Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Симметрии и фундаментальные решения дифференциальных уравнений 18
1.1. Нахождение симметрии линейных дифференциальных уравнений с 5-функцией в правой части 18
L2. Алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений 23
1.3. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа 24
1.4. Примеры 30
1.5. Основные результаты главы 46
ГЛАВА 2 Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу 47
2.1. Постановка задачи 47
2.2. Построение линейных дифференциальных соотношений с помощью групп непрерывных преобразований 49
2.3. Нахождение всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка 60
2.4. Сравнение результатов полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом 87
2.5. Линейные дифференциальные соотношения между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу 88
2.6. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя 91
2.7. Гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу 99
2.8. Приложение к одномерной газовой динамике 106
2.9. Основные результаты главы 112
ГЛАВА 3 Эволюция периодических возмущений в абсолютно неустойчивых средах 113
3.1. Основные уравнения 113
3.2. Соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений в плоскости годографа 118
3.3. Условие периодичности по пространственной переменной 121
3.4. Симметрии основных уравнений 123
3.5. Инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу 136
3.6. Точные периодические по пространственной переменной решения 142
3.6.1. Случай А = -1/2 142
3.6.2. Случай А = 1/2 152
3.7. Основные результаты главы 162
ГЛАВА 4. Одномерные периодические движения газа 164
4.1. Основные уравнения 164
4.2. Соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа 169
4.3. Симметрии основных уравнений 172
4.4. Инвариантные решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу 175
4.5. Точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики 179
4.5.1. Случай 7 = 3 179
4.5.2. Случай 7 = 5/3 190
4.5.3. Случай 7 = 7/5 198
4.6. Основные результаты главы 221
Заключение 225
Литература 227
- Алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений
- Сравнение результатов полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом
- Приложение к одномерной газовой динамике
- Условие периодичности по пространственной переменной
Введение к работе
Одномерные движения идеального газа в случае баротропных процессов (давление завит во всем потоке только от плотности) являются одним из наиболее исследованных разделов механики жидкости и газа. Основополагающие результаты были получены в классической работе Б. Римана [105]. Им, в частности, была показана линеаризуем ость системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа и изучены некоторые свойства гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, к которому сводится система уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Усилиями многих поколений математиков и механиков исследования в этом направлении были продолжены и были получены важные результаты. Эти результаты отражены в монографиях [83,88,98,106,116,125].
Во второй половине 20-го столетия были начаты исследования по изучению движений так называемых квазигазовых (или абсолютно неустойчивых сред). По-видимому, первой работой в этом направлении была работа Book D.L., Ott Е., Salton A.L. [140]. В этой работе была рассмотрена задача об эволюции периодических волн на поверхности опрокинутой мелкой воды, проведены численные расчеты. Далее, в работах Трубникова Б.А. и Жданова В.К. была введена в рассмотрения система уравнений, описывающая движения квазигазовых сред [61,161]. Ими было показано, что к исследованию этой системы уравнений могут быть сведены, при рассмотрении слабонелинейных длинноволновых приближений, многие задачи механики и физики. Ими были описаны более 50 таких сред. Ими также было показано, что система уравнений квазигазовых сред линеаризуема и ее решение сводится решению эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Решение рассмотренных выше систем уравнений сводится к решению уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые было изучено Эйлером [148] и позднее исследовано Пуас-
соном [159], Риманом [105] и Дарбу [145] (см. историю вопроса в [88, с. 532], [121, с. 527]).
В настоящей работе проведено исследование системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. Газоподобными средами называются среды, движение которых описывается следующей системой
уравнений
ди ди , , дрг/х
— + и— = ±\ ——,
оъ ох ах /-о -і \
| + = , дел/да.
Система уравнений (В.1) в частных случаях содержит в себе как систему уравнений одномерной газовой динамики, так и систему уравнений квазигазовых сред.
Таким образом, изучение газоподобных сред актуально. Изучение системы уравнений газоподобных сред (В.1) позволило получить новые результаты как для системы уравнений одномерной газовой динамики, так и для системы уравнений квазигазовых сред.
Целью работы является систематическое изучение свойств и построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. В частности, целью работы является решение следующих проблем:
Создание метода нахождения симметрии линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ^-функцией в правой части.
Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах. При этом в начальный момент времени решения должны сколько угодно мало отличаться друг от друга и иметь разные финальные стадии их конечного во времени существования.
Нахождение общих решений системы уравнений одномерной газовой
динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов. Построение точных периодических по пространственной переменной решений для этих случаев.
