Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Физико-математическая модель трехмерных волн на поверхности цилиндрической пленки вязкой жидкости
1.1 Основное модельное уравнение 12
1.2 Некоторые свойства основного уравнения . 18
1.3 Стационарно-бегущие волны в окрестности нейтральных волновых чисел 20'
Глава 2 Методы исследования нелинейных волновых режимов
2.1 Методы расчета семейств, стационарно-бегущих решений. 27
2.2 Метод исследования на устойчивость 30
2.3 Метод исследования и постановка эволюционных задач 32
Глава 3 Трехмерные волновые режимы ;
3.1 Первое пространственное семейство решений, 34
3.2 Устойчивость аксиально-симметричных волн к пространственным возмущениям . 42
3.3 Устойчивость и ветвление пространственных семейств решений. Солитоны. 52
Глава 4 Нестационарные волновые режимы
4.1 Эволюция произвольных возмущений в области умеренных волновых чисел 71.
4.2 Эволюционная перестройка волн со сменой пространственного периода . 80
Заключение 86
Список цитируемой литературы ... 88
- Некоторые свойства основного уравнения
- Метод исследования на устойчивость
- Устойчивость аксиально-симметричных волн к пространственным возмущениям
- Эволюционная перестройка волн со сменой пространственного периода
Введение к работе
Начиная с пионерских экспериментов П. Л. Капицы 1948 года по волновым течениям тонких слоев вязкой жидкости, исследование волн на поверхности жидких пленок до сих пор продолжает интересовать многих исследователей.
Прикладная значимость пленочных течений обусловлена широким использованием стекающих пленок жидкости в технологических процессах химической промышленности, энергетики, металлургии и других областях. Примеры использования пленочных течений в промышленности можно найти г например, в книгах Тананайко, Воронцова (1975), Соколова, Доманского (1976), Бояджиева, Бешкова (1988).
Вследствие неустойчивости на свободной поверхности пленочного течения возникает сложная волновая картина уже для достаточно малых чисел Рейнольдса Re = Voho/v, где Vo - скорость поверхности пленки, /г0 - невозмущенная толщина пленки, v - кинематическая вязкость жидкости.
Это простое ламинарное гидродинамическое течение демонстрирует как регулярную, так и хаотичную динамику, что вызывает особый интерес у многих авторов. В экспериментальных исследованиях Капицы установлено, что на поверхности ламинарного течения вязкой пленки, осуществляемого для умеренных чисел Рейнольдса, возникают волны, длина которых намного больше толщины пленки. Первые аналитические результаты по волновой неустойчивости такого течения изложены в работах Benjamin (1957) и Yih (1963), которые резюмированы в работах Lin (1983) и Lin, Wang (1985). С помощью уравнения Орра-Зоммерфельда Бенжамин аналитически показал, что для слоя жидкости, стекающего по наклонной плоскости, существует критическое волновое число, которое указывает верхнюю границу области неустойчивости течения с постоянной толщиной к бесконечно малым возмущениям. Он показал, что существенным оказывается наличие сил поверхностного натяжения, пренебрежение которыми приводит к неустойчивости течения для возмущений с любыми волновыми числами. Таким образом, можно ввести еще один безразмерный параметр, определяющий волнообразование на поверхности пленки, - число Вебера We — 0/рдЬ$, где а - коэффициент поверхностного натяжения, д - ускорение свободного падения. Численно, аналогичные результаты для умеренных чисел Рейнольдса Re — 1-т-40 были изложены в работах Krantz, Goren (1971) и Whitaker (1964), а в работе Pierson, Whitaker (1977) вплоть до Re и 700.
Экспериментальные работы (Капица, Капица 1949) показали наличие кри- тического числа Рейнольдса, ниже которого волны на поверхности жидкости не возникают. Волновой режим течения не развивается, а искусственно созданные волны затухают. Дальнейшие экспериментальные исследования других авторов, например, Brauer (1956), Алексеенко, Накоряков, Покусаев (1979) и Ishigai, Nolanisi, Koizumu, Oyabu (1972) подтвердили существование критического расхода. Однако, линейная теория устойчивости не указывает на наличие критического числа Рейнольдса, что объясняется резким уменьшением амплитуды установившихся волн в окрестности этого экспериментального числа Рейнольдса и конечной чувствительностью аппаратуры (Алексеенко, Накоряков, Покусаев 1979).
Для теоретического описания волн на поверхности пленки требуется решить в полной постановке задачи течения пленки систему уравнений Навье-Стокса с кинематическими и динамическими граничными условиями, что является, очевидно, очень сложной проблемой. Однако наличие условия длин-новолновости є = ho/X
В первом случае (Re ~ 1 -Ь І/є) систему уравнений Навье-Стокса можно свести к системе уравнений типа пограничного слоя (Капица 1948), (Левич 1959). В работе Крылова, Воротилина, Левича (1969) показано, что для реальных жидкостей ее можно использовать вплоть до значений числа Рейнольдса Re ~ 1000. И хотя на основе системы проведен ряд численных экспериментов (Демехин, Демехия, Шкадов 1983), (Гешев, Ездин 1985), такая система остается довольно сложной для подробного анализа ее решений.
