Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Свойства динамики частицы в потоке жидкости
1.1 Введение. Уравнение движения частицы в потоке жидкости 27
1.2 Динамика частицы в неоднородном стационарном течении идеальной жидкости 31
1.2.1 Точное частное решение для скорости частицы 31
1.2.2 Динамика частицы в осесимметричном вихре 32
1.2.3 Хаотическое движение и аномальная дисперсия частиц в течении Грина - Тейлора 35
1.3 Динамика частицы в течении вязкой жидкости 40
1.3.1 Асимптотическое решение для скорости частицы 40
1.3.2 Динамика частицы в осесимметричном вихре 43
1.3.3 Ограниченое и неограниченное движение частицы в течении Грина -Тейлора 44
1.3.4 Устойчивость решения уравнения Чена для скорости частицы в однородном потоке 47
1.4 Выводы к главе 1 51
1.5 Рисунки к главе 1 53
ГЛАВА 2. Динамика потоков, несущих твердые частицы
2.1 Введение. Уравнения движения частиц и жидкости с учетом межфазного взаимодействия 61
2.2 Динамика концентрации частиц и межфазное взаимодействие в осесимметричном вихре 66
2.2.1 Аналитическое решение в виде волны концентарции 66
2.2.2 Аналитическое решение для поля завихренности 69
2.2.3 Результаты численного моделирования 73
2.3 Динамика концентрации частиц и межфазное взаимодействие в течении Стюарта 75
2.3-1 Аналитическое решение для концентрации частиц и завихренности жидкости 75
2.3.2 Результаты численного моделирования 78
2.4 Эффект гравитационного оседания частиц и межфазное взаимодействие в течении Грина-Тейлора 81
2.4.1 Аналитическое решение для концентрации частиц и модификации завихренности жидкости 81
2.4.2 Результаты численного моделирования 88
2.5 Волновая динамика разбавленной суспензии оседающих частиц 90
2.5.1 Уравнение для волновых возмущений 90
2.5.2 Результаты численного моделирования 96
2.6 Влияние инерции частиц на межфазное взаимодействие в изотропной турбулентности 97
2.6.1 Модификация спектра изотропной турбулентности частицами с малой инерцией 98
2.6.2 Результаты численного моделирования 102
2.7 Выводы к главе 2 114
2.8 Рисунки к главе 2 116
ГЛАВА 3. Динамика потоков жидкости, несущей микропузырьки
3.1 Введение. Уравнения движения пузырьковой жидкости с учетом межфазного взаимодействия 150
3.2 Исследование свойств пространственно - развивающегося пузырькового слоя смешения с помощью прямого численного моделирования 154
3.2.1 Формулировка задачи и описание численного метода 154
3.2.2 Метод лагранжево - эйлерова отображения для вычисления концентрации и скорости пузырьков 159
3.2.3 Свойства течения и межфазного взаимодействия в случае однородного распределения исходной концентрации пузырьков 164
3.2.4 Свойства течения и межфазного взаимодействия в случае ступенчатого распределения исходной концентрации пузырьков 169
3.3 Исследование динамики турбулентных потоков пузырьковой жидкости с помощью прямого численного моделирования 171
3.3-1 Динамика однородной турбулентности, несущей микропузырьки 171
3.3.2 Динамика турбулентного пузырькового потока с постоянным сдвигом средней скорости 177
3.4 Волновая динамика пузырькового слоя при воздействии акустической накачки 181
3.4.1 Основные уравнения 182
3.4.2 Режим слабой нелинейности 184
3.4.3 Режим пилообразных волн 187
3.4.4 Результаты численного моделирования 193
3.5 Выводы к главе 3 196
3.6 Рисунки к главе 3 198
ГЛАВА 4. Динамика вихревых потоков в жидкости со стратификацией плотности в виде пикноклина: численное моделирование и сравнение с экспериментом
4.1 Введение 219
4.2 Исследование процесса заглубления пикноклина под действием турбулентного сдвигового потока 221
4.2.1 Математическая модель и численное моделирование заглубления термоклина под действием турбулентного сдвигового потока 221
4.2.2 Решение для спектра внутренних волн для заданного спектра пульсаций скорости сдвигового потока 225
4.3 Генерация внутренних волн в пикноклине под действием сдвиговой неустойчивости 230
4.3.1 Основные уравнения и описание численного метода 230
4.3.2 Результаты численного моделирования 235
4.4 Динамика турбулентной струи в пикноклине 240
4.4.1 Формулировка задачи и описание численного метода 240
4.4.2 Результаты численного моделирования 243
4.4.3 Аналитическая оценка для временных асимптотик масштабов длины и скорости струи 248
4.5 Выводы к главе 4 250
4.6 Рисунки к главе 4 252
Заключение 281
Библиография 286
- Хаотическое движение и аномальная дисперсия частиц в течении Грина - Тейлора
- Аналитическое решение для концентрации частиц и модификации завихренности жидкости
- Свойства течения и межфазного взаимодействия в случае однородного распределения исходной концентрации пузырьков
- Решение для спектра внутренних волн для заданного спектра пульсаций скорости сдвигового потока
Введение к работе
Задачи, связанные с динамикой потоков и волн в дисперсных и стратифицированы* средах, представляют интерес как с прикладной, так и с фундаментальной точек зрения. Актуальность задач, связанных с динамикой таких сред, обусловлена их многочисленными приложениями во многих областях науки и техники. В число примеров физических процессов, связанных с течениями дисперсных жидкостей (т.е. жидкостей, несущих твердые частицы или пузырьки, газовзвесей и газокапельных потоков) входят: распространение примесей в океане и аэрозолей в атмосфере, пылевые и песчаные бури, дисперсия капель топлива в двигателе внутреннего сгорания, течения пузырьковых жидкостей в процессах ферментации и движение газовзвесей в различных технических устойствах в промышленном производстве (химических и ядерных реакторах, в процессах распылительной сушки и т.д.) [1, 2, 3]. Задачи динамики стратифицированной жидкости связаны с процессами перемешивания и генерации внутренних волн поверхностными сдвиговыми потоками в атмосфере и океане, со струйными течениями, обусловленными выбросами загрязнений, с развитием турбулентного следа за телом, движущимся в пикноклине при больших числах Рейнольдса и Фруда, и многие другие
[4, 5]-[14].
Известно, что динамика диспресной среды описывается системой уравнений для несущей фазы (жидкости или газа) и для частиц (или концентрации) примеси. При этом мгновенные скорости частиц примеси определяются (но, в случае конечной инерции частиц, как правило, не совпадают с) полем скорости несущей фазы. В настоящее время известно, что поле скорости инерционной примеси, в отличие от поля скорости несущей жидкости, не является бездивергентпым [15]. Это свойство обусловливает формирование со временем существенно неоднородного распределения концентрации частиц примеси даже в том случае, когда исходное распределение концентрации однородно. Явление образования неоднородностеи распределения концентрации частиц примеси в вихревых потоках принято называть кластеризацией [16]. В случае достаточно большой массовой концентрации частиц (или объемной доли пузырьков в потоке пузырьковой жидкости) они оказывают существенное воздействие на динамику несущей фазы [1, 2],
Изучение динамики одиночной частицы в потоке жидкости важно для описания движения дисперсной среды в целом и представляет самостоятельный интерес [2]. Известно, что траектория частицы (или пузырька) в общем случае не совпадает с траекторией жидкой (лагранжевои) частицы из-за эффекта инерции [17, 15]. Результаты
предыдущих исследований, получение с помощью численного моделирования движения частиц в вихревых потоках [15], [18] - [21], показывают, что динамика частицы с инерцией может быть весьма сложной даже в ламинарных двумерных течениях. Значительное внимание исследователей привлекли течения Грина-Тейлора [22] и Стюарта [23], представляющие собой точные двумерные стационарные решения уравнений Эйлера. Результаты [15], [18] - [21] показывают, что траектории частиц с плотностью большей, чем плотность жидкости в этих течениях могут хаотическими.