Научная новизна состоит в следующем:
Впервые единым образом рассмотрено и проведено систематическое изучение свойств как системы уравнений одномерной газовой динамики, так и системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах.
Предложен новый метод нахождения симметрии линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ^-функцией в правой части. Сформулирован алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.
Впервые дано описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.
Впервые приведены примеры точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, со сколь угодно мало отличающимися начальными данными, но имеющими разные финальные стадии их конечного во времени существования. Тем самым впервые показана неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.
Впервые получены и изучены точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы носят общий характер и могут быть использованы во многих областях механики и физики. В частности, значимость работы состоит в следующем:
Предложенный алгоритм нахождения фундаментальных решений на
основе использования симметрии может быть использован для построения инвариантных фундаментальных решений других уравнений механики.
Метод, предложенный для нахождения линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу может быть применен для построения соотношений между решениями других классов уравнений.
Полученные точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики могут быть использованы при проведении тестовых расчетов для проверки численных алгоритмов.
Результаты работы продолжают развиваться в трудах российских и зарубежных ученых, о чем свидетельствуют ссылки на труды автора. Результаты диссертации входят в спецкурс "Групповой анализ дифференциальных уравнений (с приложениями в механике сплошной среды)", более десяти лет подряд читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ.
Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений и методы асимптотического анализа.
Ключевую роль в настоящей работе играют методы группового анализа дифференциальных уравнений. Групповой анализ дифференциальных уравнений (это название, отражающее суть метода, было введено Л.В. Овсянниковым) берет свое начало в работах выдающего норвежского математика Софуса Ли (1842-1899). К сожалению, работы Софуса Ли не переведены на русский язык, но его творчество отражено в монографиях, изданных на русском языке [75-79,103].
Широкое применение находит изучение отдельных классов частных решений: стационарных, бегущих волн, автомодельных решений. Известно, что все они являются частным случаем более общего класса инвари-
антных решений, которые отыскиваются средствами группового анализа дифференциальных уравнений [94]. Значение таких решений не исчерпывается тем, что они дают описание процессов в некоторых частных случаях или являются тестами для отладки вычислительных алгоритмов. Важно подчеркнуть, что часто эти решения описывают асимптотики (промежуточные асимптотики) процессов для достаточно общих начальных условий [35,47]. В ряде случаев такие решения оказываются устойчивыми не только к возмущениям начальных данных, но и к возмущениям коэффициентов уравнений [48].
Важной составной частью исследования уравнений, описывающих тот или иной процесс, является изучение групповых свойств этих уравнений: отыскание группы непрерывных преобразований Ли [94] или более общих преобразований Ли-Беклунда [67], относительно которых уравнения инвариантны. Отыскание группы непрерывных преобразований выполняется с помощью алгоритмов группового анализа [94] и сводится к решению переопределенной системы линейных уравнений (определяющих уравнений), интегрирование которых во многих случаях, важных для практики, удается довести до конца. Поскольку преобразование, допускаемое уравнением, переводит всякое его решение снова в решение, то знание группы непрерывных преобразование позволяет из известных частных решений получать многопараметрические (или даже зависящие от произвольных функций - в случае бесконечной группы) семейства решений. Кроме того, это облегчает построение так называемых инвариантных решений, которые под действием некоторой подгруппы допускаемой группы преобразований переходят в себя: их отыскание сводится к решению уравнения меньшей размерности, чем исходное. Как отмечалось выше, к классу инвариантных решений относятся многие широко используемые решения. Так, например, бегущие волны инвариантны относительно преобразований переноса, автомодельные решения - относительно растяжений.
Групповые свойства уравнений используются также при изучении вопроса о существовании преобразования, связывающего различные уравнения, в частности преобразования, переводящего данное уравнение в линейное.
Групповой анализ непрестанно развивается. Он находит свое применение при исследовании не только дифференциальных уравнений, но и уравнений других типов. В частности, методы группового анализа были применены и развиты при исследовании разностных уравнений [60], псевдодифференциальных уравнений (одна из работ автора [25] была посвящена построению фундаментальных решений псевдодифференциального уравнения Шредингера релятивистски свободной частицы).
