Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические предпосылки 2
1.1 Вводные замечания 2
1.2 Нелинейные колебания динамических систем 13
1.2.1 Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах . 14
1.3 Нелинейные волновые процессы. 21
1.4 Распространение возмущений в периодических средах. 22
1.4.1 Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газ о содержанием 37
Глава 2. Исследование условий устойчивости колебаний одиночного пузырька газа в жидкости (сценарии перехода к хаосу в пузырьковой модели, описываемой уравнением Келлера-Миксиса) 41
2.1 Вводные замечания 41
2.2 Постановка задачи, 42
2.2.1 Выбор модели 42
2.2.2 Выбор методов исследования стохастичности системы 46
2.2.3 Обсуждение численных методов 57
2.3 Результаты численного моделирование и их обсуждение 58
2.3.1 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от свойств среды 58
2.3.1.1 Вязкость. 62
2.3.1.2 Коэффициент поверхностного натяжения. 62
2.3.1.3 Показатель адиабаты. 64
2.3.1.4 Скорость звука в жидкости. 64
2.3.1.5 Обсуждение результатов численного исследования зависимости вынужденных колебаний пузырька от свойств среды 66
2.3.2 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от вида внешнего воздействия 81
2.4 Выводы 84
Глава 3. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодическим изменением объёмной концентрации газа в смеси вдоль распространения импульса 86
3.1. Вводные замечания 86
3.2. Постановка задачи 88
3.3. Модельный расчёт для одиночной волны 94
3.3.1. Треугольная волна
3.3.2. Ударная волна типа ступеньки 102
3.3.3. Учет потерь энергии на межфазный теплообмен и вязкость. 105
3.4. Обсуждение результатов численного моделирования 106
3.5 Выводы 117
Заключение 120
Литература 123
Приложение 132
- Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах
- Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газ о содержанием
- Выбор методов исследования стохастичности системы
- Модельный расчёт для одиночной волны
Введение к работе
t- К 30-м годам прошлого века нелинейные задачи стали актуальными в акустике, физике твердого тела, статистической механике. Принципиально нелинейные задачи ставились практическими потребностями радиотехники, они возникали и в других прикладных областях физики и математики. Однако математические проблемы в столь различных областях физики и техники казались специфическими для каждой частной проблемы и несвязанными друг с другом. Тогда же было понято, что отсутствие аддитивного отклика физических систем на аддитивные воздействия является наиболее общей ситуацией в нелинейных системах, поэтому нелинейные проблемы из различных областей физики и техники оказываются очень сходными и требуют единого подхода к их математическому описанию. Среди физиков различных специальностей начало вырабатываться «нелинейное» мышление и разные области науки начали перенимать нелинейный опыт друг друга.
А кту а л ь ноеть те м ы.
Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики газожидкостных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. В настоящее время интенсивно изучается распространение волн различной природы в такого рода средах (акустика океана, оптика атмосферы, физика многофазных систем и т.п.). Для контроля различных технологических процессов в энергетических установках и аппаратах химической промышленности широко используются расчеты и измерения, связанные с распространением и поглощением волновых возмущений.
Актуальной задачей для многих областей современной науки является изучение неустойчивости при колебаниях одиночного пузырька и характера распространения нелинейных волн в пузырьковых средах. Так, например, в трубопроводном транспорте пузырьковая завеса с неравномерным распреде- ленисм пузырьков по пространству может служить эффективным барьером для распространения ударных волн, возникающих в результате технологических процессов. Аналогичные задачи могут возникать в нефтедобыче и нефтепереработке. Обычно параметры таких сред подвержены сильным пространственно-временным возмущениям. Одной из областей, где в настоящее время достаточно интенсивно развиваются акустические технологии, является медицина (например: акустическое воздействие на опухоли, дробление камней, акустическая диагностика крови и др.). В этих задачах также достаточно значимыми факторами являются газосодержание и свойства тканей, насыщенных жидкостью.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, следовательно, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.