Чтобы упростить систему уравнений типа пограничного слоя часто прибегают к использованию различных интегральных методов (Капица 1948), (Berbente 1968), (Шкадов 1967). Так используя предположение об автомо-дельности профиля скорости волнового течения Шкадовым (1967) была получена система уравнений dh да 1—2- = о dt дх здесь h - толщина пленки, зависящая от продольной координаты х, вдоль направления течения и времени t, q = J0 dy - погонный расход жидкости на единицу ширины плоскости, р - плотность жидкости. Результаты исследования системы уравнений (1) можно найти, например, в работах Шкадова (1968) и (1977), Трифонова и Цвелодуба (1985), Трифонова (1988). Обзор посвященный системе уравнений (1) и результаты численных исследований этой системы можно найти в работах Chang (1994), Chang, Demekhin, Kalaidin (1995).
Во втором случае, когда Re^.l, задачу о волновом течении пленки можно свести к рассмотрению одного нелинейного эволюционного уравнения на тол щину пленки или ее отклонения от невозмущенного уровня. Впервые уравне ние такого типа было получено Веппеу (1966) для описания плоских волн на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по наклонной плоскости. При выводе этого уравнения, число Вебера считалось умеренным We ~ 1 и в получаемом приближении выпадало из набора параметров, т.е. поверхностное натяжение здесь можно не учитывать. Вывод и рассмотрение этого уравне^іг ния дан так же в работе Шкадова (1973), которое является разновидностью широко известного уравнения Кортвега-де-Вриза-Бюргерса с тем отличием, что знак при члене со второй производной положителен, т.е. вместо дисси-зш пации в системе наличествует "накачка". Очевидно, что такое уравнение не допускает стационарно бегущих волн. Roskes (1970) обобщил это уравнение на случай трехмерных волн. >;>*
Из этого класса моделей (Яе < 1) следует выделить случай, когда действие поверхностных сил велико We ~ І/є2. Тогда получаемое модельное уравнение на эволюцию толщины пленки допускает волны с установившейся амплитудой. Для плоских возмущений такие уравнения были получены, например, в работах Gjevik (1970), Lin (1974), Непомнящего (1974с), Буе-вича, Кудымова (1983). Наиболее простая форма, соответствующая случаю малых возмущений на границе пленки (Дh « ho) дана в работе Непомнящего (1974с) для плоских возмущений на свободной границе вязкой пленки, стекающей по наклонной плоскости dh „L6Vi 8/n 5^ n.d2h 2ТГ7 d*h n ,n4 Tt + AhT* + Tb{Re - І^Ш + з Wew = (2) где в - угол наклона плоскости к вертикали. Это уравнение записано в системе отсчета, движущейся относительно лабораторной системы отсчета с удвоенной скоростью поверхности стекающей пленки Vq при безволновом режиме течения.
С точностью до замен переменных уравнение (2) является широко известным уравнением Курамото-Сивашинского (Kuramoto, Tsuzuki 1976), (Sivashinsky 1977), которое появляется в целом наборе моделей при описании различных активно-диссипати в ных эволюционных систем (Chang, Chen 1970), (Hooper, Crimshaw 1985), (Babchm, Frenkel, Levich, Sivashinsky 1983). В удобной для нас нормировке это уравнение имеет вид (Цвелодуб 1980) Ht 4-4ННХ + Нхх + Нхххх = 0 (3) где Н - преобразованное отклонение толщины пленки. В работе (Nicolaenko, Scheurer, Temara 1986) представлено аналитическое доказательство неинте-грируемоетй этого уравнения, более того, даже ограничиваясь случаем стационарных решений уравнения {Ht = 0), можно продемонстрировать хаотическое поведение его решений (Michelson 1986). Тем не менее, для уравнения (3) можно установить точное аналитическое решение, являющееся волной смены уровня (Kuramoto, Tsuzuki 1976). Интересные качественные рассуждения о возможности существования: солитонных1 решений такого уравнения приведены в работе (Маурин, Одишария, Точигин 1977). Солитонные решения здесь будем понимать в более широком смысле, как пространственно лока-'- лизованные решения/ Исследование стационарно бегущих периодических и солитонных решений изложено, например, в работе Цвелодуба (1980). Как показывают результаты численных расчетов (см., например, Трифонов, Цвелодуб 1988), набор стационарно бегущих волн уравнения (3) образует, по видимому, счетное множество семейств решений, каждое из которых непрерывно зависит от волнового числа. Хотя, нет возможности полностью описать все такие семейства решений, результаты расчетов позволяют делать некоторые важные выводы о волновой картине пленочных течений. Исследование нестационарных регулярных волновых режимов уравнения (3) представлены в работе Трифонова (1992).
Имеются так же попытки получать подобные эволюционные уравнения на изменение локальной толщины пленки и в случае умеренно" больших значений числа Рейнольдса (Takeshi 1999). Если рассматривать квазистационарные возмущения, т.е. такие для которых скорость близка к постоянной, то из системы уравнений (1) тоже можно получить одно уравнение на изменение толщины пленки (Алексеенко и др. 1979). Таким образом, модели такого рода можно рассматривать как связующий элемент между двумя описаниями пленочных течений, которые соответствуют малым и умеренным значениям чисел Рейнольдса.
Имеется много экспериментальных исследований пленочных течений. Кро- ме пионерских экспериментов Капицы (1948, 1949) упомянем здесь работы Krantz, Goren (1971), Portalski, Clegg (1972), Алексеенко, Накорякова, Поку-саева (1979, 1987), Lacy» Sheintuch, Dukler (1991). Как резюмировали Алексеенко и др. (1979) в большинстве выполненных экспериментов двухмерные регулярные волны исследовались только вблизи области зарождения волн, поскольку вскоре волны становились трехмерными и иррегулярными. Для поддержания двухмерных волновых режимов поток жидкости модулировался колебаниями фиксированной частоты, например, механическими вибрациями (Krantz, Goren 1971) или пульсациями скорости расхода Алексеенко и др. (1979). Таким образом, с физической точки зрения теоретическое исследование даже двухмерных волновых режимов нуждается в трехмерной формулировке задачи для выявления области применимости получаемых двухмерных решений.
