Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Физические и математические основы теории фильтрации в кусочно-однородных средах 16
1.1. Основные законы тепломассопереноса в пористой среде
1.2. Математические модели процессов тепломассопереноса в пористых средах, в том числе слоистых
ГЛАВА 2. Разработка метода решения задач фильтрации для слоистых сред, сводящихся к задачам математической физики с разрывными коэффициентами 41
2.1. Метод осреднения по отдельной граничной подобласти 43
2.2. Метод осреднения по отдельной внутренней подобласти 72
2.3. Определение полиномиальньрс интерполирующих в среднем сплайнов и исследование их свойств
2.4. Определение рациональных интерполирующих в среднем сплайнов и их исследование 104
2.5. Использование интерполирующих в среднем сплайнов для понижения размерности дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами lid
2.6. Применение ИПС для осреднения дифференциальных уравнений в неограниченной цилиндрической области 130
ГЛАВА 3. Решение задач фильтрации при осреднении по несоприкашзщимся подобластям 136
3.1. Аналитические и численные решения задач о температурных полях в однослойном пласте без учета горизонтальной теплопроводности 13о
3.2. Температурные поля однослойного пласта с горизонтальной теплопроводностью 169
3.3. Вычисление температурных и концентрационных полей в многослойных пластах 193
3.4. Моделирование процесса образования композитного полимерного материала 206
3.5. Вычисление притока жидкости к щелям дрены 219
3.6. Гидродинамическая задача о движении свободной поверхности в почве при работе дренажной системы 233
ГЛАВА 4. Решение задач фильтрации для раздоящих слоев 252
4.1. Задача о миграции подземных вод (вытеснение смешивающихся жидкостей) для двухслойного пласта 254
4.2. Решение двумерных и трехмерных задач миграции подземных вод с произвольным числом пропластков 263
4.3. Решение задач о температурных полях в многослойных пластах 281
4.4. Исследование процесса неизотермического вытеснения нефти водой из слоистых пластов 290
4.5. Принципы создания программного обеспечения вычислительного эксперимента в задачах неизотермической двухфазной многокомпонентной фильтрации 310
Заключение 322
Список литературы 326
Приложение 352
- Математические модели процессов тепломассопереноса в пористых средах, в том числе слоистых
- Определение полиномиальньрс интерполирующих в среднем сплайнов и исследование их свойств
- Вычисление температурных и концентрационных полей в многослойных пластах
- Решение двумерных и трехмерных задач миграции подземных вод с произвольным числом пропластков
Введение к работе
Актуальность проблемы. Теория фильтрации (динамика грунтовых вод и подземная гидромеханика) охватывает широкий круг актуальных проблем, среди них:
а) проблемы энергетики - добыча нефти из пластов с при
менением новых методов, использование геотермальной энергии;
б) охрану окружающей среды - рациональное использование
водных ресурсов, изучение миграции подземных вод и фильтрации
загрязненных (засоленных) вод;
в) продовольственную программу - задачи мелиорации и оро
шения, что включает проблемы производства и применения новых
полимерных материалов для нужд дренажных (оросительных систем).
Все указанные проблемы характеризуются слоистым строением среды, в которой происходят изучаемые процессы ^это продуктив-ные пропластки и перемычки нефтяного пласта, водоносные пласты и разделяющие их слои, дрена и накрывающий ее защитно-фильтрационный материал и т.д.) и наличием малых параметров в уравнениях математической модели (отношение мощности отдельных про-пластков к их протяженности, отношение коэффициентов фильтрации разделяющих и основных слоев, почвы и защитного фильтра, отношение толщины фильтра к характерным размерам области и т.д.). Подобные особенности (слоистость строения среда и малые параметры) характерны также для других разделов науки и техники, напр., для технологии вакуумных покрытий и микроэлектроники. Здесь перечислены те разделы теории фильтрации и других областей знаний, задачи из которых были успешно решены предложенным в диссертации методом.
Математическое описание указанных и подобных, им задач приводит к уравнениям математической физики с разрывными коэффициентами. Для решения таких уравнений созданы эффективные общие методы, напр., метод конечных разностей. Они позволяют решать весьма широкие классы задач с переменными, в том числе разрывными коэффициентами. Однако наличие разрывов, особенно сильных, создает для этих общих методов дополнительные трудности. Поэтому актуальной является задача разработки специального метода, приспособленного к существованию линий (поверхностей) разрыва коэффициентов. Тогда задачи с сильно разрывными коэффициентами будут решаться таким специальным методом существенно эффективнее, чем общими методами.
Цель работы. Предложение единого подхода для эффективного решения широкого класса задач фильтрации в многослойных и однослойных пластах на основе разработки специального метода. Класс решаемых задач должен включать в себя, в частности, t двухмерные и трехмерные нестационарные и стационарные задачи тепло- и массопереноса в многопластовых системах как при наличии разделяющих слоев (перемычек), так и при непосредственном соприкосновении продуктивных пропластков.
Методы исследования. Для решения рассматриваемых в диссертации классов задач разработан математический аппарат, основанный на аналитических и численных методах с последующим использованием ЭВМ. Даются необходимые обоснования применяемых методов. Проводится термогидромеханический анализ полученных решений и делаются выводы практического характера.
