Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование процессов рефракции ударных волн в газах и газожидкостных средах 10
1.1. Класс задач нелинейной рефракции ударных волн 10
1.2. Математическая модель газожидкостной среды 12
1.3. Современное состояние исследований проблем нелинейной рефракции ударных волн 17
1.4. Проблемы математического моделирования нелинейной рефракции ударных волн 21
1.5. Анализ применимости модели двухфазной ГЖС для описания ударно-волновых процессов 22
1.6. Постановка краевых задач для описания взаимодействий ударных волн в газовых и газожидкостных средах 25
1.6.1. Дифференциальные уравнения идеальной, сжимаемой газовой и газожидкостной среды 25
1.6.2. Граничные условия для областей неоднородных течений при нелинейной рефракции УВ. Условия на фронтах УВ 29
1.6.3. Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред 33
1.7. Метод сращиваемых асимптотических разложений решения краевых задач взаимодействия ударных волн в идеальных средах 38
1.7.1. Линейные решения для областей (I) малых градиентов 40
1.7.2. Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва 43
1.8. Краевые задачи для областей (II) в окрестности точек взаимодействия ударных волн, областей нелинейных взаимодействий 46
1.8.1. Система уравнений коротких волн 46
1.8.2. Граничные условия для областей коротких волн 48
1.8.3. Решение в области разрежения 51
1.8.4. Координаты тройной точки 51
1.8.5. Преобразование нелинейной краевой задачи к первой краевой задаче 52
Выводы к главе 1 54
Глава 2. Асимптотический анализ режимов нелинейной рефракции ударных волн 55
2.1. Аналитическое исследование режимов рефракции ударных волн. Общий подход для относительно слабых ударных волн 55
2.2. Асимптотический анализ постановки задач рефракции 63
2.3. Регулярная рефракция с возникновением волны разрежения (RR) 65
2.4. Случай нерегулярной рефракции с волной разрежения (NR) 68
2.5. Случай регулярной рефракции с ударной волной (RRV), замыкающей область разрежения 73
2.6. Случай рефракции с отраженной ударной волной 76
2.7. Переход от рефракции с волной разрежения (RR, RRV) к рефракции с отраженной ударной волной (RV) 78
2.8. Анализ характерной интенсивности q+ преломленной ударной волны в пространстве параметров подобия 78
2.9. Приложение результатов анализа в пространстве параметров подобия к исследованиям физических параметров рефракции 84
2.9.1. Случай рефракции на свободной поверхности, разделяющей газ/ГЖС 84
2.10. Анализ физической адекватности модели 86
2.10.1. Случай рефракции на поверхности, разделяющей две газовые среды 86
Выводы к главе II 90
Глава 3. Численный метод решения нелинейных краевых задач рефракции ударных волн 91
3.1. Метод последовательных приближений при построении решений нелинейных краевых задач рефракции ударных волн 91
3.2. Построение начального приближения 92
3.2.1. Построение начального приближения поля давлений 92
3.2.2. Построение начального приближения положения фронтов ударных волн 95
3.3. Численный метод решения краевых задач 97
3.4. Картины полей давления для различных режимов рефракции УВ 102
3.4.1. Результаты расчета полей давления для различных режимов рефракции 102
3.4.2. Результаты расчетов полей давления для случая нерегулярного отражения от свободной поверхности 105
3.4.3. Результаты расчета поля давления для случая регулярного отражения с возникновением УВ, замыкающей область разрежения 108
Выводы к главе III 110
Заключение 111
Список использованной литературы
- Современное состояние исследований проблем нелинейной рефракции ударных волн
- Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред
- Регулярная рефракция с возникновением волны разрежения (RR)
- Картины полей давления для различных режимов рефракции УВ
Введение к работе
Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов нелинейной рефракции ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах (ГЖС) представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для понимания многих физических процессов, развития сверхзвуковой авиации, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей, движения тел в газожидкостных средах, в которых скорость звука мала и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы и их применение при исследовании задач имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.
