Содержание к диссертации
Введение
I Математические модели течения многослойных пленок вязкой несжимаемой жидкости 16
1 Гранично-краевые задачи пленочных течений 18
1.1 Граничная задача для уравнений Навье-Стокса . 18
1.2 Безразмерная постановка граничной задачи 20
1.3 Краевые задачи стационарных и квазистационарных пленочных течений 23
2 Сведение гранично-краевой задачи к системе эволюционных уравнений для толщины пленки 25
2.1 Приближение пограничного слоя 25
2.2 Метод Галеркина 26
II Нанесение пленки вязкой жидкости на движущуюся поверхность 31
1 Приложения и эксперимент 31
2 Постановка задачи 33
3 Приближение Са <С 1 без выделения зоны мениска 35
3.1 Метод непрерывного сопряжения со статическим ме ниском (при F ф 0, с ф 0) 39
4 Приближение ^2< 1, 8Н' ~ 1 с выделением зоны мениска . 40
III Вытеснение вязкой жидкости из капилляров 44
1 Математические модели движущегося мениска 45
2 Инерционные режимы вытеснения жидкости газом 48
3 Немонотонные профили границы раздела 52
IV Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони 55
1 Мениск 55
2 Фронт 60
Заключение 64
Приложение 66
Иллюстрации 76
- Граничная задача для уравнений Навье-Стокса
- Приближение пограничного слоя
- Приближение Са <С 1 без выделения зоны мениска
- Инерционные режимы вытеснения жидкости газом
Введение к работе
Тонкая пленка жидкости на твердой поверхности — основной технологический элемент в ряде важных процессов и устройств современной техники. Можно упомянуть защитные пленки покрытия на металлических, стеклянных, пластмассовых нитях; пленки оптически активного вещества на плоских подложках для кино- и фототехники; остаточные пленки на стенках цилиндрических и плоских капилляров, образующиеся при вытеснении из них вязкой жидкости другой менее вязкой жидкостью или газом; пленки загрязнителей, образующиеся при самопроизвольном растекании капель жидкости под воздействием градиентов поверхностного натяжения или массовых сил.
В полной постановке гидродинамический расчет таких течений сводится к решению сложной многопараметрической краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в области с неизвестной границей. Эта граница образуется свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела и включает зоны пленочного течения и мениска: в разных задачах граница пленки дополняется неизвестными формами движущихся фронтов или областями менисков при извлечении поверхностей из объемов жидких растворов. В общем случае течения в этих задачах очень сложны по структуре, по обилию физических процессов, определяющих пленочные образования, и пока не имеется их прямых исследований без упрощений и облегчающих задачу дополнительных ограничений. Начиная с самых первых работ по определению толщины пленок нанесения рассматривалась не система уравнений Навье-Стокса, а разумные балансовые соотношения, и справедливость их оценивали из сравнения экспериментальных толщин пленок с результатами решения. Много десятилетий эта задача была предметом обсуждений экспериментаторами и предметом сравнений различных приближений решения с количественными значениями толщины пленок в зонах асимптотического их постоянства.
Эффективный метод исследования капиллярных пленочных течений, основанный на применении приближения пограничного слоя к полной краевой задаче, был предложен в Институте Механики МГУ классической работой (Шкадов, 1967), в которой из полной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса выведена система модельных уравнений, сохраняющая с большой точностью все свойства исходной постановки, связанные с действием сил капиллярности, вязкости, инерции, гравитации, но допускающая и то же время систематические и быстрые численные расчеты. Последнее обстоятельство особенно важно для анализа капиллярных течений с поверхностями раздела, исследование которых сводится к многопараметрическим моделям. В развитие этой работы был создан целый раздел гидродинамики волновых пленок, дано теоретическое истолкование основных экспериментальных фактов, решена знаменитая задача П. Л. Капицы (Капица, Капица, 1949) о нелинейных волнах и открыты новые свойства нелинейных волн в системах с дисперсией и диссипацией, в частности, в капиллярных движущихся пленках. И. П. Семеновой и А. Е. Якубенко в рамках метода Шкадова была рассмотрена задача отекания пленки вязкой несжимаемой жидкости по сухой вертикальной стенке с постоянной скоростью (Семенова, Якубенко, 1980). Для задачи извлечения тела из объема жидкости при конечных скоростях извлечения расчеты возмущенной поверхности жидкости, объединяющей слой увлечения и мениск, непрерывно и гладко сопрягающихся в промежуточной области, были проведены в цикле работ коллектива В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова, А. Е. Кулаго и А. К. Такмазьян (Кула-го и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997; Кулаго и др., 1997; Такмазьян, Шкадов, 2002; Шкадов, Такмазьян, 2003). Плодотворность выдвинутых идей Шкадова была использована и другими коллективами в экспериментальных и теоретических исследованиях пленочных течений, результаты которых в частности отражены в монографиях (Холпанов, Шкадов, 1990; Алексеенко и др., 1992; Chang, Demekhin, 2002).