Несмотря на обилие теоретических работ и докладов посвященных исследованию волновых режимов на поверхности пленочного течения, имеется относительно немного работ, в которых представлено систематическое исследование трехмерных волновых режимов. Обобщение уравнения (2) на случай " трех измерений дано в работе Непомнящего (1974а), а результаты численных и аналитических исследований пространственных решений этого уравнения можно найти в работах Непомнящего (1974b) и Цвелодуба, Котыченко (1991). Подобное модельное уравнение, получающееся при учете более высоких порядков по є приведено в работе Krishna, Lin (1977). Некоторые результаты аналитических и численных исследований трехмерных волновых режимов, а' так же исследований на устойчивость плоских волн к трехмерным бесконечно малым возмущениям для этого уравнения можно найти в работе Joo7 Davis (1992). В работе Lin, Chen (1997) проведены исследования на устойчивость плоского пленочного течения по отношению к трехмерным возмущениям для случая колеблющейся в своей плоскости вертикальной подложки и показано, что двухмерные возмущения не всегда оказываются более опасными чем трехмерные. В работе (Melkonian, Maslowe 1990) проведено интегрирование упрощенного эволюционного уравнения и рассмотрена эволюция трехмерных локализованных волн на поверхности стекающей пленки. Однако, в выбранной модели эти авторы пренебрегли поправками высшего порядка, которые ответственны за дестабилизирующие расходные и стабилизирующие капиллярные эффекты, поэтому эволюция демонстрирует лишь монотонное уплощение начального возмущения.
В данной работе излагаются результаты численных и аналитических исследований пространственных волновых режимов на поверхности вязкой плен- ки жидкости, стекающей по вертикальному круговому цилиндру в поле тяжести. Все исследования проведены в рамках одного нелинейного эволюционного уравнения, которое относится к описанному выше типу моделей, соответствующих числам Рейнольдса fie ^ 1 и числам Вебера We ~ І/є2. Впервые это уравнение было получено работе Shlang, Sivashinsky (1982). После некоторых преобразований переменных переменных оно принимает вид (Цвелодуб 1994)
дт дх дх2 дф2 \дх2 д<Р2)
5=-^= 1/(1 +0, Site/Wag)* < 1, чУо = ^<1 где Л - радиус цилиндра, L - длинна волны нейтрально устойчивых аксиально-симметричных волн, ср - азимутальная цилиндрическая координата.
Делая замену переменной z = R(p/L и совершая предельный 5—^0, соответствующий вырождению цилиндра в плоскость, из уравнения (4) придем к уравнению Непомнящего (1974а) + ^^ + ^+(^ + ^)^ = 0 (5) дН лттдН д2Н ( д2 д2^2 + 4Я 1 1- ( 1 , дт дх дх2 \дх2. dz2 }
В случае аксиально-симметричных волн уравнение (4) переходит в (3).
Целью работы является исследование в рамках модельного уравнения Шлэнга-Сивашинского (1982) трехмерных волновых режимов, возникающих на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру. Для ее достижения построены стационарно бегущие семейства решений, исследована их устойчивость, и на базе этой информации изучена эволюция трехмерных возмущений на поверхности пленки.
Научная новизна. Найдены оригинальные трехмерные волновые режимы на поверхности пленки вязкой жидкости. Показано, что данная модель допускает большое число, и по-видимому, счетное множество трехмерных стационарно бегущих семейств решений. Продемонстрированы взаимные переходы этих семейств решений друг в друга. Продемонстрировано влияние геометрии течения как на профиль отдельных пространственных стационарно бегущих волн, так и на глобальные свойства целых семейств решений. Проведены исследования на устойчивость полученных семейств решений. Опираясь на результаты исследования стационарно бегущих волн, в области умеренных волновых чисел удалось установить, как происходит эволюционная перестройка регулярных волновых режимов в зависимости от начальных дан-
Достоверность численных результатов обосновывается, во-первых, хорошим соответствием между собой данных, полученных с использованием различных методов. Во-вторых, для уравнения Непомнящего, описывающего трехмерные волны на поверхности плоской пленки, полученные результаты согласуются с данными других авторов. В-третьих, численные решения согласуются с аналитическими результатами, полученных в окрестности нейтральных волновых чисел.
Научная и практическая ценность. Проведенное в работе исследование привело к более полному пониманию процессов формирования волн на поверхности пленочного течения. Полученные результаты могут быть использованы для проведения некоторых тонких экспериментов по изучению гидродинамики волновых пленок в случае малых расходов..
Развитые в работе методы исследования стационарно бегущих волновых режимов, анализа устойчивости и бифуркации этих семейств с последующим изучением эволюции начальных возмущений можно, использовать в других областях науки, в которых изучаются нелинейные волновые процессы.
С теоретической точки зрения ценность полученных результатов заключается в демонстрации различные типы гидродинамической неустойчивости и связи между двухмерными и трехмерными течениями вязкой жидкости со свободной границей.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VII, IX Между-, народная конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", Новосибирск, 2000,2004; Fourth International Conference on Multiphase Flow, New Orleans, USA, 2001; XXIII Конференция молодых ученых мех.-мат. факультета МГУ, Москва, 2001; VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001; Fifth Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000; Fifth World Conf. on Experemental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Thessa-looniki, Greece, 2001; Междунар. конф. "Современ. пробл. приклад, матем. и механ.: теория, эксперимент и практика", Новосибирск, 2001; Transport Phenomena with Moving Boundaries, Berlin, Germany, 2002; VII Всероссийская конф. молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск, 2002.