Следует отметить, что в ранних исследованиях использовалось уравнение для скорости частицы, полученное для случая однородного, нестационарного поля течения жидкости [24]. Соответствующее уравнение для скорости частицы носит название уравнения Чена, и его решение широко используется в исследованиях динамики дисперсных сред [24] - [28],[2]. Однако вопрос об устойчивости решения этого уравнения для скорости частицы не рассматривался.
Корректный вывод уравнения для скорости частицы, движущейся в нестационарном и неоднородном течении вязкой жидкости, был выполнен Махеу and RHey (1983) для случая, когда возмущение поля скорости несущего течения, привносимое частицей в жидкость, является стоксовым [25]. В этом случае инерционные силы (градиента давления и присоединенной массы) малы по сравнению с вязкими силами (Стокса и Бас се). С другой стороны, в исследованиях [18] - [21] вязкие и инерционные силы оказываются сравнимыми по порядку величины, а силой Б ас се вообще пренебрегается.
Динамика жидкости, несущей множество частиц, описывается системой уравнений для скорости несущей жидкости и для скорости дисперсной фазы (частиц), и эти уравнения связаны между собой благодаря воздействию частиц на жидкость [1, 2, 3]. Если концентрация частиц С достаточно мала [С < 1СГ2), и не происходит процессов перехода одной фазы в другую и химических реакций, то воздействие частиц на несущую жидкость осуществляется благодаря силе трения, возникающей из-за наличия проскальзывания, т.е. отличия скорости отдельно взятой частицы от локальной скорости жидкости. Эта разность скоростей обусловлена инерцией частицы. Экспериментальные данные [16] и результаты численного моделирования [29, 15, 30, 32] показывают, что инерция тяжелых частиц обусловливает их накапливание (или кластеризацию) в областях малой завихренности, т.е. на периферии вихрей, несущего течения. С другой стороны, частицы с плотностью меньшей, чем плотность жидкости (в том числе и пузырьки), накапливаются в центрах вихрей. Результаты исследований показывают [33] - [40], [32], что кластеризация частиц происходит наиболее интенсивно, когда их время
релаксации близко к характерному временному масштабу несущего течения. В случае переходных течений (таких как течение в ближнем следе, или в ближней зоне слоя смешения) этот масштаб определяется характерным значением завихренности крупномасштабных вихрей [33] - [40]. В случае же изотропной турбулентности характерный масштаб течения определяется комогоровским временным масштабом т% [32].
Результаты многочисленных экспериментальных исследований турбулентных двухфазных течений в случае, когда скорость гравитационного оседания частиц пренебрежимо мала, показывают, что тяжелые частицы могут как ослаблять, так и усиливать турбулентность [41] - [48]. Исследователями выдвигались различные критерии оценки, характеризующие воздействие частиц на турбулентность. Например, исходя из совокупности известных экспериментальных данных Gore and Crowe (1989) предположили, что частицы усиливают или ослабляют турбулентность, если отношение диаметра частицы к пространственному масштабу энергонесущих вихрей жидкости больше или меньше 0.1. При этом предполагалось, что усиление турбулентности частицами происходит благодаря турбулизации жидкости в следе, возникающему при обтекании частицы [50]. Другой критерий был предложен Hetsroni (1989), согласно которому число Рейнольдса частицы является основным параметром, определяющим эффект воздействия частиц на турбулентность (также благодаря эффектам, связанным с турбулентным следом за каждой частицей) [49]. Предлагались также различные модели и механизмы, поясняющие эффект воздействия следа за частицей на характеристики несущего турбулентного потока [52, 53]. В другом исследовании [51] предполагалось также, что главным параметром межфазного взаимодействия является отношение времени релаксации частицы тр к интегральному масштабу времени турбулентности Т, и что частицы с малой инерцией гр <Т ослабляют турбулентность, а частицы с большой инерцией гр > Т усиливают турбулентность.
В ранних теоретических и численных исследованиях вихревых течений двухфазных жидкостей использовались методы осреденения, аналогичные полуэмпирическому подходу в случае однофазной жидкости [1, 2, 54, 55]. Результаты показывают, что эффективность этих методов определяется удачным подбором модельных коэффициентов, которые оказываются зависящими от конкретного вида течения [54, 51]. Поэтому растущий интерес исследователей в последнее время привлекают методы численного моделирования вихревых двухфазных течений, не требующие модельных предположений и использования процедуры замыкания [4]. Наиболее эффективным считается метод прямого численного интегрирования уравнений динамики двухфазной среды, при кото-
ром разрешаются все масштабы движения жидкости и частиц, а подсеточные эффекты пренебрежимо малы [56, 57, 60, 61]. Результаты этих работ показывают, что тяжелые частицы с достаточно большой инерцией (т.е. с временем релаксации большим, чем колмогоровский временной масштаб турбулентности тр > тк) ослабляют турбулентность.
Следует отметить однако) что в предыдущих работах [56, 57, 60, 61] в целях сокращения требуемых численных ресурсов использовался так называемый метод "стохастических" частиц, В этом методе одна "стохастическая" (или численная) частица представляет собой большое число (порядка ста) реальных частиц. При этом сила, с которой одна численная частица воздействует на несущее течение, умножается на число представляемых ею реальных частиц. Представление "стохастических" частиц искажает реальное воздействие частиц на жидкость и ведет к результатам с неясными границами применимости [51].
Теоретические и численные исследования ламинарных течений в рамках уравнений "пылевого газа" (описывающих течение жидкости, несущей частицы, диаметр которых мал по сравнению с пространственным масштабом несущего течения) показывают, что воздействие частиц на жидкость приводит к уменьшению эффектов вязкости и таким образом дестабилизирует течение [62]-[64].
Процесс гравитационного оседания частиц встречается на практике при распылительной сушке дисперсной фазы [65, 66]. При этом частицы либо стационарно оседают, либо поддерживаются на весу вертикальным потоком воздуха, скорость которого примерно равна скорости оседания частиц в покоящейся среде. Экспериментальные наблюдения показывают, что изначально однородное распределение частиц неустойчиво, и развитие неустойчивости ведет к образованию "пузырей", т.е. областей несущей жидкости без частиц. Предпринималось много попыток объяснить механизм этой неустойчивости в общем случае суспензии с большой концентарцией, где эффекты взаимодействия частиц между собой существенны [67]-[73]. Однако, теоретический анализ осложняется тем, что приходится вводить различные модельные предположения для описания взаимодействия частиц и использовать уравнения движения, применимость которых остается под вопросом. С другой стороны, не предпринималось попыток объяснить механизм образования "пузырей" в случае разбавленной суспензии, уравнения движения которой хорошо известны [62, 63, 1, 2].
Влияние гравитационного оседания частиц на межфазное взаимодействие в изотропной турбулентности исследовалось с помощью численного моделирования [57]. Ре-
эультаты показывают, что воздействие частиц на турбулентность приводит к возникновению анизотропии поля скорости несущего течения, выражающегося в увеличении доли кинетической энергии, приходящейся на вертикальную составляющую пульсаций скорости жидкости.
Следует отметить, что несмотря на значительный накопленный экспериментальный материал и успехи в численном моделировании двухфазных вихревых потоков в вышеупомянутых исследованиях, не удавалось найти аналитических решений, описывающих кластеризацию частиц в вихревых потоках и их воздействие на несущее течение. В предыдущих исследованиях не изучалось также, каким образом инерция частиц (определяемая временем релаксации) влияет на межфазное взаимодействие. Не удавалось также получить аналитических решений, показывающих каким образом гравитационное оседание частиц влияет на межфазное взаимодействие в вихревых течениях и в разбавленной суспензии частиц, оседающих в покоящейся жидкости.
Свойства межфазного взаимодействия и динамика потоков пузырьковых жидкостей также привлекают большой интерес исследователей. Известно, что в обычной (неочищенной) воде граничное условие для скорости жидкости на поверхности газового пузырька соответствует условию прилипания, подобно случаю твердой частицы [74], и если диаметр пузырька достаточно мал (т.е. число Вебера меньше единицы), то поверхность пузырька не деформируется. Таким образом, движение пузырька в жидкости в этом случае эквивалентно движению твердой частицы с нулевой плотностью. Малость материальной массы пузырька однако "компенсируется" эффектом лрисоеди-неной массы, которая обусловливает инерционность пузырька [75, 1].