В настоящей работе приводятся результаты исследования систем модельных эволюционных уравнений применительно к пленочным течениям на поверхности вытягиваемых из жидкого объема нитей, вытеснения вязкой жидкости из цилиндрического капилляра, натекания жидкости на твердую поверхность под действием термокапиллярного эффекта Марангони. Эти три гидродинамические системы мениск-пленка рассмотрены в условиях высокоинтенсивных движений, когда требуется включения в математические модели всех главных нелинейных членов, связанных с инерционной частью уравнений и кривизной поверхности раздела в граничных условиях. Наряду с осесимметричными течениями рассматриваются также соответствующие им плоские мениски и пленки. Во всех случаях построение моделей сопровождается их численным решением и математическим моделированием путем варьирования основных свободных управляющих параметров. Результаты численного моделирования сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными.
Нанесение пленочных покрытий вытягиванием тела из объема жидкости На поверхности твердого тела, движущегося из жидкости в газ или другую жидкость, образуется пленка. При движении тело пересекает границу раздела фаз, увлекая за собой тонкий слой жидкости — происходит покрытие поверхности тела пленкой, а сама граница раздела вблизи поверхности тела искривляется, образуя динамический мениск. Из-за небольшой толщины пленки целесообразно рассматривать движение жидкости в пленке в рамках приближения пограничного слоя, что существенно облегчает решение уравнений движения.
В первой работе (Landau, Levich, 1942), в которой было предложено решение задачи о толщине образующейся пленки на вытягиваемой верти кально вверх из объема жидкости плоской пластине, существенно предпо ложение о порядке малости толщины пленки, таком, что силы гравитации и инерции дают пренебрежимо малый вклад в динамику жидкости в пленке и динамическом мениске. Данное предположение верно лишь при предель- ф но малых скоростях извлечения пластины из жидкости, при Са —> О, где Ca — число капиллярности по скорости пластины. Подход работы Ландау и Левича основан на асимптотическом сращивании профилей статического мениска и поверхности пленки, так, чтобы давление в пленке, индуцированное кривизной ее поверхности, изменялось непрерывным образом. При этом в выражении кривизны поверхности динамического мениска не учитываются нелинейные члены.
Потребности практики не могли ограничиваться только малыми скоростями вытягивания, и поэтому поиски теоретических обоснований новых экспериментальных данных, не описываемых формулой Ландау-Левича продолжались. Путем сравнения линеаризованных около асимптотического решения (в области постоянной толщины пленки) уравнения без гравитационного члена и уравнения с учетом гравитации в работе (White, Tallmadge, 1965) из формулы Ландау-Левича было получено соотношение между числом капиллярности и относительной толщиной пленки, которое применимо в более широком диапазоне по числу капиллярности. В работе (Spiers et ai, 1974) учтено в первом приближении изменение давления вдоль поперечной к пленке координате, которым в приближении пограничного слоя пренебрегают. Такое уточнение позволяет с хорошей точностью предсказывать толщину пленки, но только для достаточно вязких жидкостей, когда эффекты инерции пренебрежимо малы. Недостаток подхода работы (Landau, Levich, 1942) — разрывный профиль мениска — сохраняется и в данных работах, в них фактически используется асимптотическое сращивание профилей менисков, предложенное в (Landau, Levich, 1942). Главным результатом этих работ является отыскание зависимости безразмерной асимптотической толщины пленки вдали от мениска от числа капиллярности по скорости пластины — фактически в задаче присутствуют два безразмерных параметра (один из них неизвестен и находится при решении). Некорректность такой постановки задачи для вытягивания при конечных скоростях показана еще в работе (Tallmadge, Soroka, 1969). Задача вытягивания содержит шесть размерных величин: плотность и вязкость жидкости, скорость дви- жения пластины, толщина образующейся пленки (неизвестная), ускорение силы тяжести, поверхностное натяжение. Как легко заключить, безразмерных параметров всего три, а не два, как считается в предыдущих работах: при учете инерции кроме искомой относительной толщины пленки и числа капиллярности в задачу должен входить дополнительный параметр, выражающий физические свойства жидкости, например, число Капицы. Такие инерциальные режимы нанесения покрытий осуществляются при числах Рейнольда по толщине пленки порядка единицы: больших скоростях извлечения пластины или когда вязкость жидкости сравнительно невелика. Для жидкости, число Капицы которой существенно больше единицы, подход работ (Landau, Levich, 1942; White, Tallmadge, 1965; Spiers et a/., 1974) оправдан лишь при малых скоростях извлечения, в пределе Са —> 0.