Автор представляет к защите следующие результаты:
Расчеты различных семейств периодических стационарно бегущих трехмерных волн, проведенные на основе модельного уравнения Шлэнга-Сивашин-ского.. Исследования по устойчивости этих семейств волн относительно бес- конечно малых возмущений. Иерархическую картину ветвления стационарно бегущих периодических семейств решений, их взаимные переходы. Результаты исследования солитонных решений. Влияние геометрии течения на волновую картину.
Результаты исследования на устойчивость аксиально-симметричных волн к бесконечно малым трехмерным возмущениям для различных параметров течения. Связь аксиально-симметричных семейств с пространственными семействами решений.
Результаты исследования эволюции различных трехмерных возмущений. Классификацию начальных возмущений, позволяющую для умеренных волновых чисел предсказывать характер их эволюции и выход на больших временах на регулярные волновые режимы - стационарно бегущие или осциллирующие во времени волны.
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 работах:
Цвелодуб О.Ю., Бочаров А.А.,. Стационарно-бегущие волны на поверхности жидкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // Тез. Докл. VII Международная конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", под ред. проф. В. Я. Рудяка, Новосибирск, 12-14 апреля, 2000 г., Вып. 7.,-С. 95-96. Tsvelodub O.Yu.j Bocharov A.A., The wave regimes on a liquid film falling down a vertical cylinder // Book of abst.of the 4th International Conference on Multiphase Flow, New Orleans, Louisiana, USA, May 27 - June 1, 2001, p. 14
Бочаров А.А., Цвелодуб О.Ю., Исследование волновых режимов на пленке вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докл., Пермь, 23-29 авг. 2001 г. - Екатеринбург: Изд. ИМСС УрО РАН, 2001. - С. 115.
Бочаров А. А. Пространственные волны на поверхности жидкой пленки, стекающей вдоль вертикального цилиндра // VII Всероссийская конф. молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск, 23-26 апреля 2002 г., Тез. докл. - С. 108-109. Tsvelodub O.Yu., Bocharov A.A. Waves on a thin liquid film falling down over vertical cylinder // Orpheus'2000, 5th Workshop on Transport Phenomena in Two-Phase Flow, Pamporovo, Bulgaria, 2000. - P. 119-124 Tsvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder // Proc, of the Fifth World Conf. on Experemental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics, Editors G. P. Celata, P. Di Marco, A. Goulas, A. Mariani, Thessalooniki, Greece, 24-28 September, 2001. -V. 3; P. 2013-2018. Tsvelodub 0. Yu., Bocharov A. A. Structures of solitons on a liquid film falling over a vertical cylinder // Transport Phenomena with Moving Boundariesr Forschr.-Ber. VDI Reihe 3 Nr.738. Dusseldorf: VDI Verlag 2002. - R 178-188. Tkvelodub O. Yu., Bocharov A. A. The long waves on a liquid film falling over a vertical cylinder // J. Engineering Thermophysics. * 2002. - V. 11, Xа 3. -P. 217-228.
Бочаров А. А.. Цвелодуб О. Ю. Волновые режимы течения вязкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2003, № 2. С. 176 - 183.
10. Бочаров А. А., Цвелодуб О. Ю. Исследование эволюции возмущений на поверхности вязкой пленки жидкости, стекающей по вертикальному ци линдру // Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тез. докл. IX Международной конференции (26-28 апреля 2004г.), Новосибирск, Изд.НГАСУ, с.35-36. - ^, ,,,.
Структура диссертации. В первой главе представлена схема вывода основного модельного уравнения (4), описаны некоторые его свойства. Изложены результаты аналитических исследований его решений вблизи нейтраль-,,, ных волновых чисел.
Во второй главе представлены методы численных расчетов и методы теории устойчивости, которые используются для нахождения стационарно бегу- . ших режимов с волновыми числами, находящихся далеко от значений: нейтральных волновых чисел. Здесь так же излагаются методы исследования нестационарных задач для уравнения (4).
В третьей главе представлены результаты численных расчетов трехмерных стационарно бегущих волновых режимов. Найденные семейства решений исследованы на устойчивость. Проведены исследования на устойчивость аксиально-симметричных волн относительно трехмерных возмущений. Исследованы солитонные решения.
В четвертой главе представлены результаты исследований нестационарных волн. Показано, что опираясь на данные для стационарно бегущих семейств решений из третьей главы, можно получить информацию об эволюции различных начальных возмущений. Продемонстрирована эволюция волн, происходящая со сменой периода волны.