Научная новизна. В диссертации предложены новые постановки для широкого класса задач теории фильтрации и получено эффективное решение их на основе разработки нового специального
метода решения задач тепло- и массопереноса в многослойных и однослойных пластах. Эти новые постановки получены из общих моделей теории фильтрации при помощи разработанного в диссертации нового специального метода консервативного осреднения. Он сводит соответствующую задачу математической физики дивергентного типа с разрывными коэффициентами к задаче с непрерывными коэффициентами. Для этого введен новый тип сплайнов - интегральный параболический и интегральный рациональный сплайн, исследованы их основные конструктивные свойства и предложено применение этих сплайнов для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы тепло- и массопереноса в многослойных пластах: дан метод консервативной сплайн-аппроксимации, отличный от известного метода сплайн-коллокации. В результате предложен единый аналитико-численный подход для решения задач различных разделов теории фильтрации. Он позволяет более экономично решать многие известные задачи теории фильтрации, а также дать эффективное решение до сих пор не решенных задач, в том числе нестационарных задач трехмерной фильтрации для многопластовых систем при непосредственном соприкосновении продуктивных про-пластков. Разработанный в диссертации метод представляет интерес и за рамками теории фильтрации.
Таким образом, в диссертации развито новое перспективное научное направление в теории фильтрации, заключающееся в разработке нового метода решения задач фильтрации в многослойных и однослойных пластах и в эффективном решении на его основе широкого класса задач такого типа.
Практическая значимость. Разработанный в диссертации метод позволил решить многие новые практически важные задачи те-
ории фильтрации. Среди них задачи нахождения концентрационных и температурных полей при прогнозировании загрязнения подземных вод и формирования температурных полей нефтяных пластов, задачи моделирования работы мелиоративных дренажных систем и их элементов. Единым подходом охвачены двумерные и трехмерные задачи тепло- и массопереноса в многослойных пластах как при наличии перемычек (разделяющих слоев), так и при непосредственном соприкосновении продуктивных (.основных) пластов. Метод нашел также применение в других разделах науки и техники: были решены задачи микроэлектроники и вакуумной технологии. Решены конкретные важные задачи с внедрением результатов расчетов, что подтверждено соответствующими документами.
Предложенный в диссертации метод решения задач с разрывными коэффициентами может найти дальнейшие приложения при проектировании разработки нефтяных месторождений, при проектировании подземных котлов для извлечения геотермальной энергии, при охране водных ресурсов, при проектировании мелиоративных систем, в технологии вакуумных покрытий, микроэлектронике и теории упругости.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах А.А.Самарского в МГУ, Н.Н.Яненко в ВЦ СО АН GCCP, С.А.Христиановича и А.Х.Мирзад-жанзаде в ин-те проблем механики АН CGCP; на объединенном городском и региональном семинарах по подземной гидромеханике при Казанском ГУ; на семинарах Научного Совета электродинамики и механики сплошных сред АН Латв.ССР; на итоговых научных конференциях Казанского, Киевского и Латвийского госуниверситетов, семинарах МИФИ, Карлова і г.Прага,ЧССР), Рос-
токского (ГДР) университетов; на Всесоюзной конференции-семинаре по термическим методам увеличения нефтеотдачи и геотер-мологии нефтяных месторождений (г.Москва-1965); на 1-ом (г.Москва-1965) и 2-ом (г.Баку-19б9) Всесоюзных семинарах по применению новых математических методов и вычислительных машин в теории и практике добычи нефти; на семинаре по тепловым методам разработки нефтяных месторождений и обработки призабойных зон пласта (г.Москва-1969); на 1-ом (г.Новоси-бирск-1971), 4-ом (г.Баку-1978), 5-ом ^г.Ташкент-1980), 6-ом (г.Фрунзе-1982) Всесоюзных семинарах по численным методам решения задач фильтрации многофазных несжимаемых жидкостей; на 4-ом (г.Рига-1972) Всесоюзном семинаре по численным методам вязкой жидкости; на 1-ой (г.Казань-1974), 2-ой (г.Каэано-1976), 3-ей (г.Минск-1978), на 7-ой (г.Рига-1982), на д-ой (г.Львов-1983), на 9-ой (г.Минск-1984) и на 10-ой (г.Рига-ІУ8а) Всесоюзных школах по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики и математической физики; на 4-ой международной конференции по основным проблемам численного анализа (г.Плзень,ЧССР-1978); на 30-ом (1979), 32-ом (1981) и 36-ом (все г.Фрейберг,ГДР-1985) Международных горно-металлургических конгрессах; на Всесоюзных семинарах по современным проблемам теории фильтрации (г.Москва-1979) и по современным проблемам и математическим методам теории фильтрации (г.Москва-1984); на Всесоюзном семинаре по методам эффективного извлечения нефти и газа (г.Новосибирск-1981); на 5-ом (г.Алма-Ата -1931) и 6-ом (г.Ташкент-1986) Всесоюзном съездах по теоретической и прикладной механике; на Международном математическом конгрессе (г.Варшава-1983); на Международной школе-семинаре по математическим моделям, аналитическим и численным методам
9 в теории переноса (г.Минск-1986), на лекциях в Международном математическом центре им.Стефана Банаха (.г.Варшава-1987).
