Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование течений жидкости со свободной поверхностью (обзор) 11
1.1. Методы численного моделирования течений со свободной поверхностью 11
1.1.1. Лагранжевы методы 12
1.1.2. Метод маркеров в ячейках (Marker-and-Cell (MAC) Method) 16
1.1.3. Метод поверхностных маркеров (Surface Marker Method) 17
1.1.4. Метод объемной доли жидкости в ячейках (Volume-of-Fluid (VOF) method) 18
1.1.5. Метод функций уровня (Level-set method) 19
1.2. Расчеты сложных течений со свободной поверхностью 20
2. Математическая модель и основные положения метода конечных объемов 23
2.1. Математическая модель 23
2.1.1. Уравнения движения жидкости со свободной поверхностью в методе VOF 23
2.1.2. Моделирование турбулентности 24
2.2. Основные положения метода конечных объемов 30
2.2.1. Введение контрольных объемов 31
2.2.2. Схемы аппроксимации конвективных потоков 32
2.2.3. Схемы аппроксимации производной по времени 34
2.2.4. Форма записи уравнения неразрывности и уравнения переноса маркер-функции 35
3. Тестирование известных численных схем для решения уравнения переноса маркер-функции 37
3.1. Описание схем аппроксимации уравнения переноса маркер-функции 37
3.1.1. Предварительные замечания 37
3.1.2. Диаграмма нормализованной переменной (NVD) и критерий локальной ограниченности (CBC) 38
3.1.3. Cхема CICSAM (Compressive Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes) 41
3.1.4. Схема HRIC (High Resolution Interface Capturing scheme) 44
3.1.5. Схема M-CICSAM 45
3.2. Систематическое тестирование схем 45
3.2.1. Предварительное сравнение «стандартных» и «сжимающих» схем 45
3.2.2. Систематическое исследование работоспособности «сжимающих» схем 52
3.2.3. Выводы по схемам аппроксимации уравнения конвективного переноса маркер-функции 65
4. Разработка оригинальных составляющих метода VOF и его программная реализация 66
4.1. Дополнительные вычислительные приемы для улучшения качества решения уравнения переноса маркер-функции 66
4.1.1. Методика дополнительного «обострения» фронта 66
4.1.2. Методика дополнительной «диффузии» маркер-функции вблизи стенки 73
4.1.3. Методика дробных шагов 77
4.2. Метод решения уравнений гидродинамики 78
4.2.1. Вычисление конвективных потоков 78
4.2.2. Вычисление диффузионных потоков 81
4.2.3. Аппроксимация по времени 83
4.2.4. Вычисление градиента давления 84
4.2.5. Дискретизация уравнения неразрывности и алгоритм численной «перевязки» полей скорости и давления 87
4.2.6. Линейный солвер и параллелизация вычислений 90
4.2.7. Общий алгоритм продвижения по физическому времени 92
5. STRONG Тестирование разработанной методики на двумерных задачах. Исследования сеточной
сходимости решения и оценка значимости вязких эффектов STRONG 94
5.1. Простейшая задача об обрушении дамбы 94
5.2. Задача об обрушении дамбы при наличии слоя воды в защищаемой зоне 98
5.3. Задача о натекании потока на трапециевидное препятствие после обрушения дамбы .102
5.4. Задача о натекании потока на треугольное препятствие после обрушения дамбы 105
5.4.1. Влияние учета пристеночного трения 105
5.4.2. Влияние коррекции на кривизну линий тока в SST модели турбулентности 109
5.4.3. Масштабный эффект 110
5.5. Задача о взаимодействии потока, возникшего при обрушении дамбы, с вертикальной
стенкой 111
5.5.1. Результаты основной серии расчетов 111
5.5.2. Отдельные аспекты влияния модели турбулентности 116
5.6. Задача о натекании потока на квадратное препятствие после обрушения дамбы 117
5.6.1. Расчеты без учета вязких эффектов 118
5.6.2. Расчеты с учетом эффектов турбулентности и пристеночного трения 119
6. Приложение разработанного вычислительного инструментария к решению отдельных задач практической направленности 130
6.1. Задача о натекании потока на одиночное препятствие в форме параллелепипеда после обрушения дамбы 130
6.2. Задача о нестационарном натекании потока на множественные препятствия 134
6.3. Задача о плескании воды в баке 137
Заключение 141
Список литературы
- Метод маркеров в ячейках (Marker-and-Cell (MAC) Method)
- Основные положения метода конечных объемов
- Диаграмма нормализованной переменной (NVD) и критерий локальной ограниченности (CBC)
- Методика дополнительной «диффузии» маркер-функции вблизи стенки
Метод маркеров в ячейках (Marker-and-Cell (MAC) Method)
Существует множество интересных с практической точки зрения течений со свободной поверхностью, интенсивно исследуемых в настоящее время как экспериментально, так и путем численного моделирования.