Некоторые свойства основного уравнения
В данной работе будем исследовать только периодические решения основного уравнения (1.1.18) с длинами волн в продольном и азимутальном направлениях Л = 27г/а и Аі = 2тг/п1р соответственно. Однако, рассмотрение периодических решений, допускающих предел по волновому числу а — О, позволяет говорить о локализованных или, в принятой многими авторами терминологии, солитонных решениях основного уравнения. Это допустимо если характерный масштаб возмущения по координате оказывается много меньше периода волны А. Если уравнение (1.1.18) умножить на Н и проинтегрировать по периодам волны А и Аі, то получим уравнение где через угольные скобки обозначен оператор усреднения по периоду волны Отсюда следует, что основное уравнение (1.1.18) описывает активно дис-сипативный процесс с функциями "накачки" и "диссипации" определяемые первым и вторым членом в правой части (1.2.1), соответственно. Кроме того, поскольку нелинейный член в (1.1.18) выпадает из интегрирования при выводе (1.2.1) в силу условия периодичности, то нелинейность не участвует в генерации "энергии", а ответственна только за ее перекачку между различными гармониками волны. Из линейного анализа устойчивости тривиального решения Н = 0 следует, что последнее неустойчиво к пространственным возмущениям вида если волновые числа (а, п ) удовлетворяют условию В этом случае с — СГ + ІСІ, СІ 0, и такие возмущения будут экспоненциально нарастать во времени. Дальнейший рост будет остановлен из-за действия нелинейных эффектов.
В результате могут формироваться стационарно-бегущие волновые режимы. Из первых двух групп преобразований следует, что без ограничения общности, на решения (1.2.4) можно наложить условия Из третьей группы преобразований следует, что вместе с решением Н(х, ф) для уравнения (1.2.3) имеется так же решение Н(хг— р), В дальнейшем ограничимся только четными по азимутальной координате у? решениями Отметим здесь, что основное уравнение (1.1.18) допускает простое решение при любых S с произвольной амплитудой А. Вместе с тривиальным решением Я = 0 решение (1.2.7) для А 0 определяет еще один возможный режим безволнового течения пленки: Неравенство (1.2.2) определяет для данного значения п область неустойчивости (сипі, опг) тривиального решения Я = 0. Нейтральные волновые числа otnip находятся из выражения Таким образом, для фиксированного S имеется дискретный набор интервалов по волновому числу а, соответствующих Пір = 0,1,2..., которые определяют область неустойчивости. Из формул (1.2.8) находится область допустимых значений параметра S в зависимости от азимутального волнового числа nv 1, при которых существуют неустойчивые возмущения Когда S Sc(l) = 0.7071 тривиальное решение Я — 0 устойчиво по отношению ко всем пространственным возмущениям (1.2.1). В этом случае могут нарастать только аксиально-симметричные возмущения п — 0 с волновыми числами а 1. Далее, Sc обозначает Зс{1). Следуя работе Цвелодуба (1994) для уравнения (1.2.4) в окрестности нейтральных волновых чисел (ап, п ) можно построить периодические решения с малой, но конечной амплитудой; Найденный таким способом набор решений оказывается пригодным для почти всех допустимых параметров. Ниже показаны специальные случаи, для которых корректное построение решений требует отдельного рассмотрения. В общем случае решение ищется в виде ряда по малому параметру є, смысл которого уточняется ниже Введем набор быстрых и медленных координат Подставляя ряд (1.3.1) в уравнение (1.2.4), принимая во внимание (1.3.2), и собирая члены при одинаковых степенях по є получим бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений. Первый порядок разложения по є дает Решение для этого уравнения, удовлетворяющее условиям (1.2.5) и (1.2.6) имеет вид 4-А (eitp + t iv), co-0 Второй порядок разложения по є дает Условие отсутствия секулярных членов в этом уравнения дает решение Здесь Гю,Гц алгебраически выражаются через амплитуду первой пространственной гармоники Г, а Лої и А)2 алгебраически выражаются через Г и амплитуду азимутальной гармоники Л
Метод исследования на устойчивость
Пусть До является периодическим стационарно бегущим решением уравнения (1.2.4) с волновыми числами а и пр. Будем искать решение (1.1.18), которое отличается от исходного малой поправкой Л После проведения линеаризации в уравнении (1.1.18) по отношению к малому возмущению /i( ,V)r) получим уравнение Поскольку т не входит в (2.2.2) явно, то решение h можно искать в виде В результате получим линейное дифференциальное уравнение в частных производных на Лі с периодическим по пространственным переменным коэффициентом Но Принимая во внимание, что период Но по координате р равен l-nfn и учитывая, что ищутся только симметричные по координате (р решения, из теоремы Флоке следует, что ограниченное решение Лі уравнения (2.2.4) имеет вид где Ф (, р) периодическая функция с тем же периодом по и р что и Но (, ) Q - произвольный вещественный параметр, а р такой, что рп целое число и Таким.образомj-исследование на устойчивость пространственного периодического стационарно бегущего решения уравнения (1.2.4) сводится к изучению спектральной задачи для уравнения (2.2.6) на собственные значения у (при различных значениях параметров Q и р) и собственные функции Ф(, ф) с теми же периодами по р и что и Яо(, р) Из представления (2.2.5) видно, что можно ограничиться рассмотрением значений параметра Q лишь из конечного интервала, например, [—QJ5,G 5].. Беря комплексное сопряжение уравнения (2.2.6) можно показать, что 7(—Q, ±р) = l{Q, р)- Таким образом, достаточно рассмотреть решения (2.2.6) для0 2 0.5, р 0. В общем случае краевая задача (2.2.6) с условиями периодичности на функцию Ф решалась численно. Для этого, функция Ф, определяемая конечной суммой ряда Фурье (2.2.7) с индексами суммирования \п\ N и \т\ Mf подставлялась в (2.2.6).