В работе исследуются процессы нелинейной рефракции ударной волны (УВ), возникающие при взаимодействии ударной волны, относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн может быть велика), со свободной поверхностью, разделяющей различные газожидкостные среды, когда за фронтами УВ возникают области резких изменений параметров – области коротких волн, и ударные нагрузки многократно возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает значительные трудности при анализе поставленной задачи. Особое внимание уделяется нахождению и исследованию различных режимов существования нелинейной рефракции УВ, а также численному анализу поставленной задачи.
Пристальное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин, В.К. Кедринский и др.) и зарубежных исследователей (L.F. Henderson, A. Sakurai, K. Takayama, G. Ben-Dor и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу явления. Однако в настоящее время все отчетливее вырисовывается необходимость исследования процессов рефракции в целом, для построения полной картины исследуемого явления.
Настоящая работа развивает и дополняет положения асимптотической теории коротких волн, опирающейся на решение внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которые позволяют учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности и закономерности процессов нелинейной рефракции УВ.
Цель и задачи исследования. Целью работы является аналитическое и численное исследование различных режимов нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах.
Исходя из этого, в работе решались следующие задачи:
разработка аналитических моделей нелинейной рефракции относительно слабых УВ;
классификация режимов нелинейной рефракции УВ; анализ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры;
аналитическое описание границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
численное решение краевых задач рефракции УВ, на основе построенных аналитических моделей;
анализ полей давлений и скоростей при различных режимах нелинейной рефракции УВ.
Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), разработке и формировании аналитических моделей рефракции, соответствующих краевым задачам.
Основное внимание уделяется аналитическим методам анализа, основанным на выделении структурных особенностей течений.
Научная новизна работы заключается в следующем:
развит новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах;
исследованы различные режимы нелинейной рефракции УВ, найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
найдены области существования неклассических режимов рефракции УВ, которые расширяют физическое представление о процессах нелинейной рефракции УВ, позволяя исследовать случаи рефракции с невырожденным фронтом преломленной УВ;
получил развитие численный метод решения краевых задач нелинейной рефракции УВ, позволяющий рассчитать поля давлений и скоростей, а также, ударно-волновые структуры, характерные для различных режимов нелинейной рефракции УВ;
исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и особенности процессов нелинейной рефракции УВ, показавшие физическую адекватность разработанных аналитических и численных подходов к решению поставленной задачи.
Достоверность результатов подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур, полей давления и скоростей с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.
Практическая ценность работы. Результаты исследований расширяют представления о физических процессах нелинейной рефракции УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы и методы численного расчета течений с относительно слабыми УВ.
Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах.
Апробация результатов. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:
XX, XXI Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2004 г.; Новосибирск, 2007 г.;
XXXIV Уральский семинар по механике и процессам управления. Миасс, 2004 г.;
XXIV, XXVII Российская школа по проблемам науки и технологий. Миасс, 2004; 2007 гг.;
XLII Международная научная конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2005 г.;
IV, V Молодежные научные школы-конференции «Лобачевские чтения». Казань, 2005; 2006 гг.;
Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, 2005; 2006 гг.;
Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов, СГУ: 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 гг.;
Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике Саратовского государственного университета. 2003-2007 гг.
Современное состояние исследований проблем нелинейной рефракции ударных волн
Основными трудностями исследования взаимодействий и рефракции ударных волн является нелинейность процессов, обусловленная, в частности, существованием узких зон резких изменений параметров потока вблизи фронтов ударных волн и линий слабого разрыва, представляющих границы областей возмущений, а также зон, примыкающих к точкам пересечения (взаимодействия) ударных волн. В случае относительно слабых ударных волн при небольших относительных изменениях параметров их градиенты могут быть велики. Это обстоятельство требует при экспериментальных исследованиях [2, 6, 10] весьма точных измерений на очень малых расстояниях, а при численных и аналитических исследованиях вызывает необходимость выделения зон больших градиентов [46, 47] без чего решения обычными методами [61] оказываются недостаточно точными. Особенно важны эти обстоятельства при изучении переходных процессов, характеризующих смену режимов взаимодействия или рефракции, возникновение новых структур и т.д. Аналогичные, а как показывает практика и более серьезные проблемы возникают при рассмотрении взаимодействия УВ в двухфазных газожидкостных средах (типа жидкость с пузырьками газа), когда за счет включений газа повышается сжимаемость среды.
