Введение к работе
Многие физические процессы, такие как: движение газов, жидкостей, распространение радиоволн могут быть описаны уравнениями в частных' производных. Наряду с этим, реальные инженерные задачи требуют физических расчетов в областях сложной геометрической формы, поэтому при моделировании физических процессов в различных устройствах особое предпочтение отдается численным методам, построенным на неструктурированных сетках. Именно по этой причине такие численные методы для расчета распространения радиоволн и движения токопроводящих, ионизированных сред широко используются при моделировании гиперзвуковых летательных аппаратов и каналов плазменных ускорителей [1-9]. Диссертационная работа посвящена обобщению подходов применяемых для аппроксимирования уравнений Навье-Стокса на уравнения Максвелла, что актуально при решении задач магнитогидродинамики, когда необходимо применять единые аппроксимационные методы.
Набор численных методов для уравнений Максвелла имеет свою специфику, и многие методы, применимые для расчета движения сплошных сред, не применяются для расчета уравнений Максвелла. Более того, многие численные методы для моделирования распространения радиоволн основаны на интегральных уравнениях и позволяют рассчитывать задачи только лишь для отдельной частоты, что не является приемлемым для расчета движения токопроводящих сред в магнитном поле. Именно поэтому возникает необходимость обобщения численных методов, предназначенных для расчета движения жидкостей и газов на задачи о распространении радиоволн. Более того, многие численные методы для моделирования движения радиоволн основаны на полуаналитических соотношениях, не обобщаемых на задачи о движении жидкостей и газов. Одним из важных приложений численных методов к расчету уравнений Максвелла является получение форм электромагнитного поля, оптимально распространяющегося через волноводы определенной формы. Если в 60-х годах двадцатого века для расчета волноводов требовалось использовать полуаналитические численные решения [10], специфичные для каждой из задач, то в настоящее время в связи с прогрессом в численных алгоритмах расчета уравнений в частных производных можно получать численные решения для таких задач на основе более универсальных численных методов. Последние достижения в методах расчетов на нерегулярной сетке позволяют моделировать, в том числе и сложные приборы, такие как антенны сотовых телефонов и оборудование сопряжения с ними [12-17]. К таким примерам относятся работы [10,31,32], в которых приведены полуаналитические решения задач о распространения радиоволн в волноводах. В настоящее время для получения подобных результатов доступны сверхмощные ЭВМ, с использованием которых можно численно найти все собственные значения и вектора аппроксимированных операторов уравнений в частных производных, получая тем самым решения задачи о распространении радиоволн в волноводах и сопряженных
устройствах. В результате подбор волноводов с оптимальными параметрами для проектируемых устройств становится проще и нагляднее.
Примерами таких задач служат резонирующие антенные комплексы, такие как [23 24] для расчета которых часто используются алгоритмы, основанные на вычислении характеристик распределения радиоволн одной характерной частоты [25]. Последние алгоритмы зачастую используют интегральное уравнение, решаемое на поверхности устройства без использования объёмных сеток, в которых для ускорения произведения матрицы аппроксимации интегрального уравнения на вектор используется идея быстрого преобразования Фурье с использованием предобуславливателя на псевдо-Теплицевой матрице [33]. Анализ поведения приборов на основе алгоритмов, рассчитывающих распространение радиоволн для отдельных частот, требует проведения целой серии расчетов для каждой из гармоник. Однако, моделирование распространения радиоволн в нелинейных средах должно учитывать переизлучение энергии на некотором спектре частот, отличном от частот источника излучения, что делает расчёт и анализ таких проблем затруднительным. Использование временной зависимости для расчета компонент электромагнитных полей позволяет моделировать поведение нелинейных сред в широком диапазоне частот и для сигналов различной формы, что открывает возможность моделирования движения токопроводящих сред, модель движения которых описывается системой уравнений Максвелла для переменных, зависящих от времени, совместно с уравнениями Навье-Стокса. Последнее позволяет рассчитывать движение плазмы или электропроводящей жидкости под воздействием электромагнитных полей, что делает возможным моделирование сложных химических реакций, магнетроны, магнитогидродинамические генераторы [37] и прочие современные устройства, используемые для создания наночастиц или пучков плазмы.