Подставляя так же конечную сумму ряда (2.1.1), определяющего исходное решение Щ, получим где n = n-hQim = m+p для всех nj N, \m\ M. Как видно из (2.2.3), если в некоторой точке, задаваемой набором параметров (a, ny, Q,p) вещественная часть какого-нибудь собственного значения рассматриваемой спектральной задачи yr = Re(-y) окажется равной нулю, то в этой точке от исходного решения Но возможно ветвление нового волнового режима. Если /m(7) ф 0, то ответвляется нестационарный волновой режим. Стационарно-бегущий волновой режим ответвляется в случае Если Q — р/r рациональное число, то ответвляющийся волновой режим будет периодическим с волновым числом a) (a/r, nv), если п р = 1, и Ъ){а/г,рп ), если Пу, 1 (что видно из (2.2.5)) Если Q иррационально, то ответвляющийся волновой режим будет двояко-периодическим по координате .. Укажем здесь важный частный случай задачи исследования на устойчивость аксиально симметричных волн по отношению к трехмерным возмущениям. Если исходное решение Щ не зависит от р, то функция Лі вместо (2.2.5) представляется в виде где Ф{) периодическая функция с тем же периодом по что и -ffo(C)- Проделывая аналогичные викладки получим конечную систему линейных алгебраических уравнений, определяющих спектральную задачу исследования на устойчивость для аксиально-симметричной волны Щ( — ст) Здесь \п\ N}. Нп и Фп - амплитуды Фурье разложения функций Я0() и Ф(), соответственно. Система уравнений (2.2.11) позволяет исследовать аксиально-симметричные волны на устойчивость к возмущениям с заданным азимутальным волновым числом Пір. Задача Коши, для уравнения (1.1.18) с начальным условием в виде периодической по координатам и р и симметричной по координате tp вещественной функции HQ = #о(, р)1т=о решалась численно. Для этого искомое решение Н — Н(,(р,т) представлялось в виде пространственного ряда Фурье (2.1.1) с зависящими от т амплитудами Нпт. Подставляя If в уравнение (1.1.18) и оставляя гармоники с индексами \п\ N, \т\ М, получим конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений где точка сверху означает дифференцирование по временной переменной т. Как и ранее, на амплитуды гармоник Нпт наложены условия вещественности (2.1.2) и симметричности по аргументу ip (2.1.3) функции if. Для гармоник с индексами п = 0 из (2.3.1) получим Из уравнения, соответствующего m:= 0 в (2.3.2), следует, что условие нормировки (2.1.5) заданное для:начальных данных Щ, оказываетсяавтоматически, выполненным для всех значений т. В случае п = 1 амплитуда A = HQI не зависит от г и, следовательно, является параметром и при изучении нестационарных волновых режимов (см. комментарий к (2.1.7)). Для т 2 из (2.3.2) следует, что #о - 0 при т — +оо, поэтому условия,(2.1.7) оказываются совместимы и с нестационарной постановкой задачи. Таким образом, эволюционные задачи, результаты исследования которых представлены в главе IV, определяются задачей Коши для системы (2.3.1) с совместимыми для нее условиями на Фурье амплитуды (2.1.2-3), (2.1.5-6). Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.3.1) решалась численно методом Рунге-Кутта. Числа N и М выбирались из условия (2.1.9) с автоматическим выбором шага и контролем точности численного интегрирования.
Устойчивость аксиально-симметричных волн к пространственным возмущениям
Зависимости амплитуды от волнового числа первого аксиально-симметричного семейства (семейство 1а) представлены на рис.. 3.2.1. Используя метод исследования на устойчивость аксиально-симметричных волн по отношению к пространственным (п ф 0) с заданным S и к аксиально-симметричным (rip — 0) возмущениямj представленный в 2.2, численно находились все собственные значения 7 линейной спектральной задачи, определяемой уравнением (2.2.11). Напомним, что вещественная часть 7г — е(7) является декрементом затухания (и инкрементом роста, если ут 0) для моды возмущения, определяемого через (2.2.10) и собственный вектор спектральной задачи (2.2.11). Мнимая часть собственного значения 7» — Im(y) определяет частоту осцилляции по временной переменной т для такого малого возмущения. Результаты расчетов набора 7г Для всех волновых чисел а первого аксиально-симметричного семейства показаны на рис. 3.2.2. На этих рисунках изображены лишь фрагменты данных с положительными значениями декремента затухания 7г, однако представлены все jr 0. Таким образом, по графикам на рис. 3.2.2(a) можно определить область устойчивости волн первого аксиально симметричного семейства к возмущениям с тем же перидом волны, что и исходное решение (показатель Флоке Q. = 0), а по графикам на рис. 3.2.2(6) область устойчивости к возмущениям с удвоенным периодом волны к исходному решению (показатель Флоке Q =1/2). Результаты расчетов на устойчивость к пространственным возмущениям (п ф 0) представлены здесь для S = 0.4. Для тех а, при которых вещественная часть jT становится равной нулю, от исходной волны возможно ответвление нового семейства решений. Если при этом ТІ = 0» то ответвляется семейство стационарно бегущих волн. Например, для а = 0.554 на рис. 3.2.2(a) от первого аксиально симметричного семейства ответвляется новое семейство стационарно бегущих решений. Это семейство, которое в дальнейшем будем называть вторым аксиально-симметричным семейством (семейством Па), показанное нарис. 3.2.1, характеризуется нетривиальной зависимостью фазовой скорости с от волнового числа а (рис. 3.2.1(6)). В пределе a — 0 решение семейства На переходит в одногорбый солитон, профиль которого показан на рис. 3.2.3. На рис. 3.2.5 представлены результаты исследования на устойчивость второго аксиально-симметричного семейства к аксиально-симметричным возмущениям {рис. 3.2.5(a)) и к трехмерным возмущениям (рис. 3.2.5(6)) с тем же периодом волны. Пространственные возмущения рассматриваются только с азимутальным волновым числом п — 1. Из этих рисунков видно, что приближаясь к малым волновым числам а} у второго аксиально-симметричного семейства накапливается все больше неустойчивых мод возмущений, соответствующих отрицательным 7г«