Результаты экспериментальных исследований пузырькового турбулентного слоя смешения показывают, что распределение концентрации пузырьков существенно неоднородно. Оказывается, что эффекты воздействия пузырьков на несущее течение довольно сложно зафиксированть в эксперименте, так как, в отличие от случая твердых частиц, соответствующее относительное изменение скорости жидкости пропорционально объемной доли пузырьков (и при концентрации порядка Ю-3 в эксперименте составляет менее 0.1%) [76].
Численное исследование динамики концентарции пузырьков в изотропной тубулепт-ности проводилось без учета воздействия пузырьков на несущее течение [77]. Прямое численное моделирование пузырькового слоя смешения проводилось лишь для периодического двумерного течения [78]. Прямое численное моделирование трехмерного слоя смешения не представлялось возможным из-за значительных затрат оперативной па-
мяти и времени CPU. В предыдущих работах не были изучены структура распределения концентрации пузырьков и механизмы воздействия пузырьков на несущее течение жидкости в таких "канонических" течениях как свободный слой смешения и турбулентный поток с однородным сдвигом скорости, часто встречающихся в практических приложениях [4, 51].
Еще одним важным свойством жидкостей, несущих пузырьки, является свойство акустической нелинейности, которая может быть весьма существенной даже при относительно небольших значеннях концентрации пузырьков (порядка 1СГ3) [79]. Известно, что эта нелинейность обусловливает эффект генерации низкочастотной акустической волны при нелинейном взаимодействии двух высокочастотных волн в пузырьковом слое [80, 81, 82]. Однако, как показывают результаты этих исследований, генерация низкочастотного сигнала существенно осложняется наличием большой диссипации, обусловленной колебаниями резонансных пузырьков. Тем не менее, экспериментальные результаты показывают, что эффект генерации низкочастотной волны в пузырьковом слое по амплитуде сигнала в несколько раз превосходит такой же эффект в чистой воде [81].
Результаты [80, 81, 82] указывают на то, что процесс генерации сигнала разностной частоты в пузырьковом слое может быть оптимизирован благодаря резонансным свойствам самого слоя. Поскольку даже при относительно малой концентрации пузырьков в слое (например при а0 = 10~3) скорость звука в слое почти в пять раз меньше, чем в чистой воде [79], происходит эффективное отражение воли от границ слоя, что и делает возможным эффект резонанса. Этот эффект может быть использован для усиления генерации сигнала разностной частоты в случае, когда частоты волн накачки и разностная частота близки к частотам собственных мод слоя. При этом могут быть использованы перезонанспые пузырьки, что позволит избежать существенных потерь при колебаниях пузырьков.
В отличие от дисперсной жидкости, неоднородность поля плотности стратифицированной жидкости обусловлена неоднородным распределением полей температуры и (или) солености. Фактически, плотность жидкости может рассматривать как концентрация безинерционной примеси, поле скорости которой совпадает с полем скорости жидкости, и динамика которой описывается уравнением переноса, включающем эффекты теплопроводности (или диффузии). При этом известно, что поле скорости жидкости описывается уравнениями Навье - Стокса, записанных в приближении Бусси-неска, в которых воздействие вариаций плотности на динамику жидкости обусловлено
действием силы плавучести [4, 83, 84]. Таким образом, задачи, связанные с динамикой стратифицированной жидкости в определенном смысле можно рассматривать как частный случай задач, связанных с динамикой дисперсной жидкости, где примесь является безинерционной, и ее воздействие на несущее течение определяется силой плавучести.
Одним из наиболее распространенных типов стратификации плотности жидкости, встречающимся в натурных условиях (в атмосфере и океане, а также в пресноводных озерах), является устойчивая стратификация в виде пикноклина [83, 84]. Область пикноклина является переходной и разделяет слой легкой (теплой или менее соленой) жидкости, расположенный над слоем тяжелой жидкости. В этом случае, в установившемся режиме, профиль плотности жидкости хорошо описывается функцией типа гиперболического тангенса. Исследование динамики пикноклина при воздействии на него турбулентного сдвигового потока, процессы генерации внутренних волн и динамика турбулентных струй в пикноклине представляет интерес для океанологии и метеорологии и имеет много геофизических приложений [4, 85]. В данной диссертационной работе рассматривается несколько задач, связанных с динамикой пикноклина, вихревых потоков и генерацией внутренних волн в пикноклине, вызвывающих интерес как с прикладной, так и с фундаментальной точек зрения.
Одной из таких задач является исследование процесса заглубления пикноклина под действием турбулентного сдвигового потока. Динамика заглубления перемешанного слоя в устойчиво стратифицированной жидкости исследовалась ранее во многих лабораторных экспериментах, а также теоретически [14, 86, 87, 88, 89]. В этих экспериментах исследовалась конфигурация течения, где источник турбулентности равномерно распределен в приповерхностоном слое жидкости (как, например, в случае осциллирующей решетки или вращающегося диска), и рассматривалась линейная и двухслойная стратификации плотности. Однако во всех упомянутых выше исследованиях среднее сдвиговое течение отсутствовало.
В настоящее время хорошо известно, что неустойчивость сдвиговых течений при определенных условиях может быть также весьма эффективным источником возбуждения внутренних гравитационных волн. Наблюдения показывают наличие вертикально распространяющихся внутренних волн в верхних слоях атмосферы с отличной от нуля горизонтальной компонентой фазовой скорости, источником которых по-видимому является сдвиговая неустойчивость воздушных потоков в нижних слоях атмосферы [5, 6]. Сдвиговая неустойчивость поверхностных течений является одним из возможных источников генерации внутренних волн в океанском сезонном термоклине [7]-[11].
Экспериментальные наблюдения показывают, что развитие сдвиговой неустойчивости приводит к генерации внутренних волн вихрями в следе за сферой, движущейся в пик-ноклине при больших числах Фруда (12]. В геофизических потоках область максимального сдвига скорости течения как правило не совпадает с горизонтом залегания пикноклина (например, в атмосферных потоках, в устьях рек при впадении в океан, в дрейфовых течениях в верхнем слое океана и т.п.). В связи с этим в настоящее время активно изучается течения с конфигурацией "сдвиговый поток над пикнокли-ном", как экспериментально [13, 14],[90] - [92] так и с помощью численного моделирования [93]-[95]. Развитие гидродинамической неустойчивости и генерация внутренних волн в устойчиво - стратифицированной струе Бикли исследовалась в работе [95], где численно решались как линейная, так и полная задачи. Результаты показывают, что в случае постоянной частоты плавучести (т.е. линейной стратификации) генерации внутренних волн не происходит из-за подавления развития вихревой неустойчивости в струе за счет стабилизирующего эффекта стратификации. Оказывается однако, что генерация внутренних воли возможна в случае специально подобранного распределения плотности (с профилем частоты плавучести в виде tanh2 у, где у - вертикальная координата). В этом случае развитие сдвиговой неустойчивости происходит в области |у[ < 1, где эффекты стратификации малы, а внутренние волны возбуждаются вихрями по краям струи в области \у\ > 1.
Исследование струйных турбулентных течений стратифицированной жидкости также является важной задачей, встречающихся во многих приложениях геофизики и океанологии. Примером могут служить задачи, связанные с исследованием следа за аксиально симметричным телом (сферой или эллипсоидом), движущимся в стратифицированной жидкости при больших числах Рейнольдса и Фруда. В этом случае течение в следе за телом представляет собой цилиндрическую турбулентную струю, средняя горизонтальная скорость которой сонаправлена со скоростью тела [96] - [104],[12], Экспериментальные исследования показывают, что поле обтекания вблизи сферы и внутренние волны, излучаемые сферой при больших числах Фруда, не оказывают влияния на дальний след [100, 12]. Известно также, что в области дальнего следа скорость жидкости значительно меньше (порядка нескольких процентов) скорости сферы, так что числа Рейнольдса и Фруда течения в дальнем следе значительно меньше чисел Рейнольдса и Фруда сферы, Неь = VD/i/ и Frb = 2V/ND (где V и D - скорость и диаметр сферы, и - кинематическая вязкость жидкости, N - характерное значение частоты плавучести).
