Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Упрощенные модели расчета формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом 19
1.1 Метод нестационарной аналогии 19
1.1.1. Постановка и решение задачи 19
1.1.2. Примеры расчетов по методу нестационарной аналогии 23
1.2 Пространственная стационарная задача о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости 32
1.2.1. Постановка и решение задачи 32
1.2.2. Примеры расчетов 37
Выводы 44
Глава 2. Движение над границей раздела двух сред крыла конечного размаха 45
2.1. Постановка и решение задачи 45
2.2. Алгоритм расчета 53
2.3. Примеры расчета гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла 56
Выводы 80
Глава 3. Движение низколетящего крыла за диском диполей 82
3.1 Задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над твердой поверхностью 82
3.1.1. Постановка и решение задачи 82
3.1.2. Примеры расчетов 91
3.2 Задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями 104
3.2.1. Постановка и решение 104
3.2.2. Примеры расчетов 110
Выводы 126
Заключение 128
Список литературы
- Примеры расчетов по методу нестационарной аналогии
- Пространственная стационарная задача о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости
- Алгоритм расчета
- Задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями
Примеры расчетов по методу нестационарной аналогии
По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [53] и [75 - 83], в том числе одна статья [80], опубликованная журнале «Современные проблемы науки и образования», рекомендованном ВАК.
Статья [53] принята в печать журналом «Известия РАН. Механика жидкости и газа», рекомендованном ВАК. Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (97 наименований). Общий объем диссертации составляет 137 страниц, включая 75 рисунков. В первой главе рассматриваются упрощенные модели расчета формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом. Характерная особенность таких моделей состоит в том, что движение низколетящего крыла над свободной поверхностью жидкости рассматривается как движение по свободной поверхности жидкости компактной области повышенного давления. В рамках метода нестационарной аналогии и пространственной стационарной задачи найдены простые формулы и быстроработающий алгоритм для определения формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом. Проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом в модельных примерах.
Во второй главе рассматривается пространственная стационарная задача о движении низколетящего крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями. Двумерное сингулярное интегральное уравнение теории крыла при этом вырождается в краевую задачу для уравнения Пуассона для определения плотности двойного слоя, распределённого по поверхности крыла. Эта задача решается численно. Далее по известным формулам вычисляются форма свободной поверхности под крылом, коэффициент подъёмной силы и коэффициент волнового сопротивления крыла. В качестве примера выполнены расчёты гидроаэродинамических характеристик движения прямоугольного бестелесного крыла, имеющего размеры реального экраноплана, и формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом.
В параграфе 3.1 рассматривается пространственная стационарная задача о движении крыла за диском диполей на малом отстоянии от твердой поверхности. Линейная постановка и малость отстояния крыла от опорной поверхности позволяют эффективно использовать методы квадрупольной теории крыла вблизи экрана. Проведен анализ влияния диска диполей на характеристики потока под низколетящим крылом. Получены формулы для расчета вызванных диском диполей скоростей потока под крылом. В качестве примера выполнены расчеты коэффициента влияния диска диполей на подъемную силу прямоугольного бестелесного крыла в зависимости от угла атаки крыла и скорости движения (скоростной критерий – число Фруда) для заданного распределения плотности диполей в диске.
Во параграфе 3.2 ставится пространственная стационарная задача о движении крыла над поверхностью раздела невязких жидкостей с различными плотностями за диском диполей с известным скачком давления в нем. По сути, выполняется объединение постановок задач, которые были поставлены и решены в главе 2 и в параграфе 3.1. Краевая задача для уравнения Лапласа обычным для теории потенциала ускорений путём редуцируется к двумерному сингулярному по одной переменной интегральному уравнению, в котором влияние диска диполей проявляется в изменении правой части и имеет смысл динамической кривизны потока жидкости перед крылом и дополнительной деформации свободной поверхности под ним. Предположение о малости отстояния крыла от поверхности раздела жидкостей конструктивно используется в квадрупольном вырождении фундаментальных структур, что в конечном итоге позволяет преобразовать интегральное уравнение в краевую задачу для двумерного дифференциального уравнения Пуассона в области течения под крылом, решаемую численно. В качестве примера выполнены расчеты коэффициента влияния диска диполей на подъемную силу прямоугольного бестелесного крыла в зависимости от угла атаки крыла и числа Фруда для заданного распределения плотности диполей в диске. Также были выполнены расчеты формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом при наличии перед ним диска диполей.
