Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах 20
1.1. Аналитические исследования нелинейных взаимодействий ударных волн 20
1.1.1. Развитие аналитической теории коротких волн 20
1.1.2. Исследование процессов взаимодействий УВ в условиях парадокса Неймана 21
1.1.3. Проблемы взаимодействия ударных волн в газожидкостных пузырьковых средах 23.
1.1.4. Современное состояние исследований нелинейных взаимодействий ударных волн 24
1.2. Ударно-волновые структуры и режимы отражения и взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах 27
1.3. Модель двухфазной газожидкостной среды и термодинамика газовых и газожидкостных пузырьковых сред 30
1.4. Анализ применимости модели двухфазной ГЖС для описания ударно-волновых процессов 34
1.5 Постановка краевых задач для описания взаимодействий ударных волн в газовых и газожидкостных средах 37
1.5.1. Дифференциальные уравнения идеальной, сжимаемой газовой и газожидкостной среды 37
1.5.2. Граничные условия для областей неоднородных течений при взаимодействиях УВ. Условия на фронтах УВ 40
1.5.3. Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред 43
1.6. Метод сращиваемых асимптотических разложений решения краевых задач взаимодействия ударных волн в идеальных средах 47
1.6.1. Линейные решения для областей (I) малых градиентов 48
1.6.2. Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва 50
1.6.3. Задачи для областей (И) в окрестности точек взаимодействия ударных волн, областей нелинейных взаимодействий 53
1.7. Краевые задачи для областей (II) коротких волн, областей нелинейных взаимодействий 56
Выводы к главе 1 61
ГЛАВА 2. Аналитические модели и классификация нелинейных ударно-волновых взаимодействий 63
2.1. Разработка аналитических моделей нерегулярных взаимодействий для описания основных параметров взаимодействия 63
2.1.1. Проблемы аналитического моделирования 63
2.1.2. Разработка общей аналитической модели нерегулярных взаимодействий УВ. Построение замкнутой системы уравнений 64
2.1.3. Анализ общей аналитической модели. Сведение исходной системы к системе двух уравнений. Идея параметрического метода решения 67
2.1.4. Основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн и возникающие ударно-волновые структуры 70
2.1.5. Аналитические модели нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн 73.
2.1.6. Определение границ областей существования нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн 76.
2.2. Аналитическое описание основных параметров взаимодействия и отражения ударных волн 79.
2.2.1. Расчёт основных параметров взаимодействий, положения фронта Маха и распределения параметров на фронте Маха 79
2.2.2. Расчёт параметров на фронтах отражённых ударных волн 80
2.3. Анализ основных параметров взаимодействия ударных волн. Физическая адекватность развитых аналитических моделей 82
2.3.1. Интерпретация аналитических решений методом ударных поляр. Сравнение аналитических результатов с результатами численных и экспериментальных исследований 82
2.3.2. Аналитическое исследование параметров нерегулярных отражений ударных волн в условиях действия парадокса Неймана 86
2.3.3. Анализ параметров нерегулярных взаимодействий ударных волн. Сравнение результатов аналитических исследований с известными экспериментальными результатами 89.
2.4. Анализ параметров, характеризующих ударно-волновые структуры взаимодействий. Анализ границ областей существования различных режимов нерегулярных взаимодействий. Физическая адекватность аналитических результатов 93
Выводы к главе 2 102
ГЛАВА 3. Аналитическое исследование полей давления и скоростей при нерегулярных взаимодействиях ударных волн 103
3.1. Класс точных решений Заславского - Гриба уравнений коротких волн и основная система дифференциальных уравнений, определяющих параметры течения 103
3.1.1. Различные формы записи основной системы дифференциальных уравнений 105
3.1.2. Сведение основной системы дифференциальных уравнений к двум уравнениям относительно Х\(я\ Хоія) 106
3.1.3. Анализ начальных условий и особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений 107
3.2. Построение аналитических решений системы дифференциальных уравнений Заславского-Гриба в задачах симметричного взаимодействия, отражения ударных волн 109
3.2.1. Построение решений методом разложения по малому параметру 109
3.2.2. Начальные условия на фронте Маха 111
3.3. Построение решений в окрестности тройных точек при неклассических условиях нерегулярных взаимодействий ударных волн 113
3.3.1. Построение семейства кривых, содержащего фронты ударных волн 113
3.3.2. Построение решения в окрестности тройной точки 115
3.4. Построение полей давлений и скоростей с помощью аналитических решений. Сравнение результатов с известными результатами численных и экспериментальных исследований 117.