В представленной диссертационной работе исследуются нелинейные явления в колебательных и волновых процессах на примерах нелинейных колебаний пузырькового осциллятора во внешнем возбуждающем поле и динамики нелинейных волн в жидкости при прохождении через пузырьковую завесу. Изучение явлений в работе проводится в рамках механики многофазных систем с точки зрения динамического хаоса.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.
Основная цель работы состоит в исследовании характера вынужденных колебаний одиночного пузырька газа в жидкости в зависимости от на- чальных условий, свойств среды, вида внешнего воздействия и изучении влияния периодической неоднородности газожидкостных сред на распространение в них нелинейных волн.
Задача об усилении (гашении) нелинейных волн в пузырьковых средах рассматривалась подробно во многих работах, однако стохастизация фронта волны и ее затухание в средах с периодическим газосодержанием до настоящего времени изучены недостаточно. Наряду со сложным взаимодействием и отражением волны при прохождении неоднородности значимым фактором в данной задаче является стохастизация колебаний одиночного пузырька при акустическом воздействии в определенном диапазоне параметров среды. Таким образом, как для пузырьковой среды, так и для одиночного пузырька газа в жидкости необходим анализ причин возникновения и областей неустойчивости.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
Анализ влияния начальных данных, параметров среды (вязкости, коэффициента поверхностного натяжения жидкости, показателя адиабаты для газа в пузырьках, скорости звука в жидкости) на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;
Оценка влияния второй гармоники во внешнем сигнале на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;
Определение по указанным параметрам области стохастичности и сценарии перехода к хаосу;
Исследование эволюции возмущений и провести анализ неустойчивости распространения нелинейных волн в пузырьковых средах с периодическим изменением газосодержания по направлению распространения возмущения.
Научная новизна
В работе поставлен и решен ряд новых задач нелинейной динамики, а также изучены закономерности распространения нелинейных волн при наличии в однофазных средах зон, содержащих гетерогенные среды в виде завес с учетом нелинейных эффектов. Исследовано влияние начальных данных, параметров среды, внешнего воздействия на устойчивость колебаний одиночного пузырька.
В работе показано, что для различных параметров среды определен диапазон внешних частот возбуждения пузырька, в котором реализуется стохастическое решение, определены щенарии перехода к хаосу при изменении скорости звука и вязкости зісидкости, показано наличие гистерезиса по этим параметрам; показано, что наличие в периодическом внешнем воздействии второй гармоники может как порождать стохастические колебания, так и разрушать их; показано, что в задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька в области гистерезиса при фиксированной частоте внешнего воздействия существует третий тип решения (помимо двух, являющихся следствием гистерезиса); показано, что наличие периодической неоднородности в пузырьковой среде, т.е. периодическое изменение газосодержапия пузырьковой зісидкости по направлению распространения волны, приводит к появлению зон пропускания и непропускания (существенного гашения сиг-пала) для периодического по времени возмущения.
Достоверность результатов обусловлена использованием методов механики сплошных сред при разработке моделей распространения возмущений в среде и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Результаты численного моделирования подтверждаются тес- товыми расчетами, экспериментальными и теоретическими работами других авторов.
Практическая ценность
Полученные результаты позволяют определить параметры неоднородности газосодержания, обеспечивающие «максимальное» затухание одиночных (и ударных) волн;
Определены области частот и значения амплитуды для второй гармоники во внешнем акустическом поле, обеспечивающие «разрушение» и появление областей стохастичности;
Определены «граничные» значения вязкости жидкости, при которых реализуется стохастический режим колебаний, а также зависимость характера колебаний (стохастические или периодические) от других свойств среды;
Обоснована возможность использования в качестве «управляющих параметров» системы скорости звука и вязкости жидкости и показано наличие гистерезиса при изменении этих параметров.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
IV семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1996 г. семинар БашНИПИнефть, Уфа, 1996 г. семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1998 г. V семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1998 г. семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1999 г. XII школа-семинар по механике сплошных сред. ИМ, Пермь, 1999 г. VI семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 2000 г.