Одним из наиболее часто исследуемых видов течений является обтекание корпуса корабля (основными характеристиками, интересующими исследователей, являются сила сопротивления, действующая на корпус корабля и эффективность работы винта). До относительно недавнего времени такие течения, как привило, считали в приближении плоской свободной поверхности (см., к примеру, [65]) или с использованием приближенных методик для определения величины волнового сопротивления (см., к примеру, [18]). Если же речь шла о частично погруженном винте, когда без учета формы свободной поверхности не обойтись, то для расчета течения и определения формы свободной поверхности зачастую использовались приближенные методики, основанные на методе граничных элементов, сводящем трехмерную задачу к поиску решения на границе расчетной области (см., к примеру, [37, 142, 143]). Важной задачей при расчете обтекания корабля является учет взаимного влияния течений вокруг корпуса корабля и винта, поскольку от этого влияния могут сильно зависеть характеристики работы винта (тяговое усилие, наличие вибрации, кавитации и пр.). При этом до недавнего времени аккуратный нестационарный расчет всего течения вокруг корпуса корабля и винта, с учетом вращения последнего, был невозможен из-за высоких вычислительных затрат. Использовались упрощенные приближенные методики, сводящие воздействие винта на окружающую жидкость к действию стационарных объемных сил (см., к примеру, [16, 18, 65, 78, 120]). В последнее время, с увеличением производительности вычислительной техники и повышением требований к точности результатов расчетов, стали выполнять расчеты с аккуратным прописыванием всего течения. К таковым можно отнести, в частности, нестационарный расчет всего течения вокруг корпуса корабля и вращающегося винта (см., к примеру, [31, 90]), трехмерный расчет течения вокруг частично погруженного вращающегося винта (см., к примеру, [48]). В упомянутых работах для определения положения свободной поверхности использовались методы VOF и Level-set, учет турбулентности проводился с помощью RANS-моделей. Отметим, что вычислительная сложность таких расчетов весьма высока: требуются расчетные сетки с большим количеством ячеек (в работе [90], к примеру, использовался сетка из 12,7 млн. ячеек); требуется большое количество шагов по времени для выхода на режим установления и получения осредненных характеристик работы винта.
Не менее важным с практической точки зрения течением является плескание жидкости в баке. Такое течение имеет место, в частности, в топливных баках самолетов и космических ракет, в цистернах бензовозов, в баках с нефтью или сжиженным природным газом, находящихся на борту перевозящих их танкеров. При конструировании вышеназванных объектов важно иметь информацию о нагрузках, действующих на стенки бака со стороны плещущейся жидкости. Проведено множество расчетов и экспериментов для подобных течений. Исследовались случаи поступательных колебаний бака в горизонтальной плоскости [21, 102], вращательных колебаний бака [29], а также случай резкой остановки бака в результате удара [66]. Рассматривались баки прямоугольной формы и в форме, соответствующей реальному баку танкера для сжиженного газа (в масштабе) [134]. Как правило, расчеты и эксперименты проводились в двумерной (квазидвумерной) постановке, соответствующей поперечному сечению бака. Рассматривались различимые степени заполнения баков, амплитуды и частоты колебаний (отдельно выделяли резонансный и нерезонансный режимы). Во многих случаях течение получалось сложным, с опрокидыванием волн и образованием пузырей. В расчетах, как правило, использовались методы VOF и SPH. Последний зачастую использовался в формулировке, учитывающей только жидкость (без учета газа), что, по мнению самих же авторов расчетов, приводило к некорректному разрешению опрокидывания волн и влияло на величину нагрузок на стенки бака. Отметим, что в последнее время предпринимаются попытки провести совместный расчет колебания судна на волнах с колебанием жидкости в баке на борту этого судна [56, 84, 144]. При этом, в связи с большой вычислительной сложностью задачи, как правило, ограничиваются упрощенной моделью движения судна и приближением безвихревого невязкого течения жидкости внутри бака (для расчета используется метод потенциала).
