Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи о протекании вязкой несжимаемой жидкости сквозь ограниченную область 19
1.1. Постановка задачи в переменных скорость, давление
1.2. Эквивалентная постановка в переменных "функция тока, завихренность" 23
1.3. Выбор безразмерных переменных в задачах протекания 30
1.4. Нестационарное течение в прямом плоском канале. 34
Глава II. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с разветвле нием при ааданных перепадах давления 38
2.1. Метод численного решения задач протекания в естественных переменных 38
2.2. Нестационарное течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе круглого поперечного сечения 46
2.3. Течение жидкости в плоском I - образном канале 53
Глава III. Течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах с локально искривленными стенками при заданном перепаде давления ^
3.1. Алгоритм численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, завихренность" 74
3.2. Нестационарное течение в прямом плоском канале. Сравнение аналитического и численного решения.. 84
3.3. Течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале переменного сечения 89
3.4. Течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе переменного сечения ЮЗ
Глава ІV. Течения вязкой несжимаемой жидкости в области с заданной внутренней поверхностью протекания и разрывом давления на ней 135
4.1. Постановка задачи. Теорема единственности. Простейшее одномерное течение 136
4.2. Алгоритм численного решения. Простейшие примеры двумерного течения 146
4.3. Осесимметричное течение в круглой цилиндри ческой трубе с периодически расположенными внутренними границами протекания 157
Заключение 174
Литература I?7
- Постановка задачи в переменных скорость, давление
- Метод численного решения задач протекания в естественных переменных
- Алгоритм численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, завихренность"
- Постановка задачи. Теорема единственности. Простейшее одномерное течение
Введение к работе
В различных областях науки и техники все большее значение приобретают исследования и расчеты гидродинамических течений, возникающих в трубопроводах, насосах, химических аппаратах, системах управления и регулирования. Такой интерес вызван, например, необходимостью интенсификации развития трубопроводного', транспорта, особенно для транспортировки нефти, нефтепродуктов и газа. Уже давно признано, что течение жидкостей и газов играет важную роль в биологических процессах* происходящих в живых организмах. Во многих случаях жидкость можно считать вязкой несжимаемой ньютоновской и интересующие процессы моделировать с помощью уравнений Навье-Стокса.
Решение конкретной задачи требует задания дополнительных условий (начальных, краевых). По виду краевых условий, задачи о решении уравнений Навье-Стокса можно разделить на два класса. К первому отнесем случаи, когда вектор скорости задан на всей границе. Это могут быть, либо течения жидкости в сосуде с непроницаемыми твердыми стенками, либо движения жидкости, заполняющей все пространство вне некоторого тела, либо течения жидкости в заданной ограниченной области, когда на частях границы, через которые жидкость протекает, задано распределение скорости. Большинство теоретических исследований проведено именно для указанного класса. Достаточно полный обзор литературы по вопросам корректности можно найти в монографиях О.А.Ладыженской [37?, Ж.Л.Лионса [39] и Р.Темама [70]. Ко второму классу отнесем краевые задачи для уравнений Навье-Стокса, когда на известной части границы задано давление (полный напор) и касательная составляющая вектора скорости. Такие задачи будем называть в дальнейшем задачами протекания.
Механическая интерпретация задач протекания состоит в том, что требуется определить расходы через сечения протекания, зная только перепады давления между этими сечениями. Задачи протекания являются важными и естественными, с точки зрения физики и приложений. К таким задачам можно отнести напорное движение среды, вызванное перепадом давления (полного напора), движения жидкостей в гидро- или пневмосистемах, вызванные действием насосов или компрессоров. Исследование корректности задач протекания проведено в работах В.В.Рагулина [53,54], В.В.Рагулина, Ш.Смагулова [55]. В предположении, что граница области состоит из нескольких кусков класса гладкости С , для нестационарных уравнений Навье-Стокса доказана однозначная разрешимость задачи, в которой на известной заранее части границы заданы касательные составляющие вектора скорости и значения давления или полного напора. В плоской задаче с заданным напором имеет место глобальная разрешимость, в остальных случаях установлено существование решения "в малом": либо для малых отрезков времени, либо при малых числах Рейнольдса.
Физические эксперименты, направленные на подробное изучение течений жидкости, весьма трудоемки и дороги. Поэтому большой интерес представляет получение численных решений задач о течениях вязкой жидкости, литература по этому вопросу очень обширна. Подробный обзор работ по "вычислительной гидродинамике", выполненных за рубежом дан в книге П.Роуча [57]. О развитии численных методов решения задач гидромеханики в нашей стране можно судить по работам [5,6,8,13,16-18,21-23,42-44, 50,64,66,68,69,78-80J и литературе, цитируемой в них. Заметим, что практически все численные алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса приспособлены для решения таких краевых задач, в которых вектор скорости задан на всей границе области течения. Рассмот- ренные в работах [2,53-55] постановки задач протекания являются новыми и имеют физическую интерпретацию. Разработка численных методов решения задач протекания в настоящее время является весьма актуальной.
Целью данной работы является численное исследование течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах, трубах различной геометрии, когда между отдельными сечениями протекания известны перепады давления. Исследование проводится на основе построенных численных алгоритмов решения задач протекания для полных уравнений Навье-Стокса. Предложенные методы хорошо работают в области ламинарных течений.
Кратко остановимся на содержании некоторых работ, которые, в какой-то степени, характеризуют актуальность решения задач протекания и показывают, что течения в трубах, каналах с известными перепадами давления представляют достаточно большой практический интерес во многих областях.
Течение жидкости в прямой трубе является простейшим примером задачи протекания. Такое движение в чистом виде в практике встречается довольно редко. Несмотря на это, благодаря простым выражениям для расхода жидкости через трубу, перепадам давления на единицу длины трубы и для гидравлического сопротивления, аналитические решения таких задач широко используются в настоящее время. Задача о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе круглого поперечного сечения, в общей постановке для практически произвольных зависимостей перепада давления от времени, была подробно исследована в сочинении И.С.Громекй [I5J , относящимися к 1882 году. Это решение широко применяется для задания профиля скорости на сечениях протекания при решении задач о пульсирующих и осциллирующих течениях в различных каналах [19,29, 41-44, 49,51,56,74,76,99-101].
Во многих,практически важных, случаях (тороидальная труба), можно сделать предположение, что характеристики течения не зависят от координаты вдоль оси канала. В этом случае перепад давления вдоль оси трубы является функцией только времени. Обзор работ выполненных в этом направлении можно найти, например, в [76, 105].