В ходе работы над диссертацией опубликовано 7 печатных работ [86, 96-101].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Содержит 135 страниц, 40 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 101 наименования.
Во введении обосновывается актуальность темы и формулируются основные задачи исследования. Рассматривается научная новизна и практическая ценность.
В первой главе представлен литературный обзор, рассмотрены основные модели и методы, используемые в диссертационной работе. Глава разбита на следующие разделы: «Вводные замечания»; «Нелинейные колебания динамических систем», включающий в себя «Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах»; «Нелинейные волновые процессы»; «Распространение возмущений в периодических средах» с разделом «Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием».
В разделах «Нелинейные колебания динамических систем», «Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах» первой главы приведены результаты исследования хаотичности колебаний пузырькового осциллятора, вопросы устойчивости колебаний пузырьков в жидкости, сценарии перехода от стационарных колебаний к хаотическому режиму и, наоборот, условия дестохастизации колебаний. Представлены методы исследования динамических хаотизирующихся систем, приведена теория и методика расчета бифуркационных кривых, используемая в представленной диссертационной работе, методика исследования странных аттракторов в методе сечения Пуанкаре, локальных фазовых карт. Показано, что бифуркационные кривые для различных моделей имеют общий характер и, таким образом, расчеты для простейших моделей могут предсказывать поведение сложных моделей для реальных систем.
В разделах «Нелинейные волновые процессы»; «Распространение возмущений в периодических средах» первой главы рассматриваются вопросы, связанные с распространением возмущений в средах с периодически распределенными в пространстве параметрами. Показано, что при распространении возмущений любого характера в таких средах существуют зоны пропускания и поглощения возмущений. В разделе «Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием» непосредственно для рассматриваемой в диссертации задачи для системы уравнений, описывающих плоское одномерное движение газожидкостной смеси, получено уравнение Матье, что свидетельствует о наличии зон пропускания и непропускания для распространяющихся в среде возмущений.
Во второй главе рассмотрены результаты численного моделирования колебаний одиночного газового пузырька, в рамках модели Келлера-Ми ксиса. Исследована устойчивость (неустойчивость) колебаний пузырька в жидкости во внешнем поле в зависимости от свойств газовой и жидкой фаз, от вида внешнего периодического воздействия, от наличия второй гармоники во внешнем воздействии, а также рассмотрены сценарии перехода от устойчивого состояния пузырькового осциллятора (периодические или квазипериодические колебания) к неустойчивому (стохастические колебания).
Необходимость рассмотрения эффектов устойчивости колебаний пузырька в жидкости определяется тем, что осцилляции пузырька играют важную роль в создании профиля и определении характеристик прошедшей в пу- зырьковой среде волны. Так как колебания в поле внешней волны являются либо хаотическими, либо периодическими (квазипериодическими), то пузырьковая среда должна создавать либо направленное переизлучение па-дающей иа нее волны, либо создавать хаотические поля, которые фактически определяют зону непропускания для проходящего в пузырьковой среде возмущения.
В третьей главе рассматриваются результаты численного моделирова ния распространения волновых возмущений в среде с переменным по на- v правлению распространения возмущения газосодержанием. На основе двухфазной модели пузырьковой среды рассматриваются случаи распространения солитона и ударной волны в среде без диссипации и с диссипацией энергии. Полученное автором в первой главе работы уравнение Матье, описывающее распространение возмущения в нелинейной среде с периодическим изменением газосодержания, проанализировано с точки зрения наличия зон пропускания и непропускания. Полученные аналитически результаты полностью согласуются с результатами численного расчета.
В заключении диссертационной работы приведены основные выводы.
Благодарности.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.А.Байкову.
Автор искренне благодарит доктора физико-математических наук И.Ш.Ахатова, доктора технических наук М.М.Хасанова и доктора физико- математических наук Р.К.Газизова и кандидата физико-математических наук *. О.В.Емченко за сотрудничество и поддержку.
Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах
Аналитические исследования систем с процессами хаотического характера, как правило, невозможно. Поэтому вывод о наличии стохастических или хаотических движений делается на основе анализа результатов численных или натурных экспериментов. Некоторые из результатов изложены ниже.