Остановимся кратко на основных проблемах исследований взаимодействий ударных волн в идеальных средах асимптотическими методами, следуя [81].
Проведём анализ влияния свойств двухфазной среды на ударно-волновые процессы для случая ГЖС пузырьковой структуры при ограниченных газосодержаниях (/ Ю-4) [81]. Рассмотрим физические аспекты применимости термодинамической модели для относительно слабых УВ. Для конкретизации выводов будем рассматривать жидкость, уравнение состояния которой удовлетворяет закону Тэта
Параметр B0 представляет адиабатический модуль объёмного сжатия газожидкостной среды, параметр к - модуль объёмного сжатия жидкости, р - плотность жидкости при нулевом давлении (она незначительно отличается от плотности при давлении в 1 атм.). Для чистой жидкости у - 0, В0=к + р0; для чистого газа у - оо, B0=xp0,x=cp/cv.
Понятие относительно слабой УВ, характеризуемой отношением Ар/В0 (Ар - перепад давления на фронте волны), например, для определённости Ар/2?0=0,1, будет физически различным для газа и жидкости. Так при р0 порядка 1 атм (105 Па) в газе волна слабая при Ар порядка 0,1 атм, а в жидкости (например, воде) при Ар порядка 0.1 к да 103 атм (108 Па). соответствуют экспериментальным данным, в то время как теоретические результаты (1) [65], соответствующие модели изотермической скорости звука, неадекватно описывают процесс при исчезающе малых газосодержаниях (с0 -» оо, у -» 0).
Важная роль в физической интерпретации процессов принадлежит параметру т - R0(y). Коэффициент І?О(У) становится важным при анализе взаимодействий относительно слабых ударных волн, когда можно ограничиться старшими членами разложений. Формула для скорости D0 элемента ударной волны интенсивности A/7 = /7j-p0, распространяющейся по покоящейся газожидкостной среде (в первом приближении) примет вид
Для практически важного диапазона значений газосодержания 10 7 у 10 значения параметра L0 близки к значениям этого параметра для чистого газа. Поэтому в целом режимы взаимодействий и конфигурации ударных волн, возникающие при взаимодействии в жидкости с пузырьками воздуха, оказываются близкими к случаю взаимодействия волн в чистом газе -газоподобны.
С целью апробации описанной термодинамической модели газожидкостной среды на основе полученных термодинамических соотношений были проведены исследования гидроудара при пузырьковом и снарядном режимах течения (Шиндяпин Г.П., Ковалёв А.Д. Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. №5; Изв. АНСССР. МЖГ. 1985. №5.), а так же отражений ударных волн [89], показавшие хорошее соответствие с экспериментальными данными [4, 5,17, 29,31] и др. и высокую физическую достоверность результатов.
Коэффициент с2 представляет квадрат адиабатической скорости звука и играет і важную роль в термодинамике (см. п. 1.4). Система (1.15)-(1.16) в некоторых случаях упрощается путём замены последнего уравнения конечным соотношением, связывающим р и р. Так, при адиабатическом процессе согласно последнему уравнению (1.15) энтропия частицы сохраняется и если она была одинакова для частиц в некоторый момент времени, то она останется одинаковой и при дальнейшем движении. В таких случаях имеем изоэнтропическое движение, и уравнение состояния s(p, р) = const при использовании формулы для энтропии газожидкостной среды (1.7) и уравнения состояния (1.3) (для исключения температуры) представляет случай баротропных движений.