Прошло более сорока лет с момента выхода известной книги Л.В. Овсянникова "Групповые свойства дифференциальных уравнений" [92]. С тех пор были вычислены допустимые группы, найдены инвариантные и частично инвариантные решения для различных уравнений математической физики, обнаружены новые применения групповых методов [32,67,94,99,136,141,144,151-153]. Достигнутые успехи привели к необходимости более глубокого изучения теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений. В связи с этим Л.В. Овсянниковым выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ [95,97]. Одной из целей данной программы является построение существенно различных редуцированных систем для математических моделей механики сплошной среды. Эта проблема фактически сводится к сложной алгебраической задаче нахождения оптимальной системы подгрупп основной группы [96], допускаемой основной моделью.
Важно подчеркнуть, что знание методов группового анализа является элементом современной математической культуры исследователя. Эти знания могут найти подчас совершенно неожиданные применения. Покажем это на примере изучения фазовой структуры линейных волн, распространяющихся в однородной среде с дисперсией (это наблюдение
принадлежит автору).
Распространение линейных волн в однородной среде с дисперсией определяется дисперсионным соотношением
ш = W(k) , (В.2)
где к - волновой вектор, и - частота. Отметим, что по дисперсионному соотношению (В.2) может быть восстановлено линейное уравнение с частными производными, описывающее распространение таких волн.
Фазовую структуру волн вдали' от локализованного источника возмущений можно описать, вводя функцию фазы $(x,t) [87,117]. Тогда локальный волновой вектор k(x,t) и локальная частота u)(x,t) определяются через фазу 0 следующим образом:
k = V9, <* = -—. (В.З)
Считается, что величины кию по-прежнему удовлетворяют дисперсионному соотношению (В.2).
Вдали от локализованного около начала координат источника возмущений выполнено условие [118]
9 — кх — cot.
Откуда, используя выражения (В.З), получаем соотношение
80
xV9 -И — = 0. (В.4)
Соотношение (В.4) означает (на языке группового анализа) инвариантность в (x,t) пространстве семейства, поверхностей постоянной фазы в(х,Ь) = const относительно однопараметрической группы однородных растяжений.
Предложение В.1. Поверхности постоянной фазы 9(x,i] = const образуют в (x,i) пространстве инвариантное относительно однородных растяжений семейство поверхностей.
Предложение В.2. Для стационарных источников возмущений (и> = 0) поверхности постоянной фазы в(х) = const геометрически подобны в (х) пространстве.
Подобие фазовых картин наблюдалось в экспериментах [26-30] по изучению фазовой структуры волн в стратифицированных жидкостях. Типичная фазовая картина внутренних волн изображена на рис. В.1.
Рис. В.1. Фотография типичной фазовой картины внутренних волн, полученной при горизонтальном движении цилиндра в безграничной экспоненциально стратифицированной жидкости (использовался теневой прибор ИАБ-451) [26]
Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частных случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей. Громоздкие математические выкладки проверялись также с помощью системы компьютерной алгебры Maple 9.
Основные положения, выносимые на защиту на защиту:
Метод нахождения симметрии линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ^-функцией в правой части и алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.
Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.
Точные периодические решения системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, показывающие неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.
Точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.
Апробация работы. Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:
IX Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". 24-30 июня 1992 г. Нижний Новгород, Россия.
Совместные заседания семинара им. И.Г Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (16 сессия, 18-21 января 1994 г.; 19 сессия, 20-24 января 1998 г.). Москва, Россия.
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 95-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 25-29 апреля 1996 г. Москва, Россия.
Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и применения". 3-5 декабря 1996 г. Санкт-Петербург, Россия.
International Conference "Modern Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis". June 30-July 5, 1997. Nordfjordeid, Norway.
VIII International Conference on "Symmetry Methods in Physics", is dedicated to the 80th anniversary of Professor Smorodinsky's (1917-1992) birth. July 28-August 2, 1997. Dubna, Russia.
Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". 12-14 ноября 1997 г. Москва, Россия.
Юбилейная научная конференция "Современные проблемы механики", посвященная 40-летию Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова. 22-26 ноября 1999 г. Москва, Россия.
Научная сессия МИФИ-2000. 17-21 января 2000 г. Москва, Россия.
The Third International Conference "Differential Equations and Applications". June 12-17, 2000. Saint Petersburg, Russia.
Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900— 1980). 26 июня-1 июля 2000 г. Новосибирск, Россия.
"Modern Group Analysis for the New Millennium (MOGRAN-2000)". September 27-October 3, 2000. Ufa, Russia.
Международный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 90-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. 22-23 января 2001 г. Москва, Россия.
International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G. Petrovskii. May 22-27, 2001. Moscow, Russia.
16 th International Symposium on Nonlinear Acoustics "Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century (ISNA-16)". August 19-23, 2002. Moscow, Russia.