В [1] излагается бурно развивающийся раздел теории нелинейных колебаний - стохастические и хаотические автоколебания в динамических системах, представлен общий обзор колебаний в диссипативных системах. В книге приведено большое количество примеров исследования колебаний широко известных моделей нелинейных осцилляторов, в частности, нелинейный осциллятор с отрицательным трением и ударами, системы с характеристиками, нелинейные осцилляторы с периодическими внешними воздействиями и т.д. Остановимся подробнее на работах, лежащих в основе представленной диссертации.
В серии работ В.Лаутерборна (W.Lauternborn) с точки зрения нелинейной динамики рассматриваются классические модели осцилляторов, в том числе: осциллятор Морзе, использующийся для описания движения двухатомных молекул во внешнем электромагнитном поле [2], для которого построены и проанализированы бифуркационные, фазовые диаграммы. В [3,4] рассматриваются каскады удвоения для осциллятора Ван-дер-Поля, исследовано стохастическое поведение и сценарии перехода к хаосу, рассмотрено влияние управляющих параметров на поведение осциллятора. В [5] исследуется нелинейный осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга и находящийся под действием гармонической внешней силы, рассмотрен случай с отрицательной линейной жесткостью x + dx x + xi- fcos(o)t). Показано, что при увеличении / в системе возникает последовательность бифуркаций удвоения периода, после чего наступает хаос. Область хаоса несплошная. В ней имеются «окна», в которых колебания являются периодическими с различными периодами. Последовательность найденных периодических решений подобна порядку смены кратностей неподвижных точек для одномерного отображения, установленного в [б]. Переход к хаосу из различных областей происходит по-разному: либо через последовательность бифуркаций удвоения периода, либо через перемежаемость, либо жестко с типичным для такого перехода гистерезисом.
Подробные исследования хаотичности колебаний пузырькового осциллятора приведены в [8]. В этой работе исследуются вопросы устойчивости колебаний пузырьков в жидкости, сценарии перехода от стационарных колебаний к хаотическому режиму и, наоборот, условия дестохастизации колебаний. В работе достаточно полно представлены методы исследования динамических хаотизирующихся систем, приведена теория и методика расчета бифуркационных кривых, используемая в представленной диссертациооной работе, методика исследования странных аттракторов в методе сечении Пуанкаре, локальных фазовых карт. Исследована эквивалентность пузырьковой модели в классической постановке Келлера-Миксиса [9].
Подробно исследована устойчивость решения задачи о колебаниях газового пузырька в жидкости при периодическом внешнем воздействии в зависимости от амплитуды внешнего воздействия, от равновесного радиуса пузырька, рассматривались эффекты, связанные с несферичностыо поверхности пузырька [10-12].
В серии статей К.Гейста и В.Лаутерборна [13-15] проведены исследования нелинейных динамических процессов в цепочке Тоды с периодическими граничными условиями. В серии работ, посвященных исследованиям сонолюминесценции [19 27], изложены теоретические предпосылки и экспериментальные исследова ния акустического хаоса. Показано, что в соответствии с изменением харак тера пульсации пузырька в акустическом поле изменяется форма излучаемой им волны давления и спектр этого излучения. При переходе от гармониче ского резонанса одного порядка к резонансу другого порядка происходит пе реход через зону бифуркаций и область стохастических пульсаций. Оби ару жено последовательное появление в спектре субгармоник, появление вблизи субгармонических составляющих шумовой компоненты и обратные бифур кации. В рамках предложенной модели объясняются, в частности, неодно временное появление в спектрах субгармоник различных порядков и наличие нескольких скачков интенсивности субгармонических компонент при увели _ІГ чении амплитуды возбуждающего поля, появление субгармоник низкой час тоты и ультрагармоник. Это, очевидно, связано с последовательным возбуждением ультрагармонических резонансов различных порядков или последовательными прямыми и обратными бифуркациями.
Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газ о содержанием
И, наконец, среди аналитически решенных задач отметим работу о распространении нелинейных волн в газожидкостных средах с переменным по пространству газосодержанием, лежащую в основе представленной диссертации [59]. В работе показано, что в ряде случаев при распространении нелинейных волн в газожидкостных средах с переменным по пространству газосодержанием возможно усиление волн давления. Получены ограничения на степень неоднородности газосодержания, при выполнении которых это усиление возможно. Исследовано влияние неоднородности газосодержапия на структуру нелинейных стационарных волн типа «солитон» и «ударная волна». Воспользуемся результатами работы [59] для того, чтобы показать, что рассматриваемая в третьей главе диссертации задача о распространении волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием сводится к уравнению Матье, как и в предыдущих рассмотренных примерах.
Система уравнений, описывающая плоское одномерное движение газожидкостной смеси, включает в себя уравнение неразрывности, движения, осцилляции пузырьков и состояние газа внутри пузырьков, подробное обсуждение уравнений приведену а третьей главе проставленной диссертационной работы.
Представим в рассматриваемой системе (1.3.17) переменные параметры в виде суммы постоянной составляющей и наложенного возмущения, т.е. для давления газожидкостной смеси р- р0 + р , где р0- постоянная составляющая давления (равная начальному значению в момент времени = 0), //-возмущение давления. Аналогично, р р0+ р , R = R0 + R , наконец, аг =а2й(х)- Все эти величины являются функциями декартовых координат и времени. Распространяющаяся в среде волна, как правило, слабо возмущает среднее состояние среды. Поэтому распространение звука может быть описано на основе линеаризованной системы уравнений. Полная линеаризованная система уравнений, в принципе, позволяет описать распространение звуковых волн в движущейся среде. Однако эта система достаточно громоздка и неудобна для анализа. Таким образом, при решении рассматриваемой в третьей главе диссертации задачи о распространении волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием можно сделать предварительные предположения о наличии зон пропускания и непропускания для распространяющихся в среде возмущений.
Как отмечалось в литературном обзоре, работ по динамике газовых пузырьков в жидкости в настоящее время довольно много. Одни из них посвящены, в основном, математическому аппарату теории колебаний, другие - детальному исследованию достаточно узких проблем, например, сонолю-минисценции, кавитации и т.д. В связи с бурным развитием теории динамических систем, хаотической и фрактальной динамики в последнее время появилось большое количество работ, посвященных исследованию устойчивости колебаний пузырьков в жидкости, сценариев перехода от стационарных колебаний к хаотическому режиму и, наоборот, условиям дестохастизацни колебаний.
В рамках различных моделей подробно исследована устойчивость решения задачи о колебаниях газового пузырька в жидкости при периодическом внешнем воздействии в зависимости от амплитуды внешнего воздействия и от равновесного радиуса пузырька [10,11]. В [8,12] рассматривались эффекты, связанные с несферичностыо поверхности пузырька. Таким образом, в рассмотренных в литературном обзоре работах, обсуждены эффекты, связанные с: - частотой и амплитудой внешнего воздействия на пузырек в жидкости; равновесным радиусом пузырька; - учетом несферической моды колебаний. Расширим задачу, поставив перед собой цель исследовать устойчивость (неустойчивость) колебаний пузырька в жидкости во внешнем поле в зависимости от свойств газовой и жидкой фаз, от вида внешнего периодического воздействия, от наличия второй гармоники во внешнем воздействии, а также рассмотреть сценарии перехода от устойчивого состояния пузырькового осциллятора (периодические или квазипериодические колебания) к неустойчивому (стохастические колебания). Для достижения поставленной цели воспользуемся результатами и методами, изложенными в работах [11,12,60,61], и используем в качестве исходной точки модель пузырькового осциллятора, предложенную и рассмотренную в этих работах. Заметим, что хаотические системы настолько сложны, что крайне редко могут быть корректно описаны аналитически. Основная роль в их исследовании принадлежит численному моделированию. К этой серии и относятся перечисленные выше работы.