Другой предельный случай, Са —> со, обозначает режимы, когда скорости извлечения настолько высоки, что распределением давления в мениске из-за сил поверхностного натяжения можно пренебречь. Этот случай рассмотрен в работе (Cerro, Scriven, 1980). Полученное авторами значение безразмерной асимптотической толщины пленки несколько меньше наблюдаемого в экспериментах (Kizito et ai, 1999), но оно может служить для проверки решения полной задачи с учетом инерционных, гравитационных и капиллярных сил в пределе при Са —> со.
Непрерывный профиль динамического мениска построен в работе (Kheshgi et а/., 1992). В ней решалось уравнение для поверхности мениска работы (Kheshgi, 1989), выведенное в первом приближении разложением по малому параметру — числу капиллярности — из полной системы уравнений Навье-Стокса с учетом инерционной и гравитационной составляющих. Такой подход дает сильно заниженное значение для толщины пленки, предел при Са —> со меньше, чем результат работы (Cerro, Scriven, 1980).
Новый теоретический подход к задаче нанесения покрытий, учитывающий эффект инерции, предложен в (Кулаго и др., 1993). Он основан на сращивании решений профиля динамического и статического менисков в некоторой промежуточной точке, подбираемой в процессе решения. Такой подход дает построение гладкого с непрерывными третьими производными профиля динамического мениска и позволяет продвинуться в истолковании экспериментальных данных до умеренных значений Са, на порядки больших верхней границы применимости по Са формулы Ландау-Левича. Этот результат был получен из системы уравнений, учитывающей нелинейные конвективные члены в краевой задаче, роль которых возрастает с увеличением скорости движения твердой поверхности.
Теория, с учетом полной кривизны поверхности раздела, позволяющая получить абсолютно гладкий профиль мениска при вытягивании цилиндра из объема жидкости, построена в работах (Кулаго и др., 1993; Шкадов, Шкадова, 1997) в применении к задаче о пленке на круглом цилиндре. Расчетные значения толщины пленки показали хорошее соответствие с экспериментом (de Ryck, Quere, 1996; Quere, 1999). Экспериментальные данные демонстрировали тот факт, что при числах Са порядка 0,01 зависимость асимптотической толщины пленки от числа капиллярности существенно перестраивается, качественно отличается от зависимости Ландау-Левича. Результаты интегрирования системы уравнений, выведенных в работе (Шкадов, Шкадова, 1997) с учетом в граничных условиях производных от профиля свободной поверхности до третьего порядка, отразили с достаточной точностью это явление. Это решение было существенным продвижением в задаче извлечения нити из жидкости, так как полученные результаты пригодны до Са ~ 1.
Вытеснение вязкой жидкости из капилляров В процессе вытеснения ВЯЗКОЙ жидкости другой жидкостью или газом из круглого капилляра возникает сложное течение с поверхностью раздела, которая включает в себя область динамического мениска вблизи передней точки движущегося фронта раздела и область кольцевой остаточной пленки асимптотически постоянной толщины вдали от передней точки. Экспериментальные исследования таких течений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961; Goldsmith, Mason, 1963; Aussillous, Quere, 2000) касаются, прежде всего, измерений толщины остаточного слоя на стенках капилляра и показывают, что не существует единой корреляционной кривой, которая объединяла бы все экспериментальные точки.
Решение задачи о толщине остаточной пленки на стенках капилляра при Са ч0 в рамках асимптотического подхода работы Ландау и Ле-вича для задачи о пленке на пластине, вытягиваемой из объема жидкости, было предложено в работе (Bretherton, 1961). Асимптотический метод (Bretherton, 1961) развит в работе (de Ryck, 2002), где сделана попытка учесть вклад инерции при малых инерционных членах в уравнении Навье-Стокса и использована поправка в уравнениях приближения смазки, введенная в (Spiers et al., 1974) для задачи о пленке на вытягиваемой пластине. При этом в (de Ryck, 2002) критерий для определения предельной толщины пленки выбирался исходя из эмпирических соображений.
Новый подход к задаче нанесения покрытий, заключающийся в построении системы уравнений, допускающей сквозной счет от асимптотических условий постоянства толщины пленки до передней точки динамического мениска (Шкадов, Шкадова, 1997) был применен и к процессу вытеснения жидкости из капилляра как при малых, так и при больших значениях Са (Кулаго и др., 1997). Было получено хорошее согласие теоретических решений с экспериментальными данными (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961) и обнаружен немонотонный характер формы вытеснения в интервале капиллярных чисел от Са = 0, 05 до Са = 0, 5.