При взаимодействиях относительно слабых ударных волн, распространяющихся по покоящимся газовым или газожидкостным средам, течения в областях возмущения за фронтами криволинейных УВ (маховских, отраженных, преломленных) в общем случае не изоэнтропические. Однако изменение энтропии на фронте пропорционально кубу перепада давления УВ, и , можно считать течение во всей области возмущения, с точностью до квадрата перепада давления УВ, изоэнтропическим. Это позволяет, согласно общей теоремы Бьеркнеса для системы Эйлера (1.15) - (1.16), связывающей завихренность и энтропию потока, считать течение с той же точностью -безвихревым, следовательно, потенциальным.
Основная система дифференциальных уравнений (1.15) - (1.16) представляет сложную для анализа систему квазилинейных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа. Теория таких уравнений быстро развивается, однако, имеет определённую завершённость лишь в случае одного уравнения или системы двух уравнений; для систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задач (Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их применение в газовой динамике. М.: Наука, 1978).
Для класса задач взаимодействия плоских УВ (п. 1.1.), в которых нет характерных размеров длины и времени, удобно упростить исследования, переходя к автомодельным переменным
Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред
Согласно (1.45), (1.46) производные / (Д/ 0) на фронтах ударных волн и линиях слабого разрыва при г -»1 обращаются в бесконечность, а функция 0.(в) имеет разрыв в точках взаимодействия УВ. Эти нерегулярности линейного решения устраняются введением областей III вблизи фронтов УВ и линий слабого разрыва и областей II в окрестности точек взаимодействия УВ, где задача решается в нелинейной постановке.
Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва.
Для удобства исследований переходят [39, 89] в областях (III), прилегающих к фронтам УВ и линиям слабого разрыва, к подвижной системе координат rk), 0щ, движущейся со скоростью однородного потока перед фронтом (к - индекс фронта) и имеющим направление полярной оси на точку взаимодействия волн (А).
Здесь ик/с0, vk/c0, ск/с0 - параметры однородных потоков перед фронтами (1.36). Давление и скорости в исходной г, в я подвижной r(i),#(4) системах связаны выражениями (индекс к - относится к параметрам однородного потока; индекс (к) - к параметрам за фронтом)
Преобразование (1.47), (1.48) на каждом участке фронта есть преобразование поворота и переноса с постоянной скоростью. Относительно этого преобразования остаются неизменными основные уравнения движения. Однако в новой системе перед фронтом волны среда покоится (на каждом участке фронта).
Для описания течения в областях (III) вводят внутреннее разложение независимых и зависимых переменных [39]
Порядки величин разложения (1.49) определяются условиями сращивания внутреннего решения в области (III) вблизи фронта с внешним (линейным) решением в области (I), порядками величин на фронтах волн, а также требованием наименьшей вырожденности решений.
При подстановке (1.49) в основную систему уравнений (1.18) или (1.33) для потенциала скоростей, получим, учитывая преобразование (1.47), (1.48), систему уравнений для областей (III)
Решение (1.54) устраняет особенности линейного решения (1.44) при подходе к фронтам возмущений, позволяет рассчитать параметры в областях (III), положение фронтов УВ и линии слабого разрыва г{к) = г {к) = \ + Р 1ХФ) Ь (к), 8 w = (l + «gnQ(0)). (1.55) и значения параметров на фронтах УВ и линиях слабого разрыва
Заметим, что преобразование (1.49), (1.48) упрощает построение решения (1.54), сводя задачу к случаю, когда среда перед фронтом покоится, и позволяет провести сращивание решений в областях (III) с линейным в области (I) без промежуточного разложения, которое потребовалось бы в области (1-г) порядка Р10 в общем случае однородного потока перед фронтом (см., например, [39]). Решение (1.54) - (1.56) в области (III) зависит от газосодержания смеси через параметры R0,ck/c0, с0, В0. В целом решения (1.49), (1.54) характеризуют квазиодномерные течения среды, существенно зависящие от переменной г. Переменная 9 в этих решениях играет роль параметра. Квазиодномерные решения становятся непригодными в окрестности точек взаимодействия (Д), где функция Q(9) терпит разрыв. Область неоднородности решения (1.49) характеризуется значениями 9-9А порядка Р 2. В этой области (II) вводится дополнительное внутреннее разложение, устраняющее особенности как линейного решения для области (I), так и нелинейного квазиодномерного решения для областей (III).