Одним из наиболее часто используемых методов решения уравнении в частных производных в инженерных приложениях, в том числе для уравнений Навье-Стокса, является метод контрольных объемов, важным достоинством которого является выполнение как локальных законов сохранения на каждом из расчетных элементов, так и глобальных законов сохранения во всей расчетной области. Выполнение таких законов чрезвычайно важно в задачах гидромеханики. Именно по этой причине, для расчёта мультифизических задач о движении токопроводящих сред в электромагнитном поле и не нарушения общности подхода к аппроксимированию систем уравнений в частных производных важно изучить подходы к аппроксимированию уравнении Максвелла методом контрольных объёмов. Необходимо отметить, что применение метода контрольных объёмов к решению уравнений Максвелла не было в достаточной мере изучено и первые широко известные работы [21,22] по этому методу датируются 1999-2000 годами. Последнее связано в первую очередь с высокой диссипагивностью метода контрольных объемов. Тем не
менее обобщение метода контрольных объёмов на уравнение Максвелла привело к необходимости изучения аппроксимации векторных законов сохранения и соответственно расширению набора аппроксимационных способов для решения мультифизических задач.
Уравнения Максвелла, записанные во временных переменных, подобны по своей структуре уравнениям Навье-Стокса для расчёта движения нестационарных сред [11]. При исследовании проблем связанных с движением жидкости и газа и воздействия их на обтекаемые ими твёрдые тела, рассматривается модель сплошной текучей вязкой среды, которая подчиняется уравнениям Навье-Стокса. Одна из простейших моделей гидродинамики - модель несжимаемой ньютоновской жидкости, которая при отсутствии воздействия внешних сил имеет вид:
p{u, + u-Vu)-nV2u+ Vp=0, Vh=0, где р - давление, р - плотность, ц. - коэффициент вязкости, / - время, и -вектор скоростей.
Уравнения Навье-Стокса характеризуются тем, что содержат как линейные, так и нелинейные дифференциальные операторы, аппроксимационные матрицы которых имеют нетривиальную форму и требуют специальных численных процедур при их реализации в глобальной системе алгебраических уравнений.
Решение уравнений Навье-Стокса методом контрольных объёмов основано на применении скалярных законов сохранения, применяемых при аппроксимации дивергенции. В случае применения уравнений Максвелла дивергентные законы сохранения необходимо обобщить на векторные законы сохранения, используемые для аппроксимации уравнений Максвелла на основе оператора ротора, которые можно записать в виде:
d,E-VxH+oE=-J,
vl8,h+Vxe=o,
где Е - электрическое поле, Н - магнитное поле, а - проводимость среды, Є - электрическая проницаемость среды, ц - магнитная проницаемость среды. / - источниковый член. Дифференциальный оператор УхФ=гоґ(ф) есть ротор вектора Ф. Также обозначив через D=zE вектор электрической индукции, а через В=\кН вектор магнитной индукции приведем закон Гаусса для электрического поля V-Z>=4np -электрический заряд является источником электрической индукции и для магнитного поля V-B=0 - отсутствие магнитных зарядов.
Учёт векторных законов сохранения особо важен при расчете мультифизических задач и позволяет рассматривать подходы к аппроксимированию систем уравнений в частных производных в более общем векторном виде, требующем применения матричных противопоточных схем. Последнее позволяет более абстрактно взглянуть на проблему аппроксимации систем уравнений в частных производных и
расширить аппроксимационый аппарат для метода контрольных объёмов.
Одной из мультифизических задач является моделирование движения токопроводящей жидкости под воздействием магнитного поля_ Моделирование таких процессов важно, например, при расчете М1Д электростанций и тока крови по кровеносным сосудам под воздействием электромагнитного поля. Движение таких жидкостей описываются системой уравнений [38]:
\і.д,Н,+ Ух=0, J=o{E-\ieuX.H), p(dtu+u-Vu)-\i-Au+V p=pJxH,
V«=o,
здесь под Ve будем понимать магнитную проницаемость среды. С целью упрощения уравнений Максвелла, записанных в полной формулировке на практике зачастую используются упрощенные уравнения, описывающие движение токопроводящей жидкости под воздействием стационарного электромагнитного поля:
fAtp=V-(FXB0), E=-Vy.J = a{E-VxB),
V«=o,
здесь J есть вектор плотности электрического тока. В работах [7а,18а] такая система уравнений решалась методом установления, раздельно по каждому физическому процессу, что приводит к неоправданному усложнению алгоритма и к длительным вычислениям. Поэтому, в данной работе'были проведены исследования аппроксимации и решения полных уравнений Максвелла, которые позволили сформировать подходы к решению таких систем в с использованием векторных законов сохранения, одновременно для всех физических процессов.