Отсюда следует вывод, что аксиально-симметричный солитон (рис. 3.2.3) на пленке жидкости, стекающей вдоль вертикального цилиндра, не устойчив как к аксиально-симметричным, так и к трехмерным возмущениям. Кроме того для этого солитона аксиально-симметричные возмущения (рис. 3.2.5(a)) растут в несколько раз быстрее трехмерных возмущений в широком интервале заначе-ний параметра S (рис. 3.2.5(6", в)). С увеличением S трехмерные возмущения растут все медленней и в пределе S 1 можно ожидать, по-видимому, Это семейство и солитон впервые получен, в работе Цвелодуба (1980) и демонстрирует соответствие представленных здесь расчетов с данными в этой работе. Волновое число а = 0.644 на рис. 3.2.2(a), соответствует точке ветвления пространственного семейства решений от первого аксиально-симметричного семейства. Подробней это семейство, названное семейством II \ описано в 3.3. Все малые трехмерные возмущения с волновыми числами 0.644 а при S = 0.4 затухают (рис. 3.2.2(a)). Для других S граница области устойчивости решений семейства Ы к трехмерные возмущениям представлена на рис. 3.2.4. Таким образом, эта кривая отделяет область устойчивости аксиально-симметричных волн к трехмерным возмущениям, лежащей над кривой, от области возникновения устойчивых пространственных волновых режимов, лежащей под этой кривой. Примеры эволюции периодических возмущений с параметрами из этих двух областей представлены в пункте 4.1. устойчивость аксиально-симметричного солитона ко всем трехмерным возмущениям. В случае малых значений параметра S «. 1 скорость роста трехмерных возмущений уже становится сравнимой со скоростью роста аксиально-симметричных возмущений. Область устойчивости второго аксиально-симметричного семейства (0.435 а 0.524) к пространственным возмущениям с п р = 1 при S = 0.4 определяется из рис. 3.2.5(6). Граница области устойчивости к пространственным возмущениям с гіф—І для других параметров S показана на рис. 3.2.6. Область устойчивости семейства Па к аксиально-симметричным волнам (0.479 а 0.554) определяется из рис. 3.2.5(a). Результаты исследования на устойчивость аксиально-симметричных семейств 1а и Па на рис. 3.2.4 и на рис. 3.2.6 демонстрируют расширение области устойчивости аксиально-симметричных волн к трехмерным возмущениям с увеличением параметра S, соответствующих уменьшению радиусов цилиндра. Волновое число в окрестности а 1 на рис. 3.2.2(6) где 7г5 соответствующее возмущениям с Пф = 1 (сплошная линия), принимает нулевое значение указывает точку ветвления первого пространственного семейства от первого аксиально-симметричного семейства с показателем Флоке Q = 1/2. Как меняется это волновое число в зависимости от параметра S показано сплошной линией на рис. 3.2.7 . Эти данные получены численно. Хорошее приближение зависимости на рис. 3.2.7 можно получить аналитически.
Для этого в задаче на устойчивость, определяемой системой (2.2.11), ограничимся только первой гармоникой в Фурье разложении аксиально-симметричного решения. Вместе с условием ветвления от него пространственного стационарно бегущего режима (7 — 0) с п9 = 1 и показателем Флоке Q — 1/2 эта система примет вид Здесь учтено, что фазовая скорость волн первого аксиально-симметричного семейства с = 0. Го - амплитуда первой гармоники Фурье разложения первого аксиально-симметричного семейства. Черта сверху означает комплексное сопряжение. Из условия разрешимости системы (3.2.1) имеем Подставляя а — 1 в (3.2.2), находим значение квадрата амплитуды основной гармоники Го [2. Из этого в соответствии с приближенным аналитическим решением (1.3.12) находится волновое число решения семейства 1а, при котором от него с удвоением периода волны ответвляется пространственное семейство / На рис 3.2.7 эта зависимость волнового числа а\ от параметра S изображена пунктиром.. Подчеркнем, что при а\ /2 происходит вырождение решений первого пространственного семейства при заданном S в волну первого аксиально-симметричного семейства (линия р на рис. 3.1.5). Из рис. 3.2.7 видно, что ветвление пространственных волн от первого аксиально-симметричного семейства возможно и для S SCi когда нет возможности . ветвления пространственных волновых режимов от тривиального решения Н = 0. Примеры пространственных семейств решений, ответвляющихся от семейства Іа в этом случае показаны на рис. 3.2.8. Фазовая скорость с этих семейств так же тождественно равна нулю. В окрестности а 0.25 пространственное семейство, соответствующее S = 0.8 вырождается в волну первого аксиально-симметричного семейства с учетве-рением длины волны. Пространственное семейство, соответствующее S = 0.9, может быть непрерывно продолжено в область малых волновых чисел а. Эти примеры демонстрируют, что с изменением параметра S устройство пространственных семейств решений может качественно меняться и, следовательно, решения могут терпеть разрыв.