Свойства течения в области дальнего следа довольно подробно исследовались в экс-
периментах [100]-[104]. Как правило, параметры эксперимента таковы, что изменение средней скорости вдоль горизонтальной оси течения в рассматриваемой области пренебрежимо мало, и течение можно рассматривать как ж-периодическое. Основными измеряемыми характеристиками при этом являются зависимости от времени максимума средней скорости Um и поперечной и вертикальной ширины следа Ly и Lz. Результаты экспериментов [100]-[104] говорят о том, что при достаточно больших числах Рейнольдса и Фруда сферы йе& и Ргь на достаточно больших временах зависимости ширины следа в поперечном направлении Ly и максимума средней скорости Um от времени имеют степенной вид и зависят от чисел R&h и Frb. По данным работы [100], при Неъ > 5 х 103 и числах Фруда Fr& < 10 ширина струи и скорость в дальнем следе изменяются согласно Ly ~ t1^3 и Um ~ t~2^ т.е. так же, как и в нестратифицированном следе. Результаты измерений [104] при числах Фруда и Рейнольдса (Frt, Н,&ь) в диапазоне от (3,3400) до (10,11500) показывают, что Um ~ t-0'9. При этом авторы [104] отмечают, что разница в показателе для скорости Um по сравнению с результатом [100] может быть отнесена к погрешности измерений. Результаты работы [101], полученные для чисел (Frb,Reb) в диапазоне от (10,5 х 103) до (240,11.6 х 103), свидетатьствуют о том, что на временах 10 < Nt < 100 скорость спадает со временем по степенному закону в виде Um ~і~0,25, т.е. медленнее чем в нестратифицированной струе. С другой стороны, на временах Nt > 100 скорость спадает по закону Um *> і-0-76, т.е. быстрее, чем в нестратифицированном случае. Результаты исследований [100, 101, 104] показывают, что максимум скорости в стратифицированном следе может в несколько раз превосходить значение Um в нестратифицированном следе при тех же параметрах движения сферы. Установлено, что увеличение средней скорости в следе обратно пропорционально числу Фруда Ггь- Предполагается, что эффект увеличения скорости обусловлен коллапсом вертикальных турбулентных пульсаций скорости в следе [104].
В работе [105] с помощью численного моделирования исследовалась динамика турбулентной цилиндрической струи как в случае нестратифицированной жидкости, так и в случае жидкости с постоянной частотой плавучести. Параметры струи задавались такими, что соответствующие числа Рейнольдса и Фруда равнялись Re — 104 и Ft = 10. Размер области счета в горизонтальном (х) направлении задавался много больше интегрального масштаба турбулентности. Результаты [105] показывают, что как в нестратифицированном случае, так и в случае стратификации с постоянной частотой плавучести, зависимости максимума горизонтальной скорости Um и ширины струи Ly от времени хорошо согласуются с данными измерений [100, 101, 104] в рас-
сматриваемом диапазоне параметров. Численные данные [105] свидетельствуют о том, что после начальной стадии коллапса течение в следе остается трехмерным вплоть до Nt ~ 100, что также согласуется с экспериментальными данными [103]. Исследования вертикальной структуры течения в дальнем следе за сферой при числах (Frb, В,еь) в диапазоне (4,5 х 103) до (4,20 х 103) говорят о том, что вертикальная ширина следа Lz не возрастает и даже слегка уменьшается на временах Nt < 40, а затем растет по степенному закону Lz ~ tn с показателем 0.3 < п < 0.5 [103].
Характерной структурной особенностью течения в стратифицированном следе при Nt 3> 1 является наличие крупномасштабных вихрей с вертикальной завихренностью, располагающихся в шахматном порядке в горизонтальной плоскости в окрестности оси следа [96]. В перечисленных выше исследованиях установлено, что формирование крупномасштабных вихревых структур происходит при 20 < Nt < 100, т.е. на стадии, когда течение в следе нельзя рассматривать как чисто двумерное.
Необходимо отметить, что в предыдущих исследованиях [100] - [104], [105] рассматривался случай линейной стратификации плотности жидкости. В этом случае излучение внутренних волн оказывает существенное воздействие на динамику турбулентности струи [105]. Стратификация плотности жидкости в виде пикноклина существенным образом отличается отлинейной стратификации, поскольку вне области пикноклина не происходит переноса энергии в вертикальном направлении за счет излучения внутренних волн.
Целью данной работы является исследование динамики вихревых потоков и волн в дисперсных и сертифицированных средах и решение следующих задач:
Исследование динамики частицы в неоднородных, стационарных потоках идеальной жидкости и в течениях вязкой жидкости, поиск аналитических решений для скорости частицы, анализ устойчивости этих решений, проведение численного моделирования динамики частицы для конкретных типов гидродинамических течений;
Исследование межфазного взаимодействия в вихревых потоках, несущих твердые частицы, поиск аналитических решений и проведение численного моделирования, описывающих кластеризацию частиц и их воздействие на несущее течение, исследование влияния гравитационного оседания частиц на межфазное взаимодействие, исследование влияния инерции частиц на межфазное взаимодействие в изотропной турбулентности;
Проведение прямого численного моделирования и исследование свойств пространственно - развивающегося пузырькового слоя смешения, однородной и изотропной тур-
булентности пузырьковой жидкости, и турбулентного пузырькового потока с постоянным сдвигом средней скорости, численное и аналитическое исследование резонансных свойств и процесса генерации волны разностной частоты в слое нерезонансных пузырьков;
4) Построение математической модели и численное моделирование процесса заглубления пикноклина под воздействием тубулентного сдвигового потока, построение аналитического решения для спектра внутренних волн в пикноклине при заданном спектре турбулентных пульсаций скорости, численное моделирование процесса генерации внутренних волн в пикноклине под действием сдвиговой неустойчивости, прямое численное моделирование динамики турбулентной струи в пикноклине, сравнение численных результатов с экспериментальными данными.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.
В первой главе диссертации исследуются свойства динамики одиночной частицы с инерцией в жидкости.
Во разделе 1.1 приводятся краткое введение и содержание первой главы, а также вывод уравнения движения частицы в общем случае неоднородного и нестационарного течения жидкости.