Именно по этой причине важно иметь надежные численные схемы для моделирования уравнений Максвелла во временном диапазоне на неструктурированной сетке, на которой можно использовать те же самые подходы, что и для уравнений Навье-Стокса. Здесь следует отметить еще раз что аппроксимация уравнений Максвелла методом контрольных объемов на неструктурированной сетке интересна тем, что является обобщением скалярных законов сохранения на векторные. За счет сложной структуры взаимодействия потоков электромагнитного поля на гранях расчетных элементов для уравнений Максвелла векторные законы сохранения записываются в виде матричной противопоточной схемы, основанной на разложении матрицы взаимодействия потоков на гранях расчетных элементов на две Одна из матриц положительно определенна и учитывает влияние
элемента на самого себя, а матрица, учитывающая влияние входящих потоков из соседнего элемента отрицательно определенная. Поскольку уравнения Максвелла являются линейными, то анализ их матриц потоков намного проще, чем анализ нелинейных уравнений, что позволяет сформировать набор подходов к анализу других линейных и нелинейных систем уравнений в частных производных.
Применение метода контрольных объёмов к уравнениям Максвелла уже обсуждалось в работах [21,22,26,27], но ни в одной из них не применялись схемы высокого порядка точности [20,22а], которые широко используются для решения сложных задач в гидродинамике, требующих применения схем высокого порядка точности [39,40]. Несмотря на высокую диссипацию характерную для метода контрольных объёмов, применение схем высокого порядка точности, в том числе и существенно неосциллирующих [201 для решения уравнений Максвелла даёт существенный прирост точности численного решения по отношению к аналитическому [22а]. Использованный в работе уровень абстракции записи уравнений Максвелла позволяет применять схемы различного порядка точности и анализировать устойчивость явных схем, основанных на векторных законах сохранения
Несмотря на то, что аппроксимацию уравнений Навье-Стокса можно проводить только лишь с использованием скалярных законов сохранения их полная аппроксимация требует применения матричного анализа расчётной схемы. Матричный анализ расчетной схемы для уравнений Навье-Стокса проведенный совместно с анализом уравнений Максвелла, позволяет описать основные способы исследования численных схем для уравнений в частных производных на неструктурированных сетках.
Метод контрольных объёмов позволяет использовать сеточные элементы с плоскими гранями для получения приемлемой точности, вплоть до схем третьего порядка точности. Применение же метода конечных элементов и его вариации, таких как метод спектральных элементов или метода на основе разрывного Галеркина [34,35] требует использования больших многоузловых криволинейных элементов, позволяющих описывать геометрию расчётных областей с высоким порядок точности. Последнее делает метод менее простым в использовании и приводит к большему количеству вычислений По этой причине использование метода контрольных объёмов имеет больший смысл для задач до 3-го порядка точности включительно. Для достижения более высокой точности на минимальном числе узлов имеет смысл переходить к использованию спектральных базисных функций в методах на основе разрывного Галеркина [34,35].
Метод контрольных объёмов или интегро-интерполяционный метод в значительной мере связан с методом конечных разностей, и является обобщением полиномиальной интерполяции с одномерного случая являющегося методом конечных разностей, на многомерный случай неструктурированной сетки. При этом для повышения качества расчетов используется интегральное соотношение Гаусса-Остроградского между
уравнениями в частных производных и интегральными соотношениями потоков на гранях элементов. Последнее переносит весь вес интерполяции с центров элементов и численной аппроксимации производных в узловых точках в центрах элементов на интерполяционные соотношения в на гранях элементов. Из факта некорректности аппроксимации производных [28] мы фактически используем интегральные соотношения как одну из форм интерпретации аппроксимации производных численного решения на элементах неструктурированной сетки, накрывающей область решения, ко еет^ой физический смысл, чем обычная аппроксимация Гоизводных. В результате применения соотношения Гаусса-Острограцкого мы можем добиться выполнения законов сохранения, основанных на ^строении "взаимоэквивалентных взаимодействий -«W «* элементами. Более того, при применении метода контрольных объемов основні вычисления ведутся на основе осреднённых значении на элемента;, Z позволяет исключить высокочастотные колебания решения, и как результат стабилизировать аппроксимацию вокруг разрывов решения.