В настоящей работе дано развитие гидродинамической теории процесса вытеснения жидкости из капилляра, обеспечивающее возможность истолкования экспериментов при различных условиях и прежде всего для инерционных режимов вытеснения, наблюдавшихся в работе (Aussillous, Quere, 2000). Для этого система уравнений работы (Кулаго и др., 1997) обобщается посредством учета сил инерции; выводится полная система уравнений для формы поверхности раздела жидкостей при вытеснении из капилляра с учетом взаимодействия фаз. Получены численные решения данной системы для теоретического истолкования результатов эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Также получены решения, соответствующие немонотонным профилям границы раздела, и обсуждена их связь с экспериментальными данными работ (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986; Scoffoni et a/., 2001).
Течение пленки под воздействием эффекта Марангони Один из способов нанесения тонкого слоя жидкости на твердую неподвижную подложку состоит в создании градиента температуры на поверхности контакта подложки с жидкостью. Вследствие этого возникает градиент поверхностного натяжения, который служит движущей силой, вызывающей растекание жидкости по подложке (эффект Марангони). При этом движение жидкости может быть направлено против действия массовых сил. Вертикальные пленки в поле силы тяжести с движущимся вверх фронтом наблюдались в экспериментах (Ludviksson, Lightfoot, 1971; Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996). В этом случае пленка ограничена снизу зоной мениска и сверху движущимся фронтом.
При движении фронта пленки на линии контакта поверхности пленки с твердой подложкой невозможно выполнение условия равенства нулю скорости жидкости на твердой поверхности. Это ограничение можно снять, предположив, что пленка распространяется не по сухой подложке, а поверх тонкого слоя жидкости ("предвестника"), возникшего в результате испарения жидкости из пленки и конденсации ее на подложке. Такой предвестник наблюдался в (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Теоретические работы (Kataoka, Troian, 1997, 1998) по исследованию термокапиллярного течения на вертикальной пластине посвящены определению профиля фронта термокапиллярной пленки. Для решения такой задачи необходимо знать условия на границах исследуемой области — асимптотическую толщину пленки вда- ли от фронта и толщину предвестника. Толщина пленки определяется течением в области мениска — области перехода пленки в объем жидкости. Таким образом, задача определения параметров термокапиллярного нате-кания жидкости на твердую вертикальную пластину заключается в решении уравнений движения и определении формы границы течения в области динамического мениска и в области фронта пленки. В настоящей работе представлены первые результаты по этой новой задаче, полученные интегрированием системы уравнений, характерной для подхода работы (Шка-дов, Шкадова, 1997) и дополненной необходимыми граничными условиями для конкретного случая термокапиллярной пленки (Такмазьян, Шкадов, 2002).
Подробное экспериментальное исследование термокапиллярной пленки на вертикальной стенке было проведено в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Авторами этой работы было экспериментально установлено, что толщина пленки линейно зависит от приложенного градиента поверхностного натяжения. Экспериментальные измерения толщины термокапиллярной пленки были проведены также в работах (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). В работе (Fanton et a/., 1996) было сделано обобщение формулы Ландау, из которой таким образом была получена формула для зависимости асимптотической толщины пленки от градиента поверхностного натяжения. При этом в области значений параметров, соответствующей эксперименту этой работы, данная формула требует поправки порядка 20% в градиенте поверхностного натяжения, в то время как результаты нашей работы в определении толщины пленки полностью соответствуют экспериментам (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996).
В настоящей работе проведен расчет профиля мениска термокапиллярной пленки для случая свободной геометрии (когда нет влияния границ объема жидкости). Полученные результаты совпадают во всем диапазоне параметров с данными экспериментов (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). Построена модель и проведены расчеты фронта термокапиллярной пленки. Рассчитанные профили фронтов хорошо соответствуют измеренным экспериментально в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971).
Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе формулируется общий подход, три последующие отражают результаты решения трех основных задач.
