании (2.48) по «контрольным объемам», на которые разбивается расчетная область. Метод контрольных объемов обеспечивает выполнение интегрального закона сохранения для Ф в каждом из этих объемов, следовательно, и во всей области расчета, позволяя организовать вычисления без итераций на довольно грубой сетке с большими интервалами по х и у (между узлами сетки) для достижения точности, приемлемой в приложениях.
Количество узлов поперек течения и шаг маршевой процедуры выбирались из условий требуемой точности: при уменьшении интервалов по у или х в два раза различия искомых функций в двух последовательных расчетах должны быть менее 1% от максимумов этих функций. Для базовой и наиболее консервативной величины U - требование жестче: различия менее 0.1% от максимума Um. Указанная точность при получении развитых профилей нейтрально стратифицированных сдвиговых течений достигалась с 40-50 узлами по у (на равномерной сетке) и шагом по х порядка характерной толщины течений. В условиях стратификации (и неавтомодельной эволюции по х рассматриваемых течений) интервалы по х и у необходимо уменьшить в несколько раз. В частности, для плавучей струи и слоя смешения шаг по х выбран порядка 10% от толщины 8и (определяемой на рис. 2.1а,б и в 2.2, 2.4), а для течения в канале -равным половине глубины 8 (рис. 2.1в). Количество узлов поперек течений взято N = 81 для слоя смешения и N = 99 для струи и потока в канале. Для последнего течения сетка сгущалась у нагретой поверхности (при 0 y/S 0.2),
где градиент температуры сильно растет и достигает максимума. Отметим, что в практических расчетах для достижения точности счета 5-10% - в пределах погрешностей модельных представлений и данных измерений - достаточно взять около 20 узлов (контрольных объемов) поперек течения [199], что экономит ресурсы компьютера. В настоящей работе, для минимизации влияния грубой сетки на погрешности расчета при тестировании модели, предписанная точность счета снижена до 1%. Это приводит к уменьшению шагов по х и у, т.е. росту числа узлов в поперечном направлении до N= 80-е-100.
Для расчета слоя смешения (рис. 2.1а) использована модель турбулентности, промежуточная по сложности между стандартными моделями 2 и 3, включающая уравнения (2.1)-(2.6) для U, В, к, є (как в к-є модели 3), (2.7)-(2.9) для напряжений Рейнольдса (как в модели 2 второго порядка) и выражения (2.22)-(2.24) для ub, vb, b2 с a f = 1. Такие модельные представления отражают неравновесный характер турбулентного переноса импульса (при Р Ф Є ) и, в некоторой степени, скалярного свойства. Для сравнения, турбулентные потоки вещества находились и из (2.22)-(2.23), и из (2.10)-(2.11). В уравнениях (2.4), (2.7)-(2.11) взяты наиболее полные аппроксимации (1.115), (1.117) для процессов диффузии со стандартными значениями С = С =0.11. Демпфирующая функция в (2.17), (2.18), (2.23) равна нулю, поскольку на слой смешения не влияют свободная поверхность и стенка. Модифицированная модель 1, предназначенная для адекватного учета свободной поверхности, стенки и сильно устойчивой стратификации, для слоя смешения не применялась.
В [145] расчет слоя смешения и поверхностной струи в условиях естественной конвекции проведен по модели 3 с (2.19)-(2.24), где a =a f = \ (неравновесная аппроксимация). Качественные результаты показали линейный рост характерной толщины сдвигового слоя на начальном участке (при малых числах Ричардсона) и последующее его замедление. Ниже по течению толщина слоя стремится к асимптотическому значению при постепенно затухающей турбулентности. Данные расчета и опыта в [145] не сопоставлены количественно, по-видимому, из-за отсутствия надежных опытных данных, появившихся позже [64,200]. В настоящей работе вычисленные характеристики слоя смешения представлены ниже в сравнении с их измеренными аналогами.
Плоский слой смешения постоянной плотности имеет обширную базу опытных данных [193-195] и является тестовой задачей для развития моделей турбулентности. В [90,201,202] для расчета этого течения применялись модели различного уровня описания. Стандартная к-е модель [201] вида (1.25), (1.26), (1.28), (1.41)-(1.44) воспроизводит поперечный профиль средней скорости и приблизительно - ТКЭ. Стандартная модель второго порядка [90] описывает опытные данные для нормальных и касательных турбулентных напряжений. Более сложная модель [202] с функциями (1.71) вместо констант в уравнениях для и и и в также дает согласие с данными [193] для U, uv, и2 и v2.
В настоящей работе, как и в [90], для расчета нейтрально стратифицированного слоя смешения взяты уравнения (2.1), (2.2), (2.4)-(2.9), где источники плавучести, содержащие турбулентные потоки вещества, обращаются в нуль при постоянной плотности. Профили искомых величин, найденные по этой модели с константами Cs = 0.l 1,Q = 2.2,С2 = 0.4,СЕ = 0.15,Си = 1.44,С2Е = 1.9, получаются несимметричными и хорошо согласуются с данными измерений [193] в центральной и низкоскоростной части слоя (рис. 2.2-2.5). На высокоскоростной стороне течения кривые, как и в [90,202], отклоняются от опытных точек, отражая более быстрое стремление к значениям в невозмущенном потоке.
