Содержание к диссертации
Введение
1 Однослойная пленка 9
1.1 Волны на почти горизонтальной', поверхности . 9
1.2 Модель пространственного развития нелинейных волн 41
2 Двухслойная пленка 45
2.1 Исследование устойчивости 45
2.2 Развитие нелинейных волн 58
2.3 Слабонелинейное приближение 62
- Волны на почти горизонтальной', поверхности
- Модель пространственного развития нелинейных волн
- Развитие нелинейных волн
- Слабонелинейное приближение
Введение к работе
Актуальность темы
Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с широким практическим применением пленок жидкости в технике и технологии. Такого рода течения возникают в ряде важных процессов, таких как получение защитных пленок покрытия, пленок оптически активного вещества для кино- и фототехники, выращивание кристаллов. Пленка конденсата присутствует в явлениях, происходящих в машинах и оборудовании, обслуживающих газоконденсатные месторождения, например, в газовых турбодетандерах и сепараторах для отделения газа от конденсата. Пленки являются составной частью теплопередачи в оросительных холодильниках и градирнях, выпарных аппаратах и нефтеперегонных печах. Расплавленный металл может образовать волновую пленку на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа.
Основная трудность теоретического исследования пленочных течений заключается в том, что поверхность слоя, как правило, покрыта сложной системой существенно нелинейных волн. Изучение волновых режимов стекающих пленок жидкости имеет кроме практической ценности общетеоретический интерес как пример нелинейных волн в среде с диссипацией и подкачкой энергии. Результаты, полученные для тонкого слоя, могут оказаться полезными для понимания развития неустойчивости, рождения и эволюции нелинейных структур в других случаях активных
сред.
Цели работы
Дать теоретическое истолкование для экспериментов по течениям однослойной пленки вязкой жидкости в случае малых углов наклона подложки.
Исследовать течение двухслойной пленки и определить условия, при которых возможно волнообразование.
Применить к исследуемому течению метод сведения полной краевой задачи, включающей уравнения Навье-Стокса и неразрывности и граничные условия, к системе одномерных уравнений для локальных толщин слоев и расходов жидкостей и построить алгоритм, пригодный для проведения быстрых и эффективных расчетов.
Получить и исследовать возможные модификации уравнений для однослойной и двухслойной пленок и определить границы их полезного применения.
Научная новизна
Выведена и исследована система уравнений для описания течений
двухслойной пленки. Методом установления построены нелинейные
периодические волновые режимы.
Построено длинноволновое слабонелинейное приближение уравнений для двухслойной пленки и проведено сравнение с однослойным случаем.
Показана эффективность пленочных уравнений для течений тонких слоев жидкости по поверхности с малым углом наклона к горизонту. Построены семейства решений и проведено сравнение с экспериментальными данными.
Для задачи об однослойной пленке построена система уравнений, эволюционная по пространственной координате.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты диссертации могут служить для определения толщин получаемых в приложениях тонких пленок при интенсивных режимах нанесения покрытий, в усложненных ситуациях, таких как почти горизонтальная поверхность подложки, наличие двух слоев несмешивающихся жидкостей, при определении динамики развития нелинейной волны из малых возмущений стационарного безволнового течения. Длинноволновая модель может быть применена для исследования структуры бифуркаций волновых режимов.
Результаты могут быть применены в технологических приложениях, включающих покрытие твердой основы тонкой пленкой, таких как фармакология, пищевая промышленность, защита от коррозии, производство многослойных композитов и полимерных пленок.
Апробация диссертации
Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на конференции «Аэромеханика и газовая динамика в XXI веке» в МГУ им. М.В. Ломоносова (2003 г.), на школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики» под руководством академика Г.Г. Черного (2001, 2002, 2003 гг.), конференциях «Ломоносовские чтения» (2003, 2005, 2006 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики.
Структура и объем диссертации
Волны на почти горизонтальной, поверхности
Основная трудность теоретического исследования пленочных течений заключается в том, что поверхность слоя, как правило, покрыта сложной системой существенно нелинейных волн. Изучение волновых режимов стекающих пленок жидкости имеет кроме практической ценности общетеоретический интерес как пример нелинейных волн в среде с диссипацией и подкачкой энергии. Результаты, полученные для тонкого слоя, могут оказаться полезными для понимания развития неустойчивости, рождения и эволюции нелинейных структур в других случаях активных сред.