Большой практический интерес представляют движения вязкой жидкости в областях с несколькими (более 2-х) сечениями протекания. В гидравлике и пневмоавтоматике подобные ситуации встречаются в тройниках, крестовинах, в логических элементах простейших гидросистем [ПО]. В биомеханике такие течения моделируют ветвления кровеносных сосудов. В работе Миролюбова С.Г. [44] решена задача о пульсирующем течении крови в плоском канале с симметричным ветйяением. Дульсирующий характер течения задавался нестационарным градиентом давления на входе. Предполагалось равенство оттоков из обеих отводящих ветвей. На выходе из ответвлений ставились "мягкие" условия. Работа [44] проведена с целью изучения механизма появления артериальных поражений в районе ветвления сосудов. Аналогичная задача решалась в работах [87,101].
В [22] Дорфманом А.Л. изучена следующая модельная задача. Между сечениями "Т"-образного плоского канала заданы перепады давления. Найдено распределение полей скорости и давления. В основу численного метода положен алгоритм, основанный на идее расщепления по физическим процессам. Суть предлагаемого в [22J метода заключается в следующем. На сечениях протекания заданы постоянные скорости U/ » , U3 . Таким образом, получена задача с известным на всей границе вектором скорости. Находится ее решение. В каждом ответвлении вычисляются средние по сечению давления. Если перепады между вычисленными средними давлениями не совпадают с заданными, то изменяются значения U-/ » Uz » &з и процесс повторяется.
В [56,74] на основе решения для прямой трубы, изучается пульсирующее течение в круглой трубе с ответвлением. Основное предположение состоит в том, что давление в области ветвления постоянно, а в каждом ответвлении решение зависит только от продольной координаты.
Используя естественные переменные - скорость, давление, в [88J рассмотрено течение в плоском симметричном ветвлении. К сожалению, не указана процедура численного решения.
Стационарное и пульсирующее течение крови в плоском канале с ответвлением, моделирующее движение крови в артериях с ответвлением, изучалось в работах Кавагути с соавторами [92,93].
Трехмерное ламинарное течение в тройнике рассматривалось в работе Полларда А., и Сполдинга Д.В. [ЮЗ].
Также, проводились и экспериментальные исследования течений жидкости в трубах и каналах с ответвлениями различной формы [27,98].
Большое практическое значение имеют исследования течений, вызванных перепадом давления, в трубах, каналах с местными неровностями поперечного сечения. В гидравлике, пневмоавтоматике такая ситуация встречается при течении жидкости через различные регулирующие устройства (задвижки, клапана, гидроусилители и др.). Зависимость расхода от предписанного перепада давления является важной характеристикой перистальтических течений Г38]. Течения в трубах с локальным сужением, расширением очень важны для нужд биомеханики, т.к. они моделируют стенозы и аневризмы кровеносных сосудов.
Подробный обзор работ, выполненных за рубежом, касающихся течений крови в сосудах с местным сужением (расширением) содер- жится в обзорной статье Мюллера Т.,фк. [48]. Расчету стационарного течения крови в районе веретенообразной аневризмы посвящена работа Миролгобова С.Г. [ 43]. В [104] рассматривается задача определения стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости в плоских и осесимметричных каналах, стенки которых, имеющие вначале прямолинейную форму, с некоторого места искривляются. Считается, что перед искривлением имеет место течение Цуазейля, само искривление мало, а число Рие. велико. Полученные результаты позволяют определить место отры- ва и последующего присоединения потока. Эта же задача решена в работе Ченга [85] используя метод конечных элементов для yj , СО - системы в случае плоского канала с локальным сужением.
Стационарные течения встречаются сравнительно редко в связи с тем, что обычно всегда имеют место случайные возмущения, вызывающие изменение каких-либо физических величин. Поэтому все большее значение приобретают исследования и расчеты нестационарных течений жидкости.
Используя осесимметричные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость и давление при помощи метода конечных элементов в работе [П2] проведен расчет пульсирующего течения крови в артериальной аневризме. Отмечено существование присоединенных или висячих вихрей в месте расширения артерии. Вследствие малости скоростей сдвига, в области этих вихрей, такая ситуация может благоприятствовать тромбообразова-нию в районе аневризмы.
Нестационарные уравнения Навье-Стокса, в переменных завихренность, функция тока,использовались для учета эффекта пульса-ционного течения. Эти уравнения не содержат градиента давления, необходимого для задания пульсационного движения. Однако, градиент давления может быть учтен через граничные условия на входе и выходе. Для этого поперечные сечения для втекания и вытекания жидкости выбирают на большом расстоянии вверх и вниз по потоку от интересующей области. Поскольку, величина касательной составляющей скорости равна нулю, то завихренность на входе и выходе определяется путем дифференцирования скорости, соответствующей течению в прямом канале при заданном перепаде давления, по поперечной координате, функция тока определяется путем интегрирования по поперечному сечению. Используя такой подход, ряд авторов с успехом исследовали течения в каналах с местным сужением или расширением поперечного сечения [19,42, 43,85,86,97,100,104,106-108,112]. Так в серии работ [82-84], применяя явный метод Фромма и неконсервативную форму уравнений переноса завихренности и изменений функции тока для плоского движения, получены результаты для установившегося, колебательного и пульсационного течения в канале с прямоугольным сужением. В работе Миролюбова С.Г. [42] исследуется ламинарное пульсирующее течение крови, как вязкой несжимаемой жидкости, по стенозированной артерии, радиус которой является произвольной непрерывно дифференцируемой и отличной от нуля функцией продольной координаты. На выходе из канала ставились "мягкие" условия (параллельность потока). В работах [106-109], появившихся недавно, рассматривалось осциллирующее течение в плоских каналах с расширениями. Эти работы выполнены с целью изучения структуры течения в мембранном оксигенераторе, который использовался в аппаратах искусственного кровообращения. Главная особенность осциллирующего течения заключается в росте вихревой области при торможений потока. Отмечено, что из геометрических параметров наиболее важными являются полная длина и глубина расширения. Детали геометрии, такие как наличие углов, оказывают незначительное влияние на структуру течения в расширяющемся канале. Рассмотрен вопрос об области параметров, где работает квазистационарное приближение. Численные расчеты подтверждаются проведенными экспериментами.
В последнее время возрос интерес к нестационарным пульсирующим течениям не только для нужд биомеханики. 6 работе [ю] отмечено, что гидравлические системы с пульсирующим потоком имеют ряд преимуществ.