В разделе 1.2 рассматривается движение частицы в стационарном течении идеальной жидкости. В этом случае локальное возмущение поля скорости течения, привносимое частицей в жидкость, имеет вид диполя, и движение частицы происходит под действием сил инерции, градиента давления я присоединенной массы [75]. Оказывается, что даже в случае произвольного поля скорости жидкости U(r) удается найти точное частное решение для скрости частицы, устойчивость которого зависит от конкретного вида функции U(r). Рассматриваются два типа несущего течения жидкости: осесим-метричный цилиндрический вихрь и течение Грина - Тейлора. В последнем случае, течение представляет собой совокупность раз но полярных вихрей, разделенных сепаратрисами. Аналитически и численно исследуется движение частицы в осесимметричном вихре. Результаты показывают, что в том случае движение частицы является полностью интегрируемым, и эффект присоединенной массы обусловливает устойчивость траектории частицы. Исследуется также динамика частицы в течении Грина-Тейлор а. Аналитические и численные результаты показывают, что движение частицы может быть неограниченным и хаотическим, и что движение частицы с плотностью, много большей, чем плотность жидкости (pv 3> Pf)-, является регулярным. Результаты показывают также, что дисперсия (т.е. среднеквадратичное смещение) частицы имеет
временную асимптотику D ~ П, где показатель 1 < 7 < 2. При этом нормальная дисперсия (с 7 — 1) наблюдается для легких частиц (рр
В разделе 1.3 исследуется движение частицы в вязкой жидкости, и рассматривается случай, когда возмущение поля скорости жидкости в окрестности частицы является стоксовым. В этом случае движение частицы происходит под действием сил Стокса, Бассе, инерции, градиента давления и присоединенной массы [25]. Для случая малой инерции частицы отыскивается асимптотическое решение для ее скорости, учитывающее поправки, связанные с инерционными силами (градиентом давления и присоединенной массой), силой тяжести и силой Бассе. Это решение показывает, что при движении частицы в осесимметричном вихре, тяжелая частица (с плотностью больше плотности жидкости) смещается к периферии вихря, в то время как легкая частица смещается к центру вихря. Действие силы Бассе приводит к уменьшению скорости радиального смещения частицы относительно линий тока несущего течения. В то же время, сила Бассе приводит к уменьшению угловой скорости вращения легкой частицы относительно центра вихря, и к увеличению этой скорости в случае тяжелой частицы. Исследуется также динамика частицы в течении Грина-Тейлора. Аналитическое решение для скорости частицы и результаты численного моделирования показывают, что действие силы Бассе качественно меняет характер движения частицы и является определяющим в области течения в окрестности седловои точки и при пересечении частицей сепаратрисы вихря. Таким образом оказывается, что именно действие силы Бассе делает возможным неограниченное блуждание малоинерционной частицы в стационарном потоке, состоящем из множества разнополярных вихрей.
В разделе 1.4 аналитически исследуется вопрос об устойчивости решения для скорости частицы с учетом силы Бассе в случае однородного, зависящего от времени, поля скорости жидкости. Результаты показывают, что при соотношении плотностей частицы и жидкости pp/pj < 7/4 решение для скорости частицы является неустойчивым. Установлено также, что если сила Бассе не учитывается, то решение для скорости частицы является устойчивым.
В разделе L5 приведены выводы, и в разделе 1.6 содержатся рисунки к главе 1.
Во второй главе диссертации исследуются течения жидкости, несущей твердые частицы, с учетом воздействия частиц на жидкость.
В разделе 2.1 приводятся краткое введение и содержание второй главы. Кроме того, формулируется система уравнений, описывающих динамику жидкости и частиц с уче-
том межфазного взаимодействия. При этом предполагается, что течение жидкости в окрестности частицы является стоксовым, и уравнения движения частиц и жидкости формулируются без использования каких-либо модельных предположений относительно силы, с которой частицы действуют на жидкость [1,2]. Во многих практических случаях концентрация частиц достаточно мала (< Ю-2), и их взаимодействием между собой можно пренебречь. С другой стороны, массовая концентрация частиц может быть значительной при достаточно большом отношении плотности частицы к плотности жидкости Рр/р/, когда воздействие частиц на жидкость существенно. Именно такой случай рассматривается во второй главе диссертации. Рассматриваются частицы с диаметром, много меньшим, чем наименьший пространственный масштаб несущего течения, и с временем релаксации, меньшим, чем характерный временной масштаб течения (т.е. микрочастицы). Условие стоксового режима течения в окрестности частицы позволяет избежать моделирования силы, с которой частица воздействует на жидкость. В рассматриваемом случае выражение для силы межфазного взаимодействия является следствием точного решения для стоксова течения [106]. В данной работе приводятся две формулировки уравнений движения жидкости и частиц: ла-грапжево - эйлерова и эйлерова (ила дзухжидкостная). Лагранжево-эйлерова формулировка включает уравнения для скоростей частиц, решаемых вдоль траекторий частиц. Лагранжево-эйлерова формулировка используется при прямом численном моделировании изотропной двухфазной турбулентности в разделе 2.5. Эйлерова формулировка получается из лагранжево - эйлеровой формулировки с помощью пространственного осреднения по масштабу, много меньшему чем характерный масштаб несущего течения, но много большему, чем диаметр частицы. При этом частицы рассматриваются как континуум с полями скорости и концентрации. Поскольку такое осреднение не приводит к необходимости процедуры замыкания, эйлерова формулировка эквивалентна лагранжево - эйлеровой формулировке.
В разделе 2.2 исследуется динамика концентрации частиц в осесимметричном вихре и их воздействие на несущее течение. Отыскивается аналитическое решение, описывающее динамику концентрации частиц и модификацию ими несущего течения. Это решение показывает, что с течением времени происходит формирование волны концентрации, гребень которой распространяется от ядра к периферии вихря. Концентрация частиц экспоненциально уменьшается со временем в области ядра вихря и после прохождения гребня волны. Решение показывает также, что под влиянием частиц завихренность в области ядра вихря уменьшается, а в окрестности расположения гребня волны
концентрации генерируется локальный пик завихренности. Проводится также численное моделирования межфазного взаимодействия в осесмметричном вихре, результаты которого сравниваются с аналитическим решением.
В разделе 2.3 аналитически и с помощью численного моделирования исследуется межфазное взаимодействие в течении Стюарта. Это течение является точным решением уравнений Эйлера и описывает вихревую структуру плоского слоя смешения [23]. Как показано в диссертации, удается найти аналитическое решение, описывающее динамику поля концентарции частиц и их воздействие на несущее течение. Аналитические решение и результаты численного моделирования показывают, что концентрация частиц уменьшается со временем в центрах вихрей и растет в седловых точках и на периферии вихрей. Результаты показывают также, что под воздействием частиц на несущее течение завихренность жидкости уменьшается в окрестности центров вихрей, и происходит генерация пиков завихренности на гребне волны концентрации на периферии вихрей. В то же время, под действием частиц происходит рост скорости деформации жидкости в окрестности седловой точки течения. :.,.
В разделе 2.4 исследуется процесс оседания частиц и межфазное взаимодействие в течении Грина-Тейлор а. Отыскивается аналитическое решение, описывающее кластеризацию частиц и их воздействие на несущее течение, и проводится численное моделирование. Результаты показывают, что с течением времени происходит кластеризация оседающих частиц в окрестности выделенных траекторий. Воздействие частиц на несущее течение просходит благодаря силе трепия, возникающей из-за конечной скорости проскальзывания частиц относительно окружающей жидкости, обусловленной действием силы тяжести и инерцией частиц. Воздействие частиц на несущее течение приводит к уменьшению завихренности жидкости в центрах вихрей и генерации завихренности в окрестности траекторий оседания частиц. Это обусловливает смещение ядер вихрей несущего течения по направлению к траекториям оседания частиц. Результаты численного моделирования также показывают, что средняя скорость оседания частиц превышает скорость Стокса оседания частицы в покоящейся жидкости.
В разделе 2.5 исследуется динамика волновых возмущений в разбавленной суспензии стационарно оседающих частиц в покоящейся жидкости с учетом воздействия частиц на жидкость. Рассматриваются малые волновые возмущения стационарного решения, для которых решается линеаризованная задача. Результаты показывают, что в случае частиц с малой инерцией динамика возмущений в суспензии с концентрацией Са(у) (где у - вертикальная координата) аналогична динамике внутренних волн в стратифициро-
ванной жидкости с плотностью ре// = 1 +Со(у)5, где 5 = рр/р/ - отношение плотностей частицы я жидкости. Проводится также численное моделирование динамики волновых возмущений в двухслойной оседающей суспензии. Результаты численного моделирования показывают, что в случае суспензии с неустойчивой стратификацией концентрации происходит развитие неустойчивости, аналогичной неустойчивости Рэлея-Тейлора, которая приводит к образованию "пузырей" (областей с малой концентрацией частиц). Такие "пузыри" наблюдаются в лабораторных экспериментах при оседании (или флюи-дизации) суспензии частиц и на практике в процессах распылительной сушки [1, 65, 66]. Аналитические и численные результаты показывают также, что в случае устойчивой стратификации концентрации, а также в случае частиц с большой инерцией, возмущения затухают.