В первой части главы 1 проведены теоретические исследования нелинейных волн в пленках жидкости на твердой плоской стенке при ее малом отклонении от горизонта. Математическая модель сведена к системе двух уравнений эволюционного типа для толщины слоя и локального расхода жидкости. Наряду с силами вязкости, тяжести, поверхностного натяжения учитывается также перепад давления на толщине пленки, вызываемый проекцией силы тяжести на нормаль к удерживающей поверхности. Рассматриваются пространственно-периодические решения, развивающиеся во времени от ма льіх начальных возмущений до регулярных нелинейных волн. Применяется спектральное представление решения и метод Галеркина по однородной координате с последующим численным интегрированием уравнений соответствующей динами-ческой системы на больших интервалах времени. Выполнены расчеты вариантов в пространстве трех свободных управляющих параметров задачи и выведены некоторые основные закономерности нелинейной динамики двумерных волн. Результаты расчетов использованы для сопоставления с имеющимися экспериментальными данными. Показано, что выводы теории пригодны для истолкования и прогнозирования экспериментов.
В.работах.[6-8] выполнены обширные измерения нелинейных волн в стекающих пленках на наклонной поверхности при малых отклонениях ее от горизонта (углы наклона в = 4—10). Серия измерений проведена как развитие и расширение пионерской работы [10], в которой впервые исследованы экспериментально волны на вертикальной твердой поверхности. Ставилась цель более углубленного изучения процессов развития и взаимодействий нелинейных волн, возникающих из малых начальных возмущений с использованием современных методов эксперимента, включая технику лазерного зондирования и флюоресцентного изображения волн. Авторы работ [6-8] отмечают, что они не располагали подходящей теорией волновых движений для компактного и упорядоченного представления результатов экспериментов и ограничиваются тем, что отмечают лишь некоторые аналогии со случаем волн на вертикальной пленке, для.которого такая теория существует. Результаты измерений представлены в виде наборов отдельных частных вариантов, сопровождаемых пояснениями и рассуждениями о возможных закономерностях в наблюдаемых сценариях развития волн.
В настоящей работе проведено систематическое исследование сценариев развития нелинейных волн в пленке путем численного решения уравнений математической модели. В расчетах моделируются условия, при которых проводились эксперименты [6-8], и проводится сопоставление расчетных и экспериментальных данных.
Во второй части главы 1 получена модель для исследования пространственного развития периодических по времени волн в однослойной пленке. Такой подход наиболее близок К;подходу,..используемому .в экспериментах. К сожалению, полученная модель оказывается жесткой, что значительно осложняет ее применение
Модель пространственного развития нелинейных волн
Применимость математической модели (1.1) к исследованию динамики нелинейных волновых режимов определяется условием (1.3). Из таблицы 1 видно, что это условие выполнено практически для всех вариантов, реализованных в экспериментах [6-8]. Это связано с тем, что во всех реализованных режимах значение 7 достаточно велико (7 = 469).
Каждая пара значений 5, є из таблицы 1 порождает серию вариантов с параметром sa Є [0,1]. Каждое из допустимых значений sa соответствует определенной внешней частоте возмущений, которую можно вычислить по (1.11). Вычисленные варианты показаны на фиг. 1.
Другие серии экспериментов, проведенных в [1-3], характеризуются следующими значениями параметров S, є: в = 6.4; 0.122 5 0.538; 1.084 є 3.000; 11 ReG 37; 0 = 5.6; 0.160 (К 0.266; 1.995 є 3.000; 13 ReG 23; в = 4.6; 0.172 5 0.268; 0.981 є 2.432; 23 ReG 57.
Таким образом, в таблице 1 представлены типичные значения 6, є, характеризующие проведенные эксперименты, поэтому исследование влияния значений параметра є, иных чем в таблице 1, не проводилось.
На фиг. 1, а показаны границы существования волновых режимов разных типов, установленные экспериментально. Исходные экспериментальные данные, приведенные в [6] на фиг. С.) при /3 — 4.6 и в [7] на фиг. 2 при /3 = 6.4, пересчитаны к параметрам подобия , а, е. Эти данные охватывают различные интервалы значений 5, но практически совпадают на интервале 8, общем для этих двух серий экспериментов. Ли-ния 1 разделяет зоны, в которых наблюдаются нелинейные одногорбые и многогорбые волны (выше и ниже линии Ї). Линия 2 разделяет одногорбые волны на две части, характеризующиеся различными проявлениями неустойчивости. Линия 3 соответствует волнам, наиболее растущим на линейной стадии развития при малых амплитудах, а пунктиром показана линия таких режимов, вычисленная по уравнению (1.6). Точками показаны варианты, приведенные в таблице 1, для которых проведены численные эксперименты при разных частотах возмущений и для которых можно провести сравнения с экспериментальными измерениями параметров волн.