Основные положения, выносимые на защиту.
Новые постановки для широкого класса задач теории фильтрации на основе разработки нового специального метода решения задач математической физики с разрывными коэффициентами, описывающих процессы тепло- и массопереноса в многослойных и однослойных пластах.
Решение сложных многомерных (в том числе трехмерных) задач фильтрации в слоистых средах с термогидромеханическим анализом полученных результатов и выводами практического характера, что включает эффективное решение новых и более экономичное решение уже решенных ранее задач.
Решение разработанным в диссертации методом ряда конкретных практически важных задач подземной гидромеханики, динамики подземных вод, мелиорации, вакуумной технологии, микроэлектроники с внедрением результатов расчетов.
Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Часть результатов для конкретных задач получена в соавторстве. В соответствующих местах текста сделаны оговорки с выделением личного вклада диссертанта.
Публикации. По теме диссертации опубликовано всего 69 работ, среди них: /Ь/-/8/Jto/-/S3/JAbS/-/Z46/.
Обзор литературы. Здесь кратко анализируются лишь работы, относящиеся непосредственно к основной идее диссертации. Анализ литературы по более конкретным вопросам дается в соответствующем месте работы. Обзор истории развития теории фильтрации достаточно подробно представлен в /4$9/'.
В 1947 г. была опубликована работа А.А.Самарского //?//, посвященная одной конкретной задаче теплопроводности. Она оказалась очень существенной в нескольких отношениях. В ней, во-первых, был введен термин "сосредоточенная теплоемкость", который после атого широко распространился в специальной литературе, особенно в некоторых разделах теории теплопроводности и фильтрации. В //^^/,во-вторых, была дана формулировка задачи математической физики для одномерного уравнения теплопроводности, когда краевое условие содержит старшую производную основного уравнения по времени, т.е. была дана задача математической физики с "неклассическим" краевым условием. (В математических работах исследование такой задачи на полупрямой было проведено в /&/
Вывод краевых условий типа сосредоточенной емкости приведен в монографиях J/99'/',/ЛО<э/ и др. Идея использования краевого условия типа сосредоточенной теплоемкости до сих пор применяется в большом количестве работ. Отметим здесь некоторые характерные публикации последних лет: //
/Z9/jMo/JbOo/jZ/?/,/ЛЛГ/, где используются более сложные формы условия сосредоточенной емкости, будет дан В самом тексте диссертации, после изложения нашего подхода и сравнен с ним.
В прикладной области - в подземной гидромеханике при исследовании температурных полей нефтяных пластов идея использования краевого условия сосредоточенной емкости сразу нашла применение для нестационарных пространственно двумерных задач. Начиная с 50-х годов, было предложено множество конкретных постановок такого типа, отличающихся друг от друга иногда в деталях, иногда более существенно: в зависимости от конкретных особенностей процесса при написании математической модели на основе физических соображений принимались дополнительные предположения. Из обширной литературы по этой проблематике отметим обзор в //f? / и одну из последних монографий //ff /', в которой содержится достаточно полная библиография и которая дает представление о применяемых аналитических методах (это в основном методы интегральных преобразований). Необходимость учета дополнительных физических факторов сразу сильно усложняет аналитический вид получаемых замкнутых решений, поэтому становится очевидной целесообразность применения для их решения численных методов, в основном метода конечных разностей. При этом при численном решении необходимо учесть влияние по крайней мере двух малых параметров в исходной постановке: наличие источников малых геометрических размеров ;. скважин) в плоскости фильтрации и отношение толщины (мощности) пластов к их протяженности.
Вопросы учета особенностей решения типа малых по размерам источников, точек смены типа краевого условия при использовании метода конечных разностей нашли обоснование в цикле работ
В.Б.Андреева и его учеников. Нами некоторые результаты работ /УҐ/,// /,/V / были использованы в гл.З. при решении задач мелиорации.
Учет второго малого параметра (когда отсутствует практическая возможность при расчетах выбрать несколько точек по мощности пропластков) возможен по крайней мере двумя путями: I) учесть на уровне разностной схемы, что она будет иметь лишь один сеточный узел по мощности пласта (этот подход отражен, напр., в /93 / ,/94 / ,/&А*Г/)\ Z) видоизменить саму исходную постановку с учетом малости параметра. Второй подход был осуществлен нами.
Задача нахождения температурного поля в нефтяном (водоносном) пласте обладает дополнительной трудностью сопряжения температурного поля пласта с полем в окружающих породах: из-за этого появляется дополнительная координата по отношению к полю течения в самом пласте. Эту трудность обходят либо путем введения некоторого фиктивного коэффициента теплообмена: //Х<Р/, ///Л / ,//f &/ ,/Л-Г// и др., либо специальным преобразованием координат для внешних пород, превращающее их в конечную область /X^J/, либо путем вычисления потока на границе пласт-порода из приближенных аналитических выражений температурного поля окружающих пород /J9 /'. Нами эта трудность преодолевается естественным образом в рамках разработанного метода консервативной сплайн-аппроксимации и излагается в 4.3.