В заключении приводятся основные результаты работы. В работе принята двойная нумерация формул и рисунков, где первая цифра – номер главы, вторая – порядковый номер формулы или рисунка. Хочу выразить огромную благодарность в адрес моего научного руководителя – профессора Орлова Юрия Федоровича, оказавшего неоценимую помощь при работе над диссертацией. Глава 1. Упрощенные модели расчета формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом Один их подходов к нахождению формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом состоит в том, что движение низколетящего крыла над свободной поверхностью жидкости рассматривается как движение по свободной поверхности жидкости компактной области повышенного давления. Информация о распределении давления под низколетящим над твёрдым экраном крылом берется из различных асимптотических теорий, например, квадрупольной или метода сращиваемых асимптотических разложений [55, 62]. Далее эта информация используется в итерационных алгоритмах расчета формы свободной поверхности жидкости под крылом.
Пространственные задачи о волнах на поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом в рамках данного подхода рассматривались, например, в [44, 47]. Основные трудности, связанные с этим подходом, состоят в вычислении волновых интегралов с ядром Коши. Задача существенно упрощается, если использовать метод нестационарной аналогии. Термин «нестационарная аналогия» является в какой-то степени синонимом термина «метод плоских сечений». Данный метод состоит в том, что пространственная стационарная задача при определенных условиях заменяется набором плоских нестационарных задач.
Пространственная стационарная задача о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости
В рассмотренной модели волнообразования под низколетящим крылом отсутствует видимая связь с параметрами геометрии объекта – относительным отстоянием от экрана и углом атаки крыла, так как нагрузка на крыло фиксирована. В этом случае основным критерием волнообразования становится число Фруда по нагрузке (по «водоизмещению»). Явная зависимость волнообразования (и связанные с ним параметры «мореходности») от геометрии объекта могут быть получены в итерационном процессе корректировки местных отстояний с учётом волнообразования в задаче квадрупольной теории крыла [44, 55]. Также, из-за того, что распределения скорости и давления в каждом сечении жидкости эволюционируют независимо друг от друга, то не учитывается взаимодействие сечений жидкости между собой и перетекание жидкости по продольной координате.
В рамках метода нестационарной аналогии удалось получить простые формулы и быстроработающий алгоритм расчета волновой поверхности под крылом конечного размаха, которые могут быть использованы в итерационном процессе расчёта элементов гидроаэродинамики объектов, использующих статическую или динамическую воздушную подушку.
Пространственная стационарная задача о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости
Учет влияния взаимодействия сечений жидкости между собой и перетекания жидкости по продольной координате можно осуществить с помощью перехода к пространственной стационарной задаче. Рассмотрим пространственную стационарную задачу о движении по свободной поверхности жидкости компактной области повышенного давления [47].
Введем систему координат, связанную с крылом - прямоугольником [0; 2а] х [-Ь; Ь], движущимся со скоростью v0, как показано на рисунке 1.8.
Жидкость плотности р занимает область Q - полупространство z 0. В рамках пространственной стационарной задачи нас будет интересовать установившееся движение поверхности жидкости, происходящее достаточно долго (то есть мы не рассматриваем возникновение и развитие волн с момента времени t0 = 0, когда возмущения на поверхности жидкости отсутствовали). Такая постановка задачи приведет к необходимости исключения из рассмотрения свободных волн. Будем считать, что движение жидкости потенциальное, то есть в любой точке вектор скорости V = (V, V , V) жидкости может быть определен как градиент скалярной функции ф(х, у, z), называемой “потенциалом скорости”: функция распределения под крылом давления.