В экспериментах не проводилась классификация многогор-бых волн ниже линии 1, хотя эта область наиболее интересна, в частности, тем, что при s —» О достигаются режимы уединенных волн. Наиболее четкие и законченные представления о границах, разделяющих волновые режимы разных типов, могут быть составлены при исследовании бифуркаций регулярных волн. Такие данные имеются для. волновых режимов в пленке на вертикальной поверхности (є = 0), полученные в [15,37,38] тщательными численными экспериментами с решениями системы (1.1). На фиг. 1, 6 показаны для сравнения волновые режимы для этого случая. На фиг. 1, указаны характерные линии в плоскости (s, 6) при є = 0. Здесь линия 1 разделяет зоны одногорбых и мно гогорбых волн, линия 2 соответствует одногорбым волнам первого семейства с наибольшей амплитудой. Указана так же линия ниже которой существуют быстрые многогорбые волны второго семейства. Важное различие случаев є Ф 0 и є = 0 состоит в том, что линия наиболее растущих волн расположена в зоне многогорбых волн в первом случае и в зона одногорбых волн во втором. Как следствие этого, в ре жиме естественного развития волн преимущественно должны развиваться многогорбые волны в пленках на почти горизон тальной поверхности и одногорбые волны в пленке на верти кальной поверхности, что соответствует экспериментальным наблюдениям [6-8] и [10].
Развитие нелинейных волн
Подставим (1.15) в систему для fk{x,t) и отбросим члены второго (и выше) порядка относительно fk\. Рассмотрим частные решения получающейся линейной системы в виде бегущих волн /и(ж, t) = ак\ ехр{г(Ь - iwtf)}. (1.16)
Здесь dfci обозначают амплитуду возмущения любой из неизвестных величин /ідо, qko- Величина Ъ считается заданной, она характеризует отношение длин волн: при b 1 длина волны возмущения больше, а при b 1 — меньше, чем базовая длина волны исходного режима. Для определения a,ki из линеаризованной системы получаем однородную линейную систему алгебраических уравнений. В случае нетривиального решения определитель ее должен обращаться в нуль и это приводит к характеристическому уравнению для определения собственного числа щ.
При подстановке возмущенного решения (1.15), (1.16) в разложение (1.14) получаем систему вторичных волн малой ам-плитуды, наложенных на основной волновой режим Как следует из (1.17), связи между длинами волн Аисх и Авозм и фазовыми скоростями Со и c\k выражаются следующим образом
Амплитуда порожденной гармоники (1.17) экспоненциально растет при шіг 0, при этом фазовые скорости могут изменятся в широком диапазоне в зависимости от значения ши И номера гармоники исходной волны.
В [29] была построена линеаризованная система из десяти уравнений (ктах = N = 5 в (1.14)) и вычислены собственные значения ш\. В качестве основной волны принималось решение первого семейства волн, имеющих максимальную амплитуду, и близкие к ним по s (оптимальные волны, введенные в [11] при 5 = 5 ). Основной результат [29] состоит в том, что установлена неустойчивость волновых нелинейных режимов, так как при исследованных значениях 0;6 b 1,5 для пяти собственных значений из десяти выполнялось условие Uir 0.
При прямом численном интегрировании уравнений дина мической системы для fk(t) при фиксированном волновом числе 5, что определяет периодичность решения по простран ственной координате, в системе имеются вторичные возму щения, кратные основной волне. Таким образом, в (1.16) мо гут быть значения b = 1,2,... ,ктах. Чём больше значение &тазо Тем сложнее набор вторичных волн. С уменьшением 5 от, 5 = 1 и приближением к точке 5 = 0 (или увеличением 5 при фиксированном а) усложняется профиль волны и требу ется, соответственно, увеличивать iV в (1.14). Соответственно этому возрастают количество мод вторичной неустойчивости и пульсации, сопровождающие развитие волны. С этим свой ством решений можно связать стохастический характер воз никающих пульсаций.