ПоскГь^авнения Максвелла содержат лишь первые производные как по пространству так и по времени, то для их разрешения обычно примеРня^сяТвные схемы, «4-е нуждаются в Д--НОМ исслед— критерия устойчивости. Критерий устойчивости ««J»??^ структурированных сетках с использованием анализа фон Неймана [т зХУможет быть получен аналитически в термин- геометрически^ параметров элементов и в об«ы« как ^Lt-CV'*>^ Z^ZtZTuZ^Jo^y^Z^ на неструктурированной с!їе для векторных законов сохранения, в общем случае приводит к нГобхоГмостГчисленных вычислений С . Тем не менее, для уравнении
Максве'лла, уже были получены неплохие ^^T^ZIZLb времени для явных схем [21,22] для которых С = 1 и 2 соответственна В настоящей работе проведен численный анализ критерия устойчивости, гибьш представлен в работе [22а]. В результате был получен ^чшенный критерий устойчивости для которого ^Cj3s=.мости от геометрии расчетных элементов. Более того, для СТРУ^Р^В/ состоящей из кубических элементов численный результат ( С-Ъ ) полностью совпал с результатами применения критерия фон Неймана.
С целью проверки эффективности новой оценки шага по времени и схем выс^оГпорядка'точности был реализован численный алгоритм, = уравнений Максвелла на неструктурированной сетке как с обычными по лошающими граничными условиями, так и с ^^^mJ^ZZ в качестве граничных условий. Алгоритм имел точность аппроксимации вшїть до четвертого порядка точности по времени и пятого по пространству Тем не менее, использование порядка точности выше третьего имеет смысл только- лишь при применении спектральных базисных функций в численных схемах на основе методов конечных элементов.
Интегральные граничные условия использовались для учета взаимодействий, как между отдельными подобластями содержащими конструктивные элементы приборов, так и для возвращения энергии отраженных радиоволн в расчетную область. Несмотря на то что для интегральных уравнений не использовались алгоритмы, ускоряющие счет в работе приводится информация об основных способах ускорения расчета интегральных уравнений, записанных на двумерных плоскостях на примере алгоритма восстановления резкости цифровых фотографий.
Полученные численные алгоритмы расчета уравнений Навье-Стокса и
уравнении Максвелла были применены к стандартному набору задач
гидромеханики и электротехники. Численные результаты
продемонстрировали высокую эффективность примененных численных схем
Целью данной работы является исследование обобщения метода
контрольных объёмов, со скалярных законов сохранения на векторные
примененные к уравнениям Навье-Стокса и Максвелла, аппроксимированные
на неструктурированной сетке. А так же гибридизация с другими
численными методами. мруїими
Для достижения постепенной цели быпм г.,ЦЄнь, cn^w.,,,». ,?гг-
-
Обобщен метод контрольного объёма высокого порядка точности на векторные законы сохранения, записанные на основе уравнений Максвелла. г
-
С использованием уравнений Максвелла улучшен критерий устойчивости для явных схем на основе метода контрольного объёма записанного для векторных законов сохранения, на неструктурированной сетке.
-
Получено обобщение принципа максимума для схем высокого порядка точности со скалярных законов сохранения на векторные Принцип максимума позволяет использовать критерий устойчивости полученный для схем первого порядка точности, при исследовании на устойчивость схем высокого порядка точности.
-
На основе уравнений Максвелла, для векторных законов сохранения предложен способ гибридизации метода контрольных объёмов с интегральными уравнениями на основе возвращения потоков электромагнитного излучения в расчетную область.
-
Предложен эффективный способ оценки обратного интегрального уравнения с быстро убывающим ядром.