В данном условии объединены кинематическое, и динамическое условия. Здесь ы - коэффициент малых диссипативных сил (он вводится для того, чтобы исключить из рассмотрения свободные волны на поверхности жидкости, и устремляется к нулю в конечных результатах),
Число Фруда – гравитационный критерий подобия в механике жидкости. Он определяет особенности движения жидкости, связанные с силами инерции (в том числе и с силами тяжести), и является основным критерием подобия при волнообразовании на свободной поверхности жидкости.
Применим к первому уравнению этой системы преобразование Фурье по координатам х и у. Для этого умножим первое уравнение системы на и проинтегрируем по х и по у от - да до да , чтобы перейти от реальных величин к их Фурье образам. Учитывая линейность преобразования Фурье и свойство преобразования Фурье от k-ой производной [18]: интегрировании по г полюс будет лежать под осью г, если cos 0 0 и над осью г, если cos 0 0, поэтому путь интегрирования надо выбирать с учетом обхода особых точек г сверху в первом случае и снизу во втором. Выделяя вычеты при интегрировании по указанному пути, получим выражение для потенциала скорости
Итак, в рамках пространственной стационарной задачи была получена общая формула (1.27), которая определяет форму свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом. В полученную формулу можно подставлять различные Фурье образы функций распределения давления под крылом.
1) Рассмотрим сначала простейший случай - движение над поверхностью жидкости статической воздушной подушки. То есть, будем, считать, что давление под крылом постоянно внутри прямоугольника хє[0;2], J e[-l;l] и равно Р0. Тогда для функции f(x,y) можно записать такое интегральное представление с использованием 5-функции Дирака [47]: По формуле (1.32) были проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости при движении по ней статической воздушной подушки с параметрами P0=83.3, X = \ для чисел Фруда Fr = l, Fr = 3, Fr = 5. Результаты расчетов представлены на рисунках 1.9 - 1.11 соответственно.
Рассмотрим теперь случай движения над поверхностью жидкости динамической воздушной подушки – прямоугольного крыла конечного размаха. В рамках пространственной стационарной задачи, применяя квадрупольную теорию крыла [55], можно найти функцию f (x, y) в виде [28]:
В данной главе рассматривались упрощенные модели расчета формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом. Получены следующие результаты:
1. В рамках метода нестационарной аналогии удалось получить простые формулы и быстроработающий алгоритм расчета волновой поверхности под крылом конечного размаха, которые могут быть использованы в итерационном процессе расчёта элементов гидроаэродинамики объектов, использующих статическую или динамическую воздушную подушку.
2. Сравнивая результаты расчетов, полученные в рамках пространственной стационарной задачи о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости, с результатами расчетов по методу нестационарной аналогии, можно отметить следующее:
1) Качественная картина волнообразования в рассмотренных моделях для одинаковых значений чисел Фруда сохраняется.
2) Различие моделей проявляется в детализации расходящихся волн во внутренней области угла Кельвина. Глава 2. Движение над границей раздела двух сред крыла конечного размаха
Во введении было отмечено, что задача о движении над границей раздела двух сред крыла конечного размаха имеет полувековую историю. Возвращение к этой проблеме в настоящей работе связано с желанием на основе корректного применения квадрупольной теории А.Н.Панченкова и теории потенциала ускорений построить эффективный асимптотический алгоритм и программную реализацию её решения.
Постановка и решение задачи Рассмотрим задачу о движении на малой высоте над поверхностью раздела жидкостей с различной плотностью крыла конечного размаха. Пусть малоискривленное крыло S движется с постоянной скоростью v0 на малой высоте h над границей раздела SL двух жидкостей различных плотностей, рг плотность верхней жидкости, р2 - плотность нижней жидкости (как показано на рисунке 2.1).