В качестве еще одного примера течения, пользующегося популярностью у исследователей, можно привести набегание волн на берег (см., к примеру, [101]) или на находящийся в море объект, например, на платформу [63] и [76]. Сложности при расчете таких течений связаны, в частности, с необходимостью использовать нестационарную, трехмерную постановку, с опрокидыванием волн и, зачастую, с необходимостью совместного расчета движения жидкости и плавающего объекта. В названных работах расчеты проводились с помощью метода VOF, использовались расчетные сетки до 0,7 млн. ячеек.
Аналогичные сложности имеют место и при расчете другого, важного с практической точки зрения течения - натекания потока воды на препятствия различной формы (на практике поток может быть вызван, к примеру, цунами или обрушением дамбы, а в качестве препятствий могут выступать различные постройки на суше). Расчетов подобных течений с препятствиями различной формы в литературе можно найти множество. В качестве примера можно привести следующие: [13, 53, 67, 96]. Есть расчеты в двумерных и трехмерных постановках, как правило, с учетом турбулентности, зачастую используют модели к-г и к- SST.
Подводя итог вышесказанному, отметим, что интересные с практической точки зрения течения зачастую являются сложными и сопровождаются сильной деформацией свободной поверхности. Для аккуратного их моделирования требуется, во-первых, учет совместного движения жидкой и газообразной фаз, а во-вторых, использование расчетных сеток с большим количеством ячеек и выполнение множества шагов по времени. В большинстве работ расчеты проводятся с учетом турбулентности; для этого наиболее часто используются RANS-модели к-г и к- SST. Однако авторами работ не уделяется достаточного внимания вопросам пригодности используемой модели для данного класса течений и значимости учета эффектов турбулентности (как в ядре потока, так и в пристенных областях), а также влиянию схемных факторов на решение. Поэтому проводимое в настоящей работе исследование по поиску ответов на озвученные вопросы, а также разработка и отбор численных схем, позволяющих проводить расчеты течений с сильной деформацией свободной поверхности и обеспечивающих высокую степень точности при использовании сравнительно грубых расчетных сеток, представляются важными и актуальными.
Основные положения метода конечных объемов
Как было сказано ранее, в методе VOF для определения положения свободной поверхности необходимо решать уравнение (2.36) конвективного переноса объемной доли жидкости. Корректное решение данного уравнения является непростой задачей, поскольку необходимо обеспечить одновременное выполнение двух условий: удерживать значения маркер-функции внутри интервала 0-1 и не допускать «размытия» контактной границы (то есть области, где имеет место изменение маркер-функции от 0 до 1) на множество ячеек расчетной сетки. Выбор подходящей схемы аппроксимации уравнения (2.36) предполагает детальное сравнение возможностей различных схем.
Среди пользующихся популярностью в настоящее время численных схем для решения уравнения переноса маркер-функции можно отметить т.н. «сжимающие» схемы CICSAM [126] и HRIC [91]: они реализованы во многих коммерческих CFD-кодах. В программном пакете ANSYS Fluent реализован также т.н. метод геометрической реконструкции, который рекомендуется для решения уравнения (2.36). Кроме того, относительно недавно появилась привлекательная схема M-CICSAM [133].
Необходимость в разработке специализированных «сжимающих» схем была обусловлена тем, что «стандартные» противопоточные схемы, традиционно применяемые для аппроксимации конвективных слагаемых, как правило, не обеспечивают необходимого качества решения уравнения переноса маркер-функции.