3.4.1. Начальные условия и интегрирование системы уравнений Для хХч\Хо(я) 119
3.4.2. Анализ полей давлений и скоростей при нерегулярных отражениях и взаимодействиях ударных волн 121
3.4.3. Сравнение результатов с результатами численного решения краевых задач для областей нелинейных взаимодействий 128
3.4.4. Сравнение результатов с результатами известных экспериментальных исследований 131
Выводы к главе 3 134
Заключение 136
Список используемой литературы 138
Приложения 145
- Ударно-волновые структуры и режимы отражения и взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах
- Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва
- Основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн и возникающие ударно-волновые структуры
- Анализ начальных условий и особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов отражений и взаимодействия ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для развития сверхзвуковой авиации, космонавтики, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы, возникающие при исследовании процессов взаимодействий, имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.
Исследуются процессы отражения и взаимодействия (взаимного проникновения УВ) относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн при этом может быть велика), когда за фронтами УВ возникают области резких изменений параметров - области коротких волн, и ударные нагрузки возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает серьезные трудности при анализе. Особое внимание уделяется моделированию процессов отражения и взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана, когда для относительно слабых УВ теоретические результаты для нерегулярных отражений УВ (локальные теории Неймана) не согласуются с экспериментом, в то время как для относительно сильных У В такое согласие наблюдается.
Неизменное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин и др.) и зарубежных исследователей (А.Ф. Хендерсон, К. Такаяма, Г. Бен-Дор и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу противоречия. Известны многочисленные попытки подправить локальные теории Неймана. Однако все яснее вырисовывается необходимость построения теории взаимодействий, отражающей влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры.
Настоящие исследования развивают положения асимптотической теории коротких волн, опирающейся на решения внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которая позволяет учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности и закономерности процессов отражений и взаимодействий УВ.
Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка аналитического подхода к исследованию процессов нелинейных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах при различных режимах нерегулярных взаимодействий, включая взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана.
Исходя из этой цели, в работе решались следующие задачи:
- Разработка достаточно простых аналитических моделей нерегулярных ,отражений и взаимодействий относительно слабых УВ, допускающих как ,классические, так и неклассические (с разрывом поперечной составляющей скорости) условия в тройных точках.
- Классификация режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.
- Анализ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.
- Получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры.
- Аналитическое описание границ областей существования различных режимов отражений и взаимодействий УВ.
- Анализ полей давлений и скоростей в областях нелинейных взаимодействий при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ. Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн) и формировании аналитических моделей взаимодействий, соответствующих краевым задачам.
Основную роль выполняют аналитические методы анализа, основанные на выделении структурных особенностей течений.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- получил развитие новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах;
- разработаны оригинальные аналитические модели, допускающие как классические, так и неклассические условия в тройных точках;
- найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;
- разработан параметрический метод решения модельных уравнений, позволяющий получить явные аналитические зависимости для основных параметров, характеризующих ударно-волновые структуры и течения при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;
- разработана методика построения течений в областях нелинейных взаимодействий с помощью класса точных параметрических решений Заславского-Гриба и анализа течений в окрестности тройных точек при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;
- исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и особенности процессов взаимодействий, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность разработанных аналитических моделей.
Достоверность результатов работы подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур и полей течений с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.
Практическая ценность работы. Полученные результаты исследований углубляют представления о физических процессах отражений и взаимодействий УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы исследований и расчета течений с относительно слабыми УВ.
В частности, результаты исследований были использованы при выполнении программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники». Подпрограмма «Транспорт» (проект № 205 01.01.30 2001-2002 гг. Исп. СГУ) НИР «Разработка детонационных двигателей для воздушных транспортных средств на основе вычислительного и натурального экспериментов».
Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах.