Выбор методов исследования стохастичности системы
В настоящее время существует целый ряд методов, которые можно в более или менее стандартной форме использовать при анализе динамического поведения нелинейной модели. Не вдаваясь в подробности этого довольно обширного вопроса, отметим методы, позволяющие идентифицировать динамический режим и установить его характеристики. К универсальным методам, позволяющим исследовать аттракторы любого типа, относятся методы сечения Пуанкаре, спектрального анализа (с учетом замечаний, сделанных в литературном обзоре), расчета характеристических показателей Ляпунова и энергии динамических систем. Имеются и специфичные характеристики, на геометрической структуре странных аттракторов, например, фрактальная размерность. Обсудим основные методики, используемые в нашей работе. F - векторное поле над этим пространством. Найти аналитическое выражение для решений уравнений потока удается лишь в редких частных случаях, в большинстве случаев поток неинтегрируем, поэтому приходится исследовать каждое решение, рассматривая соответствующую ему траекторию в фазовом пространстве. Поскольку часто это бывает достаточно проблематично, то для упрощения задачи используют метод, развитый А.Пуанкаре (изложение метода можно найти, например, в [1]), Теоретически не существует никаких ограничений на размерность п фазового пространства. Однако при описании метода для простоты изложения ограничимся трехмерным случаем. Кроме того, нас будет интересовать только асимптотическое поведение системы при / — оо. Вместо прямого изучения решения системы уравнений x(t) = F(x,t) в У?3 выгоднее рассмотреть точки пересечения фазовой траектории с произвольно выбранной плоскостью при заданном направлении эволюции. Пусть траектория Г пересекает плоскость S в точках Р0, Р1гР2,... Выходя из начальной точки, получим множество точек, образующих сечение Пуанкаре, т.е. некоторый двумерный граф. Преобразование, называемое отображением Пуанкаре, переводит точку в следующую и является непрерывным отображением плоскости S на себя: РМ =ПП) = ПЦРкА))=:Т2(1и)=:.... (2.7)
Так как решение системы (2.6.) единственно, точка Р0 однозначно оп ределяет точку Р], которая в свою очередь определяет Р2 и т.д. Заметим, что сечение Пуанкаре заменяет эволюцию с непрерывным временем, описывае мую уравнениями (2.6), отображением (2.7) с дискретным временем. При чем, в общем случае, интервал времени между последовательными точками непостоянен. Особо нужно подчеркнуть то, что сечение Пуанкаре и отобра жение Пуанкаре обладают теми же топологическими свойствами, что и по родивший их поток. Метод сечения Пуанкаре упрощает исследование не прерывных потоков по трем причинам. Во-первых, мы переходим от потока в Л" к отображению R" l на себя, понижая тем самым число координат на единицу. Во-вторых, время дискретизируется и дифференциальные уравне ния заменяются разностными уравнениями, определяющими отображение Пуанкаре. Эти алгебраические уравнения существенно легче поддаются ре шению. Наконец, резко сокращается число данных для обработки, так как почти всеми точками на траектории, кроме точек в сечении, можно пренебречь. Рассмотрим применение метода Пуанкаре непосредственно к потоку, управляющему поведением пузырькового осциллятора в жидкости (2.5). Во-первых отметим, что главное отличие модели Келлера-Миксиса в формулировке Просперетти (2.5) от базовой модели Келлера-Миксиса (2.1) заключается в выделении величины у как аргумента синуса. Как показано в [9], характерной особенностью фазового портрета такой системы является его расслоение на интегральные торы с квазипериодическими или периодическими обмотками.
Периодичность решения соответствует замкнутым траекториям. Для составления карты Пуанкаре гиперплоскость с М можно варьировать и зависимости от начала траектории. Для возмущённых колебаний, таких как рассматриваются в модели (2.5) или (2.8), наиболее приемлемым путём опре деления положения гиперплоскости (плоскости Пуанкаре) является поперечное разделение пространства тора Мна циклические области Опри фиксированном 90.