В разделе 2.6 исследуется динамика однородной изотропной турбулентности, несущей твердые частицы, и рассматривается вопрос о том, каким образом инерция частиц влияет на межфазное взаимодействие. Особое внимание уделяется случаю частиц с малой инерцией, т.е. с временем релаксации меньшим, чем колмогоровский временной масштаб турбулентности, не рассматривавшемуся предыдущими исследователями. В пределе малого времени релаксации отыскивается аналитическое решение, описывающее модификацию спектра кинетической энергии турбулентности частицами. Проводится также прямое численное моделирование межфазного взаимодействия в изотропной турбулентности без использования метода "стохастических" частиц. Результаты показывают, что эффект воздействия частиц на турбулентность качественным образом зависит от их инерции. Если время релаксации частиц ту много меньше колмо-горовского масштаба времени г*, то воздействие частиц на турбулентность приводит
К увеЛИЧеНИЮ КИНеТИЧеСКОЙ ЭНерГИИ ЖИДКОСТИ. С ДРУГОЙ СТОрОНЫ, ЄСЛИ Тр "- Tfc, то
частицы уменьшеньшают кинетическую энергию жидкости. Аналитическое решение находится в хорошем согласии с численными результатами.
В разделе 2.7 приведены выводы, и в разделе 2.8 содержатся рисунки к главе 2.
В третьей главе диссертации изучаются свойства межфазного взаимодействия в потоках жидкости, несущей микропузырьки. При этом предполагается, что диаметр пузырьков меньше диссипативного пространственного масштаба несущего течения (или колмогоровского масштаба в случае турбулентного течения). Предполагается также, что концентрация пузырьков достаточно мала (меньше 0.01), и взаимодействием пузырьков между собой можно пренебречь.
Хаотическое движение и аномальная дисперсия частиц в течении Грина - Тейлора
Численное интегрирование системы (1.41), (1.42) производилось с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Результаты показывают, что в зависимости от начальных условий движение частицы может быть как регулярным, так и стохастическим. Движение также может быть как ограниченным (т.е. происходить в пределах одной ячейки), так и неограниченным. В рассматриваемом случае существует также частное точное решение, аналогичное решению (1.23), которое наблюдается в численном счете в окрестности центра ячейки, В этой области течение является осе-симметричным и траектории частицы качественно похожи на решения, полученные в случае движения частицы в поле одиночного осесимметричного вихря (см. рис. 1.1).
В случае хаотического движения частицы показатели Ляпунова для системы (1.41), (1.42) оценивались с использованием стандартного метода [113] с ортогонализацией на каждом шаге интегрирования и определялись с точностью до одного процента.
Пример ограниченной хаотической траектории частицы показан на рис. 1.3. Траектория расчитывалась до момента времени t = 103. (Время исчисляется в безразмерных единицах, и одна единица примерно соответствует времени оборота вихря в ячейке). Максимальный показатель Ляпунова для этой траектории оказывается равным 0.08. Траектория частицы почти равномерно заполняет область — 7г/2 х 7г/2, —тг/2 х тг/2, в соответствии с симметрией поля давления, равного р = —4 cos х cos у для функции тока (1.39), Частица выталкивается из областей максимума давления в окрестности углов ячеек с координатами х — 7г + 2ттт, у = 7г + 2тт, где тип -целые числа.
Пример неограниченной хаотической траектории частицы показан на рис. 1.4а. Траектория расчитывалась до момента времени t = 105. Максимальный показатель Ляпунова для этой траектории оказывается равным 0.27. На рис. 1.4b показана временная зависимость кинетической энергии частицы, соответствующая траектории на рис. 1.4а. Рис. 1.4а,Ь показывают, что на определенных временных интервалах частица движется сквозь вихревые ячейки течения (без захватов). При этом ее кинетическая энергия достигает точек локального максимума, см. рис.1.4Ь. Затем происходит захват частицы, когда она хаотически движется в ограниченной области, и ее кинетическая энергия находится в окрестности точек локального минимума. Необходимо отметить, что благодаря силе градиента давления траектория частицы не заполняет плоскости течения равномерно и остается вне областей максимума давления (рис. 1.5).
Неограниченное хаотическое движение в течении (1.39) вязкой жидкости наблюдалось ранее лишь для случая тяжелых частиц (с рр pj) [19]. При этом частица движется вдоль сепаратрис течения и время от времени захватывается вихрями. В рассматриваемом случае идеальной жидкости неограниченное хаотическое движение возможно и при рр р/. Необходимо отметить также, что ограниченные хаотические траектории частиц (в пределах одной вихревой ячейки) в вязкой жидкости не наблюдались [19]. Представление траектории частицы в фазовом пространстве пременных (х ,уг), введенных в (1.49), позволяет дать наглядную интерпретацию движения частицы в терминах гамильтоновой динамики. Начальный участок траектории на рис. 1.4а (до момента времени t = 100, рис. 1.6а) спроецирован на фазовую плоскость (х , х ) на рис. 1.6b. Характерные режимы движения частицы (пролет и захват) здесь со-ответсвуют движениям в окрестности сепаратрисы и вблизи эллиптических центров, соответсвенно. Известно, что в слабо возмущенных интегрируемых гамильтоновых системах хаотическое движение в фазовом пространтстве происходит в тонких стохастических слоях, образующихся в окрестности сепаратрисы возмущенного Гамильтониана [113]. В рассматриваемом случае толщину стохастического слоя можно оценить для больших 5 следующим образом [116]). Из уравнений (1.50-1.51) легко получить уравнение, описывающее изменение Гамильтониана (1.52) со временем: = (3(уп - хп) sin х /2 sin у /2 . (1.53) Как было упомянуто ранее, переменные х и у можно рассматривать как координаты связанных осцилляторов. Предполагая, что х находится в окрестности сепаратрисы, и у - в окрестности центра ячейки, можно получить следующую оценку для изменения энергии в момент времени п, соответствующий проходу частицы вдоль сепаратрисы: Используя оценку (1.54) можно получить так называемое сепаратрисное отображение, сеператрисы слабо возмущенного Гамильтониана (см. напр. [116]): Известно, что стохастическое движение возникает при выполнении неравенства [113]: Таким образом, из (1.55) и (1.56) получаем оценку для ширины стохастического слоя в окрестности сепаратрисы возмущенной системы (1.50), (1.51): Оценка (1.57) показывает, что ширина стохастического слоя растет пропорционально /?. Это означает, что движение частиц становится хаотическим, если их плотность достаточно мала. Движение тяжелой частицы {5 3 1) регулярно и интегрируемо. Важной характеристикой хаотического движения частицы является ее среднеквадратичное смещение (дисперсия). Дисперсия частицы рассчитывалась с помощью усреднения по ансамблю независимых траекторий частицы по формулам: где ... означает среднее. В численном счете при усреднении использвались 160 реализаций с разными начальными условиями. Численные результаты показывают, что Dx Dy = D и где показатель -у растет с увеличением плотности частицы и изменяется в пределах от 1 (нормальная диффузия) для легких частиц до 2 (баллистический режим) для тяжелых частиц. Зависимости D от времени при различных 5 представлены на рис. 1.7. Соответствующая зависимость показателя 7 от отношения плотностей 1/5 = pjjPp показана на рис. 1.8. Физический смысл зависимости 7 от плотности частицы заключается в том, что в случае тяжелых частиц движение частицы близко к регулярному и состоит в основном из пролетных участков, премежающихся с короткими интервалами захватов частицы в вихрях. При этом движение частицы в среднем близко к баллистическому, и D t2. В случае же легкой частицы, ширина стохастиского слоя (1.57) достаточно велика, и ее движение по характеру близко к обычному броуновскому блужданию, и D с.
Аналитическое решение для концентрации частиц и модификации завихренности жидкости
Динамика жидкости, несущей множество частиц, описывается системой уравнений для скорости несущей жидкости и для скорости дисперсной фазы (частиц), и эти уравнения связаны между собой благодаря воздействию частиц на жидкость [1, 2, 3]. Если концентрация частиц С достаточно мала (С 10 2), и не происходит процессов перехода одной фазы в другую и химических реакций, то воздействие частиц на несущую жидкость осуществляется благодаря силе трения, возникающей из-за наличия проскальзывания, т.е. отличия скорости отдельно взятой частицы от локальной скорости жидкости.