Еще более сложную задачу представляет собой исследование течений в многослойных пластах. Здесь имеются два существенно отличных с точки зрения математического описания случая: не соприкасаются или соприкасаются между собой продуктивные пласты. В первом случае преобразование постановки или преобразование на уровне разностной схемы проводится для каждого пропласт-
ка независимо от остальных, как для однослойного пласта. При этом в большом количестве работ для разделяющих слоев (перемычек) используется простейшая аппроксимация. Это схемы Мяти-ева-Гиринского /PS/'J/j*f'/ или Хантуша /АХ>//: см.,напр.,
/3?/J ?4/*///*>/J//? /J/4P/J/M /J/&/J/'*/J/*f/,
//ЗГ/,/MZ/,/Ao/JAf/ и др.
Гораздо более сложной становится ситуация, если пропласт-ки непосредственно соприкасаются. Здесь вопрос о преобразовании исходной постановки остался совершенно не разработанным. Нам после разработки консервативного метода сплайн-аппроксимации стала известна работа /Л^-г/'» где для одной конкретной задачи фильтрации воды в многослойном пласте при наличии свободной поверхности была использована аппроксимация полиномом <і-ой степени по мощности отдельного пропластка. Однако автор ее не использовал понятие сплайна и не смог выписать в явном виде преобразованную систему уравнений. Все это привело к тому,что алгоритм решения стал очень громоздким и этот подход остался незамеченным. Т.о., для задач о фильтрационных течениях в многослойных соприкасающихся пластах не существовало разумного подхода для упрощения исходной задачи, слишком сложной для практического решения в двумерном и трехмерном случае. Б задачах гидрогеологии (динамики подземных вод) в этом случае по необходимости поступают так: вводят среднюю по мощности всего многослойного пласта величину (напор, концентрацию) - см.//-^/ //j/,//^9 /,/-^^7 и др. Слабость такого подхода особенно хорошо видна, когда решаются задачи, в которых в направлении простирания слоев присутствуют другие факторы, напр., конвекция, имеющие различные величины для различных слоев. По расчету температурных полей при неизотермической фильтрации в конце 1985 г. появилась монография /^У, в которой авторы для
частной задачи плоскорадиальной фильтрации в многослойном пласте пытаются проводить некое осреднение полиномами 2-ой степени по мощностям отдельных пропластков, упоминают сплайн без его определения, делают дополнительные предположения: поток тепла направлен снизу вверх (на самом деле он должен определяться из решения, а не задаваться) и в итоге приходят к системе неверных уравнений. Напр..температура выбранного пропластка зависит лишь от температуры одного из соседних пропластков.
Нами был внимательно проведен анализ математических преобразований, сделанных другими авторами при получении условий типа сосредоточенной емкости (см. параграф 2.1.). Оказалось, что нет необходимости проводить предельный переход с стремлением к нулю соответствующей геометрической величины (напр..мощности пласта): этот предельный переход эквивалентен аппроксимации константой решения в соответствующем геометрическом направлении, причем это приближенное решение с аппроксимацией константой стремится к решению исходной задачи, если соответствующий коэффициент (напр., теплопроводности) стремится к бесконечности. Такая интерпретация позволила дать обобщение идеи сосредоточенной емкости в нескольких направлениях: I) как некоторое математическое преобразование для уравнения в частных производных с разрывными коэффициентами дивергентного типа достаточно общего вида, не привлекая при преобразовании его соображений физического характера частного вида (это преобразование было нами названо осреднением, так как вместо исходной искомой величины вводится интегральная средняя по одному направлению величина); 2) путем использования вместо простейшей аппроксимации константой аппроксимацию полиномом 1-ой и 2-ой степени, определяя имеющиеся свободные параметры так, чтобы удовлетворить в интегральном смысле исходному уравнению и условиям сопряжения (т.е. выполнить соответствующий закон сохранения
и условия перетоков); 3) аппроксимацией полиномом 2-ой степени для каждого из нескольких соприкасающихся слоев (т.е. применить ее для слоистой системы). Заканчивая обсуждение условий сосредоточенной емкости, отметим еще следующее. Во-первых,нам неизвестна ни одна работа,в которой была бы предпринята попытка получения условий типа сосредоточенной емкости или их обобщения для уравнений достаточно общего вида. Во-вторых, нам неизвестны работы,в которые имелись бы неклассические краевые условия,которые не могли быть получены как частные случаи разработанного нами в гл.2, подхода.