Тестовые расчеты показывают, что «стандартные» схемы вида (2.24) приводят к возникновению «вылетов» значений маркер-функции C за границы допустимого интервала 0–1. Одна из первых попыток построить схему, одновременно удерживающую межфазную границу от «размытия» и значения маркер-функции в интервале 0–1 была предпринята в работе [51] при разработке метода VOF. Авторы работы рассматривали схемы первого порядка с аппроксимацией вверх и вниз по потоку (далее по тексту UD и DD), то есть сводящиеся к приравниванию значения на грани f к значению соответственно в ячейке D или A (см. рисунок 2.2). Известно, что данные схемы обладают сильной численной диффузией, причем схеме DD соответствует диффузия с отрицательным коэффициентом («антидиффузия»). Применительно к решению уравнения (2.36) это означает, что схема UD приведет к сильному «размытию» межфазной границы, а схема DD благодаря обострению градиентов сделает границу «острой», но при этом, приводя к увеличению локальных максимумов и уменьшению локальных минимумов, не обеспечит ограниченности решения. В работе [51] предпринята попытка устранить недостатки схем DD и UD путем поиска оптимального их сочетания. Значения маркер-функции С на гранях ячеек предлагалось определять как линейную комбинацию ее значений из соседних ячеек D и А, причем веса значений в данной линейной комбинации определялись исходя из самих значений в ячейках D и А. Предложенная схема не обеспечивала полного отсутствия «вылетов», а лишь ограничивала их до относительно небольших значений. Авторы предлагали «обрезать» зашкалившие значения (принудительно на каждом шаге по времени приравнивать значения величины С к единице в ячейках, где они оказались выше единицы, и к нулю, где ниже нуля). Таким образом, оригинальная схема для метода VOF [51] формально не являлась консервативной и не обеспечивала сохранение массы жидкости в объеме. Кроме того, схема приводила к искусственному искривлению межфазной границы, когда вдоль нее направлена скорость потока [51, 69, 74] (в частности, плавные волны, бегущие по поверхности жидкости, обострялись до «ступенек»). Для подавления этого эффекта в работе [51] предложено переключаться на полностью противопоточную схему UD, когда угол между межфазной границей и направлением потока меньше 45о. Однако такой подход оказался слишком грубым: результаты расчетов существенно зависели от предустановленной величины угла, на котором производилось переключение на противопоточную схему [69], и, кроме того, не удавалось полностью избавиться от искривления межфазной границы [11, 69, 108, 127].
3.1.2. Диаграмма нормализованной переменной (NVD) и критерий локальной ограниченности (СВС)
В работе [35] для упрощенного случая одномерного течения формально показано, что для обеспечения ограниченности решения необходимо учитывать значение величины С в ячейке, находящейся вверх по потоку от ячейки D (ячейка U, см. рисунок 2.2). Представлен критерий ограниченности решения конвективного уравнения (СВС, Convection Boundedness Criterion) для расчета одномерных течений с использованием неявных схем по времени.
Для формулировки этого критерия удобно использовать так называемую нормализованную переменную, введенную в работе [74]:
Графическое изображение разностной схемы для расчета значения на грани ячейки в терминах нормализованной переменной называется диаграммой нормализованной переменной (Normalized Variable Diagram, NVD). Она представляет собой график зависимости значения нормализованной переменной на грани/от значения нормализованной переменной в донорской ячейке D. На рисунке 3.1 приведены изображения нескольких известных разностных схем на диаграмме нормализованной переменной.
NVD диаграмма с изображенными на ней схемами: противопоточная первого порядка (UD), противопоточная второго порядка (SOUD), схема QUICK, центрально-разностная (CD), и схема первого порядка с дифференцированием вниз по потоку (DD)
Для нормализованных переменных критерий CBC формулируется так: результаты расчетов будут локально ограниченными, если значение нормализованной переменной на грани будет подчиняться следующим соотношениям: где а - число Куранта определяемое для одномерных течений по формуле a = (vAt)/L (у - скорость течения, At - шаг по времени, L - шаг сетки). Критерию СВС (3.4) на NVD диаграмме соответствует область, представляющая собой верхний левый треугольник над линией, соответствующей противопоточной схеме UD. Область NVD - диаграммы, соответствующая критерию СВС (3.5) для явных схем, для значения числа Куранта а =0,2, показана на рисунке 3.2 в виде серого треугольника.
Чем выше значение числа Куранта, тем уже область на NVD диаграмме, соответствующая критерию СВС (3.5). При числе Куранта равном единице, только противопоточная схема UD удовлетворяет критерию.