Граничная задача для уравнений Навье-Стокса
Рассматривается течение без смешения п слоев вязких несжимаемых жидкостей, расположенных один поверх другого, с плотностью pi и динамической вязкостью \іі (і = 1,...,п), причем первый слой течет по цилиндрической поверхности твердого тела радиуса R, а n-й слой имеет поверхность, свободную от напряжений. В задаче присутствует параметр j: если течение происходит по внешней стороне цилиндрической поверхности, то j = 1, если по внутренней — j = — 1. Используется цилиндрическая система координат (z,r,cp), где ось z совпадает с осью цилиндра, ось г направлена по радиусу, ср — угол поворота радиуса вокруг оси z. Рассматриваемые движения симметричны относительно поворота вокруг z: д/д(р = О, и имеют нулевую азимутальную составляющую скорости. Во введенной системе координат компоненты скорости стенок цилиндра вдоль осей z, г равны С/о, Vo, причем С/о = const, VQ — 0. Поверхность цилиндра задана уравнением г = so = R, граница раздела г -й и (г 4- 1)-й жидкостей — уравнением г = Si(z,t), і = l,...,n — 1, свободная поверхность n-й жидкости — уравнением г = s.n(z,t); причем jsi-i jsi (і = 1,...,п). Здесь t — время. При z — со: S{ — R + jhi, hi — const 0. Компоненты скорости жидкостей вдоль осей z, г и давление равны соответственно C/j, "Ц, Д. Разработанный в Институте Механики МГУ (Шкадов, 1967, 1968, 1973; Епихин и др., 1989а,Ь) метод исследований течений тонких пленок основывается на трех существенных моментах. Вводится малый параметр, характеризующий отношение производных искомых величин по продольной и поперечной координатам, и исходная краевая задача для уравнений Навье-Стокса сводится к задаче для уравнений типа пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. Выбирается базисная система функций от поперечной координаты, искомые решения разлагаются по этой системе и методом Галеркина выводятся дифференциальные уравнения для коэффициентов разложений. Набор безразмерных параметров задачи приводится к простейшему виду на основе предположения, что рассматривается класс течений, в которых силы вязкости, тяжести и поверхностного натяжения имеют одинаковый порядок.
В работах (Шкадов, 1967, 1968, 1977) в первом приближении метода Галеркина была выведена система эволюционных уравнений для толщины пленки и текущего расхода с единственным параметром подобия 6. В (Шкадов и др., 1981; Демехин и др., 1987) выведены системы с N аппроксимирующими функциями, в (Chang, Demekhin, 2002) даны примеры расчетов.
Система эволюционных уравнений работы (Шкадов, 1967), известная в настоящее время как модель Шкадова (см. (Алексеенко и др., 1992; Ruyer-Quil, Manneville, 1998; Зейтунян, 1998; Chang, Demekhin, 2002; Shkadov, 2002)) явилась эффективным средством исследования нелинейных волн в стекающих пленках. Она позволила полностью истолковать как знаменитые эксперименты П. Л. Капицы, С. П. Капицы с волновыми пленками на вертикальной поверхности (Капица, Капица, 1949), так и более поздние экс перименты (Алексеенко и др., 1992).
В работах (Кулаго и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадо-ва, 1997; Кулаго и др., 1997) метод работы (Шкадов, 1967) модифицирован должным образом и применен к выводу модельных уравнений для стационарным течений пленок, формирующихся на плоской или цилиндрической поверхности при извлечении их из жидкого объема. Модификация связана с правильным учетом сильно нелинейных членов в граничных условиях, которые малы в области пленочного течения, но велики в зоне мениска. Полученные численные решения модельных уравнений оказались пригодными для истолкования экспериментов с нанесением покрытий на плоские и осе-симметричные поверхности и с вытеснением жидкости из осесимметричных капилляров.
Метод исследований многослойных течений вязкой жидкости для плоского и осесимметричного случая, названный методом поверхностей равных расходов, разработан в (Шкадов, 1973). Приложения метода к расчету стационарных течений многослойных пленок и составных капиллярных струй даны в работах (Radev, Shkadov, 1985; Епихин и др., 1989а,Ь; Холпа-нов, Шкадов, 1990). В отчете № 4349 Института Механики МГУ (Шкадов, Шкадова, 1994) метод применен к исследованию течения газовых смесей в канале переменного сечения в поле силы тяжести. Исследования нестационарных волновых течений двухслойных струй и пленок проведены в (Radev, Shkadov, 1985; Тушканов, Шкадов, 2003).
Приближение пограничного слоя
Сохраняя основную идею метода Галеркина, основанную на разложении решения по выбранной базисной системе функций с последующей минимизацией невязки уравнения, необходимо в максимально возможной степени учесть особенности исследуемой задачи. Это достигается тем, что после введения малого параметра 5 (порядок отношения производных по продольной и поперечной координатам) в полной формулировке уравнений и граничных условий предварительно отбрасываются члены порядка 0(52): но сохраняются члены S2H 52We , 52Re , 2Fr2, отражающие вклад поверхностного натяжения, вязкости, гравитации в баланс сил. Влияние первого из указанных членов существенно в зоне мениска, остальные три определяют поле течения в целом.