Сечение траекторий пузырькового осциллятора этой плоскостью определит сечение Пуанкаре. Простейший предельный цикл в пространстве более двух измерений может несколько раз пересекать плоскость Пуанкаре S. Таким образом, карта Пуанкаре Р получается из множества карт Ф , ограничивающих S, т.е. где Т = - период внешнего приложенного к системе колебания, v Построение бифуркационных диаграмм Стандартная методика построения бифуркационных диаграмм достаточно проста. В частности в работе [11] частотные бифуркационные диаграммы для определённых параметров среды (ц = 10 " Па с, ст = 0,075 Н/м, 4 у - , с = 1500м/с) начиная с некоторой низкой частоты v, искалось решение автономной системы до тех пор, пока решение не пересекало фазовую плоскость 100 раз, после чего частота увеличивалась на некоторое небольшое значение Av, т.е. начальным условием на каждом последующем шаге по v являлось последнее полученное на предыдущем шаге значение \R,R) и так до тех пор, пока частота не достигала некоторого определённого значения v2. Все точки пересечения карты Пуанкаре с фазовой плоскостью фиксировались на бифуркационной диаграмме, что позволяло отследить периодичность решения автономной системы на данной частоте.
Для упрощения построения диаграмм процедуру построения бифуркационных диаграмм можно несколько изменить. Л именно, при медленном изменении частоты внешнего воздействия v фиксировать локальные максимумы решения уравнения (2.8), количество которых соответствует количеству петель на фазовой траектории.
В настоящей работе используется именно этот видоизмененный метод построения бифуркационных диаграмм. Для этого решается задача (2.5) с начальным условием Л(=0=/?0 =Rn , R\t=o=R0 =0 при фиксированной внешней частоте воздействия v и параметрах среды. 11р;г этом, начиная с момента времени t-100/v на бифуркационной диаграмме фиксировались все локальные максимумы решения R(t). Задача решалась для различных значений v = 120, 121, 122 ... 220 кГц. На рис. 2.2.6 представлена бифуркационная диаграмма для случая с пузырьком воздуха радиуса 10 5л в воде при Р3=90кПа в диапазоне частот внешнего воздействия 120-220кГц. Приведённая диаграмма в области от 180 до 220 кГг-і совпадает с диаграммой, построенной с помощью карты Пуанкаре по первой описанной схеме (рис. 2.2.а). В области несовпадения (от 120 до 180 кГц) количество петель на фазовой плоскости конечно (количество петель на фазовой плоскости зависит от начальных данных); несовпадение можно объяснить тем, что для численного решения использовалась специальная замена переменных, описанная выше в разделе «Метод сечений Пуанкаре», не оставляющая инвариантным количество петель [8].
Модельный расчёт для одиночной волны
Рассмотрим задачу в следующей постановке: треугольная волна, распространяясь по газу, входит в однородную двухфазную пузырьковую среду с начальным газосодержанием а20. Параметры исходного возмущения подбираются таким образом, что образуется один солитон. Вопрос о существовании солитонов в пузырьковых средах в слабонелинейном приближении рассмотрен в [87,88], строгое математическое обоснование возникновения из локализованного импульса солитонов, распространяющихся с различными скоростями, приведено, например, в [34]. Выделившийся солитон попадает в неоднородную газожидкостную среду. Пройдя определённое расстояние, солитон вновь выходит в однородную среду с теми же значениями газосодержания и радиусов пузырей, что и на первом отрезке.
В указанных выше работах экспериментально показано, что в случае солитон и волновой пакет являются элементарными образованиями в Re газожидкостной среде, где а1 У0{у + \}р0бр0/{}р0)-Я отражает соотношение влияний нелинейности и дисперсии, (где /0 - ширина и ф0 - интенсивность начального возмущения). Любое начальное возмущение в зависимости от значения параметра о распадается на последовательность солитонов или волновой пакет. Применение воздуха в качестве среды заполнения пузырька позволило получить малое значение параметра o/Re, а, следовательно, в проделанных расчётах начальное возмущение всегда возможно представить в виде последовательности солитонов. Начальное возмущение выбиралось в виде волны треугольного профиля с перепадом давления Ар и полной шириной l0 = VtQ, где /0 — время положительной фазы давления. Для всех рассматриваемых в расчетах данных значение ст/Re «1, таким образом, развитие процесса соответствует основным выводом из уравнения Кортевега-де Фриза. Как показано в [87], в зависимости от значения параметра а начальное возмущение, представляющее собой волну треугольного профиля (3.3.а), распадается на группу солитонов, если сг сгк/, (рис. З.З.б, 3.3.в) или трансформируется в волновой пакет, если сг ткр (рис. 3.3.г). Для треугольного возмущения в нашей задаче а «14. Количество солитонов, образующихся из начального распределения, находится по формуле где функция %){) описывает начальный профиль волны.