Следует отметить, что для каждой грани / ячейка U (см. рисунок 2.2), требуемая для вычисления нормализованной переменной, гарантированно существует лишь для структурированных расчетных сеток. При использовании неструктурированных расчетных сеток (как это и делается в настоящей работе) ячейка U в общем случае не существует, и возникает вопрос определения соответствующей нормализованной переменной. Здесь следует заметить, однако, что достаточно иметь определение для нормализованной переменной лишь в ячейке D, по которому рассчитывается нормализованное значение на грани / переводимое потом по формуле (3.3) в Cf. В работе [62] было предложено модифицированное определение для нормализованной переменной в центре ячейки D, не требующее ячейки U и пригодное для неструктурированных сеток:
Диаграмма нормализованной переменной (NVD) и критерий локальной ограниченности (CBC)
Здесь %max - задаваемое пользователем максимальное значение коэффициента искусственной диффузии, достигаемое на стенке; dсец - расстояние, на котором действует искусственная диффузия. Параметр dсец должен быть достаточно малым, чтобы не влиять на течение в целом, но при этом достаточным, чтобы захватить область нефизичного эффекта. В настоящей работе он задавался равным половине типичного продольного размера ячеек вдоль стенки (который примерно равен половинному размеру ячеек в основной части расчетной области). Параметр %max должен быть выше некоторого критического значения, чтобы обеспечить устранение прослойки воздуха (дальнейшее увеличение параметра выше данного значения уже не влияет на решение). При этом слишком высокие его значения приводят к возрастанию вычислительной сложности решения уравнения (4.7). В настоящей работе использовалось значение 1 м2/с.
Работает коррекция следующим образом. Если на шаге по времени для ячейки расчетной сетки вклад от добавленного в уравнение (2.36) диффузионного члена оказывается положительным, то он учитывается, в противном случае он не учитывается. Понятно, что подобная схема не является консервативной и приводит к нарастанию общего количества величины C (и, следовательно, общего количества жидкости) в расчетной области. Однако фактически данный эффект является пренебрежимо малым: максимальный объем «накачиваемой» таким образом жидкости не превосходит (а фактически получается много меньше) объема пристенного слоя толщиной в dcell.
Результаты расчетов с использованием коррекции приведены на рисунках 4.11 и 4.12. Видно, что введенная коррекция обеспечила полное исчезновение нефизичного воздушного слоя, в результате чего на графиках трения о стенку исчезли провалы, и появилось стремление решения к сеточно-сошедшемуся при последовательном измельчении сетки. Также можно отметить, что в данном течении пристенные функции работают корректно, обеспечивая весьма близкие значения трения в широком диапазоне значений y+.
Отметим также, что при проведении этих расчетов методика дополнительной диффузии работала одновременно с методикой дополнительного «обострения» межфазной границы, описанной в пункте 3.1.2. При этом данные методики не «мешали» друг другу: методика диффузии работала только в узкой области вблизи стенки, где она была намного «сильнее» методики «обострения» и быстро устраняла прослойку воздуха.
Как было показано в пункте 3.2.2, даже лучшая из исследованных схем аппроксимации уравнения переноса маркер-функции (2.36) (схема M-CICSAM) требует для обеспечения приемлемой точности решения проводить расчеты с относительно небольшими шагами по времени, соответствующими числам Куранта до 0,75. Однако при численном решении уравнений движения жидкости (2.3) и (2.6) можно, как правило, использовать много бльшие шаги по времени при сохранении высокой точности решения, экономя тем самым вычислительные ресурсы. В настоящей работе реализована методика, позволяющая совершать внутри одного шага по времени, выполняемого при численном решении уравнений гидродинамики (2.3) и (2.6), несколько более мелких шагов по времени для уравнения переноса маркер-функции (2.36), обеспечивая тем самым оптимальные значения чисел Куранта для всех уравнений. В представленных далее по тексту расчетах один шаг для уравнений (2.3) и (2.6) разбивался на такое количество равных шагов для уравнения (2.36), при котором число Куранта на каждом из них не превосходило предустановленного значения 0,5.
Отдельное внимание было уделено вопросу, какое поле скорости использовать на каждом из дробных шагов решения уравнения (2.36). Рассматривались два варианта: (1) линейно интерполировать скорость на текущий «дробный» шаг по значениям с нового и старого «больших» шагов; (2) использовать на всех дробных шагах скорость, полученную как полусумму значений с нового и старого «больших» шагов. Тестирование данных вариантов показало, что при одинаковых шагах по времени они обеспечивают примерно одинаковую точность, поэтому в большинстве расчетов использовался второй вариант как требующий меньшего количества вычислений.