Обобщение метода для случая 3) привело к необходимости ввести новый тип сплайнов. Оказывается,что в обширной литературе по сплайнам (из нее укажем монографии //О/,/Pft\/?f/',//<л/,/S/J/', /&Of/JZ// с дальнейшей библиографией), хотя рассмотрены интерполирующие в среднем сплайны с гладким сопряжением на концах подсегмента (/<Р//'J/oZ/,//Of/ J/4f/,/Л>6//) и обычные сплайны с негладким сопряжением,напр. ,///J/,//-^/, нет интерполирующих в среднем сплайнов с условиями сопряжения потоков. Тем более нет применения их к численному решению дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. Конечно, рассмотрено применение сплайн-коллокации для решения таких уравнений,напр. J//&/,///&/» //S/*//&/' с кусочно постоянными коэффициентами, но при этом они записываются в недивергентном виде и точка разрыва "зажимается" двумя точками коллокации. Однако, давно показано //Ф/, что недивергентная форма уравнений может привести к получению неконсервативных разностных схем. Наша идея о введении интегральной средней по мощности слоя величины и соответствующего сплайна, включающего в своем опредении учет разрыва коэффициента в дивергентном члене, позволила предложить новый метод консервативной сплайн-аппроксимации, соответствующий интегро-
интерполяционному методу в теории разностных схем (напр. ,//<ҐХ/,
Мы не будем касаться в этом обзоре литературы теоретических вопросов разрешимости задач математической физики с разрывными коэффициентами, изложенных в общем случае в /fff/ ,/jSP/ ,/^^4/, ///^/»//^/ и ДР» и применительно к задачам фильтрации в / /?/, Дл/,//Й&/,/^5^/,//^/7,как лежащих в стороне от основной цели работы. Наконец, мы не будем анализировать многочисленные интересные публикации, посвященные разработке специальных разностных схем для решения задач математической физики, в том числе с разрывными коэффициентами: //^/, ДГ/,/^/,/^/,/^i/,//%"/,
/а?/-/а?/,/ш/jar/,//4//\//г//' ,/лпг/1//3/ J/fr/ J&r/,
//9//J/Zl/ ,№/-/лаґ/ ,/<</Л/Т/,/A,j/'. Среди этих работ представлены схемы повышенной точности, расщепления по физическим процессам и переменным, с коррекцией потоков, с учетом ориентационных эффектов и локализации разрывов и т.д. Наш развиваемый здесь подход отличается от этих работ тем, что за основу мы берем схемы простейшего типа, описанные в многих монографиях: в /?*/,//№/,//&*/ J/ЄК/, //Р/ /' J/&P/',/&2?/',/Л34/ и др. Точность расчета обеспечивается нами на уровне дифференциальной постановки путем изменения самой постановки.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения с выводами и списка литературы из 265 названий. В приложении представлены справки от различных учреждений, в которых внедрены метод и результаты диссертационного исследования. В соответствующих местах текста дается более подробная характеристика внедренных результатов. Каждая глава диссертации заканчивается формулировкой основных ее результатов. Изложение материала следует методологии вычислительного экспе-
римента. В соответствии с этой методологией в главе I формулируются основные физические и математические законы процессов тепломассопереноса в пористых средах, особо выделяя моменты, связанные с слоистостью среды и идентичностью в математическом смысле некоторых различных по физическому содержанию процессов. Глава 2 посвящена разработке метода решения линейных дифференциальных уравнений дивергентного типа общего вида с разрывными коэффициентами, описывающих процессы фильтрации в пластовых системах. В главах 3 и 4 при помощи разработанного метода решаются новые важные классы задач фильтрации. В приложении, кроме того кратко показывается приложение метода для одной задачи вакуумной технологии, имеющей важные приложения.
Диссертация выполнена на 373 стр., из них 292 стр. основного текста. Она содержит 30 рисунков и 15 таблиц.
Формулы в тексте имеют двойную нумерацию: первая цифра указывает номер параграфа из данной главы, второй - порядковый номер ее. При ссылке на формулу из другой главы перед указанными двумя цифрами добавляется еще номер соответствующей главы. Номера теорем, следствий к ним и замечаний также имеют двойную нумерацию. Конец доказательства теоремы указывается знаком . Дополнительные соображения, прерывающие основную мысль, некоторые уточнения или обобщения оформлены в виде замечаний. Конец следствий и замечаний указан знаком * .
Математические модели процессов тепломассопереноса в пористых средах, в том числе слоистых
Вопросы учета особенностей решения типа малых по размерам источников, точек смены типа краевого условия при использовании метода конечных разностей нашли обоснование в цикле работ В.Б.Андреева и его учеников. Нами некоторые результаты работ /УҐ/,// /,/V / были использованы в гл.З. при решении задач мелиорации.
Учет второго малого параметра (когда отсутствует практическая возможность при расчетах выбрать несколько точек по мощности пропластков) возможен по крайней мере двумя путями: I) учесть на уровне разностной схемы, что она будет иметь лишь один сеточный узел по мощности пласта (этот подход отражен, напр., в /93 / ,/94 / ,/&А Г/)\ Z) видоизменить саму исходную постановку с учетом малости параметра. Второй подход был осуществлен нами.
Задача нахождения температурного поля в нефтяном (водоносном) пласте обладает дополнительной трудностью сопряжения температурного поля пласта с полем в окружающих породах: из-за этого появляется дополнительная координата по отношению к полю течения в самом пласте. Эту трудность обходят либо путем введения некоторого фиктивного коэффициента теплообмена: //Х Р/, ///Л / ,//f &/ ,/Л-Г// и др., либо специальным преобразованием координат для внешних пород, превращающее их в конечную область /X J/, либо путем вычисления потока на границе пласт-порода из приближенных аналитических выражений температурного поля окружающих пород /J9 / . Нами эта трудность преодолевается естественным образом в рамках разработанного метода консервативной сплайн-аппроксимации и излагается в 4.3.