Для обеспечения работоспособности системы в различных условиях (например, высокие температуры и интенсивная радиоактивность) в различных частях системы можно использовать различные рабочие жидкости, которые разделяются с помощью гидрансфор-матора (или разделителя). Например, если выходной участок системы находится под действием высоких температур, в качестве рабочей жидкости на этом участке можно использовать жидкий металл.
Отсутствие циркуляции жидкости в гидросистеме позволяет насосу системы работать при умеренных температурах, даже если другие части системы находятся под действием очень высоких или очень низких температур.
Перейдем к изложению краткого содержания данной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. При ссылках на формулы рисунки и таблицы применяется двойная нумерация, указывающая номер главы и номер формулы в ней. В библиографическом списке фамилии авторов рас-положены в алфавитном порядке. Основные результаты работы опубликованы в статьях L 34-36,46,47],Работы [34-36J выполнены в соавторстве. Автору в этих работах принадлежит разработка алгоритмов численного решения задач протекания и проведение расчетов.
В первой главе приведены строгие математические постановки задач протекания. Сформулированы теоремы существования и единственности, когда граница области состоит из нескольких кусков класса С . Известно, что в плоском и осесимметричном случаях можно исключить давление из системы Навье-Стокса и рассматривать одно уравнение 4-го порядка для функции тока (или два уравнения 2-го порядка для функции тока и завихренности). Несмотря на то, что в новой системе уравнений отсутствует давление, удается поставить краевую задачу, с давлением заданным на известной части границы, для уравнений движения в терминах функции тока и завихренности.
В п.1.2 доказывается эквивалентность двух постановок.
В п.1.3 обсуждается выбор безразмерных параметров в задачах протекания. В задачах с заданным на всей границе вектором скорости определяющим параметром является число Рейнольдса построенное по характерной скорости V , характерному размеру d и коэффициенту кинематической вязкости V . Для задач с заданным давлением (полным напором) число Яе не может быть определено априории. Предлагается выбирать характерные масштабы так, чтобы Яе=1 . При этом появляется безразмерное давление, заданное на участках протекания Р*р = ~^7* ' (2) PMyd 9v
В работах Ченга и др. [8Z-85] используется несколько иной безразмерный параметр, называемый числом Кармана и - Р*-Р*- d*. о)
На- р ^я і ко>
В формулах (2) и (3) приняты обозначения: Pg p_ - безразмерное давление, РрАЪт , /?/ , р^ - размерные давления, $ - плотность, v. - длина между сечениями, где заданы давления Pj и Р^ . Заметим, что в определение числа Кармана (3) входит размер б , который однозначно определяется лишь для течения в прямолинейном канале. Для сложных конфигураций областей течения не всегда ясно как выбрать . Например, при течении жидкости через изогнутую трубу, тройник можно задать разными способами. Потому безразмерное давление (2) является естественным критерием подобия в задачах протекания. Если перепад давления меняется по гармоническому закону с частотой аґ , то появляется еще один критерий подобия й ' V ' так называемое число Стокса Г48].
Для течения в прямой круглой цилиндрической трубе существует простая связь между числом Кармана (3) и числом Рейнольд-са (I)
Ко. = ^Яе . (4)
Из (4) легко получается хорошо известное выражение для коэффициента сопротивления [32,40,65] з - &Ш - &L
В конце главы I приведено точное решение задачи о пульсирующем течении в плоском прямолинейном канале.
Во второй главе построен алгоритм решения задач протекания, использующий запись уравнений Навье-Стокса в естественных переменных - скорость, давление. В основу алгоритма положен метод расщепления по физическим процессам 5,6,21-23,48,75,78,90].
Предложенная методика позволяет решать как плоские, так и пространственные задачи. Проверка алгоритма осуществлена сравнением численных расчетов с аналитическим решением для задачи о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе, круглого поперечного сечения, при заданном законе зависимости перепада давления от времени. Тестовые расчеты проведены до а = 250. Под Re понимаем число, построенное по максимальной скорости (за период!, радиусу трубы и кинематической вязкости.
В п.2.3. настоящей работы изучено течение в плоском "Т" -образном симметричном канале. Задача решена в следующей постановке: в начальный момент времени жидкость покоится, затем к торцам канала приложены некоторые постоянные по сечению давления. Находятся расходы через каждое ответвление, в различные моменты времени, поля скорости и давления во всей области течения. В рассматриваемом случае картина течения зависит от двух безразмерных параметров. Выделено три типа структуры течения (в зависимости от направления потоков). В области изменения безразмерных давлений [0,600]х[0,600] определены подобласти, где реализуется течение той или иной структуры. Замечено, что для некоторых значений параметров структура течения в начальный промежуток времени и при Г-* может иметь различный тип. Для каждой из трех структур приведены характерные распределения полей скорости, завихренности и давления.
В конце главы П вычислен коэффициент сопротивления бокового ответвления приточного тройника -Д-сб.. Найденное значение сравнивается с коэффициентом сопротивления Яс $т , определенным по справочнику И.Е.Идельчика Г26І. Это сравнение еще раз подтверждает, что для ламинарных течений предложенные в справочнике формулы позволяют оценить величину коэффициента сопро- тивления лишь приближенно.
Достоверность результатов главы П подтверждается сопоставлением результатов расчета конкретного варианта на различных разностных сетках. Основным результатом этой главы является то, что на основе решения модельной задачи, показана возможность теоретического определения расходов через отдельные ответвления при задании только перепадов давления между ними. Другими способами, кроме прямого физического эксперимента, этого сделать невозможно.
В третьей главе предложен алгоритм численного решения задач протекания в плоском и осесимметричном случаях, когда имеется только два участка протекания. К такому классу задач следует отнести, прежде всего, течения,вызванные разностью давлений, приложенных к сечениям протекания, в трубах с локальными неровностями поперечного сечения.