При численном решении уравнения баланса импульса (2.3) (или 2.12), аппроксимированного по методу конечных объемов (2.20), требуется вычисление потоков количества движения через грани ячеек. Конвективная составляющая этих потоков может быть сосчитана как р/ Ff vf, где, как и ранее, Ff - объемный расход среды через грань/ Поскольку плотность среды в окрестности границы жидкость-газ изменяется на несколько порядков, различные способы аппроксимации ее значений на грани ячеек могут давать значения р/, отличающиеся на порядки, оказывая сильное влияние на получаемое решение. Конечно-объемная аппроксимация уравнения (2.3) предполагает использование такой аппроксимации для значений плотности на гранях ячеек, при которой будет выполнено условие сохранения массы (2.33) (в настоящей работе уравнение (2.33) не решается, а за сохранение массы в расчетной области отвечает уравнение переноса величины С (2.37), являющееся линейно-зависимым с ним). Данное требование будет выполнено при использовании согласованных аппроксимаций для конвективных потоков величины С в уравнении (2.37) и потоков количества движения р, Ff v,, а также для производных по времени в данных уравнениях, как это делалось, к примеру, в работе [127]: для аппроксимации производной по времени в данных уравнениях использовалась одна и та же схема, а при вычислении потоков импульса через грани ячеек использовались значения плотности, вычисленные через значения величины С на тех же гранях по соотношению (2.4).
В настоящей работе по ряду причин было решено отказаться от данной концепции. Одной из таких причин было использование алгоритма, предусматривающего несколько дробных шагов для решения уравнения (2.36) на каждом шаге решения уравнений гидродинамики, описанного в пункте 4.1.3. Кроме того, использовалась методика дополнительного «обострения» фронта, подробно описанная в пункте 4.1.1.
Для избавления от упомянутой выше необходимости согласовывать аппроксимации уравнений, можно переписать уравнение (2.3) в неконсервативной форме (4.8а) (как, например, в работе [135]) или в форме (4.8б) (как в работе [52]). Форма (4.8б) следует из (2.3) с учетом (2.2) и (2.6). Дискретные аналоги данных формулировок представлены соответственно формулами (4.9а) и (4.9б). В обеих формулировках плотность не входит под знак производной, так что вопрос о способе интерполяции плотности на грань ячейки отпадает.
Однако, как выяснилось в ходе методических расчетов, даже в случаях относительно простых течений использование и той, и другой форм записи приводит к сильной деформации межфазной границы. В качестве примера, на рисунке 4.13 приведены результаты решения модельной двумерной задачи о свободном падении круглого «пятна» жидкости в покоящемся воздухе под воздействием силы тяжести. Расчеты велись с достаточно малым шагом по времени (At = 0,0005 с, число Куранта CFL 0,25) чтобы считать погрешность аппроксимации по времени пренебрежимо малой. Тем не менее, для обоих вариантов (4.9), уже после перемещения пятна на расстояние, меньшее собственного диаметра, обнаруживаются заметные нефизичные искажения его формы, что обусловлено неточным соблюдением баланса импульса в ячейках расчетной сетки.
Методика дополнительной «диффузии» маркер-функции вблизи стенки
Детальный анализ результатов позволяет найти физическое объяснение этого явления. На рисунке 5.45 показана конфигурация течения в соответствующий момент времени, получившаяся в расчете на сетке с ячейками 2,5 мм. Видно, что в данный момент времени перетекающая через препятствие «струя» воды приближается вплотную к нижней стенке, замыкая образовавшийся под ней пузырь воздуха. При этом перекрывается высокоскоростной поток воздуха, покидающего этот пузырь (см. рисунок 5.45, б). Этот воздушный поток, очевидно, возник в силу того обстоятельства, что нижняя граница «струи» жидкости, перетекающей через препятствие, слегка смещалась вниз, вытесняя охватываемый этой струей» воздух. В момент касания с нижней стенкой «струя» теряет возможность смещаться вниз, и движение в ней должно резко перестроиться. Механизмом данного перестроения является значительное повышение давления в воздухе под «струей», что непосредственно затрагивает точки 5 и 7, а также передается через жидкость на точки 1 и 3 (см. рисунок 5.45, в). Таким образом, пик давления обусловлен физическими особенностями этого двумерного (!) течения, и для аккуратного его разрешения потребуется более мелкая расчетная сетка. Отметим, что цель аккуратно прописать данный пик давления в настоящей работе не Результаты расчета на сетке с ячейками 2,5 мм в момент времени 1,24 с: положение жидкости за препятствием (а), поле скорости в окрестности точки касания струи с нижней стенкой (б) и поле давления (в)
Помимо влияния используемой расчетной сетки, также исследовалось влияние шага по времени на получаемое решение: проведены дополнительные расчеты с фиксированным числом Куранта 0,4 и с фиксированным шагом по времени 0,002 с (при таком шаге типичное число Куранта составляло 0,8, но в отдельные моменты времени локальные значения числа Куранта достигали нескольких единиц). Расчеты проводились на сетке с ячейками 1 см. Результаты данных расчетов вместе с уже представленными ранее результатами расчета при числе Куранта 0,8 приведены на рисунке 5.46. Видно, что графики зависимости высоты в точке H2 от времени идут довольно близко друг к другу. Таким образом, при числе Куранта 0,8 шаги по времени получаются достаточно малыми для обеспечения приемлемой точности решения. Более того, можно даже использовать фиксированный шаг по времени (что требует в несколько раз меньшего количества шагов на весь расчет), лишь с небольшой потерей точности.