Еще более сложную задачу представляет собой исследование течений в многослойных пластах. Здесь имеются два существенно отличных с точки зрения математического описания случая: не соприкасаются или соприкасаются между собой продуктивные пласты. В первом случае преобразование постановки или преобразование на уровне разностной схемы проводится для каждого пропластка независимо от остальных, как для однослойного пласта. При этом в большом количестве работ для разделяющих слоев (перемычек) используется простейшая аппроксимация. Это схемы Мяти-ева Гораздо более сложной становится ситуация, если пропласт-ки непосредственно соприкасаются. Здесь вопрос о преобразовании исходной постановки остался совершенно не разработанным. Нам после разработки консервативного метода сплайн-аппроксимации стала известна работа /Л -г/ » где для одной конкретной задачи фильтрации воды в многослойном пласте при наличии свободной поверхности была использована аппроксимация полиномом і-ой степени по мощности отдельного пропластка. Однако автор ее не использовал понятие сплайна и не смог выписать в явном виде преобразованную систему уравнений. Все это привело к тому,что алгоритм решения стал очень громоздким и этот подход остался незамеченным. Т.о., для задач о фильтрационных течениях в многослойных соприкасающихся пластах не существовало разумного подхода для упрощения исходной задачи, слишком сложной для практического решения в двумерном и трехмерном случае. Б задачах гидрогеологии (динамики подземных вод) в этом случае по необходимости поступают так: вводят среднюю по мощности всего многослойного пласта величину (напор, концентрацию) - см.//- / //j/,// 9 /,/- 7 и др. Слабость такого подхода особенно хорошо видна, когда решаются задачи, в которых в направлении простирания слоев присутствуют другие факторы, напр., конвекция, имеющие различные величины для различных слоев. По расчету температурных полей при неизотермической фильтрации в конце 1985 г. появилась монография / У, в которой авторы для частной задачи плоскорадиальной фильтрации в многослойном пласте пытаются проводить некое осреднение полиномами 2-ой степени по мощностям отдельных пропластков, упоминают сплайн без его определения, делают дополнительные предположения: поток тепла направлен снизу вверх (на самом деле он должен определяться из решения, а не задаваться) и в итоге приходят к системе неверных уравнений. Напр..температура выбранного пропластка зависит лишь от температуры одного из соседних пропластков.
Определение полиномиальньрс интерполирующих в среднем сплайнов и исследование их свойств
В этой главе изложен материал, относящийся к разработке метода, применяемого в последующих главах работы. Рассматриваются классы задач математической физики, безотносительно к их физическому содержанию. Их особенность: коэффициенты дифференциальных уравнений терпят разрывы 1-го рода на одной или нескольких линиях (поверхностях). Из этого широкого класса задач выделяется более узкий, характеризующийся тем, что линии разрыва коэффициентов параллельны между собой (совпадают с координатными поверхностями). Будет осуществлено видоизменение исходной постановки задачи, т.е. сделан переход к другой постановке до применения численного или аналитического метода решения ее. Этот переход основан на определенном осреднении в направлении нормали к поверхностям разрыва. Предлагаемый метод имеет две существенно различные реализации в зависимости от того, проводится ли осреднение по взаимно не соприкасающимся или соприкасающимся в направлении осреднения подобластям.
В первом случае после выбранного осреднения приходим к задаче для части основных дифференциальных уравнений, которые фигурировали в исходной постановке, причем теперь задача рассматривается в меньшей области (.содержащей лишь некоторые из подобластей исходной области). При этом на внешних ;или внутренних; границах новой области появляются граничные условия условия сопряжения) более общего типа, названные нами неклассическими дополнительными условиями.
Во втором случае - при осреднении по соприкасающимся подобластям - вводятся сплайны, интерполирующие интегральные средние осредняемых функций и удовлетворяющие аналогам условий сопряжения на поверхностях разрыва. С помощью этих сплайнов исходная задача из JR сводится к системе дифференциальных уравнений из iR . Исследование основных свойств этих сплайнов выделено в виде двух отдельных параграфов. В первом из них рассматривается полиномиальный интерполирующий в среднем сплайн, в следующем дается его обобщение в виде рационального сплайна, зависящего от дополнительных параметров, большие значения которых формируют пограничные слои в окрестности узлов сплайна.
Глава завершается двумя параграфами, в которых выводятся системы осредненных дифференциальных уравнений. Отметим, что некоторые из них являются системами с нелокальными краевыми условиями.
Эта глава по стилю изложения довольно существенно отличается от других глав диссертации тем, что в ней формулируются и доказываются результаты в общем виде, без конкретизации и иллюстраций. Иллюстрацией ее следует считать остальные, следующие за ней главы диссертации.
В этом параграфе разрабатывается метод осреднения для случая, когда соответствующая подобласть является граничной: на части границы ее задано краевое условие одного из трех основных типов для исходной задачи и это краевое условие необходимо использовать при проведении осреднения.