Алгоритм расчета
Следует обратить внимание на то, что представленная на рисунке 2.2 функция у(х,у), полученная численным решением краевой задачи (2.13) и интегрального уравнения (2.15), качественно соответствует оценкам этой функции по второму приближению квадрупольной теории А.Н. Панченкова
На рисунке 2.3 изображена зависимость коэффициента Cy{h ) подъемной силы низколетящего крыла от его относительного отстояния h над жидким экраном при X = 1, Fr = 2.74 и углах атаки крыла а = 2, а = 4, а = 6, а = 8. Из рисунка 2.3 видно, что коэффициент подъемной силы крыла над жидким экраном монотонно убывает при увеличении отстояния крыла от жидкого экрана.
Из рисунка 2.3 также видно, что при изменении относительного отстояния с 0.015 до 0.5 коэффициент подъёмной силы крыла над жидким экраном уменьшается более, чем на порядок.
Введем функцию Ks (Fr) , которая определяется отношением коэффициента подъёмной силы крыла в зависимости от числа Фруда при движении крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями к коэффициенту подъемной силы того же крыла при его движении над твердой поверхностью. Графики функции Ks (Fr) для плоского прямоугольного крыла, имеющего площадь 36 м2, угол атаки а = 4 и отстояния h=0.09 м, h=0.12 м, h=0.15 м, h=0.18 м от поверхности (это параметры, характерные для СДВП «Волга-2»), представлены на рисунках 2.4 - 2.7.
На рисунке 2.4 изображен график функции К (Fr) для вышеупомянутого крыла, имеющего =\ и относительные отстояния И = 0.015, И = 0.02, И = 0.025, h = 0.03, h = 0.1 от поверхности. Результаты, полученные в этих расчётах, можно оценить как весьма неожиданные.
Известно, что коэффициент подъёмной силы несущих систем, будь то крылья над или под поверхностью раздела жидкостей с различной плотностью [54, 56], или глиссирующие поверхности [47, 66], имеет один минимум в районе числа Фруда Fr = 0.5. Ярко выраженный максимум в закритической области чисел Фруда (при числе Фруда Fr « 2.485) до настоящего времени обнаружен не был. Поскольку используемый алгоритм относится к комбинированному (численно - аналитический), то исследовать на наличие точек экстремума решение задачи не представляется возможным. Возникают вопросы о влияние на это явление других параметров задачи. Так как при распараллеливания задачи на 3 - 4 потока и использовании не самой плохой вычислительной техники время счёта одной точки измеряется часами, то оценка влияния в работе была ограничена двумя параметрами: 1) Отстояние крыла от границы раздела сред: h=0.09 м, h=0.12 м, h=0.15 м, h=0.18 м, h=0.6 м (только для крыла, имеющего X = 1). 2) Относительное удлинение крыла X = 1, 2, 3, 4. Рисунок 2.4 - Функция Ks(Fr), =\ Из рисунка 2.4 видно, что колебание графика функции Ks(Fr) тем больше, чем меньше относительное отстояние и достигает 18% для И = 0.015, причём положение максимума не зависит от относительного расстояния. Но для И = 0.1 колебание составляет лишь 2%. Надо также отметить, что максимум на рисунке 2.4 не является точкой возврата. Растягивая координаты по оси абсцисс на графике, по результатам расчёта можно заметить, что в точке максимума график функции имеет горизонтальную касательную.
Выполненный расчёт ответил ещё на один пока открытый вопрос: на сколько мы ошибаемся, заменяя свободную поверхность твёрдым экраном при конечных значениях числа Фруда? Из графика функции Ks(Fr), которая определяет отношение коэффициента подъёмной силы над свободной поверхностью к тому же коэффициенту над твёрдым экраном, представленном на рисунке 2.4, видно, что ошибка не превосходит 6 - 11% на сверхмалых отстояниях, причём с увеличением относительного отстояния эта ошибка уменьшается и на малом отстоянии (// = 0.1) достигает всего лишь 2%. Качественную оценку правомочности такого упрощения задачи впервые выполнил А.Н. Панченков [54, 56, 57 с.90 - 93].