В данной главе рассматривается динамика твердых частиц в жидкости с учетом влияния частиц на несущее течение. Рассматриваются частицы, диаметр которых мал по сравнению с характерным масштабом несущего течения L, и плотность которых много больше плотности жидкости, S = pp/pf 3 1. Концентрация частиц С предполагается малой (С = О(10 3), когда взаимодействие частиц между собой пренебрежимо мало. Предполагается также, что выполняются условия стоксова режима течения в окрестности частицы (1.60) и (1.61). Как показано в работе [25], в этом случае выражение для силы, действующей на частицу со стороны жидкости, сводится к силе Стокса вязкого трения, а инерционные силы (обусловленные градиентом давления и эффектом присоединенной массы) и сила Бассе пренебрежимо малы и могут быть отброшены.
В разделе 2.2 исследуется динамика концентрации частиц в осесимметричном вихре и их воздействие на несущее течение. Отыскивается аналитическое решение, описывающее динамику концентрации частиц и модификацию несущего течения. Проводится также численное моделирования межфазного взаимодействия в осесмметричном вихре, результаты которого сравниваются с аналитическим решением. В разделе 2.3 исследуется межфазное взаимодействие в течении Стюарта. Это течение является точным решением уравнений Эйлера и описывает вихревую структуру плоского слоя смешения {23]. Отыскивается аналитическое решение, описывающее динамику поля концентарции частиц и их воздействие на несущее течение и проводится численное моделирования, результаты которого сравниваются с аналитическим решением. В разделе 2.4 исследуется процесс оседания частиц в течении Грина-Тейлора с учетом воздействия частиц на несущее течение. Отыскивается аналитическое решение, описывающее кластеризацию частиц и их воздействие на поле завихренности, и проводится численное моделирование. В разделе 2.5 исследуется динамика волновых возмущений в разбавленной суспензии стационарно оседающих частиц в покоящейся жидкости с учетом воздействия частиц на жидкость. Рассматриваются малые волновые возмущения стационарного решения, для которых решается линеаризованная задача. Проводится также численное моделирование оседающей суспензии. В разделе 2.6 исследуется динамика однородной изотропной турбулентности, несущей твердые частицы, и рассматривается вопрос о том, каким образом инерция частиц влияет на межфазное взаимодействие. Особое внимание уделяется случаю частиц с малой инерцией, т.е. с временем релаксации меньшим, чем колмогоровский временной масштаб турбулентности. В пределе малого времени релаксации отыскивается аналитическое решение, описывающее модификацию спектра кинетической энергии турбулентности частицами. Проводится также прямое численное моделирование межфазного взаимодействия в изотропной турбулентности, В разделе 2.7 приведены выводы, и в разделе 2.8 содержатся рисунки к данной главе. Результаты, изложенные в данной главе, опубликованы в [168, 169, 170, 173, 180, 181, 188]. В рассматриваемом случае тяжелой частицы (рр S pf) уравнение для скорости частицы записывается в виде: где ffi - компонента ускорения силы тяжести, и Ff - вклад в силу, действующую на частицу со стороны жидкости, обусловленный возмущением, привносимым частицей благодаря граничному условию прилипания на ее поверхности. В рассматриваемом случае эта сила равна силе Стокса: где d - диаметр частицы и и - кинематическая вязкость жидкости. Рассмотрим далее случай Np частиц, движущихся в жидкости. Поля скорости и давления жидкости можно представить в виде суммы вкладов невозмущенного (несущего) течения (Ui-, Р) и локальных возмущений, привносимых частицами [(Ufj, Pj)]? j = l,,..,yVP, где Np - общее число частиц. Таким образом, уравнения Навье-Стокса, которым удовлетворяет поле скорости жидкости, можно записать в ел едущем виде: Условие несжимаемости полей (/,- и Uf имеет вид; Поскольку число Рейнольдса Rep 1, локальное поле течения в окрестности j -ой частицы (C/j]t-, Pj) описывается известным решением, известным под названием "стокс-лет" [106]. По той же причине (Дер 1) слагаемыми (Uf kdkUfif UkdkUf{, и Щ дьЩ) в левой части уравнения (2.3) можно пренебречь по сравнению со слагаемыми в правой части {diPj и (гд2и ). Эти оставшиеся слагаемые можно переопределить с помощью сингулярного представления где S(r) - обобщенная функция Дирака и Fj- - сила, действующая на частицу со стороны жидкости, обусловленная вкладом поля возмущения, привносимым частицей.
Свойства течения и межфазного взаимодействия в случае однородного распределения исходной концентрации пузырьков
Аналитические решения, полученные выше, сравнивались с результатами численного моделирования течения Стюарта, несущего твердые частицы. Численное моделирование проводилось с использованием переменных "завихреность - функция тока" [115]. При этом исходная система уравнений для Еіесущего течения (2.17) записывается в переменных "завихреность - функция тока" в двумерных декартовых координатах в виде: уравнение для функции тока: уравнение для завихренности:
Уравнения для скорости и концентрации частиц (2.20) и (2.19) удобно переписать в виде: Для заданного поля завихренности решалось уравнение Пуассона (2.93) для функции тока Ф, и вычислялись компоненты скорости жидкости (2.78). Далее с помощью алгоритма Мак-Кормака [115] решались уравнения (2.94) - (2.96), и определялись поля концентрации и скорости частиц и поле завихренности жидкости на следующем шаге по времени. Использовалась равномерная сетка 100 х 100 в области 0 х 2 тг, —7г у л-. При этом ставились периодические граничные условия по координате х. По координате у ставились граничные условия для скоростей частиц и жидкости в виде Vy = Uv = 0 и Vx Us = ±U0 (где U0 определено в (2.77) при у = =}=7г. Для концентрации ставились условия дуС = 0 при у = ртг. Задавались значения параметров к = 0.5, St = 0.5 и CQ5 = 0.3. Исходные скорости частиц полагались равными скорости несущей жидкости, и поле концентрации задавалось однородным.
Изолинии полей концентрации и завихренности, полученных в численном счете в моменты времени t — 7 u t — 14, представлены на рисунках 2.5а, 2.5Ь и 2.6а, 2.6Ь, соответственно. Рисунки 2.5а,Ь показывают, что концентрация частиц уменьшается в центрах вихрей и растет в окрестности седловых (гиперболических) точек течения, расположенных между вихрями, и на периферии вихрей. Рисунки 2.6а,Ь показывают, что влияние частиц на несущее течение приводит к уменьшению завихренности в центрах вихрей и к генерации завихренности в областях кластеризации частиц, где наблюдается рост градиентов концентрации. На достаточно больших временах формируется хорошо выраженый гребень волны концентрации, распространяющийся от центров вихрей к их периферии (см. рис. 2.6Ь).
На рисунке 2.7 представлено распределение завихренности и (х = 0, у) в моменты времени t = 0 (линия с коротким штрихом), t = 7 (линия со средним штрихом) и t = 14 (сплошная линия). Рисунок показывает, что к моменту времени t = 14 происходит генерация пиков завихренности, расположенных при у ±1.2, т.е. в окрестности гребня волны и локальных максимумов концентрации (см, рис. 2.6а).
