Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Один из старейших разделов механики сплошных сред - волновые и колебательные движения жидкости и газа не теряет своей актуальности со временем, привлекая внимание большого количества отечественных и зарубежных авторов. Во многих природных явлениях наблюдаются процессы, которые описываются волновым уравнением, их исследование необходимо для решения различных задач, например, связанных с прогнозированием природных катастроф. Точное решение волнового уравнения удается получить только в отдельных простейших случаях, поэтому при моделировании волновых полей применяются различные приближенные методы. Метод нормальных волн, дающий достаточно хорошее приближение на больших расстояниях от источника, плохо описывает поле вблизи этих источников, так как не учитывает вклад непрерывного спектра. Методы, обычно используемые для расчета ближнего поля либо весьма приближенные (лучевой, параболическое уравнение), либо весьма трудоемкие, например, различные модификации методов непосредственной численной оценки интегралов, представляющих вклад в поле мод непрерывного спектра. В то же время, в ряде задач, например, при моделировании распространения мощных гидроакустических импульсов, возникающих в результате взрыва, представляет значительный интерес структура волнового поля как на малых и средних, так и на больших расстояниях от источника. В диссертации предложен метод решения волнового уравнения, основанный на конструкции континуального интеграла, позволяющий получить решение как для ближнего и среднего поля, так и на достаточно больших расстояниях от источника.
При моделировании распространения акустических волн немаловажное значение имеет структура дисперсионных кривых, так как наличие экстремумов групповой скорости приводит к появлению волны Эйри, что значительно затрудняет идентификацию источника звука. В диссертации показано, что появление таких экстремумов связано с наличием в среде резких неоднородностей.
Теория возбуждения волн цунами сейсмоакустическими источниками основывается на том, что часть энергии, освобождающейся в очаге землетрясения, преобразуется в энергию упругих волн, распределенную по различным типам мод. В тех случаях, когда некоторые из мод имеют групповые скорости, близкие к скорости длинных поверхностных гравитационных волн (цунами), они могут генерировать эти волны вследствие нелинейной перекачки энергии мод в волну цунами. В диссертации показано, что благодаря наличию отчетливо выраженного волноводного характера распространения волн в системе океан-Земля, в ней имеют место медленные волны. Именно низкоскоростные мо-
«AUK»****»!
1 wm«6t« а
1 дДжа
ды могут быть ответственны за процесс генерации длинных поверхностных волн.
Целью диссертационной работы является разработка методов математического и численного моделирования распространения волн в слоистых средах; применение этих методов для исследование тонкой структуры дисперсионных кривых для звуковых и некоторых типов упругих волн при наличии в среде резких неоднородностей; разработка эффективного алгоритма для численного решения волнового уравнения в слоисто-непрерывных средах.
Научная новизна
В работе установлены общие свойства дисперсионных кривых для звуковых волн,
получены асимптотические формулы, показывающие, что появление экстремумов групповой скорости не является следствием аппроксимации, а определяется свойствами среды, а именно, наличием резких неоднородностей,
проведено исследование дисперсионных кривых для ряда модельных профилей скорости звука, проведены теоретические исследования, подтверждающие результаты численного моделирования;
для сейсмоакустических волн для модели строения земной коры РЕМ-О обнаружены медленные моды, необходимые для механизма генерации волн цунами;
на основе метода континуального интеграла разработан и апробирован эффективный алгоритм решения задачи Коши для волнового уравнения в слоисто-неоднородных средах.
Практическая значимость работы.В диссертации предложены методы математического моделирования распространения волн в слоистых средах, на базе этих методов разработаны и реализованы эффективные алгоритмы.
Программы численного расчета дисперсионных кривых в неподвижной слоистой среде, могут быть использованы при решении широкого класса задач, связанных с распространением волн в различных средах. Полученные в результате численного моделирования результаты, подтвержденные теоретически, а именно, появление особенностей дисперсионных кривых, в значительной мере влияющих на структуру поля, зависящих от наличия в среде резких неоднород-
лл... *i -f
ностей, могут быть использованы в задачах, связанных с обнаружением источника звуковых волн и определения его характеристик.
Существование медленных мод для волн Лява и Рэлея подтверждают выполнение условий необходимых для генерации волн цунами, связанной с трансформацией энергии упругих волн при землетрясении, именно низкоскоростные моды могут быть ответственны за процесс нелинейной генерации длинных поверхностных волн.
Наконец, метод решения волнового уравнения с помощью континуального интеграла позволяет получить эффективный алгоритм, позволяющий рассчитывать волновые поля на различных расстояниях от источника, не прибегая к аппроксимации скорости звука.
Основные положения, выносимые на защиту:
В диссертации рассмотрена тонкая структура дисперсионных кривых:
установлены общие свойства дисперсионных кривых, а именно, значения фазовых и групповых скоростей близки к скорости звука на бесконечности в окрестности критической частоты и приближаются к минимальному значению скорости звука с ростом частоты,
получено неравенство, характеризующее замедление волн в среде;
получены асимптотические формулы для групповой скорости как функции частоты, показывающие существование экстремумов в случае резких изменений градиента скорости звука,
проведено численное исследование дисперсионных кривых для различных гидрологических ситуаций; результаты численного моделирования подтверждают, что при наличии больших вариаций градиента скорости звука возникают характерные особенности в поведении групповой скорости волн, а именно, локальные экстремумы и нули производных, эти особенности отсутствуют при вычислении в приближении ВКБ;
для модели строения Земли РЕМ-0 и двухслойной модели Земля-литосфера для волн Лява и Рэлея проведены численные расчеты по отысканию медленных мод, необходимых для механизма генерации волн цунами:
результаты численного моделирования для волн Лява показали, что минимум групповой скорости близок к теоретически достигаемому и составляет 0,25 от минимальной скорости распространения звука в океане.
для волн Рэлея проведен расчет оценки замедления для различных наборов параметров двухслойной модели океан-литосфера, минимальные значения групповой скорости близки по величине к половине от сю„;
разработан и реализован эффективный алгоритм решения задачи Копій для волнового уравнения в слоисто-непрерывной среде, основанный на конструкции континуального интеграла:
получены формулы для вычисления приближенной функции Грина для гиперболической системы,
рассмотрены особенности применения данного алгоритма для численного моделирования решения задачи Коши, проведено численное моделирование, подтверждающее эффективность метода.
Подготовлен пакет программ для расчета распространения мощных гидроакустических импульсов в слоисто-непрерывной среде.
Апробация работы
Результаты диссертации опубликованы в работах [ 1]-[ 13] и докладывались на Всесоюзном совещании «Теоретические основы, методы и аппаратные средства прогноза цунами» (Обнинск, 1988г), на Всесоюзной конференции «Проблемы комплексной автоматизации гидрофизических исследований» (Севастополь 1989г), международном симпозиуме по проблемам цунами (Новосибирск 1989), международной конференции по нелинейной акустике в Норвегии (1993), международном семинаре «День дифракции» (Санкт-Петербург, 1994г), II Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2004г.), а также на научных семинарах в НГТУ, НИРФИ, ИПФРАН, Институте океанологии РАН.
Личный вклад автора. Все 13 работ по теме диссертации написаны автором, одна из них выполнена без соавторов. Во всех работах, кроме [1], автору принадлежит выполнение аналитических и численных расчетов, а также непосредственное участие в постановке задач, обсуждении и интерпретации полученных результатов. Основные результаты работы [1] получены автором в результате численного моделирования.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 113 страниц, в том числе 27 иллюстраций, библиография 75 наименований.