Апробация результатов и публикации. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:
- IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002), Санкт-Петербург, 2002 г.;
- XIX и XX Международные семинары по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2002, 2004 гг.;
- Международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». Саратов, ИПТМУ РАН, 2002 г.;
- XII Международная конференция аспирантов и студентов. Новосибирск, СО РАН, 2004 г.; - XXXIV и XXXV постоянно действующий научно-технический семинар «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет и ракетных двигателей». Саратов. СФ ВАУ. 2002, 2003 гг.;
- Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, УлГТУ, 2003 г.;
- XV Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика». Казань. КазФВАУ. 2003 г.;
- Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов. СГУ: 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.;
- Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике Саратовского государственного университета. 2001-2004 гг.
Результаты исследований опубликованы в тринадцати печатных работах.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка использованной литературы и приложений; изложена с учетом рисунков на 163 страницах. Работа содержит 21 рисунок, 12 приложений. Список использованной литературы включает 69 наименований.
Ударно-волновые структуры и режимы отражения и взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах
Для относительно слабых УВ широкий класс задач, включающий основные типы взаимодействий (Рис. 1.1.) возникает при отражении и взаимном проникновении плоских УВ, распространяющихся в покоящейся газовой или газожидкостной пузырьковой среде. В общем случае такое взаимодействие можно представить как результат столкновения в начальный момент времени (/ = 0) двух УВ на кромке клина при их нормальном схождении с образующих (Рис. 1.1. e-h). Угол полураствора клина а представляет угол падения инициирующих (падающих /,, 12) УВ с перепадами давления Д,р = р, - р0 (/=1, 2).
Возникающие при этом режимы взаимодействий и ударно-волновые схемы зависят от значений угла а, нормированных интенсивностей инициирующих УВ А(.р/Д0р (Д0 - характерный масштаб возмущений давления, обычно Д0р = Д,р) и газосодержания среды (у). Разнообразие схем взаимодействия при фиксированном масштабе возмущений Ар, / р0 и газосодержании среды у определяется параметрами a, rj (77 = А2р/А,р), характеризующими угол и отношение интенсивностей взаимодействующих волн.
При симметричных взаимодействиях rj = 1 в идеальных средах выделяются схемы (Рис. 1.1. a-d) отражения от стенки, точнее от оси симметрии. В общем случае при 0 rj 1 имеем при а а (а - критический угол) схемы регулярного (a, b; е, f), при а а схемы нерегулярного (с, d; g, h) (маховского) отражения, взаимодействия УВ.
В общем случае картины течения характеризуются возникновением отражённых (AiQ) и маховских (AS, AiA2) ударных волн, за которыми возникают области возмущения D, представляющие области неоднородного течения. Границы областей возмущения с областями однородных течений за фронтами падающих /,,/2 волн геометрически похожи на окружности и физически представляют фронты УВ (1) или линии слабого разрыва (2). В случае ударного фронта (1) давление при переходе через фронт и в области возмущения за фронтом растёт, в случае линии слабого разрыва (2) давление и другие параметры потока при переходе через линию остаются неизменными, терпят разрыв их производные, а в области возмущения за линией слабого разрыва давление падает. В точках пересечения УВ (точках взаимодействия А;) могут возникать особенности. Для относительно слабых УВ в точках взаимодействия контактные разрывы исчезают и могут возникать особенности, связанные с непараллельностью потока за тройными точками. В целом, течения во всех рассмотренных случаях вследствие отсутствия характерных масштабов длины и времени автомодельны, что упрощает анализ явлений.
При взаимодействиях важную роль играет величина скорости звука за отражённо волной в точке взаимодействия (сА) по сравнению со скоростью потока VA или, что то же самое, величина числа Маха (MA=VA /сА) за отражённой волной в системе координат, связанной с точкой взаимодействия. Если точка (А;) удаляется от вершины угла О со скоростью больше звуковой (МА 1), то возмущения из области D не догоняют точку и вблизи этой точки образуется область однородного потока (Рис. 1.1. а, е) и части отражённых волн прямолинейны (AAj). Такой режим регулярных отражений, взаимодействий со сверхзвуковой областью характерен для широкого диапазона углов а. Однако с уменьшением а до значений, близких к критическому (а ), числа Маха МА становятся меньше единицы, область однородного потока исчезает и отраженные волны в окрестности точек взаимодействия искривляются. В этом случае наблюдается режим регулярных взаимодействий с дозвуковыми скоростями в точках взаимодействия (Рис. 1.1. b, f). При дальнейшем уменьшении угла а (а а ) возникает режим нерегулярного (маховского) отражения, возмущения из области D догоняют и искривляют фронт волны Маха (AS, А і Аг). Наблюдается режим развитого нерегулярного (маховского) отражения (SMR - простого маховского отражения), взаимодействия УВ (Рис. 1.1. с, g). Дальнейшее уменьшение угла а (вплоть до значений, близких к нулю) приводит к вырождению одного из отражённых фронтов (AJCJ) в линию слабого разрыва (в случае симметрии - двух фронтов), возникновению вырожденных режимов отражения (NMR - неймановского маховского отражения), взаимодействия УВ (Рис. 1.1. d, h).