В области мениска производная Н не ограничена (условие (17), к = — оо) и члены порядка /3 = 5Н не малы даже при малых 5. Заметим, что функции а не все независимы, связь между ними задается граничными условиями (21,24); п условий (21) для и, п условий (24), п уравнений (32,33) и п уравнений (34) составляют систему 2п нелинейных эволюционных уравнений и 2п нелинейных связей для п функций Н (, ) и N х п функций а (ї, ). Следуя (Шкадов, 1967), мы полагаем N = 3, замыкая таким образом систему и ограничиваясь первым шагом в применении прямого метода (Галеркина).
Параболическое приближение скорости Так же, как в (Шкадов, 1967; Кулаго и др., 1993; Koulago et ai, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997), продольная компонента скорости каждой жидкости приближается полиномом второй степени по rj: В технологии покрытия поверхностей тонкими слоями вещества и получения пленок широко распространен способ вытягивания из объема жидкости (или протягивания через него) твердой основы, на которой образуется пленка. Например (Scriven, Suszynski, 1990): бумагу, для улучшения качества печати на ней, покрывают смесью из воды, глины, красителей, крахмала и полимерного латекса; расплавленный полиэтилентерефталат (ПЭТ) наносится на охлажденный ролик, после застывания с ролика снимается готовая пленка, которую также можно использовать как основу для покрытия; на тонкую основу из ПЭТ наносится вода, желатин и разнообразные фотореактивы для получения фотопленки; алюминиевые и ПЭТ-диски покрываются растворителем, намагничиваемым оксидом железа, окисью алюминия и полимерной основой для создания магнитных носителей информации; листовое железо покрывают расплавленным оловом для защиты от окисления; на жесть наносятся полимеры, перед формовкой из нее деталей корпуса автомобилей или бытовой техники; на листы из материалов с различающимися свойствами наносят полимерный клей или неорганический цемент и соединяют их в многослойные композиты.
Приближение Са <С 1 без выделения зоны мениска
При малых Са относительная толщина пленки є мала. Полагая є S2, пренебрегая членами порядка є и сохраняя члены порядка є/S2 получаем из (1-5,9,10) краевую задачу работы (Кулаго и др., 1993). Это система уравнений пограничного слоя, в которой распределение давления создается силой поверхностного натяжения в зависимости от кривизны поверхности. Для исследования применяется метод Галеркина с одной аппроксимирующей функцией. Численное интегрирование уравнения(18) проводится от = в сторону мениска. Асимптотическое поведение решения (18) при уменьшении для различных значений F, с показано на фиг. 1. Во всех случаях, кроме F = 0, с = 0, Я возрастает так же, как возрастает Н". Решение становится непригодным, так как противоречит третьему условию (16) в принятом приближении. Возникает необходимость склеить решение (18) с решением для статического мениска. Отметим, что рассматриваемый способ согласования решений уравнения (18) и уравнения статического мениска не обеспечивает построение решения, непрерывного с непрерывными производными. Он имеет интуитивный характер, предлагает алгоритм подбора /го, пригодный лишь при F = 0, с = 0 в уравнении (18), так как Н" — оо при F ф 0 или с ф 0.
Соотношения (30,31) открывают существенное обстоятельство, которое демонстрирует некорректность уравнения (18) при корректной процедуре склеивания его решений с решением уравнения статического мениска (22). Именно, в (30,31) существенно входит величина 52Н 2, которая считалась малой при выводе (18). При корректном выводе уравнения типа (18) для пограничного слоя с самоиндуцированным давлением мы должны сохранять члены SH , считая, что 5Н может быть порядка единицы при как угодно малом 6.
Решения краевой задачи для системы (34) представлены на рис. 6 для различных 7; указанных возле каждой кривой. Качественно наблюдается та же картина, что и в экспериментальных наблюдениях (рис. 2): при 7 3, 5 график F(Ca) представляет возрастающую функцию, асимптотически стремящуюся к константе 0,391 с ростом Са. При 7 3,5 график зависимости F(Ca) имеет максимум, больший 0,391, после которого функция убывает и стремится асимптотически к той же константе. Число F = 0,391 было впервые получено в (Cerro, Scriven, 1980), где рассматривалась пленка на вытягиваемой пластине без учета сил поверхностного натяжения.
Количественное сравнение теории с экспериментом работы (Kizito et аі. 1999) представлено на рис. 7, где символами нанесены данные измерений этой работы, цифрами указаны соответствующие кривые, полученные при решении системы (34) с теми же значениями параметра 7, что и в эксперименте. Из рис. 7 видно, что при больших 7 теория расходится с экспериментом: данные измерений превышают полученные в расчетах.