Бюджет уравнений переноса напряжений Рейнольдса
Сформулированные выше методы применены при моделировании течения, возникающего при разрушении плотины, т.е. внезапном коллапсе столба воды (см. начальное состояние на рис. 3.1), являющегося классической задачей гидродинамики свободной поверхности и выбранного в качестве тестового предшественниками [243,244,258,260] благодаря наличию данных опыта [263].
Границы рассматриваются как твердые стенки (в закрытом контейнере). Для левой и нижней стенки это приближение является точным, а для правой и верхней границ, являющихся открытыми в [263] и покрытых воздухом, - некорректным. Однако, плотность воды много больше плотности воздуха, поэтому условия на верхней и правой границе несущественно влияют на движение воды [243]. Как в [243,244], краевые условия для давления получены из уравнения для нормальной к границе компоненты скорости с использованием, как и в [258], виртуальных значений в фиктивных узлах, окружающих сетку. Объемная фракция на стенках экстраполируется из внутренней области [243,244], а скорость по нормали к границам задается нулевой. Отдельно рассмотрены ниже условия на стенке для скорости, направленной вдоль границ.
В согласии с [243], область расчета размещена от х = 0 до х = Lx = 5W (рис. 3.1), а нижняя граница - при у = 0. Положение верхней границы Ly оптимизировано так, чтобы оно несущественно влияло на точность вычислений. Как и в 2.6.1, это достигается путем последовательных расчетов, использующих различные Ly и соответствующие удвоенные значения 2Ly, и проверки критерия (2.76) для основных характеристик течения Ф = {Хг,уЛ\ положения переднего фронта воды xf (при у = 0) и высоты столба воды уf (при х = 0). Величины Ф и Ф(й2) (здесь и ниже в настоящей работе) относятся к менее и более точным расчетам, соответственно. Различие между Ф и Ф(й2) почти неза 172 метно, если они с достаточной точностью (%ъ 2%) удовлетворяют этому критерию. В качестве второго критерия точности, для исключения появления нереалистичных особенностей в результатах расчетов, проверяются изолинии объемной фракции, приводимые при/= 0.01 (эффективная верхняя граница поверхности раздела «воздух-вода»), /= 0.50 (положение свободной поверхности), / = 0.99 (эффективная нижняя граница поверхности раздела). Последний критерий является более точным, чем было для изолиний в [259] (использующих значения /= 0.025 и 0.975 для эффективных границ поверхности раздела), в [244] (/= 0.1 и 0.9) и в [243] (/= 0.45 и 0.55). В [258,260] показано только положение свободной поверхности без «границ» поверхности раздела.
Максимальные значения нормализованных погрешностей (zZs. = 014%, /fmax = 0.24%) малы для базового расчета варианта 1 (L =1.4Я) относительно варианта 2 (с удвоением L = 2.8/7), приведенных в табл. 3.1. Большие значения Ly расходуют излишние компьютерные ресурсы, а меньшие значения не удовлетворяют разумному «двухпроцентному» критерию или критерию «реалистичных изолиний» (рис. 3.2). Например, в [258] взято L =1.177, здесь это положение не выбрано для базового расчета: в расчетах по вариантам 3 и 4 получаются (рис. 3.3) большие %2ах = 0.71%, % = 2.07%. Кроме того, начальное возмущение, генерируемое углом плотины на поверхности раздела, не затухает при Ly \AH (рис. 3.2). Поэтому, Ly=\2H (в [244] для 77 = 2W\ Ly = l.25H
Изолинии объемной фракции воды в различные моменты времени: (а) вариант 1 (базовый расчет), L = 1.4Я; (б) вариант 6, L = 1.3Я. Подобный анализ погрешностей для шага по времени (варианты 8-12 в табл. 3.1) приводит к коэффициенту Сд, = 0.01, с дополнительным уменьшением шага в начальной стадии. Максимальные отклонения малы как для вариантов 8 и 1 (где Сд, = 0.02 и 0.01) zlZУ/) =(0.69%, 0.82%), так и для вариантов 1 и 9 (где Сд, = 0.01 и 0.005) х У/) =(0.38%, 0.22%). Однако, в описании нижней границы поверхности раздела наблюдаются недостатки при большем значении СД/ = 0.02 (рис. 3.4а) или при недостаточном демпфировании шага по времени в начальной стадии (соответствующие результаты для вариантов 10-12 похожи на их аналоги из рис. 3.4 и здесь не показаны). Малую величину СД/ = 0.01 по сравнению с единицей можно объяснить коррекцией (3.10), учитывающей большой перепад плотности на поверхности раздела. Значения давления и скорости находятся одновременно для каждой итерации на одном шаге по времени, а объемная фракция и плотность находятся один раз на шаге по времени и не подправляются на каждой внутренней итерации.