В задачах регулярного взаимодействия (Рис. 1.1. a, b; е, f) решение локальных задач в окрестности точек взаимодействия (точек А) [1, 3, 7, 20, 25, 33, 44] определяет режим течения (область существования регулярной структуры) и условия для постановки краевых задач для области возмущения D. При нерегулярных взаимодействиях (Рис. 1.1. с, d; g, h) режим течения определяется при решении краевых задач. В силу взаимосвязи граничных и локальных структур в этом случае с решением краевой задачи, вопрос о режиме течений для нерегулярных взаимодействий решается значительно сложнее.
При решении задач нерегулярного взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана для относительно слабых УВ (А,р//70Со «1) при углах взаимодействий, близких к критическим (я я a \kxpl рйсі) ), когда фронт Маха (AS, AjA2) достаточно мал, возникает необходимость выяснения качественных различий в образовании структуры УВ и её влияния на режим течения. Математически проблема сводится к анализу решений краевых задач для области взаимодействия D, формулировке на основе этого анализа аналитических моделей взаимодействий, описывающих основные режимы нерегулярных взаимодействий [3, 5-7, 56, 57, 59, 65].
Сформулированный класс задач взаимодействий допускает все основные режимы взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах, наблюдаемые при экспериментальных исследованиях в ударных трубах; позволяет с единых позиций провести исследование взаимодействий УВ.
Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва
Система уравнений коротких волн (1.73) смешанного эллиптико гиперболического типа, однако для точек областей нелинейных взаимодействий УВ (Рис. 1.2 а, б) выполняется условие ju 8 и уравнения (1.73) эллиптического вида. При решении краевой задачи (1.73)-(1.76) S. основными трудностями являются: нелинейность системы (1.73) и неизвестное положение ударных фронтов (Маха и отраженных), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (1.74). Сложность проблемы усугубляется тем, что в условиях дозвукового характера течения характеристики течения за образующимися ударно-волновыми структурами и сами структуры зависят от характеристик течения во всей области возмущения. Это обстоятельство побуждает при разработке схем расчёта использовать решения (численные, аналитические), характеризующие поток за фронтами волн в целом [2, 6, 7, 14, 22, 36]. В частности, при разработке численных методов решения краевой задачи (1.73)-(1.76) [5, 22, 23, 36] оказалось удобно свести нелинейную систему (1.73) к одному уравнению второго порядка (исключая v) для функции [л{8, Г) Таким образом, задача свелась к решению уравнения (1.77) в области эллиптичности для функции ju(S, Г), удовлетворяющей на границах области условиям (1.78), (1.75), (1.76). Численные методы [5, 22, 23, 36] позволяют построить итерационный процесс, состоящий в последовательном уточнении решения задачи ju(8, Y) И положения ударных фронтов 8 = 8(Y) (решение исходной задачи с неизвестной границей для положения фронтов представлено в виде задач с известной границей при последовательном уточнении положений фронтов). Практика численных решений [5, 22, 23, 36] краевых задач взаимодействий УВ конечно-разностным методом второго порядка точности показала достаточно быструю сходимость решений (при решении серии задач). Полученные результаты полей давлений и скоростей в задачах отражения, взаимодействия и дифракции УВ качественно и количественно согласуются с известными экспериментальными данными (интерферограммами) [15, 16] и др. и значительно лучше описывают для относительно слабых УВ положения фронтов и распределение параметров на них [5, 23], чем, например, известная теория Уизема [24]. 1. Проведенный аналитический обзор исследований отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах обосновывает методику исследований на основе асимптотического анализа нелинейных процессов с использованием равновесной модели газожидкостной среды. 