V International Congress on Mathematical Modelling. September 30-October 6, 2002. Dubna, Russia.
Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 85-летию академика Л.В. Овсянникова. 10-14 мая 2004 г. Новосибирск, Россия.
t Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 16-22 мая 2004 г. Москва. Россия.
Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель 2001, 2002, 2004 г.г. Москва, Россия.
Семинары механико-математического факультета МГУ, Института механики МГУ, Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Московского физико-технического института (г. Долгопрудный).
Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано около сорока работ. Основные результаты диссертации изложены в 29 публикациях, включая одну монографию; шесть из них опубликованы в соавторстве. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Основных публикации по теме диссертации составляют работы [1-24,26-30].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 242 стр., включая 27 стр. с рисунками и 16 стр. списка литературы, В работе 168 рисунков и 165 библиографических ссылок.
Изложим краткое содержание работы.
В главе 1 решена задача нахождения симметрии линейных неоднородных дифференциальных уравнений с 5-функцией в правой части. Приведен алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений. Получены симметрии и построены инвариантные фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа. Рассмотрены неоднородные с ^-функцией в правой части классические уравнения математической физики: одномерное уравнение теплопроводности, двумерное бигармоническое уравнение, двумерное волновое уравнение и трехмерное уравнение Лапласа. Найдены их симметрии и с их помощью построены новые параметрические семейства фундаментальных решений рассмотренных уравнений. Результаты, изложенные в главе 1, опубликованы в работах [1—6].
В главе 2 решена задача о нахождении всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса урав-
нений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Дана теоретико-групповая интерпретация полученных соотношений. Получены линейные дифференциальные соотношения между операторами Зйлера-ПуассОЕіа-Дарбу. При этом были рассмотрены как эллиптическое, так и гиперболическое уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. С помощью найденных соотношений были получены общие решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в специальных случаях применительно к построению решений системы уравнений одномерной газовой динамики. Предложенный подход был применен к нахождению всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя. Результаты, изложенные в главе 2, опубликованы в работах [15-18,21].
В главе 3 приведена постановка задачи, получены соотношения между решениями эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений квазигазовых сред в плоскости годографа. Получено условие периодичности по пространственной переменной решений системы уравнений квазигазовых сред. Найдены симметрии основных уравнений и построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Построены и исследованы точные периодические решения для случаев А = і 1/2 . Показана неустойчивость периодических решений относительно возмущений начальных данных. Результаты, изложенные в главе 3, опубликованы в работах [7-9,12-14,19,20,22].
В главе 4 приведена постановка задачи, получены соотношения между решениями гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Найдены симметрии основных уравнений и построены инвариантные фундаментальные решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Построены и исследованы точные периодические решения для случаев j =
3; 5/3; 7/5. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы от амплитуды начальной волны. Результаты, изложенные в главе 4, опубликованы в работах [10,11,23,24].
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений
Сформулируем алгоритм нахождения фундаментальных решений на основе использования симметрии: 1. Нахождение общего вида оператора симметрии линейного дифференциального уравнения (1.1.1) и соответствующей ему функции А(ж), удовлетворяющей тождеству (1.1.6). 2. Получение на основе ограничений (1.1.7), (1.1.8) алгебры Ли операторов симметрии уравнения (1.1.2) . 3. Построение инвариантных фундаментальных решений с помощью симметрии уравнения (1.1.2). 4. Получение новых фундаментальных решений из известных с помощью симметрии уравнения (1.1.2) (производство решений). Замечание 1.2.1. Отметим, что при нахождении обобщенных инвариантных фундаментальных решений, необходимо решать редуцированные уравнения (эти уравнения записываются в инвариантах соответствующих групп преобразований) в классе обобщенных функций [37,70]. Замечание 1.2.2. В заключение отметим, что построение фундаментальных решений с помощью симметрии линейных уравнений с S-функцией в правой части особенно эффективно для многомерных линейных уравнений (даже с постоянными коэффициентами) и для уравнений с переменными коэффициентами, когда традиционный метод интегральных преобразований неприменим, м Рассмотрим многомерное обобщенное осесимметрическое уравнение Лапласа Замечание 1.3.1. При значениях г/, являющихся натуральными