Сравнение результатов решения системы (34) при малых 7 с экспериментами работ (Spiers et аі, 1974; Groenveld, 1970; Lee, Tallmadge, 1974) представлено на рис. 8. В работах (Spiers et аі, 1974) и (Lee, Tallmadge, 1974) не сообщаются все свойства рабочих жидкостей, чтобы можно было вычислить 7 С ростом числа капиллярности Са уменьшается влияние поверхностного натяжения в формировании мениска и течение определяется балансом сил вязкости (первое слагаемое в правой части третьего уравнения системы (34)), гравитации (второе слагаемое) и инерции (третье слагаемое).
Результаты (Gutfinger, Tallmadge, 1965) меньше, чем в остальных работах, что связано, как отмечено в (Spiers et al, 1974) с недостатками метода измерения и проведения эксперимента. В (Spiers et al, 1974; Gutfinger, Tallmadge, 1965; Kizito et al, 1999) экспериментальная установка включала вертикальный тонкий ремень, натянутый на два барабана, ремень протягивался через бак, наполненный жидкостью (рис.1 а, б). В работе (Gutfinger, Tallmadge, 1965) нижний барабан находился непосредственно внутри жидкого объема (рис.16), и вращение барабана могло вызывать течение в пленке, отличное от течения при вытягивании бесконечной пластины. В работе (Groenveld, 1970) вместо плоского ремня использовался вращающийся барабан большого радиуса, погруженный в жидкость (рис.1 в), и значение F так же, как и в (Gutfinger, Tallmadge, 1965) меньше, чем в (Spiers et al, 1974; Kizito et al, 1999). Пленка, полученная в (Kizito et al, 1999) наоборот, толще, чем в остальных работах, из-за действия сил инерции, увлекающих движущуюся жидкость из пограничного слоя в объеме в пленку.
Рассмотрим вытягивание цилиндра радиуса R вертикально вверх со скоростью U в поле силы тяжести д из объема жидкости вязкости /І И плотности р. Результат для пластины получим в пределе R — со. В постановке задачи раздела 1.1 главы I соответственно нужно положить п = 1, j = 1, UQ = U. Характерной скоростью является скорость цилиндра: Uc = U, щ = 1. Поскольку пленка однослойная и течение установившееся, djdl— 0, имеет смысл ввести более простые, чем в главе I, обозначения: Н = ЯW, и = и , v = V&, р = р(1), D = Dh Г = d//df.
Далее рассматриваются течения при постоянном поверхностном натяжении на границе раздела жидкости и окружающего газа: Г = 0. Кроме того, в задачах вытягивания практический интерес представляют высокоскоростные режимы нанесения пленок, когда их толщина существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, вызывающих расклинивающее давление: П = 0.
Инерционные режимы вытеснения жидкости газом
С целью определения формы профиля динамического мениска решается краевая задача для системы (10),(13) с краевыми условиями (6),(7). Четырем условиям (6),(7) для системы третьего порядка можно удовлетворить лишь при определенных значениях параметра є, которые задают толщину остаточной пленки ho = eR. Подстановка в (10),(13) малого возмущения решения (12) Я=1 + #і, =Хоо + Хі, #i 1, ci 1 и линеаризация по малым величинам дает после исключения к\ следующее линейное однородное уравнение для Н.
Пусть известны значения параметров Са, А, В. Заданием пробного значения є полностью определяются коэффициенты системы (10),(13). При некотором = о формулируются начальные условия после чего система (10),(13) численно интегрируется в сторону убывания . Значение подбирается так, чтобы в некоторой точке = выполнялись оба условия (7). Если такая точка существует, то, поскольку уравнения (10),(13) при замене независимой переменной на — не меняются, она является передней точкой фронта вытеснения, форма которого в этом случае задается функцией Я( — ), а найденное значение є определяет толщину остаточной пленки ho, отнесенную к радиусу капилляра R.
Поведение решений системы (10,13), вид функции т() на этих решениях и значения функционала Ф(#) при различных g приведены на рис. 10 при Са — 0,001; 5 = 0. Зависимость Ф(д) при Са = 0,001, построенная с шагом по д, равным 0,001, приведена на рис. 11.
Более быстрая сходимость алгоритма подбора достигается при использовании метода дихотомии. Интервал параметра є разбивается пополам, и численное интегрирование проводится либо до точки : Я ( ) —у — оо, либо до 2п—й точки : Я;( ) = 0. В зависимости от того, какое условие достигается на левом конце отрезка интегрирования, отбрасывается соответствующая часть интервала параметра.