Для решения уравнений переноса завихренности и функции тока строится итерационный процесс. Классическая трудность в постановке граничных условий для завихренности преодолевается использованием методики, предложенной В.И.Полежаевым [17,50, 68,69]. Проверка алгоритма осуществлялась путем сравнения численного и аналитического решения задачи о нестационарном течении в плоском прямом канале, при заданном законе зависимости перепада давления от времени. В п.3.3 рассматривается течение в плоском канале переменного сечения. При решении задачи использовалось преобразование координат, переводящее область течения в прямоугольник. Такое преобразование является неортогональным, невырожденным. К положительной стороне такой замены следует отнести возможность получить связь между производной по времени от неизвестного значения функции тока на твердой границе с заданным перепадом давления. Приведено распределение изолиний функции тока для стационарного течения через плоский канал, одна стенка которого имеет локальное расширение, при Ко. = 200 (если определить число Рейнольдса по расходу, то получим #е = 19). В расширении отмечена зона возвратного вихревого течения. Для канала этой же геометрии (высота расширения составляет 0,8 от ширины канала) получены распределения изолиний функции тока в различные моменты времени для нестационарного течения, определяемого перепадом давления Р(О) ~P(b) = 500 cos (оті) , &>-= б. Структура течения, полученная в настоящей работе,качественно согласуется с численными и экспериментальными данными работ f106-109].
Течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе переменного сечения изучается в п.3.4. В предположении осевой симметрии проведен расчет стационарного течения в трубе с фиксированной геометрией расширения и для различных значений длины трубы L, . Вычислены значения коэффициента полного гидравлического сопротивления. С увеличением ^ значение коэффициента сопротивления стремится к его значению в прямой трубе. Подобные данные позволяют оценить правильность задания распределения скоростей в сечениях протекания из соответствующего решения для прямой трубы.
Приведены распределения изолиний функции тока для течения в трубе с неровностью в виде половины, целого и полутора периодов синусоиды с относительной высотой неровности 0,5 радиуса трубы. В случае, когда неровность составляет один период синусоиды направления потоков неравноправны, т.е. в одном направлении жидкость протекает легче, чем в другом. Полученные распределения изолиний функции тока и завихренности качественно согласуются с результатами работы [97J.
В следующем пункте этого параграфа изучается нестационарное течение в трубах той же геометрии. Изображены изолинии функции тока для нескольких геометрий неровности. Изучена структура и динамика области возвратного течения. Аналогично результатам работ [ 106-109]/, отмечен рост области занимаемой возвратным течением при замедлении потока в осесимметричных течениях. Предложенный алгоритм позволяет изучать зависимость некоторых параметров от частоты колебаний давления, приложенного к торцам канала. Одной из важнейших характеристик, которая изучена, является превышение стационарного расхода над (максимальным за период)расходом при пульсирующем течении. Рассмотрено влияние высоты расширения (сужения) на расход при фиксированном стационарном перепаде давления.
В четвертой главе рассмотрена постановка краевой задачи для уравнений Навье-Стокса, когда на заданной поверхности, содержащейся в области заполненной жидкостью, известны касательные составляющие вектора скорости и разность давлений на двух сторонах этой поверхности. В п.4.1.2 используя соотношение для кинетической энергии, соответствующей разности скоростей двух течений, доказано, что такая задача имеет единственное решение. При доказательстве предполагается, что существует достаточно гладкое решение.
Такие задачи позволяют моделировать течения, когда жидкость протекает через некоторое устройство, приобретая в нем дополнительное количество движения. Сюда можно отнести течения, вызванные работой гребного винта, водометного движителя, компрессора турбинного типа, завихрителя газотурбинного двигателя.
В п.4.Z предложен алгоритм численного решения задач с протеканием жидкости через внутреннюю поверхность. В качестве примера приведено решение плоской задачи, когда граница протекания содержится в замкнутом квадрате с непроницаемыми стенками. В п.4.2.3 рассмотрена задача, когда течение происходит в круглой цилиндрической трубе внутри которой содержится поверхность протекания в виде круга. Течение происходит под действием перепада давлений между концевыми сечениями трубы и разности давлений на двух сторонах поверхности протекания. За счет знака и величины скачка давления на внутренней поверхности расход жидкости,протекающей через трубу, можно увеличивать или уменьшать. Можно сформировать течение происходящее против перепада давления между концевыми сечениями трубы.
В п.4.3 решена задача о течении жидкости в бесконечно длинной цилиндрической трубе с периодически расположенными внутренними поверхностями протекания, на которых жидкости сообщается окружная скорость и количество движения по нормали к поверхности. Рассмотрено влияние параметров,характеризующих степень закрутки потока,на появление циркуляционных зон на оси симметрии течения. Приведены линии тока, изобары, профили осевой и радиальной скорости в различных сечениях при некоторых значениях определяющих параметров .
В заключение кратко сформулированы полученные в работе результаты.
Автор глубоко признателен научному руководителю Б.Г.Кузнецову за постоянную помощь и поддержку в течение ряда лет. Большую пользу принесли обсуждения отдельных вопросов и рукописи в целом с сотрудниками отдела гидродинамики ИТІМ СО АН СССР Ш.Смагуловым, В.А.Новиковым, П.К.Волковым, А.Н.Буровым и др. Всем им автор выражает свою искреннюю признательность.
Г л а в а I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПРОТЕКАНИИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ОГРАНИЧЕННУЮ ОБЛАСТЬ
В главе рассматриваются краевые задачи для уравнений Навье-Стокса в ограниченной области, когда на известной части границы заданы касательные составляющие вектора скорости и величина давления или полного напора. В п.П приведена математическая постановка и некоторые теоремы, касающиеся существования и единственности решения. Постановка задачи в переменных функция тока, вихрь и доказательство эквивалентности предложенной постановки с постановкой в переменных скорость, давление рассматривается в п.1.2. В п.1.3 проведен выбор безразмерных параметров для задач с заданным перепадом давления или полного напора. В п.1.4 найдено решение задачи о нестационарном течении в прямом плоском канале.
I.I. Постановка задачи в переменных скорость, давление
I.I.I. При изучении движения вязкой несжимаемой жидкости наиболее естественными, с точки зрения физики и приложений, являются задачи, в которых на границах известны легко замеряемые характеристики, такие как скорость, полный напор, давление. Для уравнений Навье-Стокса наиболее исследована постановка краевых условий, когда на всей границе области течения задан вектор скорости. Изучению таких задач посвящено большое количество теоретических работ (см. [35, 37, 70] и цитируемую там литературу). Авторы работ [5,6,8,16-18, 21-23, 25, 42-44, 57, 69,75,76, 82-84, 90J, в которых рассматриваются численные алго- ритмы решения уравнений гидродинамики, также предполагают, что скорость задана на всей границе. В практике нередко встречаются ситуации, в которых параметры течения требуется определить только по известной разности давлений (полных напоров) между отдельными участками границы области течения. Постановка таких задач и их математическое обоснование выполнено в работах [2,35,36,53,55]
I.I.2. Пусть Q^fl , /2,= 2,3 - ограниченная область, граница которой T=dQ состоит из двух частей: й - непроницаемые твердые стенки, Tz - участки протекания. Предполагается, что // и 2а. пересекаются под углом ЇЇ или $/ . Движение жидкости в области О- описывается нелинейными нестационарными уравнениями Навье-Стокса dlir = 0 , (x,)eQr. (Ie2)
Для определения движения необходимо задать начальные данные и.и;0) = йо(Х) г- , xeQ.. (1-3>
На непроницаемых твердых стенках выполнены условия "прилипания" .