числами, функция и = u(xQ,x1i... txn) является решением уравнения (1.3.1) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет многомерному уравнению Лапласа в евклидовом пространстве Еп+и+1, ш Решение v№ уравнения (1.3.1), соответствующее параметру и, связано с решением u 2 v соотношением [146] Поэтому, чтобы не рассматривать многомерное уравнение Лапласа, симметрии которого исследованы [66], считаем, что v{2 — v) ф 0. Оператор симметрии уравнения (1.3.1) ищем в виде (см. также (1.1.3)) где х = (xQ, ж1,..., хп). Применяя стандартный алгоритм нахождения симметрии [94], допускаемых дифференциальными уравнениями, получаем следующее утверждение. Функция \{х) (см. предложение 1.1.1), соответствующая общему виду оператора симметрии (1.3.2), имеет вид Тогда, используя теорему 1.1.1, получаем предложение. Предложение 1.3.2. Уравнение А—1 допускает при v{2 и) ф О оператор симметрии с координатами Замечание 1.3.2. Фундаментальные решения уравнения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа удовлетворяют уравнению где о = (яд, arj,..., жд); ж0 (г = 0,..., п) - произвольные постоянные. Решение U = U(X;XQ) уравнения (1.3.5) может быть выражено через решение и = У{х) уравнения (1.3.3) Операторы симметрии (1.3.4) допускают геометрическую интерпретацию. Рассмотрим проекцию базисных операторов симметрии уравнения (1.3.1) на пространство независимых переменных. Из (1.3.4) находим базисные операторы
В евклидовом пространстве En+2 координаты точек сферы радиуса R с центром в начале координат удовлетворяют уравнению Рассмотрим стереографическую проекцию сферы из центра проекции в точке Р(0,..., О, R) на гиперплоскость, задаваемую уравнением sn+l = —R. Выразим связь между координатами точек S($,..., sn+l) сферы и координатами соответствующих точек S (х,..., хп, — R) гиперплоскости следующим образом Операторы (1.3.8) задают в евклидовом пространстве Еп+2 вращения сферы радиуса R = 1/2 вокруг оси s (см. случаи п = 1и7г = 3в [68], [107]). Найдем решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа (1.3.1), инвариантные относительно оператора симметрии (1.3.4). Предложение 1.3.3. Оператор симметрии (1.3.4), имеет лишь два функционально независимых инварианта Инвариантное относительно оператора симметрии (1,3.4) решение уравнения (1.3.1) ищем в виде Тогда из уравнения (1.3.1) получаем, что неизвестная функция /() удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Общее решение уравнения Лежандра имеет вид где Р_"72 () Q-Jj2 () присоединенные функции Лежандра первого и второго рода [115, с. 154]; Сі, Сг - произвольные постоянные. В результате получаем предложение Предложение 1.3.4. Инвариантные относительно оператора симметрии с координатами (1.3.4) решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа (1.3.1) имеют вид где С\, Сі произвольные постоянные. Найдем среди инвариантных решений (1.3.10) решения, удовлетворяющие уравнению (1.3.3). Для этого исследуем поведение решений (1.3.10) п при (ж — 1)2+ )2 - 0- ВВД асимптотики зависит от значения пара-метра п (п И). Случай п = 1 рассмотрен в главе 3, раздел 3.5. Поэтому считаем, что п 2. При z —$ 1 где /л 0; Л (/і), -В( ) - известные выражения [36, с. 164]. Тогда из (1.3.10) следует, что при (х — I)2 4- ( 1)2 + ()2 1- Вблизи точки особенности ж = (1,0,..., 0) главный член асимптотики (1.3,11) должен совпадать с главным членом асимптотики решения уравнения С точность до регулярного решения многомерного уравнения Лапласа, -30 Тогда для решения уравнения (1.3.12) справедлива асимптотика v = ? ± [{х - I)2 + (z1)2 + ... К)2] _ + 0(1) (1.3.13) (n - l)crn+1 L J при (х — I)2 + (х1)2 + ... (хп)2 — 1. Сравнивая асимптотики (1.3.11), (1.3.13), находим
Сравнение результатов полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом
Докажем утверждение Предложение 2.4.1. Случай J3 = а = О теоремы 2.3.1 также мооїсет быть получен на основе использования групп непрерывных преобразований. Доказательство. При a = 0 уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.2.1) является уравнением Лапласа Уравнения (2.4.1) допускает операторы симметрии со следующим базисом [154] где Ъ — b(r,z) - произвольное решение уравнения Лапласа (2.4.1), а ф = ф(г, z), Ф = Ф(г, z) - произвольные решения системы уравнений Коши-Римана Используя операторы симметрии (2.4.2), можно получить следующие независимые базисные соотношения для решений уравнений Лапласа непрерывных преобразований (предложения 2.2.2, 2.4.1) и прямым методом (теорема 2.3.1) показывает их полное совпадение. Введем в рассмотрение линейные дифференциальные операторы Эйлера-Пуассона-Дарбу Используя соотношения (2.2.41), можно получить линейные дифференциальные соотношения первого порядка между операторами (2.5.1), Соотношения (2.2.41) имеют вид Докажем предложение Предложение 2.5.1. Пусть между решениями uSa\ и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу выполнены соотношения (2.5.2). Тогда справедливо следующее линейное дифференциальное соотношение первого порядка между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу Ьа и Lp где линейный дифференциальный оператор L не содержит частных производных третьего порядка. Если вместо функции и подставить в (2.5.4) произвольное решение уравнения Lau = 0 , то левая часть (2.5.4) и первые два слагаемых правой части обратятся в нуль. Тогда Lu — 0 на всех решениях уравнения Ьаи = 0 . Откуда следует, что L = С (г, z)La Таким образом, тождество (2.5.4) должно иметь следующий вид С другой стороны, можно непосредственно вычислить левую часть (2.5.5). Запишем ее в виде Система уравнений (2.5.7) служит для определения всех линейных дифференциальных соотношений вида (2.5.2) между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Замечание 2.5.3. Система уравнений (2.5.7) будет получена другим способом в разделе 2.3. и Используя предложение 2.5.1, из (2.2.41) получаем