Рассмотрим в окрестности точки взаимодействия А ударной волны со свободной поверхностью, области (II), характеризуемые малыми размерами 1-г порядка Р\о=(р-Ро)/В0 и 9 порядка РЦ2. Физически течения в этих областях (рис. 1) характеризуются резкими изменениями параметров как при изменении г, так и при изменении 0, а сами области носят название областей коротких волн [39, 46]. При малых углах взаимодействия а порядка Р 2
области (II) взаимодействия примыкают к свободной поверхности (рис. 1). Характерными граничными условиями для областей (II) являются условия на фронтах ударных волн (1), линиях слабого разрыва (2), на свободной поверхности, а также условия сращивания с линейными решениями на границе с областями (I) и условия сращивания с нелинейными (квазиодномерными) решениями на границах с областями (III).
В областях взаимодействия (И) УВ вводится внутреннее разложение независимых и зависимых переменных Порядки членов разложения (1.56) установлены в соответствии с условиями на фронтах, условиями сращивания разложения с линейным решением на границе с областью (I) и областями (III), а также в соответствии с принципом наименьшей вырожденности решений.
Переменные внутренней подвижной полярной системы 8, 7 связаны с внутренними переменными X, Y подвижной декартовой системы и имеют вид Система уравнений коротких волн для первых членов разложения (1.57) получается при подстановке (1.57) в основную систему уравнений (1.18) или уравнения (1.33) для потенциала скоростей [39, 89] 2{FP-b)FU +
Последние выражения (1.60) представляют интегралы системы. Они получены из выражений (1.31), (1.32) для интеграла Лагранжа, уравнения состояния и формулы (1.10) для скорости звука среды. Первое уравнение (1.60) можно записать в виде системы уравнений для компонент скорости //, v
Эта система носит название - система уравнений коротких волн. Граничные условия для областей коротких волн Граничные условия для областей (II) нелинейных взаимодействий включают условия на фронтах УВ, линиях слабого разрыва, на свободных поверхностях, на границе с волной разрежения, а также условия сращивания решений на границах с областями (I) линейного решения и областями (III) квазиодномерных решений вблизи фронтов.
Регулярная рефракция с возникновением волны разрежения (RR)
Выражения (2.11)-(2.14) представляют общие закономерности и могут быть использованы для анализа процессов рефракции на поверхностях, разделяющих среды типа: ГЖС/ГЖС; газ/ГЖС; газ/газ.
В случае относительно малых углов а 0(г ) в переменных теории коротких волн (1.57) выражения (2.11), (2.13) имеют вид (при с г «1)
При анализе различных режимов рефракции с помощью (2.11)-(2.13) и (2.15), (2.16) определяются конкретные значения = ( А - 1)/є , d, q . Регулярная рефракция с возникновением волны разрежения (RR) При регулярной рефракции (рис. За) характеризуемой падающим фронтом AR интенсивности Р10 с углом наклона а; фронтом преломленной волны AD, характеризуемой интенсивностью q+ (рА = р3) и углом ; волной разрежения В Вк и свободной поверхностью FAK, поток за фронтами AD и AR имеет соответствующие интенсивности
Для анализа основных параметров течения q+ , ш, pj , Рд- , 8 удобно использовать: для случая конечных углов взаимодействия a (a 0(l)) выражения (2.11)-(2.13); для случая малых углов взаимодействия а (сс 0(є1/2)) выражения (2.15), (2.16). Представляют интерес предельные случаи задания параметра су: т.е. значения скоростей звука существенно различны. В этом случае расчет параметров регулярной рефракции проводится согласно (2.11), (2.12), (2.13).