На рисунке 2.5 изображен график функции Ks(Fr) для вышеупомянутого крыла, имеющего =2 и относительные отстояния И = 0.021, И = 0.028, И = 0.035, И = 0.042 от поверхности.
В этом расчёте при увеличении относительного удлинения с 1 до 2 положение точки экстремума по шкале Фруда не изменилось. Колебание графика уменьшилось до 3 – 6% с сохранением качественной картины зависимостей. Ошибка от замены жидкого экрана на твёрдый уменьшилась до 3 – 7%. На рисунке 2.6 изображен график функции Ks(Fr) для вышеупомянутого крыла, имеющего =3 и относительные отстояния И = 0.026, И = 0.035, И = 0.043, И = 0.052 от поверхности.
Из графика на рисунке 2.6 видно, что положение максимума по шкале Фруда сдвинулось в точку = 2.704. При этом колебания графика функции Ks(Fr) уменьшилось до 1.2 - 2.6%. Область максимума характеризует более пологая кривая. Отличие от модели с твёрдым экраном 2.2 - 4.5%. На рисунке 2.7 изображен график функции Ks(Fr) для вышеупомянутого крыла, имеющего =4 и относительные отстояния И = 0.03, И = 0.04, И = 0.05, И = 0.06 от поверхности. Рисунок 2.7 - Функция Ks(Fr), =4
Для этого значения относительного удлинения положение максимума сдвинулось в точку Fr = 3.1 при одновременном уменьшении колебания графика функции до 0.7 - 1.3% и уменьшении ошибки до 1.6 - 3.3%.
Таким образом, с увеличением относительного удлинения X положение максимума слабо смещается в сторону больших значений чисел Фруда при одновременном уменьшении колебания графика функции Ks(Fr) и приближении значений коэффициента подъёмной силы к значению для случая движения крыла над твёрдым экраном. С увеличением относительного отстояния до И = 0.1 и выше, по всей видимости, эффект местного увеличения коэффициента подъёмной силы для некоторых значений числа Фруда исчезает. Введем функцию Kb{Fr), которая определяется отношением коэффициента подъёмной силы крыла в зависимости от числа Фруда при движении крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями к коэффициенту подъемной силы того крыла при его движении над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями с большим числом Фруда (Fr = 10).
Выполнить предельный переход Fr -»оо в рассматриваемом алгоритме не представляется возможным. Взятое значение числа Фруда соответствует скоростям, большим верхних границ скоростей существующих экранопланов. Так например, при Fr = 10 для «Волги-2» - это скорость около 290 км/час, а для экраноплана «Орлёнок» - 580 км/час.
Задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями
Выполненные расчёты показали, что вызванные диском диполей скорости при удалении от диска относительно быстро стремятся к нулю. Однако в целом влияние диска на коэффициент подъёмной силы заметно, если не сказать велико: при фиксированной скорости крыла и фиксированном отстоянии крыла от поверхности влияние диска диполей на коэффициент подъемной силы крыла тем больше, чем меньше угол атаки крыла; при фиксированном угле атаки крыла и фиксированном отстоянии крыла от поверхности влияние диска диполей на коэффициент подъемной силы крыла тем больше, чем меньше скорость крыла.
Рассмотрим пространственную стационарную задачу о движении комплекса «крыло - диск диполей» с известным скачком давления в диске диполей над поверхностью раздела двух невязких тяжелых жидкостей с различными плотностями.
Пусть pj - плотность верхней жидкости, р2 - плотность нижней жидкости. Относительная плотность p = Pl/p2«l предполагается малой. Тонкое прямоугольное крыло, имеющее хорду 2а, размах 26, и диск диполей D, ось которого наклонена к направлению движения комплекса под углом Р, движутся в направлении положительных значений оси х с постоянной скоростью v0 на малой высоте h над поверхностью раздела жидкостей (рисунок 3.14).