Предложение 2.5.2. Линейным дифференциальным соотношениям (2.2.41) соответствуют следующие тождества между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу Получим с помощью соотношений (2,3.76) рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу ищем в виде Замечание 2.6.1. Очевидно, что если уравнение (2.6.1) допускает решение вида (2.6.2), то оно допускает и решения вида где Л - произвольная постоянная. Тогда из уравнения (2.6.1) следует, что и (г) удовлетворяет уравнению которое заменой сводится к уравнению Бесселя [115, с. 180] Таким образом, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.6.1) допускает решение вида где К,(г) — произвольное решение уравнения Бесселя (2.6.3). Из соотношений (2,3.76) рассмотрим только те, которые сохраняют структуру решения (2.6.4). Такие соотношения позволяют получить линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя. Из соотношения следует тривиальное соотношение а из соотношения вытекает очевидное соотношение Из соотношения следует соотнош Римана Используя операторы симметрии (2.4.2), можно получить следующие независимые базисные соотношения для решений уравнений Лапласа непрерывных преобразований (предложения 2.2.2, 2.4.1) и прямым методом (теорема 2.3.1) показывает их полное совпадение.
Введем в рассмотрение линейные дифференциальные операторы Эйлера-Пуассона-Дарбу Используя соотношения (2.2.41), можно получить линейные дифференциальные соотношения первого порядка между операторами (2.5.1), Соотношения (2.2.41) имеют вид Докажем предложение Предложение 2.5.1. Пусть между решениями uSa\ и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу выполнены соотношения (2.5.2). Тогда справедливо следующее линейное дифференциальное соотношение первого порядка между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу Ьа и Lp где линейный дифференциальный оператор L не содержит частных производных третьего порядка. Если вместо функции и подставить в (2.5.4) произвольное решение уравнения Lau = 0 , то левая часть (2.5.4) и первые два слагаемых правой части обратятся в нуль. Тогда Lu — 0 на всех решениях уравнения Ьаи = 0 . Откуда следует, что L = С (г, z)La Таким образом, тождество (2.5.4) должно иметь следующий вид С другой стороны, можно непосредственно вычислить ение Оно совпадает с известным соотношением [115, с. 182]. Из соотношения следует соотношение Оно также совпадает с известным соотношением [115, с. 182]. Используя прямой метод, найдем все линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя. Рассмотрим класс уравнений Бесселя Дадим полное описание всех соотношений вида между решениями V = Vv(r), V — У (г) класса уравнений (2.6.7). Из (2.6.7), (2.6.8) следует
Приложение к одномерной газовой динамике
Случай a — 0 или 7 = — 1 соответствует так называемому газу Чаплыгина. Этот случай имеет главным образом формальное аппроксима-ционное значение (С.А. Чаплыгин предложил использовать этот случай для приближенного интегрирования системы уравнений, описывакощей плоские установившиеся движения газа [122]). Случай a = 2 или 7 — 3 отвечает плотным газам, например, продуктам детонации (хорошо подходит для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ). Этот случай, вследствие исключительной простоты решений, часто используется для аппроксимации ряда изэн-тропических законов в случае обычных газов [116]. Случай a = 4 или 7 — 5/3 отвечает одноатомному газу при обычных температурах. Случай а = 6 или j — 7/5 отвечает двухатомному газу при обычных температурах. Случаи а — 8,10, ... или j = 9/7,11/9, ... отвечают нагретым газам [116, стр. 148]. Например, случай о: — 10 или -у = 11/9 хорошо подходит для газообразных продуктов горения или других химических реакций [83, стр. 100]. Приведенные выше случаи соответствуют четным неотрицательным целым значениям параметра се. Построим для для этих случаев, т.е. при а = 2п (п = 0,1,2, ...), общее решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу 2.8.1). Рассмотрим три последние соотношения из соотношений (2.7.13). Запишем их в следующем виде где о 7о произвольные постоянные. Применяя п раз соотношение (2.8.2) к решению (2.8.5), получаем Предложение 2.8.1. Общее решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.8.1) при a 2n(neN) можно записать в виде Доказательство. Применим метод математической индукции. Можно проверить справедливость формулы (2.8.6) при a = 2. Пусть формула (2.8.6) дает общее решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при некотором a — 2п. Покажем ее справедливость и при a — 2п + 2.
