Введение к работе
Диссертация посвящена анализу длинноволновых возмущений трёхмерных стационарных сдвиговых течений газа в тонком слое между твёрдыми стенками, пространственных сдвиговых течений баротроп-ной жидкости со свободной границей и одномерных движений квазинейтральной разреженной плазмы.
Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава посвящена исследованию трёхмерных стационарных течений газа. Во второй главе изучены простые волны на пространственных течениях баротропной жидкости. В третьей главе исследованы характеристические свойства математической модели квазинейтральной бесстолкнови-тельной плазмы. В заключении приведены результаты диссертационной работы.
Актуальность Изучение и моделирование движений сплошной среды связаны с важными практическими задачами, возникающими в области геофизики, метеорологии, при решении проблем, связанных с транспортировкой нефти и природного газа в трубопроводах, строительстве судов и плавающих платформ, и др.
Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов связано с тем, что длинные волны в вязкой жидкости затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, получение результатов в точной теории затруднительно, что связано со сложностью и нелинейностью рассматриваемых систем дифференциальных уравнений. В случае использования приближения длинных волн заметно упрощаются математические постановки задач, что позволяет продвинуться в изучении нелинейных волновых процессов аналитическими методами.
Классические бессдвиговые
Для описания течения газа в канале (трубе) произвольного сечения часто используются уравнения каналового приближения. При выводе этих уравнений предполагается, что продольная компонента вектора скорости, плотность и энтропия зависят только от времени и продольной координаты. В приложениях проявляется интерес к течениям, образующимся при совместном течении в канале двух или нескольких потоков с разными физическими свойствами газа и различными параметрами торможения. Такие течения могут возникать, например, при истечении газов через сопла Лаваля, в эжекторах (струйных насосах), на выходе реактивных двигателей.
подели описывают средние по глубине
параметры среды и, следовате.1 ьМЭДОДфШОДМШДОс гда течение мало
кИЬЛИОТЕКА СІ
отличаются от однородного потока. Реальные течения являются сдвиговыми, что обусловлено вязкими эффектами. Поэтому при моделировании возникает необходимость обращаться к моделям, учитывающим неоднородность потока по вертикали.
Исследования нелинейных нестационарных течений бесстолкнови-тельной плазмы играют важную роль при решении практических вопросов, связанных с динамикой плазмы (таких, например, как теория обтекания Земли, планет и других естественных или искусственных тел космической плазмой).
В отсутствие магнитного поля система из бесстолкновительного кинетического уравнения для ионов и уравнения Пуассона для электромагнитного поля содержит лишь один параметр размерности длины — дебаевский радиус Ro, который определяет с точностью до численного коэффициента максимальный масштаб разделения зарядов в плазме — при больших смещениях электронов движение частиц под действием электрического поля быстро приводит к восстановлению нейтральности. При рассмотрении таких движений, характерные размеры которых много больше дебаевского радиуса, мы приходим к квазинейтральным моделям теории плазмы, которые играют роль длинноволновых приближений механики жидкости и газа.
Цели работы Целями настоящей работы являются:
изучить характеристические свойства длинноволновой модели стационарных пространственных сдвиговых течений идеального газа между твёрдыми стенками; построить решение задачи о малых возмущениях однородного сдвигового потока в слое постоянной глубины;
исследовать простые волны на стационарных трёхмерных сдвиговых течениях баротропной жидкости со свободной поверхностью; построить примеры точных решений в классе простых волн;
изучить характеристические свойства интегродифференциальной системы уравнений модели квазинейтральных течений бесстолк-новительной плазмы: вычислить характеристики и найти условие обобщённой гиперболичности уравнений движения; решить задачу о распространении малых возмущений по однородной среде.
Методы исследования Исследуемые модели длинноволнового приближения представимы в виде
AVX + ВЦ. = G, (1)
!...„:: - л *
где А,В — операторы, действующие на бесконечномерном банаховом пространстве вектор-функций переменной А (переменные х,у входят как параметры). К указанному виду приводятся интегродифференци-альные уравнения вихревой мелкой воды, плоско-параллельных сдвиговых течений газа в каналах и со свободной границей, течений в эластичных трубках и движений пузырьковых жидкостей.
Новый подход к изучению интегродифференциальных систем уравнений длинных волн был предложен В. М. Тешуковым (1985), где были обобщены понятия характеристик, гиперболичности и инвариантов Римана. Качественным Отличием систем (1) от классических квазилинейных систем дифференциальных уравнений является наличие непрерывного спектра характеристических скоростей. Характеристикам дискретного спектра в моделях движения жидкости со свободной границей отвечают поверхностные волны, а характеристикам непрерывного спектра — внутренние.
Научная новизна В диссертационной работе исследуются пространственные течения сжимаемых сред. Отличие рассматриваемых в работе математических моделей от классических связано с необходимостью изучения нестандартных систем интегродифференциальных уравнений, общие методы исследования которых развиты недостаточно полно.
Все результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами точных решений, наглядным графическим материалом.
Теоретическая и практическая ценность работы Результаты выполненных в диссертации исследований вносят важный вклад в теорию длинноволновых возмущений в сжимаемых средах, в развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений. Они могут использоваться при анализе распространения поверхностных и внутренних волн в трёхмерном слое баротропной жидкости и идеального газа, одномерных течений квазинейтральной бесстолк-новительной плазмы.
Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывалась на семинаре Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Механика неоднородных сред» под руководством В. Ю. Ляпидевского и В. М. Тешукова, на семинаре лаборатории дифференциальных уравнений ИГиЛ, а также на научных конференциях по механике:
1. IV Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред». Новосибирск, 2000.
XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2001.
Молодёжная школа-конференция «Лобачевские чтения». Казань, 2001.
III Международная конференция «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск, 2002.
IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информатике. Красноярск, 2003.
Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение». Новосибирск, 2004.
IV Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 2004.
XX Всероссийская школа-семинар САМГОП-2004. Абрау-Дюрсо, 2004."
Публикации Основные положения диссертации опубликованы в 4 научных статьях {1-4J.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста (включая 14 рисунков). Перечень литературы содержит 45 наименований.
Похожие диссертации на Стационарные длинные волны в сжимаемых средах