Следует заметить, что в случае рефракции на поверхности газ/ГЖС, как отмечалось в п. 2.1, (например, воздух/водовоздушная смесь, CQ =330м/с, CQ =\450м/с) [63] в широком диапазоне газосодержаний 10- у 10-4, характерная интенсивность преломленной УВ q+ - мала (q+ «1), а значение угла со -конечно (для водовоздушной смеси со = 76 ). Это обстоятельство (q+ «1) побуждает исследователей [47, 82] и др. рассматривать этот случай, как отражение ударной волны от свободной поверхности, пренебрегая возмущениями в верхней области течения. Также, в этом случае только малая часть энергии передается из нижней области в верхнюю область течения. б) су 0(1), относительная разность скоростей звука ((CQ -CQ )/CQ 0(є)), т.е. случай близких значений скоростей звука. Расчет параметров в этом случае проводится согласно формулам (2.15), (2.16). Отметим также, что в этом случае (су (7(П) значение q+ может быть не малым (q+ 0(l)), т.е. интенсивность преломленной волны может быть сравнима с интенсивностью падающей УВ.
Определение области существования решения, когда q+ 0(l) в пространстве параметров подобия (2.14) представляет интерес для дальнейших исследований. В случае относительно малых углов взаимодействия а (а 0(є )) условие (2.12), в переменных теории коротких волн (1.57), согласно (2.6) примет вид 1/2 1/2 Ё? До v3= o v2 , 5 =—v2. (2.17) В этом случае параметр i?=v2/v3 соотносит поперечные к свободной поверхности движения, а угол 5 9(є ) является чрезвычайно малым и в рамках асимптотики коротких волн свободная поверхность не претерпевает излома и задается уравнением 7 = 0.
Заметим, также, что параметры однородного потока за фронтом преломленной ударной волны AD, в рамках теории коротких волн (1.62)-(1.63) Выражение для XA=(av +1)/2 получается из (1.63) для фронта AR при v/v=av, fij =0, \i = q =1.
В случае малых углов выражения (2.19), (2.20) тождественны выражению (2.12). Граница области существования регулярной рефракции с волной разрежения. Как можно заметить из общих выражений (2.19) и др. развитая модель регулярной рефракции существует при ocv 1.0. Граница области существования регулярной рефракции дается выражением которое накладывает условия на параметры a, L0(y ), є10.
Случай нерегулярной рефракции с волной разрежения (NR) При нерегулярной рефракции (рис. Зс) характеризуемой отошедшим фронтом BR интенсивности Р10 с углом наклона а; фронтом Маха АВ, фронтом преломленной волны AD, характеризуемой интенсивностью q+ (р+А =р3) и углом со; волной разрежения B ABK и свободной поверхностью FAK поток за фронтами AD и АВ в т. А имеет соответствующие интенсивности Pi-Po Pi-Po
Здесь удобно ввести безразмерную величину q , характеризующую интенсивность волны Маха в т. А. Давление вдоль фронта Маха падает от Цд=1 до \iA=q . Значения д на фронте волны Маха находится при интегрировании фронта ударной волны АВ (1.62), в котором используется решение в области неоднородного течения B ABN (рис. Зс). Решение уравнений коротких волн (1.61), описывающее неоднородное течение в этой области, удовлетворяющее условиям на звуковых линиях имеет вид [85]
Картины полей давления для различных режимов рефракции УВ
По результатам расчета построена зависимость со (а) (рис. 14) угла преломленной ударной волны от угла падения инициирующей ударной волны на свободную поверхность. Для сравнения приведены результаты расчета этих величин, полученные в работе Abd-El-Fattah (1978) (рис. 14).