Далее, в силу линейности исходного уравнения, достаточно рассмотреть случай /() Ф 0 9{v) = 0 (случай /() = 0, g(rf) ф 0 рассматривается аналогично). Применяя к (2.8.6) (полагая д{т\) = 0) соотношение (2.8.2) и используя формулы Применяя к (2.8.9) (полагая g{rj) = 0) соотношение (2.8.4) и используя формулы (2.8.7) и Замечание 2.8.3. Хотя формулы (2.8.6), (2.8.8) и (2.8.9) задают одно и то же общее решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.8.1) при а = 2п (п Є Z), с их помощью можно получать разные решения, зная решение (2.8.5) для простейшего случая волнового уравнения. Сформулируем основные результаты главы: 1. Найдены все линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (для эллиптического и гиперболического случаев). 2. Дана теоретико-групповая интерпретация найденных соотношений. 3. Получены тождества между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу. 4. На основании полученных соотношений найдены два новых представления общего решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае четных целых значениях параметра а, 5. Построены все рекуррентные соотношения между функциями Бесселя. В главе 3 приведена постановка задачи, получены соотношения между решениями эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений квазигазовых сред в плоскости годографа. Получено условие периодичности по пространственной переменной решений системы уравнений квазигазовых сред. Найдены симметрии основных уравнений и построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Построены и исследованы точные периодические решения для случаев А = ±1/2.
Показана неустойчивость периодических решений относительно возмущений начальных данных. Результаты, изложенные в главе 3, опубликованы в работах [7-9,12-14,19,20,22]. Рассмотрим систему уравнений, описывающую эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах [61] Система уравнений (3.1.1) выписана в безразмерных переменных. Здесь переменные имеют следующий смысл: t - время, х - пространственная переменная, и - скорость, р (р 0) - плотность, А - параметр, характе- ризующий среду. Система уравнений (3.1.1) описывает в приближении длинных волн обширный класс абсолютно неустойчивых сред (опрокинутая мелкая вода; одномерный нестационарный газ Чаплыгина; гравитирующий га
Условие периодичности по пространственной переменной
Теорема 3.3.1. Решения системы уравнений (3.1.4), удовлетворяющие уравнению (3.3.1), являются периодическими по пространствен-ной переменной х с периодом равным 1, Доказательство. Период Л периодического решения системы уравнений (3.1.4) определяется следующим образом где Г - замкнутый контур в плоскости переменных (г, z), на кот мя t = const. Используя уравнения (3.1.10) и формулу Стокса, Предполагается, что точка (1,0) плоскости переменных (г, z) принадлежит области Е. Это предположение справедливо для периодических решений системы (3.1.4), мало отличающихся от стационарного невозмущенного решения г = 1, z = 0. В этом случае, в силу логарифмической особенности решения уравнения (3.3.1), контур Г мало отличается от окружности с центром в точке (1,0) (при этом t -» —со при (г- 1)2 + z2 Ґ0). ш Замечание 3,3.1. Решениям уравнения соответствуют периодические по пространственной переменной решения системы уравнений (3.1.4) с периодом Л. Замечание 3.3.2. Фундаментальные решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу удовлетворяют уравнению где го 0, ZQ - произвольные постоянные. Решение Т = T(r,z;rQ} ZQ) уравнения (3.3.3) может быть выражено через решение і = t(r, z) уравнения (3.3.1) Z ZQ T{r, z\ r0j z0)l — , Найдем операторы симметрии, допускаемые системой уравнений (3.1.10) и уравнениями (3.1.12), (3.3.1).