На участках протекания заданы касательная составляющая скорости и давление й-7ґ=0 J P(X,t) = P0() + const, (x,t)eSz, (1.5) JflclX=0.
Естественно, считается, что Uo(0C) - соленоидальный в "? вектор, удовлетворяющий условиям (1.4), (1.5). Кроме задачи (1.1)-(1.5) можно рассматривать задачу, в которой вместо условия (1.5) выполняются соотношения LL-t=0, =Р + &/Ш2= ^(Фтзі^У^Д, Ш)е2. и.б)
Условие (1.6) означает, что на участке протекания задан полный напор. Выше приняты следующие обозначения: Ц - вектор скорости, Р - давление, V - коэффициент кинематической вязкости, P0(t) и n0(t) некоторые заданные функции времени, QT =Q*[0,T]} S/ = TJxlD; Т], І--ІЛ, Т - вектор, касательный к границе Tz .
В работах [53-55] доказана однозначная разрешимость задачи (1.1)-(1.5). В плоском случае для задачи (1.1)-(1.4), (1.6) имеет место глобальная разрешимость, в остальных случаях установлено существование решения "в малом": либо при малом Т", либо при малых числах Рейнольдса (большая вязкость). Полученные в этих работах результаты справедливы,когда граница облас-ти Q состоит из нескольких кусков класса С . В работах [35,3б] приведены теоремы существования и единственности при более слабых условиях на гладкость границы области, чем условия, требуемые в работах [53-55J. Рассмотрим краевую задачу для уравнений Стокоа, DALL-VP=/, x^Q, (1.7) cLlitIl=0; хе^ (1.8) U ()=-0, хеП, (1.9)
И'Г-о, P(x)=P0j x^rz «-к»
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА I. Пусть выполнены следующие условия 0^ , Т^С , /<^/С2(Q) * норма, определяемая равенством эквивалентна норме \/z (Q ) . Тогда существует единственное сильное решение задачи (1.7)-(1.10) и для него имеет место следующая оценка
Здесь использованы следующие обозначения: Н(х)~ удвоенная средняя кривизна границы Tz , V(Q) - замыкание множестваЗШ) = {ІЇ*С*иіггІЇ=0, U/r=0/ H-fjf =0} в норме
При доказательстве теоремы дифференциальные свойства решения внутри области и в окрестности твердой стенки Ті получаются известным образом [37]. Априорные оценки в окрестности границы протекания Т% получаются по следующей схеме. Пусть Х0<= Т& . Распрямим границу в окрестности точки Х0 . Применяя метод конечных разностей, теоремы вложения и используя оценку из [39], получаем требуемые оценки в пространстве W^(Q)f] V(Q). Здесь \/g(Q) - пространство, сопряженное пространству W^(bl). В окрестности точек пересечения границ Т± и 1%_ оценки для решения задачи (1.7)-(1.10) могут быть получены так же, как это сделано в работах [53-55J. Можно показать, что справедлива
ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены все условия теоремы I. Кроме того, j--. . Тогда сущест- вует единственное сильное решение задачи (1.1)-(1.4) и для него имеет место следующая оценка
Для нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса справедлива
ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнены все условия теоремы I и . Тогда существует единственное сильное решение задачи (1.1)-(1.5) в [0,То];То<Т .Для решения справедлива оценка
Для задачи с заданным напором можно доказать следующую теорему:
ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3. Тогда существует единственное сильное решение задачи (1.1)-(1.4), (1.6) (локальное при 0.<^Я и глобальное при Q^fl ) и для решения имеет место оценка
Теоремы 3,4 доказываются методом Галеркина, с использованием свойств решения задачи Стокса (1.7)-(1.10).
1.2. Эквивалентная постановка в переменных "функция тока, завихренность"
I.2.I. Когда течение жидкости плоское или осесимметричное, уравнение неразрывности (1.2) позволяет ввести функцию тока. При этом сокращается число искомых функций. Несмотря на то, что в новой системе уравнений отсутствует давление, удается связать задачу (1.1)-(1.5) с соответствующей задачей для функции тока.
1.2.2. Будем считать, что О-^Я . - односвязная область. Пусть (X , у. ) - декартовы координаты точек -^ . Проекции вектора скорости И на оси координат X , ^ обозначим через LL ,ЇЇ - соответственно. Уравнение (1.2) примет вид <к + і = 0 СІЛІ) ЭХ ду
Введем функцию тока по формулам ду ох.