Рассматривается задача о стекании однослойной пленки по вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Из общих уравнений Навье-Стокса и неразрывности и условий на твердой и свободной поверхностях с помощью разумных упрощений и осреднения по ортогональной к твердой поверхности координате у получается следующая система уравнений: qx + ht = 0, .. (1.18) где q — расход жидкости, h — толщина пленки, х — продольная пространственная координата, t — время.
В некоторых случаях необходимо рассматривать развитие по пространственной координате -периодических волн. Та кая ситуация возникает при задании малых пульсаций расхо да с начальном сечении с некоторой заданной частотой, по этому типична при проведении экспериментов. Однако, мо дельная система (1.18) является эволюционной по времени, поэтому в расчетах удобно рассматривать развитие по време ни ж-периодических волн. Следовательно, возникает потреб ность в системе уравнений, эволюционной по пространствен на ной координате. Этому вопросу посвящено множество работ (например, [16-23]), однако все полученные модели сопряжены со значительными вычислительными трудностями. Введем новую переменную = ах — u)t, где ажш постоянны. Тогда уравнения преобразуются к виду
Для того, чтобы уравнения стали эволюционными, необходимо отсутствие производных по ж в правой части первого уравнения. Если hx 1, то можно рассматривать приближенные эволюционные уравнения [44]
Анализ линеаризованной задачи показывает, что при 5 = 0.06 наиболее растущая волна вида ег х имеет коэффициент усиления /3 с 0.053, что позволяет считать такое приближение допустимым.
Слабонелинейное приближение
Периодические по = х — crt решения уравнений (2.9) с волновым числом а можно найти методом Галеркина, изложенным, например, в [39]. Согласно этому методу, функции ищутся в виде разложений в ряд Фурье: где обозначает комплексное сопряжение. После подстанов-ки (2.13) в (2.9) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно hkj(t) и фу(), решение которой ищется численно. В качестве начальных условий берутся простые гармоники с достаточно малой амплитудой, являющиеся решениями линеаризованной системы. Фазовая скорость сг развивающейся волны с течением времени изменяется. Чтобы упростить вычисления, в расчете за скорость водны бралась скорость первой гармоники суммарной толщины пленки.
Решение этой задачи Коши при t — оо..стремится к устано-вившейся двухпериодической нелинейной волне с некоторой предельной фазовой скоростью сг.
Для численного исследования использовался преобразованный метод Галеркина, изложенный в [41], с последующим решением получающихся обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.
Отметим, что свободные поверхности волн, получающихся для однослойной пленки при использовании модели [11] и для двухслойной при однородных параметрах v = 1, р = 1, а = 0.1, очень близки (коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела нельзя считать равным нулю, так как в этом случае становится невозможным за ней проследить: жидкости начинают перемешиваться). Это подтверждает, адекватность изложенной модели.
Рассматриваемая задача имеет семь независимых безразмерных параметров: v, р, а, 7, $, Ы\ и #, поэтому полное исследование зависимости решения от них довольно затруднительно. Ограничимся рассмотрением пленки, первая жидкость, которой — вода, вторая — бензол. На фиг. 11 показана зависимость от времени максимума общей толщины пленки для этого случая при а = 0.2, а также изменение скоростей первых четырех гармоник во времени.
Интересно,проследить за эволюцией данной волны от начальной синусоиды до предельного состояния с большим чис Фиг. И: Изменение во времени /imax и скоростей первых четырех гармоник лом гармоник. На фиг. 12 а представлены компоненты спектра ((/)2)) а на фиг. 12 б — профили волны в различные моменты времени.
Скорости первых четырех гармоник разложения общей толщины пленки в ряд Фурье изменяются следующим образом: сначала, пока волна имеет форму, близкую к синусоиде, скорость первой гармоники почти не меняется, а остальные пренебрежимо малы по сравнению с ней, затем появляется большое количество гармоник с различными скоростями и начинается процесс синхронизации скоростей — объединение гармоник в нелинейную волну, бегущую с определенной скоростью. Этот процесс показан на рис. 116", графики скоростей помечены номерами соответствующих гармоник.
Как можно заметить, скорость и максимальная толщина пленки для рассматриваемого течения не выходят на постоянный уровень, а совершают периодические колебания с достаточно малой амплитудой около некоторого среднего значения. Такие волновые режимы возникали и при расчете однослойных пленок (см., например, [42]), однако в двухслойных пленках они выражены гораздо сильнее.