Параметры задачи подбирались таким образом, что tj a и начальное возмущение с треугольным профилем преобразовывалось в один солитон при прохождении участка с однородной двухфазной пузырьковой средой. Для исследования влияния неоднородности газосодержания на параметры прошедшего через пузырьковую среду одиночного импульса пренебрежем потерями энергии за счет вязкости и теплообмена, т.е. в уравнениях (3.2.) положим // = 0, а в (3.3.) q = 0. Численные расчеты проводились для различных значений относительной амплитуды (с = 0,2; 0,3;...; 0,7) и периода (г= 10, 20,..., 100, 200,..., 700) неоднородности. При взаимодействии солитона с пространственной неоднородностью происходило частичное отражение волны от неоднородностей газосодержания, а в некоторых случаях — распад солитона на две (или более) нелинейные волны, движущиеся в том же направлении, что и исходное возмущение, и взаимодействующие между собой. Влияние периодической неоднородности на проходящий через нее одиночный импульс оценивалось через относительную потерю амплитуды импульса Д(є,т) = 1 - . , где А — ам / А плитуда импульса на участке /. На рис. 3.4 показана поверхность Д(с,т), полученная по результатам численного расчета. Для более детального обсуждения результатов численных расчетов удобно разбить рассматриваемую область параметров (с,т) на три части: 0 г 10, 10 г 500 и г 500. Полуширина одиночного импульса на первом участке в безразмерных координатах приблизительно равна 50. Рис. 3.4. Зависимость относительной потери амплитуды (Д) одиночным импульсом от параметров неоднородности (с\т).
Потеря солитоном энергии так же, как и в предыдущем случае, незначительна (рис. 3.4). Полученные численно результаты качественно согласуются с результатами работы [60], где было показано, что для слабонел и ценных волн медленное изменение газосодержания приводит к увеличению или уменьшению амплитуды и полуширины импульса, причем амплитуда А рас тет (падает) с изменением газосодержания как А а2д2(х) с 2(х), где изначальное распределение газосодержания, с0(х) - равновесная скорость звука.
Этот случай принципиально отличается от предыдущих тем, что здесь существен эффект отражения от неоднородностей (перепадов) газосодержания. Амплитуда одиночного импульса существенно уменьшается на втором участке (рис. 3.4). Причем максимальное падение амплитуды происходит, когда период неоднородности г»40-50, т.е. при значениях г порядка полуширины одиночного импульса. С уменьшением (или увеличением) г влияние неоднородности на конечное изменение амплитуды распространяющегося импульса уменьшается и при существенном изменении г переходим к предыдущим случаям. Здесь существенную роль играет и амплитуда неоднородности, а именно с увеличением є увеличивается и потеря амплитуды импульсом (рис. 3.4). Характерные сценарии представлены на рис. 3.6, где показана эволюция одиночного импульса в неоднородной среде.
В области, где период неоднородности г -40-50, т.е. в области наибольшего "затухания" амплитуды за счет отражения, начальный одиночный импульс становится неустойчивым при своей эволюции по периодической неоднородности (участок 2) и распадается на несколько одиночных импульсов (два из которых отчетливо видны на рис. 3.6.6), бегущих в том же направлении, что и первоначальный импульс.
Похожие диссертации на Исследование неустойчивости и хаоса при распространении нелинейных волн в пузырьковых средах