При этом уравнение неразрывности (І.ІІ) удовлетворяется тождественно, а вместо уравнений (І.І) стандартным образом получим одно уравнение 4-го порядка [32,40,65J u-t&v+3J?l_w_lli_uy,=iM (xSt)eQr (I.I3)
Дополним уравнение (I.13) следующими начальными и краевыми условиями:
У(Х,р,0)=%(Х,у), (Х,Ц)ьО., (ІЛ4) y(x,y,t) =
= 0j (Z>№)eSH; (1Л7) и K~l условиями дні dru dni ' (ІЛ8 <^ #э/ # <алу? ду ?/ ^А_ду/_<^ (уагЛУ ЭДО # 3XZ дх dX3J// К = ц0-const, L-lf --,^0'і,К**>--vA. Здесь ^ //^ - неизвестное значение функции тока на грани це SHt в момент времени t , ок - произвольная кусочно- -гладкая кривая,соединяющая два участка протекания 'к и /(порядок индексов указывает направление интегрирования от Кк ), fig , гк - известные значения давления на сечениях Г^ , Гц , hit - непроницаемая твердая стенка. - оператор Выше предполагалось, что Лапласа, QT~Q.*[0,T] , SH = Гк*Ю,Т\у Ske-Гке*[0,Т]. Смысл основных обозначений ясен из рис.1.1 п а: Рис.Ц Через Ик , Тк - обозначены единичные вектора нормали и касательной к Гц ( ^кі , # - соответствующие вектора для твердых стенок іці ). Предполагаем, что Гц - прямолинейные отрезки (поверхность вращения в осесимметричном случае). Гм и Гц пересекаются под прямым углом. В предположении достаточной гладкости всех функций и границ области Q докажем, что задачи (1.1)-(1.5) и (1.13)-(1.19) эквивалентны. При этом % (%'j/) определяются однозначно заданием LL0(X,ty) t наоборот, функции U0 (Х,Ц) выражаются однозначным образом через У0(Х,Ы) . Действительно, уравнение неразрывности (I.II) позволяет ввести функцию тока по формулам (I.I2). Уравнение (I.I3) получается из (I.I) обычным образом. Условие (1.3) эквивалентно соотношениям Интегрируя их, получим, где С = f(Xt, Ці; 0) . Не ограничивая общности будем считать, что точка (Х±, Ul)^= //2 И3 условия "прилипания" (1.4) следует, что Интегрируя второе соотношение вдоль границы ГцС получим Так как функция тока определяется из (I.I2) с точностью до аддитивной функции времени, то можно положить, например, /^//J=# . При этом получим С= (/,%-/j@)^0 . Проектируя (I.I) на Гц получим (I.I8). Условие (I.I7) следует из обращения в нуль касательной составляющей скорости.-., В задаче (1.1)-(1.5) давление является потенциальной функцией и, следовательно, Подставляя в это равенство "%И ^"/^и из (I.I) получим условия (I.I9). Сведем теперь задачу (1.13)-(1.19) к задаче (1.1)-(1.5). Преобразуем (I.I3) следующим образом: jL/jV. +Ш..ІЇ -W. **№\. dx\dtdx ц эх2- эх дхъу- дХ Г +Llz + dE- -2SL ЁЕ-т>лйУ)=п д^ЭЩ ду- ЪЩ дХ df- dfl U' Отсюда следует, что существует функция PiXMjt} » производные которой имеют вид f67j: *Р^З&-Ш.&+М.&+1йй1, (120) Эх Btdty ду. дхдр дХ dpz df' u* ; й=_ t!L + df. ?_д. <УЇ._ілН! ,Т2П Ц dtdZ д дХг дХ дХду дХ ' и'*±; Причем определена с точностью до аддитивной функ- ции времени. Записывая (1.20), (I.2I) в локальной ортогональной системе координат,связанной с Гц (одна из осей направлена по нормали, другая по касательной к Гц ), и проектируя полученные соотношения на Гц получим с учетом (I.I8), что Следовательно, P(X.,Jf,t)~AK(t), U,y,Q* SK,T.e. Р(Х,%6)на границе есть функция только времени. Распоряжаясь произволом в определении r(>ty)~b) положим, не ограничивая общности, что . Из условия (I.I9) непосредст- венно следует, что SSdx+Щ df=/7«(t) -№)=А»ю -ш> finт.е. РкЦ) =АкШ . Положив в (1.20),(1.21)^ = Э% 2ґ=-^^/^х. полу41 уравнение (І.І). Выполнение условий (1.4), (1.5) очевидно. Начальные условия определяются из Уравнение неразрывности (1.2) выполняется тождественно. Таким образом эквивалентность задач (1.1)-(1.5) и (1.13)-(1.19) полностью доказана. 1.2.3. Часто бывает неудобно решать уравнение четвертого порядка (I.I3). Поэтому принято вводить вихрь по формуле А = -Ь) (1.22) Подставляя (1.22) в (1.13)-(1.19) получим формулировку задачи в переменных функция тока-вихрь. У(Щ,0)^%Щ) , (Х,М*Я, (1.24) {r(tyh6t(t),$j0 ,(хЛ)*ГяІ, (1.26) (1.28) [\(*M-tL _№..+ Ж.ІІЛіїх- [ дх dtdz ду, дхг эх дх,эу/ s[ r?UJ /КІЧ Ц*Н0-const, {=*,...,K.-t,H.*f,"-jK. 1.2.4. В случае, когда область О. не является односвяз- ной, должно выполняться условие однозначности давления [12, 63,64,66]. Это условие состоит в том, что интеграл,стоящий в левой части (1.28) или (І.І9), взятый по любому замкнутому контуру, не стягивающемуся в точку, должен тождественно рав няться нулю. Вместо этого можно потребовать, чтобы условие (1.28) или (І.І9) выполнялось для двух контуров Ти(_ , TKtсоединяющих два одних и тех же сечения протекания /^, и /^ ( W у і - фиксированы), и таких, что Тк{ нельзя деформировать в "ні не выходя за границы области 52. . 1.2.5. Если изучается задача с заданным напором (І.І)- (1.4), (1.6), то удобно записать уравнения Навье-Стокса в фор ме Громеки-Лэмба [32,40,65] LLt--.U*iotE = -$iadjL + 1)Aiit (х,і)еат, (і.29) div=0' , (x,t)eQT, (Ie30) где U-P + J/2IU] . При этом, в постановке задачи для функции тока и вихря изменится условие (1.28). При заданном напоре оно примет вид іішги. ах ду-1 ( dtix ду %? " J (і.зі) ^Ш)Щ-(Ш-Ш)- 1.3. Выбор безразмерных переменных в задачах протекания I.3.I. Для того, чтобы можно было независимо менять характерные параметры задачи, удобно вести расчеты для уравнений в безразмерном виде. Наиболее естественный способ обезраз-меривания задачи,рассмотренной в п.1.1., предложен в работах [82-84] и заключается в следующем. Введем безразмерные величины (ради простоты рассматриваем плоский случай) х~я >?=#' t-ъуу 1^у-ь> здесь J) есть некоторый характерный размер. Задача (I.I)-(1.5) имеет следующую безразмерную форму (штрихи у безразмерных величин опущены) i+jJT=> (*>>t)^&r; (1.34) Щх,у,о) = u,(x,jf), m,},o)-~Vo&,y), Щ)їО-, (1.35) U (x,y, t) = mx,y, t) =e=0 , (X,y,t)*re, (1.37) P-Pelt),C*t,...,R, (Х,у,і)*Ге. (1.38) Если изучается стационарная задача ( Pi И)=const, 6=4,..., R. ), то течение определяется геометрией области и K-J- безразмерными параветрами /^ . (Независимых параметров действительно Jl-1. , т.к. один из них можно задать произвольно). Следует отметить, что безразмерные давления p=ypj)%3- входят только в краевое условие (1.38) и других безразмерных параметров в задаче не имеется, чем и объясняется естественность такого способа приведения уравнений к безразмерному виду в рассматриваемом классе задач. Для нестационарных течений, когда Рц№) (размерные давления) есть гармонические функции с частотой (лУц , появляются добавочные безразмерные параметры Su = —~^- , необходимые для приведения частоты колебаний к безразмерному виду. Эти числа принято называть числами Стокса [48] и они характеризуют отношение связанных с частотой сил инерции к силам вязкого трения. 