Для задач математической физики в неоднородных средах наиболее характерным случаем является, повидимому, среды с кусочно-постоянными (кусочно-непрерывными) характеристиками. Достаточно часто при этом встречаются ситуации, когда: I) сильно различаются величины коэффициентов, характеризующие свойства среды в соседних подобластях или(и) 2) геометрический размер одной подобласти в нормальном к поверхности разрыва коэффициентов направлении мал по сравнению с соответствующим размером соседней подобласти. В такой ситуации невыгодно непосредственное применение традиционных численных алгоритмов (предполагается, что решить аналитическими методами исходную задачу не удается): оно приводит либо к существенной потере точности расчета, либо к сильному увеличению объема расчетов. Оказывается целесообразным сперва видоизменить постановку задачи, проводя специальным образом выбранное осреднение по тонкой (или с большим коэффициентом) подобласти. Предлагаемое видоизменение постановки ориентировано на дифференциальные уравнения 2-го порядка (относительно той переменной, по которой проводится осреднение), независимо от их типа.
Вычисление температурных и концентрационных полей в многослойных пластах
Естественно, что (1.45) вытекает из 2-го уравнения постановки (1.32), если в качестве оператора /__, взять 77г и учесть, что в наших обозначениях - = , де. =. k , ? - V5 Мы дали здесь независимый вывод уравнения (1.45) для того, чтобы яснее показать отличие в методике вывода и различие в получающихся в итоге "нестандартных" краевых условиях. Предложенный в /Хоо/ предельный переход J- о -- о при дополнительном требо-вании - - Q ц уравнении (І.4І) имеет то преимущество, что в результате, без каких-либо дополнительных предположений, сразу получается требуемое краевое условие. По нашей методике приходим лишь к промежуточному уравнению (1.43), содержащему три искомые функции: u(OtyJ, U(-JyJ, Uo( /) С Другой стороны,требование t - О (означающее предположение — «х? ) эквивалентно принятым нами равенствам для с/(р, J) , uC-J // и t/o ( // Далее, предложенный в /ЯОр/ предельный переход о —» о ( —» о ) имеет и некоторые отрицательные стороны. Во-первых, с точки зрения постановки прикладной задачи он является дополнительной идеализацией: величина ? (также как - -j o ) может быть малой, но она является фиксированной. Во-вторых, при этом предельном переходе исчезает последнее слагаемое в равенстве(I.41), дающее учет расположенных в слое Уе е О/источников. Следует подчеркнуть, что предельный переход - о молчаливо подразумевает, что мощность источников не зависит от коэффициента Z (коэффициента теплопроводности или диффузии). Если же такая зависимость имеет место (а известно достаточно много задач, когда это имеет место), то в правую часть (1.42) необходимо будет добавить соответствующую предельную величину. Отметим, наконец, что наличие в уравнении (1.43) при развиваемой здесь методике двух "свободных" функций - U.(-d,y)y[ u0(yj -дает и дополнительную свободу действий: напр., вместо аппроксимации w(/,yJ при " е С" jO] константой (предполагающее по существу требование к -» " -" ) можно взять аппроксимацию более высокого порядка (полиномом 1-ой и 2-ой степени). Кроме того, соотношения (1.43) (и полученное из него уравнение (1.45) или его обобщения при более точной аппроксимации) удовлетворяет закону сохранения по отношению к исходному уравнению (1.38).
Нами уже было отмечено в обзоре литературы, что во всех публикациях, в которых тем или иным способом вводились дополнительные условия (т.е. краевые условия или условия сопряжения), авторы ограничились частными задачами для конкретных уравнений в частных производных (главным образом для уравнения теплопроводности). В подавляющем числе работ видоизменение применялось лишь при однородном краевом условии 2-го рода и использовалась простейшая аппроксимация константой(по нашей терминологии). Аппроксимация параболой использовалась в работе //4о/ для изучения температурного поля и в /Л/J/ при изучении тенения с начальным градиентом.
Осреднение для переменных коэффициентов. Ослабим сделанные при выводе постановок с осреднением предположения о независимости коэффициентов к и к и коэффициентов в линейных дифференциальных операторах L и L от переменной JC . Очевидно, что без каких-либо изменений для процесса осреднения по подобласти Q„ можно допустить зависимость коэффициента к и коэффициентов в операторе L. от X, .С другой стороны, требуется конкретизировать вид оператора /, для исследования влияния осреднения на изменения формы его. Допустим, что он имеет вид: где коэффициенты 4 су, Рэс и С зависят как от X , так и от У Уг-,- J /K- Ы буДем пользоваться ниже известной из анализа 1-ой теоремой о среднем значении в следующей форме /////: если на сегменте Со, &J функция /(ху является непрерывной, а Ф(-Х-) - интегрируемой и неотрицательной (неположительной), то существует X? о, я-? , что о где иа , Qty - средние по Х - О/величины, согласно (1.5), от функций U0(X,, j) v, A j$,у/ . Для правомерности проведенных преобразований необходимо, чтобы для любого фиксированного у к эффицкенты All , "fy /dy/ были неотрицательными (неположи-тельными), //и:- интегрируемой и, кроме того, для выполнения приближенного равенства U0(X,yJ и Ц Сх, у/не должны