Интерес представляет случай, когда значение с достаточно велико, так что инерцию следует учитывать. Для вытеснения этанола из горизонтальной трубки радиуса R = 0, 078 см значение параметра А равно 9800; при Са == 0,1 экспериментальное (Aussillous, Quere, 2000) значение є равно 0,2, что дает с & 90. Абсолютное значение характеристического числа линейной задачи и при больших с мало, поэтому расчет с прежней точностью приходится вести на более длинном интервале по . На рис. 12, а (кривая Ї) представлена рассчитанная зависимость є(Са) в диапазоне значений Са, соответствующем условиям проведения эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Для сравнения перечеркнутой линией приведена кривая, получающаяся из решения уравнений без учета инерции, с = 0. Были проведены также расчеты для экспериментов (Aussillous, Quere, 2000) с вытеснением слабовязкого силиконового масла, физические свойства которого, /І = 0,0052 г/(см с), р = 0, 76 г/см3, а = 16 г/с2, сообщил Давид Керэ (David Quere) — один из авторов работы (Aussillous, Quere, 2000). В данном эксперименте использовались три горизонтально расположенных капилляра с радиусами 0,146; 0,078; 0,042 см, что соответствует следующим значениям безразмерных параметров: В = 0; А = 65700, 35100, 18900. Рассчитанная для них зависимость q(Ca) приведена на рис. 12,6" (три кривые 1: сплошная, пунктирная и штрих-пунктирная соответственно). Исходя из рис. 12,5 можно определить числа капиллярности Са (обозначение работы (Aussillous, Quere, 2000)), начиная с которых наблюдается влияние инерции, а также числа капиллярности Са , при которых влияние инерции максимально. Они соответствуют минимумам и максимумам кривых 1 и совпадают с измеренными в (Aussillous, Quere, 2000).
Сплошная линия на рис. 9 построена по результатам численного решения уравнений, выведенных в (Кулаго и др., 1997) без учета инерционных членов. Каждое из этих решений соответствует монотонному профилю поверхности раздела от передней точки фронта до зоны асимптотического слоя постоянной толщины на стенке. Зависимость д(Са) на решениях с монотонным профилем поверхности раздела достаточно хорошо согласуется с данными, полученными в (Taylor, 1961; Bretherton, 1961; Goldsmith, Mason, 1963) при Са Ю-4. В (Кулаго и др., 1997) установлено, что суще ствуют также решения с немонотонными профилями поверхности раздела, у которых имеется N ( 1) локальных максимумов толщины остаточного слоя. Такие течения со стационарным фронтом вытеснения представляют последовательность выпуклых пузырей, соединенных тонкими перешейками, причем в расчетах были получены решения, содержащие до пяти пузырей (N = 1,...,5). В данной работе на основе тщательно проведенных численных расчетов этот фундаментальный результат (Кулаго и др., 1997) обобщается, а именно, справедливо следующее утверждение о неединственности решений: при каждом фиксированном значении Са существует последовательность решений cn = 0,l,2,...,7V максимумами толщины остаточной пленки, каждое из которых соответствует динамически возможному стационарному режиму вытеснения жидкости из капилляра.
На рис. 13,а,б приведены профили фронта вытеснения 1 — еН и (в соответствии с формулой (4) для скачка давления между фазами) распределения давления в пленке, взятого с обратным знаком, c/q при значениях свободных параметров Са = 0,1; В = 0; А = 0 (а), А = 9800 (б). Показаны монотонный профиль границы раздела, профиль с одним и двумя горбами.
Отметим два свойства решений с немонотонным профилем поверхности раздела: а) асимптотическая толщина пленки ho для них больше, чем у пленок с монотонной границей и растет с увеличением количества точек минимума; б) продольный размер каждого горба составляет примерно 3R, поэтому протяженность зоны мениска больше 3R на этих решениях. Оба эти свойства согласуются с результатами экспериментальных наблюдений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986) о том, что эффективная остаточная толщина пленок при вытеснении из капилляра пузырей растет с увеличением длины пузыря. В работе (Scoffoni et al, 2001) немонотонные профили границы раздела наблюдались экспериментально при вытеснении жидкости другой жидкостью.
Зависимость ?(Са) для таких решений при с = 0 показана пунктирными линями на рис. 9 для профилей с числом горбов от одного до семи. Самая нижняя из них соответствует профилям с одним горбом, далее — с двумя, самая верхняя — профилям с семью горбами. На рис. 12 представлены рассчитанные зависимости безразмерной асимптотической толщины остаточной пленки для профилей с одним (кривые 2) и двумя горбами (кривые 3) при вытеснении этанола (а) и силиконового масла (б).
