Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ 8
ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УЗКИХ ПОЛОС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ТОНКИХ ЖИДКИХ ПЛЕНОК. 19
2.1. Определение проекций скорости и давления 19
2.2. Уравнение свободной поверхности трехмерной пленки 26
2.3. Линейная устойчивость вертикальной и наклонной пленки 3D
2.4. Нелинейное развитие возмущений 37
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ
ПРИ ЗАДАНИИ ПРОЕКЦИЙ СКОРОСТИ ПО ОСЯМ X И Z В ВВДЕ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛИНОМА 54
3.1. Проекции скорости 54
3.2. Вывод системы нелинейных уравнений, описывающей трехмерные возмущения 55
3.3. Дисперсионное уравнение 63
3.4. Вывод нелинейного параболического уравнения 68
ГЛАВА ІV. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 7б
4.1. Критерий пространственной неустойчивости 76
4.2. Нелинейное взаимодействие волн модуляции и фокусировки 83
4.3. Нелинейное развитие возмущений 87
ВЫВОДЫ 89
ГРАФИКИ 92
ПРИЛОЖЕНИЕ Ї56
ЛИТЕРАТУРА 170
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ
- Определение проекций скорости и давления
- Вывод системы нелинейных уравнений, описывающей трехмерные возмущения
- Критерий пространственной неустойчивости
Математическая модель течения трехмерной жидкой пленки
Рассмотрим течение жидкого слоя вязкой несжимаемой жидкости под действием силы тяжести по твердой наклонной плоскости при движении над ним потока газа (рис. I).
Математическая модель такого течения - это система уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности: обходим анализ нелинейной устойчивости. С этой целью в нелинейном приближении при исследовании поведения системы в закри-тической области, прилегающей к кривой нейтральной устойчивости, используя идею о спектрально-узком волновом пакете [19,11,10,23 ] и применив метод многомасштабных разложений [30] , удалось найти нелинейные характеристики трехмерной жидкой пленки и вывести нелинейное параболическое уравнение эволюции спектрально-узкого волнового пакета на поверхности трехмерной жидкой пленки.
В главе ІУ в рамках нелинейного параболического уравнения проанализирована вторичная неустойчивость периодического волнового течения к пространственным возмущениям, исследована эволюция волны огибающей и изучены такие нелинейные эффекты, как фокусировка и модуляционная неустойчивость волновых пакетов [12,19] . Результаты, полученные с помощью нелинейного параболического уравнения»явились новизной данной работы.
Определение проекций скорости и давления
Уравнение свободной поверхности (2.4) необходимо для на хождения волновых характеристик трехмерной жидкой пленки и исследования вопросов её линейной и нелинейной устойчивости. При исследовании трехмерной пленки Кіілтіїга, t Lin [59] было также получено уравнение свободной поверхности, коэффициенты которого содержат поверхностное натяжение и угол наклона поверхности, по которой течет пленка, с их уравнением согласуются результаты работ А/а &а.уа [52]и о$4е ь [65] , если не учитывать члены с поверхностным натяжением.
Уравнение (.4) имеет свои особенности:
1. Члены уравнения содержат производные по времени как в линейной, так и в нелинейной части, в работах [59] , [65] производные по времени были исключены с помощью кинематического граничного условия, что ухудшило соответствие экспериментальных и расчетных данных.
2. Коэффициенты уравнения наряду с поверхностным натяжением (Г и углом наклона поверхности JS учитывают ряд физических факторов, оказывающих влияние на течение трехмерной пленки и её устойчивость:
V - коэффициент поверхностной вязкости, обусловленный поверхностно-активными веществами на поверхности пленки; коэффициент М учитывает влияние термокапиллярных сил, которые вызваны наличием градиентов температуры и разнородностью состава поверхности пленки; Т - коэффициент постоянного касательного напряжения на поверхности раздела.
3. В уравнении содержатся и нелинейные, и дисперсионные члены в отличии от уравнения работы [33] , в котором отсутствуют дисперсионные члены и учтено недостаточное для исследования нелинейных эффектов количество нелинейных членов.
class2 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ
ПРИ ЗАДАНИИ ПРОЕКЦИЙ СКОРОСТИ ПО ОСЯМ X И Z В ВВДЕ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛИНОМА class2
Вывод системы нелинейных уравнений, описывающей трехмерные возмущения
Система нелинейных уравнений (3.II -5- 3.13):
1) описывает трехмерные возмущения, развивающиеся на поверхности жидкой пленки, текущей по наклонной плоскости, при наличии таких физических факторов, как поверхностное натяжение и постоянное касательное напряжение;
2) содержит как в линейной части, так и в нелинейной производные по времени, что позволяет исследовать развитие и нелинейное взаимодействие возмущений на поверхности жидкой пленки во времени.
class3 АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ class3
Критерий пространственной неустойчивости
Численное исследование полученной системы уравнений позволило сделать следующие выводы:
Если система устойчива по отношению к модуляции и фокусировке, то в результате нелинейного взаимодействия несущей волны с модами из боковой полосы и наклонными модами в системе выживает одна монохроматическая волна.
В системе устойчивой к фокусировке, но неустойчивой к возмущениям из боковой полосы, возбужденные боковые и наклонные моды растут. В зависимости от начальных амплитуд возбужденных мод и коэффициентов уравнения (4.15) в такой системе могут реализоваться различные волновые режимы. Если модуляционная неустойчивость слабая, то в системе выживают либо все пять волн, либо несущая волна и боковые, причем амплитуда несущей волны значительно превосходит амплитуды остальных волн. При сильной модуляционной неустойчивости количество мод, выживающих в системе, зависит от начальных амплитуд. Если амплитуда несущей волны в начальный момент времени значительно превосходит амплитуды остальных волн, то в системе выживают несущая волна и две боковые моды. Наклонные моды затухают. Если же амплитуды всех возбужденных волн одного порядка, то происходит полная передача энергии несущей волны в боковые и наклонные моды, в результате чего несущая волна затухает.
Модулированные волны могут самофокусироваться в области устойчивости монохроматической волны.