2. Исследована методика решения общих краевых задач взаимодействия с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений, которая позволяет свести решение задач для областей возмущений в целом к решению задач для областей (I) малых градиентов, где течение описывается с линейной теории и находятся аналитически; и решению задач для областей (III) значительных градиентов, примыкающих к фронтам УВ и линий слабого разрыва, где течения описываются системой нелинейных квазиодномерных уравнений, которые интегрируются аналитически; и решениям для областей (II) двумерных нелинейных течений со значительными Ч градиентами параметров в окрестности точек взаимодействия У В и где соответствующая краевая задача решается численно или аналитически -приближённо. Методика позволяет существенно сузить область исследований до малой окрестности точек взаимодействия - областей коротких волн. 3. Численные решения краевых задач нелинейных взаимодействий (коротких волн) как показывает анализ, адекватно описывают процессы отражений и взаимодействий УВ, и, например, значительно лучше описывают положение УВ и распределение параметров на них, чем результаты, полученные с помощью теории Уизема. ,.N 4. Проведённый анализ показывает, что для дальнейшего развития теории нелинейных взаимодействий, особенно в условиях парадокса Неймана, необходимо развитие аналитических методов приближённого анализа краевых задач, развитие аналитических моделей взаимодействий. Эти исследования должны выявить основные ударно-волновые структуры (режимы взаимодействия) и области их существования; дать простые аналитические выражения для основных параметров при различных режимах взаимодействий; позволить приближённо рассчитать поля течения в областях взаимодействия при различных режимах. Для описания процессов отражения и взаимодействия относительно слабых УВ важное теоретическое и прикладное значение имеет разработка достаточно простых аналитических моделей, позволяющих аналитически описать основные параметры течений и возникающих ударно-волновых структур (Рис. 1.1) при различных режимах нелинейных взаимодействий, включая и режимы в условиях возникновения парадокса Неймана. Такое аналитическое моделирование, опирающееся на общий асимптотический анализ и свойства решений краевых задач нелинейных взаимодействий, содержит: разработку общей аналитической модели, позволяющей описать в целом всё разнообразие нелинейных взаимодействий [6, 7]; разработку аналитических моделей (подмодели общей модели), позволяющих описать различные режимы взаимодействий, получение аналитических выражений для основных параметров, характеризующих течения и возникающие ударно-волновые структуры [57-60, 64]; анализ областей существования различных режимов нелинейных взаимодействий УВ и общий анализ адекватности развитых моделей [57, 58, 61, 62, 64, 65].
Основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн и возникающие ударно-волновые структуры
Решение z, iV (2.17) при фиксированных z,, ( позволяет согласно (2.16) определить rj, z2, av. Отметим, что исключение JV (из первого уравнения (2.17)) приводит систему (2.17) к уравнению для z высокой степени, например, при А = 0 уравнению 14 степени.
Для анализа ударно-волновых структур на базе решений системы (2.15), их автоматического формирования в некоторых областях параметров подобия av, rj более пригодны явные параметрические формулы решений (2.15).
Впервые такое параметрическое решение было получено Ковалёвым А.Д. [36] при решении трансцендентного уравнения (п. 2.3. Приложение 2), описывающего регулярные взаимодействия и отражения УВ, и содержащего иррациональные члены аналогично (2.15). В качестве независимых параметров наряду с rj был введён параметр г = щ + J32v)l2av. Это позволило выразить все основные параметры в точке A (juA, vA, SA, Д", J32v) как функции z, 77 и получить, используя трансцендентное уравнение п. 2.3, биквадратное уравнение (п. 2.10) для av =av{z, rj). Для выписывания аналитического решения этого уравнения и отбора корней использовалось характерное значение решения в точке (z = l/2, t] = \), соответствующее предельному случаю отражения УВ.
Анализ полученного решения позволил определить границы областей существования регулярного взаимодействия и отражения УВ. В общем случае нерегулярных взаимодействий УВ (Рис. 1.1) анализ основной системы (2.15), может быть использован в общих случаях невырожденных отражений и взаимодействий (Рис. 1.1 с, g). В случаях вырожденных взаимодействий (Рис. 1.1 d, h) система (2.15) будет вырождаться. Следует отметить, однако, что построение параметрических решений для различных режимов взаимодействий связано с конкретным видом системы и требует неформального нахождения параметров для аналитического представления решения в каждом случае.