Эволюционная перестройка волн со сменой пространственного периода
Если Ло - период начального возмущения, то в следствии отсутствия у уравнения (1.1.18) коэффициентов, зависящих от координат, для нестационарного решения выполняется равенство Н( + Ао, ) = Н(,(р) для всех т. Наличие области неустойчивости у найденных в главе III семейств решений к возмущениям с тем периодом волны, отличающимся от исходного, что соответствует ненулевым значением параметра Флоке Q (см., например, рис. 3.3.2(a) и рис. 3,3.1(6)), указывает на возможность перестройки исходной волны в волну с другим периодом. Это возможно в результате эволюции начального стационарно бегущего решения возмущенного малой периодической добавкой с другим периодом. Для получения такой перестройки в численном эксперименте необходимо предоставить возможность для роста гармоник, соответствующих новому периоду волны. Например, чтобы численно продемонстрировать неустойчивость решения к возмущениям с показателем Флоке Q. = 1/2, т.е. к возмущениям с удвоенной длинной волны, необходимо от Фурье амплитуд исходного решения перейти к Н 2пт = НПіГП, Н 2п+1т — 0 для"всех. п,т и сделать замену волнового числа а —а/2. В результате получится прежнее решение с прежней длиной волны До, для которого возможен рост нечетных по индексу п гармоник Нп,т и, соответственно, осуществим переход к периодическому решению с длиной волны 2Ао Результаты исследования на устойчивость семейства 1а к возмущениям с показателем Флоке Q = 1/2 на рис. 3.2.2(6) указывают волновые числа, при которых у решений этого семейства происходит рост периодических возмущений удвоенного периода. Например, для а — 0.9 аксиально-симметричная волна семейства 1а неустойчива как к аксиально-симметричным [п = 0), так и к пространственным (п р = 1) возмущениям.
Эволюция амплитуды ДЯ и профиля Н(,т) этой волны возмущенной малой аксиально-симметричной добавкой показана на рис. 4.2.1(а, б). На этих рисунках показано, как первоначально растущее возмущение приводит к установившейся волне отличающейся от исходной невозмущенной волны сдвигом по координате на половину периода волны. Удвоение периода волны отчетливо здесь проявляется только в промежутке, между начальной и конечной стадией эволюции. Эволюция этой аксиально-симметричной волны возмущенной малой пространственной периодической добавкой с волновыми числами а/2 и nv = 1 продемонстрирована на рис. 4.2.2. На первом этапе г 10 для амплитуд основных значащих гармоник выполняется соотношение ІЯ20І 1-. І (рис-4.2.2(6)) и начальная волна с периодом Ао остается почти без изменений (рис. 4.2.3(a)). Для времен т 15 амплитуда гармоники Нп становится преобладающей и у волны проявляется существенная зависимость по координате р с удвоением периода по координате (рис. 4.2.3(6, в)). На больших г пространственные гармоники стремятся к нулю и волна вырождается в первоначальное решение (рис. 4.2.3(г)). В процессе эволюции могут встречаться так же и обратная ситуация к показанному выше случаю, когда волна периода Ао вырождается; в волну периода Ао/2. Например начальное возмущение вида В данной работе исследовалось корректно полученное модельное уравнение, имеющее четкое соответствие с физическим явлением волнового течения цилиндрической пленки вязкой жидкости при умеренных расходах Re 1 и большом поверхностном натяжений We $ 1. Перечень основных результатов численных и аналитических исследований решений нелинейного эволюционного уравнения (1.1.18): 1. Получены новые трехмерные волновые режимы на по верхности цилиндрической пленки.
Показано, что дан ная модель имеет большое число, по-видимому счетное множество, периодических стационарно бегущих семейств решений. Ветвление стационарно бегущих волновых ре жимов имеет иерархических характер. Новые семейства решений возникают в точках ветвления, где найденные семейства решений теряют устойчивость к отдельным ,, модам бесконечно малых возмущений. С приближением » к области длинных волн число точек ветвления растет. В большинстве случаев найденные семейства решений неустойчивы. Поэтому в процессе эволюции длинноволновых возмущений вероятно развитие стохастических режимов. 2. Влияние геометрии основного течения (изменение пара метра S ) на волновые режимы проявляется, во-первых, увеличением числа пространственных стационарно бегу щих семейств решений с увеличением радиуса цилин дра или увеличением числа Рейнольдса (уменьшение па раметра S)r Во-вторых, возможно скачкообразное изме нение областей существования стационарно бегущих се мейств решений. В-третьих, с увеличением радиуса ци линдра трехмерные возмущения на поверхности пленки локализуются в поперечном к потоку направлении. Найдены различные солитонные пространственные решения уравнения (1.1.18). Найдено солитонное решение, переходящее при S —» 0 в подковообразный: солитон, полученный: для стекающей пленки вязкой жидкости вдоль вертикальной плоскости. Исследования на устойчивость показали, что все найденные солитонные решения неустойчивы к бесконечно малым возмущениям. Анализ устойчивости позволил установить связь между аксиально-симметричными и трехмерными волнами. Показано, что с уменьшением1 радиуса цилиндра область устойчивости аксиально-симметричных волн к трехмерным возмущениям существенно расширяется. Удалось установить нижнюю по длине волны границу области возникновения устойчивых трехмерных волновых режимов. Возникающие при этом устойчивые трехмерные волны принадлежат семейству IV стационарно бегущих решений. Показано, что для аксиально симметричного соли-тона малые аксиально-симметричные возмущения растут в несколько раз быстрее трехмерных возмущений. В области умеренных волновых чисел а Q.5 — 1 для эволюционного уравнения (1.1.18) удалось провести классификацию начальных данных для задачи Коши, позволяющую предсказывать характер эволюции начальных возмущений, асимптотически притягивающихся к регулярному волновому режиму. Это оказалось возможным из-за наличия симметрии решений, сохраняющихся в процессе эволюции.