Значение локального максимума завихренности шсг(х, у) в точке расположения гребня волны концентрации Ссг{х,усг) на периферии вихря при х 1, у ija- 1 можно оценить в первом порядке по параметру С & С 1 следующим образом. Локальное поле завихренности можно представить в виде суммы где предполагается, что Аш = 0(С5). В рассматриваемой области компоненты скоро- сти жидкости (2.78) записываются в виде: Подстановка (2.98) а решение (2.22) для скорости частицы дает: В рассматриваемом случае в уравнении для завихренности (2.94) слагаемое, пропорциональное дуС, велико по сравнению с остальными слагаемыми. Поэтому подставляя (2.97) в (2.94) получаем следующее уравнение для Aw: Градиент концентрации можно оценить как Подстановка (2.100) в (2.102) и интегрирование по времени в (2.101) дает следующую оценку для пика завихренности: где Ссг - значение концентрации на гребне волны. Рисунок 2.6а показывает, что для рассматриваемых значений параметров (к 0.5, CQ S = 0.3) значение максимума концентрации, полученное в численном счете в момент времени t = 14 в точках расположения гребня волны х = 0, у ±1.2, равно Ссг/Со 2i 1.2. Таким образом, из (2.103) находим для пика завихренности Дшсг с± 0.12, что хорошо согласуется с численными данными на рис. 2.7, где Ашсг — 0.15. Решение для концентрации частиц и завихренности жидкости в центрах вихрей (2.85) и (2.87) сравниваются в численными результатами на рисунке 2.8а,Ь. Рисунок показывает, что аналитическое решение хорошо согласуется с численными результатами для рассматриваемого значения числа Стокса (5/ = 0.5). На рисунке 2.9а,Ь приводится сравнение численных результатов с решением (2.91) для скорости деформации л концентрации частиц в в седловой точке с координатами х = ЇГ, у — 0. Рисунок показывает, что численные данные хорошо описываются решением (2.91) до момента времени t 10. Расхождение аналитического решения с чи стенными результатами на больших временах объясняется тем, что поле концентрации частиц становится сильно неоднородным в рассматриваемой области, и решение (2.91) становится неприменимым.
Решение для спектра внутренних волн для заданного спектра пульсаций скорости сдвигового потока
Уравнение (2.209) показывает, что в случае частиц с малой инерцией (время релаксации которых гр тк), слагаемое Фр() положительно. Это означает, воздействие частиц на турбулентность приводит к увеличению кинетической энергии турбулентности по сравнению с кинетической энергией жидкости без частиц. Уравнение (2.209) показывает также, что вклад Фр(ї) уменьшается с увеличением времени релаксации частиц Тр. Численные результаты [60, 61] показывают, что воздействие частиц с достаточно большой инерцией (т.е. с временем релаксации порядка колмогоровского масштаба времени Tk) на турбулентность приводит к уменьшению кинетической энергии жидкости.
Из уравнения (2.209) следует, что слагаемое Фр() линейно зависит от масовой концентрации частиц Co S при Co S 1 и не зависит от CQ5 при CQS Й 1. Это подтверждается результами прямого численного моделирования [60], где наблюдается эффект насыщения функции p(f) при увеличении массовой концентрации частиц CQ5.
Для детального исследования двухфазного взаимодействия в изотропной турбулентности производилось прямое численное моделирование уравнений движения жидкости и частиц в Эйлерово-Лагранжевой формулировке:
В уравнениях (2.210) - (2.213) используются обозначения: t/; (г = ж, у, г) - скорость жидкости; Г І и V},; - координата и скорость j-й частицы (j = 1,..., iVp); производные D/Dt и d/dt вычисляются по линии тока жидкости и траектории частицы, соответственно.
Уравнения (2.210) - (2.213) интегрировались численно в кубе единичного объема с периодическими граничными условиями с использованием "шахматной1 однородной сетки, состоящей из 1283 узлов. Для интегрирования уравнений движения жидкости применялся алгоритм Адамса-Башфорфа, уравнение для давления решалось с применением быстрого преобразования Фурье по координатам х,у и метода Гаусса по координате z [115, 125].
Начальное распределите скорости жидкости задавалось с помощью суммы Фурье гармоник со случайными независимыми фазами и амплитудами, определяемыми начальным волновым спектром кинетической энергии жидкости Е{к). Спектр Е(к) задавался в виде:
Уравнение для скоростей частиц (2.213) решалось с помощью схемы Адамса-Башфорфа. При этом значение скорости жидкости в точке расположения каждой частицы вычислялось с помощью метода интерполяции с использованием полиномов Эр мита четвертого порядка точности. Известно, что этот метод является наиболее предпочтительным при прямом численном моделировании турбулентных дисперсных потоков [59]. Уравнение для координат частиц решалось с применением неявного метода Адамса второго порядка точности.
Вычисление силы, с которой j-я частица воздействует на жидкость (т.е. j-й вклад в сумме в последнем слагаемом в правой части уравнения (2.210)), осуществлялось следующим образом [57]. Сначала определялись восемь узлов сетки, окружающих частицу в рассматриваемый момент времени. Далее, значение силы распределялось в каждый из этих узлов с весом, обратно пропорциональным расстоянию от частицы до узла. Таким образом, %-я компонента силы, с которой частицы действуют на жидкость, вычислялась в виде: где W{T, Г.,-) - вес, с которым сила распределяется от j-ой частицы в точке г,- в узел с координатой г = (1/S.x, тпАх, пДг), l,m,n = 1,...,128, и ш(г,г ) 1/г — г . Веса u (r, Tj) нормировались таким образом, что сумма вкладов силы, распределяемых по восьми узлам, окружающим данную j -ю частицу, равнялась по амплитуде силе, с которой жидкость действует на частицу (т.е., силе Стокса вязкого трения). Таким образом, обеспечивается сохранение импульса при численном моделировании двухфазного взаимодействия.
Процедура интегрирования уравнений (2.210) - (2.213), описанная выше, имеет второй порядок точности. Необходимо отметить, что в численном счете задавалось достаточно большое число частиц ( 2 097 152 Np 16 777 216), что позволило добиться значительного эффекта воздействия частиц на жидкость, не прибегая к так называемому методу "стохастических" частиц, использовавшемуся в работах [57, 60, 61]. В этом методе одна "стохастическая" частица представляет совокупность близко расположенных реальных частиц в жидкости. При этом сила, с которой одна "стохастическая" частица действует па жидкость, задается равной силе (со знаком минус), с которой жидкость действует на эту "стохастическую" частицу, умноженной на число реальных частиц. Такой модельный подход приводит к искажению процесса двухфазного взаимодействия, так как очевидно, что "усаленное" локальное возмущение в окрестности частицы уже не является течением сток слета, для которого сингулярное представление точечной силы является точным (см. раздел 2.1). Недостатки модели "стохастических" частиц уже обсуждались ранее а работах [60, 51].
Вычисления проводились с использованием процедуры массивной параллелизации с помощью интерфейса MPI. Использовался параллельный компьютер (Cray ТЗЕ), расположенный в Naval Oceanographic Center, Mississippi, и задействовалось 128 процессоров. Вычисления до момента времени t = 5 (одна единица времени примерно соответствует времени оборота вихря с безразмерным радиусом порядка 0.1) в случае максимального числа частиц Np =16 777 216 требовали шесть часов CPU.
Численное моделирование проводилось для двух различных значений микромасштабного числа Рейнольдса Яед — 30 и Яед — 50. В обоих случаях среднеквадратичная скорость задавалась равной щ = 0.05, и параметр кр 4. В таблице 2.1 приводятся начальные характеристики турбулентности в обоих случаях. Расстояние между узлами равнялось Дх = 1/128, и интегрирование производилось до момента времени t = 5 с шагом по времени Ді = 0.5Дг 3.6 х Ю-3.Начальные значения безразмерных параметров турбулентности с микромасштабными числами Рейнольдса Яед = 30 и Лед =50: кр - волновое число, со-ответсвующее максимуму начального спектра Е(к) (2.214); и0 - среднеквадратичная скорость жидкости; и - кинематическая вязкость жидкости; е - скорость диссипации кинетической энергии жидкости; L - интегральный масштаб длимы флуктуации скорости жидкости; А - микромасштаб Тейлора (2.216); г) - колмогоровский масштаб длины.
Рисунки 2.24а - 2.24f показывают развитие во времени основных характеристик течения при численном моделировании турбулентности без частиц в случаях Лед = 30 (рис. 2.24а, 2.24Ь, 2.24с) и Яед = 50 (рис. 2.24d, 2.24е, 2.24Q.
Похожие диссертации на Исследование динамики вихревых потоков и волн в дисперсных и стратифицированных средах