Многочисленные экспериментальные исследования [15, 16, 1, 2, 25, 26, 34, 48-52] показали, что для относительно слабых УВ существуют разнообразные режимы невырожденных и вырожденных отражений и взаимодействий ударных волн. Эти режимы, в общем случае взаимодействий двух волн, определяются их интенсивностями Pi0=(pl- р0)/В0, Р20=(р2-р0)/В0 углом взаимодействия а и газосодержанием среды у. При взаимодействиях относительно слабых ударных волн, как следует из анализа задач (п. 1.7), режимы определяются в зависимости от параметров подобия
Теоретические исследования для относительно слабых ударных волн [2, 5-7, 20, 36, 40, 56-65] связаны с разработкой математических моделей нерегулярных и регулярных отражений и взаимодействий, описывающих разнообразные режимы. Эти исследования опираются на анализ решений основных математических моделей для нерегулярных (2.15) и регулярных (приложение 2) взаимодействий. С-нерегулярное взаимодействие с отражёнными ударными волнами; С— нерегулярное отражение с отражённой ударной волной {SMR — простое Маховское отражение); В, В - нерегулярное взаимодействие с вырожденной отражённой волной с положительной (В) и отрицательной (В ) кривизной фронта Маха; В" - нерегулярное отражение с вырожденной отражённой волной {NMR- неймановское маховское отражение). А, А - регулярное взаимодействие сверхзвуковое (А), дозвуковое (А ); А", А" - регулярное отражение (RR) сверхзвуковое ( А"), дозвуковое ( А "). На рис. 2.1 в плоскости параметров av, rj изображена карта режимов (областей существования) нерегулярных и регулярных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах; изображены возникающие ударно-волновые структуры (схемы взаимодействий), описываемые различными математическими моделями взаимодействий. С - общий случай нерегулярного взаимодействия с отражёнными ударными волнами; С — нерегулярное отражение (симметричное нерегулярное взаимодействие при rj = \) с отражённой УВ (SMR — простое Маховское отражение); В, В - нерегулярное взаимодействие с вырожденной отражённой волной (линией слабого разрыва) в верхней точке взаимодействия с положительной (В) и отрицательной (В ) кривизной фронта Маха; В" -нерегулярное отражение (симметричное взаимодействие при rj = \) с вырожденной отражённой волной (NMR- неймановское маховское отражение). А, А - регулярное взаимодействие «сверхзвуковое» (А) (с областью однородного потока и прямолинейными участками отражённых волн за точкой взаимодействия), «дозвуковое» (А ) (с неоднородным потоком и криволинейными фронтами отражённых волн за точкой взаимодействия); А", А " - регулярное отражение (RR) (симметричное регулярное взаимодействие при г/ = \) «сверхзвуковое» {А") (с областью однородного потока и прямолинейным участком отражённой волны за точкой взаимодействия), «дозвуковое» (Ат) (с неоднородным потоком и криволинейным фронтом отражённой волны за точкой взаимодействия).
Анализ начальных условий и особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений
Аналитические модели С (для SMR) и В" (для NMR) позволяют рассчитать при 77 = 1 (п. 2.2.1) угловые величины a (Приложение 6). На рис. 2А.а,Ъ результаты аналитических расчётов (ТКВ) зависимости со от со при различных интенсивностях падающих волн ( = 0,905 и = 0,830) сравниваются с экспериментальными данными Henderson L.F., Siegenthaler А. [25]. Сравнение показывает, что теоретические результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными и тем точнее, чем слабее интенсивность волны.
На рис. 2А.С теоретическая зависимость приведённых углов j3v и av (Приложение 6), характеризующих наклоны падающей и отражённой волн к вертикали (перпендикуляру к стенке) сравнивается с приведёнными результатами экспериментальных исследований [25] при различных интенсивностях волн ( = 0,905; = 0,830). Обращает внимание немонотонный характер зависимости /?" от о?: падение значений /Г при возрастании av в режиме TMR и рост значений /?" в режиме MR. В целом эта тенденция подтверждается экспериментом. Интересно, что при приближении к границе MR (исчезновении ножки Маха, YA- 0) при or" =2 значение /Г =av 12. Это обстоятельство часто используется экспериментаторами для определения перехода к режиму регулярного отражения RR.