Теоретические результаты настоящих исследований, полученные с помощью модели (RR) достаточно хорошо согласуются во всем диапазоне =0,78 30
Сравнение теоретических результатов настоящих исследований с известными экспериментальными данными [1]. изменения углов а при регулярном режиме рефракции. Заметим также, что полученные результаты подтверждают наличие границы В (со = 0), которая возникает в случае газ/газ аналогично случаю газ/ГЖС, как отмечалось раннее в п. 2.1 (рис. 5).
В работах [21, 25] для случая газ/газ, отмечается также существование других режимов рефракции: NR, RV и других, характерных для рефракции при падении ударной волны со стороны более плотной среды, на границах газ/ГЖС, ГЖС/ГЖС, которые описываются также настоящей теорией.
Следует заметить, что существующих экспериментальных результатов по различным режимам рефракции, особенно при падении ударной волны со стороны более плотной среды, сравнительно мало. Основные экспериментальные данные касаются рефракции при падении УВ со стороны менее плотной среды для случаев газ/газ и газ/жидкость. Выводы к главе II.
Дан асимптотический анализ режимов нелинейной рефракции ударной волны. Рассмотрен общий подход к анализу задач регулярной и нерегулярной рефракции, позволяющий определить основные параметры и границы областей существования.
Проведены аналитические исследования с помощью асимптотики коротких волн. Определены основные параметры подобия. Получена зависимость основных параметров характеризующих течение от параметров подобия и, в частности, параметра характеризующего интенсивность преломленной ударной волны. Найдены области существования для различных режимов рефракции с невырожденным фронтом преломленной ударной волны, что расширяет представление о физических особенностях явления.
Сравнение полученных теоретических результатов с результатами известных экспериментальных исследований показало достаточно хорошее их соответствие. Это сравнение подтверждает физическую адекватность развитых моделей.
В целом, приведенные результаты анализа аналитических исследований позволяют считать, что развитые аналитические модели физически адекватно описывают процессы нелинейной рефракции для относительно слабых УВ (1.0 0.7), объясняют закономерности и особенности явления.
Численный метод решения нелинейных краевых задач рефракции ударных волн ЗЛ.Метод последовательных приближений при построении решений нелинейных краевых задач рефракции ударных волн
В главе 1 были поставлены краевые задачи для области II с неизвестным ( фронтом AD, а в нерегулярном случае также с неизвестным фронтом АВ. Дифференциальное уравнение ударного фронта и условие на нем (1.62) входят в постановку задачи в области И. Фронт ищется вместе с решением краевой задачи для функции давления. Задача решается методом последовательных приближений: задается некоторое приближенное положение ударного фронта & = b0(Y); строится начальное поле давлений л = ц0(8,Г), что позволяет вместе с другими условиями сформулировать первую краевую задачу для давления ц. = І(5,У) ; полученная краевая задача (I) решается численно методом конечных разностей с использованием для решения получившейся системы нелинейных алгебраических уравнений метода итераций; решение первой краевой задачи используется для уточнения положения фронта путем численного интегрирования уравнения фронта. Дифференциальное уравнение фронта интегрируется также методом итераций. После нахождения фронта 57 = 87 (У) вычисляется значение на фронте ц7 =[iI(5I(Y),Y) и формируется новая краевая задача (II); решение уточненной краевой задачи также ищется методом конечных разностей. В качестве начального приближения берется решение краевой задачи (I). Следовательно, решение каждой поставленной задачи сводится к последовательному решению серии краевых задач с последующим уточнением фронта ударной волны. Причем для постановки каждой задачи серии необходимо решить предыдущую задачу; если решение последующей краевой задачи серии во всех точках будет отличаться от решения предыдущей задачи на заданное значение, то исходная задача считается решенной с требуемой точностью; каждая задача серии решается итерационным методом секущих, который применяется и для уточнения положения фронта; для решения краевой задачи (I) необходимо задать начальное приближение, т.е. приближенное решение задачи (начальное поле). Оно находится по методу прямых.