. Зависимость высоты воды H2 от времени: результаты расчетов на сетке с ячейками 1 см при фиксированных числах Куранта 0,4 (сплошная серая линия) и 0,8 (сплошная черная линия), а также при фиксированном шаге по времени 0,002 с (пунктирная линия)
Для исследования влияния поперечного размера пристенных ячеек на получаемое решение, были проведены расчеты на четырех сетках с различной степенью сгущения к нижней стенке. При этом максимальное (за исключением момента удара жидкости о нижнюю стенку, показанного на рисунке 5.45) нормированное расстояние от центра первой пристенной ячейки до нижней стенки Y+ составляло 1, 2, 100 и 400. Расчетные сетки имели квадратные ячейки со стороной 1 см в основной части расчетной области. На сетке с Y+ = 1 пристенные ячейки имели высоту 0,022 мм. Расчеты проводились при фиксированном числе Куранта 0,8.
Результаты расчетов приведены на рисунках 5.47 и 5.48. Видно, что конфигурация течения сильно зависит от значения Y+: уже в момент времени 1,2 с форма перетекающей через препятствие струи жидкости при Y+ 1, 100 и 400 оказывается заметно различной (рисунок 5.47, а). Это существенно сказывается и на высоте воды H2 (см. рисунок 5.48, а). Эти различия, обусловлены зависимостью формы отрывной зоны, возникающей перед препятствием, от значения Y+. Отдельно отметим, что сгущение расчетной сетки к вертикальным стенкам (в том числе на препятствии) не проводилось, поскольку, как показано в параграфе 5.5, это практически не влияет на форму отрывной зоны.
Результаты, полученные на сетках с Y+ = 1 и 2, оказались достаточно близкими: на момент времени 1,2 с формы занимаемых жидкостью объемов практически совпадают (см.
128 рисунок 5.47, б), начиная с момента 2 с возникают некоторые отличия, нашедшие свое отражение на графиках высоты в точке H2 (см. рисунок 5.48). Однако, данные отличия в общем невелики и находятся в тех же пределах, что и отличия в решениях на сетках с различной густотой в основной части (см. рисунок 5.36). Таким образом, полученное решение находится во все том же «доверительном интервале», что и решения, показанные на рисунке 5.36.
Использовалась расчетная сетка с ячейками 1 см, выдерживалось постоянное значение числа Куранта 0,8. Результаты расчетов представлены на рисунке 5.49. Видно, что примерно до момента времени 1,3 с все три решения совпадают, а далее между ними имеют место различия. Причем если до момента 2,6 с различия между всеми парами решений примерно одинаковы, то после этого момента два решения, полученные с учетом турбулентности, довольно близки друг к другу и заметно отличаются от решения без учета турбулентности, которое явно более хаотично.
Таким образом, можно заключить, что до соударения перетекающей через препятствие струи жидкости с нижней стенкой (примерно 1,3 с), пока течение в значительной степени упорядочено, влияние на него со стороны турбулентности минимально. Далее, в процессе соударения объемов воды со стенками и друг с другом течение становится все более хаотичным, все большую роль начинают играть сдвиговые деформации. В результате интенсивность турбулентности существенно возрастает, и она начинает оказывать все большее влияние на течение: турбулентная вязкость, достигшая достаточно высокого уровня к моменту времени 2,6 с, явно сгладила волны, «гуляющие» по поверхности воды.
Похожие диссертации на Численное моделирование нестационарных турбулентных течений жидкости со свободной поверхностью