На рис. 2A.d приведены для сравнения результаты аналитических расчётов угла %, характеризующего угол наклона траектории тройной точки к стенке, с экспериментальными данными [25] (Приложение 6) при различных интенсивностях падающих волн ( = 0,905; = 0,830). Сравнение показывает, что соответствие данных хорошее для достаточно слабых ударных волн.
В целом приведённые результаты и другие исследования показывают, что разработанные аналитические модели (С, В") адекватно описывают процессы нерегулярных отражений для относительно слабых ударных волн ( 0,7;MS 1.2).
Анализ параметров нерегулярных взаимодействий ударных волн. Сравнение результатов аналитических исследований с известными экспериментальными результатами. Основные трудности исследований нерегулярных взаимодействий двух УВ разной интенсивности, как и частного случая симметричного взаимодействия (rj = l) или отражения, связаны с возникновением областей резких изменений параметров (коротких волн) на незначительном расстоянии в окрестности фронта волны Маха. При экспериментальных исследованиях это осложняет измерения локальных параметров при фиксированных условиях взаимодействия (є, TJ). Особенно при определении критического угла взаимодействия а (перехода к регулярному взаимодействию), когда исчезает ножка Маха (Yt = Y2). Известно значительное количество работ, описывающих результаты экспериментальных исследований симметричных взаимодействий УВ [1, 2, 15, 26, 34, 48-52] и очень малое количество работ, описывающих несимметричные взаимодействия УВ. Работа Smith W.R. [16] представляет в этом плане большую ценность. Теоретические расчёты параметров взаимодействия двух УВ разной интенсивности опираются (п. 2.1.1) на использование аналитических моделей С, В (Приложение 7). На рис. 2.5.а для несимметричных взаимодействий при 77 = 0,36, = 0,147 результаты аналитических расчётов (ТКВ) для параметров Р6/Р4, Ps/ Ръ, характеризующих отношение давлений в тройных точках; характеризующего приведённый угол между направлениями движения тройных точек, сравниваются с результатами экспериментальных исследований [16] (Приложение 7). Расчётные данные, в целом, достаточно хорошо соответствуют экспериментальным данным. Отметим, что на диаграмме X v IаУ при обращении %v в ноль имеем ау = о? - критическое значение угла av (а" = 1,6 при 7 = 0,36, " = 0,147), согласующееся с положением границы (/) между областями Си А1 нерегулярного и регулярного взаимодействия УВ. взаимодействия УВ, с экспериментальными данными [16], [2] а - сравнение для несимметричных взаимодействий при г\ = 0,36; є = 0,147 зависимостей отношений давлений Р61Р4; Ръ ІР3 в тройных точках и углах х от приведённого угла а"; с экспериментальными данными [16]; b - сравнение для симметричных взаимодействий при т] = 1,0; є = 0,068 зависимостей отношений давлений Рб1 Р4= Р5/Рг в тройных точках и углах jf от приведённого угла av; с экспериментальными данными [16], [2]; В случае симметричного взаимодействия волн (/7 = 0 Для расчёта использовались модели С, В". На рис. 2.5.6 результаты аналитических исследований зависимости отношений давлений PS/P3=P6/P4, и угла х" от приведённого параметра av при 77 = 1, г? = 0,068 ( = 0,915) сравниваются с экспериментальными результатами [16], [2]. Сравнение показывает качественное и количественное соответствие результатов исследований. В частности, теоретические значения угла х" при г] = 1 (сплошная линия на рис. 2.5.Ь) для симметричных взаимодействий, отражений оказываются чуть ниже экспериментальных [2] и выше экспериментальных значений [16], что объясняется погрешностями измерений при малых значениях х" Теоретические и экспериментальные данные показывают, что значение х" - 0 достигается при критическом значении угла av = av = 2,0, что согласуется с положением границы (1) между областью С и А" нерегулярного (SMR) и регулярного (RR) отражения (при 77 = 1). Для анализа зависимости основных параметров взаимодействия от параметров подобия «", г/, особенно влияния несимметрии взаимодействий при 77 1, на рис. 2.6 представлены результаты расчётов с помощью аналитических моделей С, С", В, В , В".