Форма поверхности крыла известна и задана уравнением S(x,у,z) = z-f±(x,у) = 0. Диск D - генератор известного скачка давления имеет радиус R. Координаты его центра Ох заданы в системе координат, связанных с крылом (рисунок 3.14): x = ad, y = bd, z = cd. Оставаясь в рамках линейной модели, для решения задачи будем использовать потенциал ускорений Q(x,y,z), связанный с давлением [54, 57]: Р(х,y,z) = p-Q(x,у,z), где р - плотность жидкости, которая предполагается невязкой и несжимаемой. Связь потенциала ускорений Q(x,y,z) с потенциалом скоростей (p(x,y,z) в стационарных задачах дается соотношениями (2.1) - (2.4).
Линейное приближение накладывает некоторые ограничения на геометрию тела в потоке жидкости - относительная толщина 8 крыла мала: 5 = [/] = (/+-/")/2а«1, местные углы атаки крыла также малы:
Введём потенциалы ускорений: Є, - для верхней жидкости и 02 - для нижней жидкости. Тогда исходную задачу для течения в верхней жидкости можно сформулировать как краевую для уравнения Лапласа от потенциала ускорений с соответствующими краевыми условиями:
Здесь Q - пространство, занятое жидкостью; q = (x,y,z)eQ.; S - проекция поверхности S на плоскость ху; p = ();r\;C))eSp; F(p) = N0 \Fl(p)), Fx{p) -нормальная составляющая скорости точек на крыле; Pd - скачок давления в диске D, SL - поверхность раздела жидкостей; v = g-v0-2; g = 9.81 м/с2; ц - малый действительный параметр, устремляемый к нулю в конечных результатах.
Заметим, что для постановки задачи вида (3.12) справедливы все действия, описанные в параграфе 3.1. Поэтому, используя функцию Грина (2.7), применим к задаче (3.12) преобразования, задаваемые формулами (3.2) - (3.9). Введем при этом безразмерные величины соотношениями (штрихи далее опущены, кроме относительного отстояния h )\ х = х а, у = у Ь, z
В случае движения комплекса «крыло - диск диполей» над границей раздела двух сред продольная составляющая скорости, вызванной диском диполей, задается выражением: Ф =Ф+ФГ, где ф - продольная составляющая вызванной диском диполей скорости на X в задаче о движении комплекса «крыло - диск диполей» над твердой поверхностью, которая находится по формуле (3.7), ф - волновая добавка, определяемая выражением:
Для иллюстрации приведённого выше алгоритма была выполнена серия расчётов для объекта, соответствующего размерам СДВП «Волга - 2» из [68]. Некоторые результаты расчётов, в которых крыло имеет форму плоской прямоугольной бестелесной поверхности, представлены на рисунках 3.15 - 3.28. Диск диполей в этих расчетах имеет диаметр R = 0.8 м, угол наклона оси диска составляет р = 10. Положение диска диполей относительно задней кромки крыла: ad =3.0, bd =0.0, cd =0.3. Известно, что «Волги-2» имеет два воздушных винта в насадке с общей тягой 7 кН. Для простоты расчетов был взят один в диаметральной плоскости с тягой 7 кН и равномерным распределением скачка давления по диску, что в пересчете по известным формулам дает плотность диполей yd =-12.631. Плотность диполей предполагалась не зависящей от скорости. Расчёты выполнялись для раздела сред воздух-вода.
На рисунке 3.15 изображена нагрузка за диском диполей на вышеупомянутом крыле, имеющим угол атаки а = 4 и отстояние h=0.09 м от поверхности раздела (относительное отстояние И = 0.015), - функция у(х,у), полученная в результате решения краевой задачи (3.14) и интегрального уравнения (3.16). Число Фруда составляло Fr = 2.1. нагрузка на крыле, движущимся над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями, в присутствии диска диполей перед крылом (представленная на рисунке 3.15 для всей области под крылом).
Из рисунка 3.16 видно, что присутствие диска диполей перед крылом, движущимся над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями значительно увеличивает нагрузку на носовую часть крыла и несколько уменьшает нагрузка на его заднюю часть. Это приводит к заметному изменению моментных характеристик.