1.3.2. Для примера рассмотрим простейшую задачу о течении жидкости сквозь горизонтальную круглую трубу диаметра cL . Возможны две постановки этой задачи: I) задан постоянный секундный объемный расход & , надо рассчитать необходимый для его получения перепад давления Ар на заданном участке длины трубы с ; 2) задан перепад давлений АР на участке трубы длиной , требуется определить секундный объемный расход жидкости сквозь трубу $ . Первая задача относится к задачам с заданным на всей границе области течения вектором скорости и является хорошо исследованной. Если отвлечься от действия объемных сил и учесть стационарность задачи, то среди чисел подобия остается лишьE,4^P/(fYz) и Яє = УоІ/^ [40,65]. Здесь Р ,]/ характерные давление и скорость. Во второй постановке задается перепад р = ~ ос , или можно считать, что на сечениях трубы,находящихся друг от друга на расстоянии ^, заданы постоянные давления такие, что их разность равна АР. (Т.е. имеем постановку задачи описанную в п.1.1.2). В этом случае среди чисел подобия Ей. и Яє нет ни одного критерия подобия, т.к. обе эти величины содержат в своем составе наперед неизвестную величину секундного объемно го расхода (или средней по сечению трубы скорости). В этом случае можно построить такой критерий подобия, который содер жит известную величину Р - -г~ и не С0ДеРжит Vcp - &/fTc/%) Это достигается следующим образом [40J с d* - f*P'd-3_ fcf-AP сі Безразмерную величину (1.39) называют числом Кармана и мы будем обозначать ее ZR(L^(fl^}(f)- (1.40) Первый сомножитель в правой части (1.40) есть разность безразмерных давлений, приложенных к разным сечениям трубы. Число 33 Кармана (1.40) характеризует отношение силы, определяемой средним градиентом давления, к силе трения. В нестационарном случае А Р есть функция от f и, следовательно, число Кармана также будет функцией от времени. Если перепад давления постоянный, то для течения жидкости в круглой цилиндрической трубе легко установить связь между числами }\.а и Не . Действительно, в данном случае средняя скорость течения LL и расход Q. определены равенствами [32,40,65] Преобразуем (І.4І) таким образом, чтобы выделить в правой части (І.4І) число Кармана " " S 1Z ? L 8 (1.42) Определяя число Рейнольдса равенством - рЫ u-cL _ 2Л_ и подставляя сюда «- из (1.42) найдем, что Яе ^Г-Яа (1.43) 1.3.3. Получим закон сопротивления для круглой трубы при ламинарном течении. В технических расчетах принято связывать перепад давления со средней скоростью течения посредством введения безразмерного коэффициента, называемого коэффициентом сопротивления Я [1,26,40,51,65]. А=± lKZ (1.44) t 2R z т.е. падение давления пропорционально динамическому давлению и, следовательно, квадрату средней скорости течения. Умножая правую и левую части (1.44) на n/p^z получим: Ra~fe/ и-45) Учитывая связь между Це и К& (1.43), получим выражение коэффициента сопротивления Я через Ял или гьЕ Я=.Ж = 1 (1#4б) На. Не 1.4. Нестационарное течение в прямом плоском канале 1.4.1. Важное прикладное значение имеют течения,вызванные нестационарным перепадом давления в круглой цилиндрической трубе. Решение данной задачи приводится во многих монографиях по гидромеханике [15,40,51,65]. Кроме того, что это решение имеет важное практическое применение, оно с успехом может быть использовано для проверки работоспособности различных приближенных алгоритмов. Вид этого решения приведен в главе її п.2.2. Решение задачи о пульсирующем течении, вызванном нестационарным перепадом давления между двумя плоскими поверхностями, может быть легко найдено. Решение данной задачи сводится к неоднородному параболическому уравнению Цг=іЦь-т, УФ>,{]. (1.47) Здесь Ц - координата поперек канала, - ширина канала, ffU)- заданный перепад давления.. Кроме (1.47) надо задать начальные данные, И.(у,0) = и(у), (1.48) и краевые условия И(0,і) = ШЛ)=0, (1.49) Задача (1.47)-(1.49) линейна, поэтому ее решение можно искать как сумму решения двух задач: Неоднородной с однородными условиями д lii _ ) 3 ILi _ uft,) 11^1,0) = 11,(0^)-^((-^)-0. (I.5I) Однородной с неоднородными начальными условиями Ui(y,;0) = Uo(iJ), (1.53) U%(09t)=0 9 Uz(t,t)=0. (1.54) Решение задач (1.50)-(1.51) и (1.52)-(1.54) можно найти методом разделения переменных f7l]. Положив lL(ty)=A(U-- ц) найдем решение задачи (1.52)-(1.54) Полагая У (і) = Р0 + РА COS (art) , запишем решение задачи (1.50)-(1.51) oO . ^. * Ij 0 0 У Ще [ЩЕ±іт(МітгіШ)- Обозначим Ж(2к+ї) = jl^ . Решение исходной задачи (1.47)-(1.49) есть сумма Uii^t) ^ІІііЦЛ) . Окончатель но получим z {alicosm)+ursWurt) -4 і em}sm (янг;)- Ряды в правой части (1.55) сходятся равномерно, также равномерно сходятся ряды составленные из производных [7l]. Следовательно, ряды в (1.55) можно почленно дифференцировать и интегрировать. Определяя функцию тока (Ч,) и вихрь U)LUfi) равенствами из (1.55) получим, " -' ку\* <.- / fa ус xk ^ + J Jib -\гЪт(№ ±iir т (u;t)-f.^pm> -Uit, 7 k ^ 56) ооо Я і// При изучении движения вязкой несжимаемой жидкости наиболее естественными, с точки зрения физики и приложений, являются задачи, в которых на границах известны легко замеряемые характеристики, такие как скорость, полный напор, давление. Для уравнений Навье-Стокса наиболее исследована постановка краевых условий, когда на всей границе области течения задан вектор скорости. Изучению таких задач посвящено большое количество теоретических работ (см. [35, 37, 70] и цитируемую там литературу). Авторы работ [5,6,8,16-18, 21-23, 25, 42-44, 57, 69,75,76, 82-84, 90J, в которых рассматриваются численные алгоритмы решения уравнений гидродинамики, также предполагают, что скорость задана на всей границе. В практике нередко встречаются ситуации, в которых параметры течения требуется определить только по известной разности давлений (полных напоров) между отдельными участками границы области течения. Постановка таких задач и их математическое обоснование выполнено в работах [2,35,36,53,55] I.I.2. Пусть Q fl , /2,= 2,3 - ограниченная область, граница которой T=dQ состоит из двух частей: й - непроницаемые твердые стенки, Tz - участки протекания. Предполагается, что // и 2а. пересекаются под углом ЇЇ или $/ . Движение жидкости в области О- описывается нелинейными нестационарными уравнениями Навье-Стокса При изучении движения вязкой несжимаемой жидкости в каналах сложной геометрии с несколькими участками протекания, часто бывает необходимым исследовать характеристики течения при задании только перепадов давления между границами протекания. Такие задачи возникают при моделировании движений жидкости в каналах, имеющих несколько ответвлений (тройники, кресты, разветвляющиеся сосуды, элементы гидросистем), в каналах с изменением поперечного сечения (местные сужения или расширения кровеносных сосудов, задвижки, клапана и прочие устройства). Исследованию этих задач посвящено большое количество работ. Так в работах [56,74] изучается пульсирующее течение в круглой разветвляющейся трубе. Авторы принебрегая структурой течения в районе ветвления, считают, что давление в области разделения постоянно, и сводят решение задачи к одномерным решениям Громеки [іб] для прямой круглой трубы. Авторы других работ задачи о течении жидкости при известном перепаде давления заменяют задачами с вектором скорости,определенным на всей границе [22,42-44, 82-86, 97, 100, 104, 106-108, 112]. Это связано с тем, что большинство существующих численных методов решения уравнений Навье-Стокса построены именно для таких краевых задач (на границе знаем вектор скорости). В работе [22J предложен метод численного решения, позволяющий по известному перепаду давления определить характеристики течения. Однако, предложенный алгоритм также требует задания вектора скорости на всей границе и пригоден только для решения стационарных задач. В данном параграфе построен алгоритм решения задач протекания. Распределение нормальной составляющей скорости на участках границы, где известно давление и касательная составляющая скорости, определяется в процессе решения. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах, трубах с переменным сечением важно в биомеханике при изучении явлений, происходящих в сложных физиологических потоках. В настоящее время для всех очевидно, что численный подход к изучению движения вязкой жидкости имеет ряд преимуществ перед другими методами исследования. Сравнения численных и экспериментальных результатов показывают, что точность численных расчетов не уступает точности экспериментальных данных. Кроме того, численные методы позволяют единообразно исследовать характеристики сложных нестационарных течений. Экспериментальное изучение этих же характеристик требует больших материальных и временных затрат. Достаточно посмотреть обзорную работу [48], чтобы убедиться насколько широкое применение нашли численные методы при изучении физиологических течений. Рассмотрим лишь некоторые работы появившиеся в последнее время. Первое численное исследование течения крови в артериях с локальным сужением было проведено Ли и Фаном [97] в 1970г. В статьях Ченга и др. [82-84] изучались установившиеся, осциллирующие и пульсирующие течения при наличии квадратного и прямоугольного сужений. Для исследования применялся явный метод Фромма. Дали [19] провел численный расчет пульсирующего течения крови в артериях с локальным сужением с целью исследования, явлений, связанных с образованием, ростом и отрывом бляшек у стенок артерий. Профиль сужения был взят в форме дуги окружности и алгоритм расчета составлен с использованием произвольного лагранжево-эйлерова метода для расчета нестационарных многомерных течений вязкой жидкости. Точность предлагаемого метода проверялась при сравнении с аналитическим решением для колебательного течения в жесткой трубе постоянного сечения. Работа С.М.Миролюбова [42] посвящена расчету ламинарного пульсирующего течения крови как вязкой несжимаемой жидкости по жесткой осесимметричной стено-зированной артерии. Другая работа этого же автора [43І посвящена изучению стационарного течения крови через осесимметричную аневризму. Результаты расчетов осциллирующих течений вязкой жидкости в плоском канале с локальным расширением приведены в [86, 106-108]. Во всех отмеченных выше работах в качестве краевых условий на входе и выходе канала задавался полный вектор скорости, который получался при решении уравнений Навье-Стокса в канале с прямолинейными стенками. То есть предполагалось, что канал имеет бесконечную длину и возмущения от локальной неровности не влияют на распределение скорости в концевых сечениях протекания. Однако, при численном решении задачи расчетная область имеет конечные размеры и не ясно с какой степенью достоверности можно ставить такие краевые условия. В практике встречаются ситуации когда жидкость (рабочая среда) протекает через некоторые устройства, приобретая в них дополнительное количество движения. Сюда можно отнести гребной винт, компрессоры турбинного типа, завихрители газотурбинных двигателей, водометные движители. Если отвлечься от способа сообщения жидкости количества движения, то можно предположить, что в области течения есть поверхность через которую жидкость протекает приобретая добавочный импульс. Оудовые движители преобразуют вращательный момент двигателя в силу упора, необходимую для преодоления сопротивления воды движению судна. Гребной винт принадлежит к числу реактивных движителей, у которых сила упора создается за счет реакции воды, отбрасываемой в сторону противоположную движению судна. Работающий гребной винт засасывает массы жидкости и увеличивает их скорость [3,45]. В некоторых случаях действие гребного винта моделируют стоками. Идея водометного движителя заключается в том, что мощность, развиваемая каким-либо двигателем, с помощью некоторого устройства, например, насоса, передается захваченной из внешней среды массе, которая отбрасывается назад создавая тягу. В этой главе мы рассмотрим постановку краевой задачи для уравнений Навье-Стокса, когда на некоторой поверхности, содержащейся в области заполненной жидкостью, заданы касательные составляющие вектора скорости и разность давлений на двух сторонах этой поверхности.Постановка задачи в переменных скорость, давление
Метод численного решения задач протекания в естественных переменных
Алгоритм численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, завихренность
Постановка задачи. Теорема единственности. Простейшее одномерное течение
Похожие диссертации на Численное исследование течений вязкой жидкости в каналах с заданными перепадами давления