сильно отличаться от Lf0 (c/J. Требование UeCs ./jeUVI/SZ со (у/ Будет выполняться, если для каждого фиксированного у имеет место условия 0 Осреднение слагаемых В т—-, » проводимое таким же как выше образом, приводит к требованиям, чтобы для любого фиксиро ванного у $с , — г были неотрицательными (неположительными), yV - интегрируемыми по X функциями. Наконец, осред нение последнего слагаемого С (J0 приводит к условиям неполо жительности (неотрицательности) и интегрируемости по х коэффи циента при любом фиксированном у . Таким образом, в осредненных уравнениях вместо оператора /, , определяемого вы ражением (1.46), появляется оператор L „ такого же вида, лшгь на место Фигурирующих в (1.46) коэффициентов должны ставиться вычисленные по (1.5) средние их значения: ЗАМЕЧАНИЕ 1.5. Может иметь место ситуация, когда об решении исходной, непосредненной задачи априори известно (напр., на основе принципа максимума), "то для каждого Фиксированного / функция U0(J(, с/J не меняет знака на сегменте С сГ, О /(т.е. является либо неотрицательной либо неположительной функцией). Тогда при использовании теоремы о среднем можно выносить за знак интеграла коэффициенты Aiy(x fJ w. Y УУ у.- и надо предположить, что
Решение двумерных и трехмерных задач миграции подземных вод с произвольным числом пропластков
Рассмотренная в предыдущих двух параграфах техника перехода от исходной задачи с кусочно-постоянными (непрерывными) коэффициентами должна быть существенно изменена, если необходимо проводить осреднение по непосредственно соприкасающимся подобластям (слоям). Для этих целей весьма удобными оказываются сплайны, которые интерполируют интегральные величины искомой функции по подынтервалу (тем самым осредненная величина удовлетворяет исходному закону сохранения, напр., массы, энергии и т.п.) и на границах подинтервалов удовлетворяют таким же условиям сопряжения как исходные дифференциальные уравнения на линиях (поверхностях) разрыва коэффициентов. В обзоре литературы указывалось, что имеются публикации, в которых рассмотрены VBV интерполирующие в среднем сплайны (использованные как для сглаживания недостоверенно измеренных экспериментальных данных, так и для численного решения дифференциальных уравнений), так и сплайны с условиями сопряжения в узловых точках. Но нам не известны работы, в которых был бы рассмотрен класс интерполирующих в среднем сплайнов, удовлетворяющих условиям сопряжения в узловых точках. В этом и следующем параграфе собран материал, в котором вводятся несколько форм таких сплайнов и исследуются как вопросы существования этих сплайнов, так и их эффективного вычисления. С точки зрения приложений важным является то, что для этих сплайнов вместо вычисления векторов их коэффициентов удается ввести матрицу вспомогательных коэффициентов, которая не зависит от значений интерполируемой функции. Эта матрица позволяет выписать в явном виде систему дифференциальных уравнений в /К с непрерывными коэффициентами, которая получается после осреднения исходного дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами из/ .
Найти определенную на конечном сегменте Ct,b] кусочно-гладкую функцию U (X) , производная которой терпит разрывы 1-го рода в /V различии внутренних точках X jt -СЛ/ сегмента Со, (,J , если известны интегральные средние величины ее w/ по всем подинтервалам гладкости функции U QC) Фигурирующие в (3.2),(3.3) заданные положительные "исла к/ считаются отнесенными к соответствующему подинтервалу: при У-Є С \ X С+І ] имеем k ) - kt , т.е. можем считать, что наряду с функцией U (XJ задана положительная кусочно-постоянная функция к. ( j , которая терпит разрывы 1-го рода в тех же точках Ус- с = /, л/ Условия (3.3) на концах сегмента Со, h 1 являются условиями, типичными для краевых задач: при Vi - о получаем краевые условия 1-го рода, при l/g 1 и А і - о - 2-го рода, при Vi - { и Ас - 3-го рода. В последующих пунктах будут введено несколько форм сплайнов, при помощи которых решается задача (3.1)-(3.3) нахождения (вычисления) функции U { .) . 2.3.2. Определение интегрального параболического сплайна. Начнем с рассмотрения полиномиального сплайна степени 2 в следующей форме: Неизвестные коэффициенты сплайна и, , /пс , с найдем из условий (3.1 -(3.3) задачи интерполяции. Для определения этих 5 f/V+ fj коэффициентов сплайна Sz, W имеем/W/ условие (3.1), -2 А/ условий (3.2) и 2 условия (3.3), т.е. число неизвестных коэффициентов в точности соответствует числу условий. Напомним, г то при обычном определении параболического сплайна (см.,напр. /JOF/) наряду с точками ЛС - узлами интерполяции вводятся точки У і - узлы сплайна (в частности, по (3.5s ), в которых 2-ая производная сплайна, вообше говоря, терпит разрыв 1-го рода. В нашем же случае введение JC-C- обусловлено лишь желанием записать сплайн в симметрической относительно концов подсегмента СУ-с, У/ 7 Форме. В точках Хс 2-ая производная сплайна остается непрерывной, более того, точки X, никак не входят в дальнейшие Формулы для вычисления коэффициентов сплайна (3.4). Ниже будет дана другая Форма сплайна, в которой вообте -не Фигурируют точки Ус. . Так как введенный нами сплайн (3.4) интерполирует интегральные средние величины Функции UОС) , мы по аналогии с обычным названием "параболический сплайн"