Оператор симметрии системы уравнений (3.1.10) ищем в виде Для нахождения симметрии выписываем первое продолжение оператора X где введены обозначения для частных производных первого порядка (3.4.2) Условия (3.4.1), (3.4.2) должны выполняться при любых значениях переменных г, z, t, х, tr, tz (производные хг и xz исключаются в силу уравнений (3,1.10)). Приравнивая к нулю коэффициенты при (г)2, (tz)2, tr, tz и t, получаем из условия (3.1.1) соответственно следующие определяющие уравнения (слагаемое с trtz отсутствует) Уравнения (3.4.3)-(3.4.10) образуют линейную однородную переопределенную систему определяющих уравнений для определения }, 2, т/1, rj2. Решим ее. Вычитая из уравнения (3.4.4) уравнение (3.4.9), а из уравнения (3.4.5) - уравнение (3.4.8), получим соответственно Дифференцируя уравнение (3.4.7) по z и вычитая из него продифференцированное по г уравнение (3.4.3), находим, используя (3.4.11), Дифференцируя уравнение (3.4.3) по z и складывая его с продифференцированным по г уравнением (3.4.7), получаем, используя (3.4.11), Случай 1: Л ф 1/2 . В этом случае из уравнений (3.4.12), (3.4.13) следует Тогда из уравнений (3.4.3), (3.4.7) вытекает Таким образом получаем, что Используя второе уравнение системы уравнений (3.4.11), из (3.4.5) находим Используя первое уравнение системы уравнений (3.4.11) и уравнение (3.4.14), из (3.4.4) получаем Из (3.4.6), (3.4.10) следует Исследуем на совместность уравнения (3.4.18)-(3.4.21). Перекрестным дифференцированием уравнений находим, приравнивая соответственно выражения для -128 Из уравнений (3.4.30), (3.4.22) находим = 27-(012+02), (3.4.31) где ai, а\ - произвольные постоянные. Из уравнений (3.4.16), (3.4.17) получаем 2 = аі(я2-г2) + 2а2г + а3, (3.4.32) где оз - произвольная постоянная. Тогда из уравнения (3.4.29) следует - = о,. (3.4.33) ОХ Откуда из выражений (3.4.25), (3.4.27) и (3.4.28) вытекает Q2.-1 drdt dzdt = -2(2A + l)oi, (3.4.34) = 0. dt2 Из (3.4.33), (3,4.34) следует 7]1 = цх + [-2(2A + l)aiz + a4]t + f(r, z), (3.4.35) где 04 - произвольная постоянная. Тогда из уравнения (3.4.23) вытекает g+G ±iiv + j/=0. (3,.36) ОТ1 V ОТ OZ Используя выражения (3.4.35), (3.4.36) и (3.4.31), (3.4.32), из уравнений (3.4.18)-(3.4.21) получаем дА = _2(2А + l)airt + 2АгЦ- + Ж , ОТ ОТ OZ = -4А(2А + l)aizt - № + 2А.Д, oz or dz дп2 - - = -2A(2A + l)o 2 - (2A + 1)о!Г2 + 2Ao3 , —- = 2a2 + a4 ox - 129
Откуда находим т? = (2а2 + аА)х + [ - 2А(2А + 1)агг2 - (2А + 1) цг2 + 2 Аа3] t + g(r,z), где g(r, z) решение системы уравнений dg а/., а/ (3,4,37) = -г— + 2Az— . az or oz Таким образом, в рассматриваемом случае А ф 1/2 формулы (3.4.31), (3.4.32), (3.4.35)-(3.4.37) задают решение системы определяющих уравнений. Случай 2: А = 1/2. В этом случае систему уравнений (3.1.10) можно записать, используя уравнения (3.1.13), в следующем виде d(x - zt) _ d(rt) tit ґт F d(x-zt)= d(rt) (3"4"38) dz dr Система уравнений (3.4,38) представляет собой систему уравнений Коши-Римана для переменных х — zt, rt. В этом случае происходит расширение алгебры Ли операторов симметрии системы уравнений (3.1.10). Алгебра Ли операторов симметрии в этом случае становится бесконечномерной с существенно большим произволом, чем в случае 1. Предложение 3.4.1. Система уравнений (3.1.10) в случае А ф 1/2 допускает следующий базис алгебры Ли операторов симметрии
Похожие диссертации на Нелинейные периодические волны в газоподобных средах
