Содержание к диссертации
Введение
1. Аэродинамика колебаний крыла 14
1.1. Постановка аэродинамической задачи 14
1.2. Асимптотическое упрощение задачи 16
1.3. Аналитическое решение задачи 18
1.3.1. Решение нестационарной задачи на профиле крыла 19
1.3.2. Решение нестационарной задачи внутри потока 23
1.3.3. Второе приближение стационарной части задачи 26
1.4. Определение аэродинамического давления и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах 32
2. Колебания упругого крыла 38
2.1. Модель несущей поверхности 38
2.2. Постановка связанной аэроупругой задачи 40
2.3. Асимптотическое решение 42
2.3.1. Решение при малых частотах 42
2.3.2. Решение при больших частотах 44
Заключение 50
Литература 51
- Асимптотическое упрощение задачи
- Второе приближение стационарной части задачи
- Постановка связанной аэроупругой задачи
- Решение при больших частотах
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению колебаний крыла, обтекаемого
сверхзвуковым потоком газа. Колебания инженерных сооружений, элементов летательных аппаратов (крылья, оперения), тонкостенных элементов конструкций, происходящие при их взаимодействии с потоком газа, принято обозначать единым термином «флаттер» (от английского «flutter» - трепетать)
[1].
Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим овободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания [2]. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.
В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса [2]. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные
с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.
Самые первые исследования флаттера были, по-видимому, проведены Ланчестером [3], Бэрстоу и Фейджем в 1916 г. в связи с антисимметричным (кручением фюзеляжа и кручением руля высоты) флаттером на бомбардировщике Хэн дли-Пей дж. Блазиус [4] в 1918 г. после поломки нижнего крыла биплана Альбатрос D3 произвел некоторые расчеты. Однако настоящее развитие исследования флаттера должно было ожидать развитии нестационарной теории крыла, основание которой было заложено Кутта и Жуковским в период от 1902 до 1906 г. Первый численный расчет аэродинамической силы, действующей на гармонически колеблющуюся тонкую пластинку в двумерном потоке, был дан 20 лет позднее, в 1922 г., Бирнбаумом в его диссертации в Геттингене. Хорошо известно, что создание теории присоединенных вихрей Прандтля было завершено в 1918 г. и Аккерман применил ее к вычислению подъемной силы крыла при установившемся движении. По предложению Прандтля Бирнбаум обобщил метод Аккермана на неустановившееся движение крыльев [5, б]. Он получил численные результаты вплоть до приведенной частоты к = 0,12 (к =—, со - частота колебаний, / - характерный
размер тела, U - скорость набегающего потока).
Приблизительно в то же время Вагнер [7] исследовал аэродинамические силы, действующие на тело, которое внезапно из положения покоя начинает двигаться с постоянной скоростью U. Был исследован также случай внезапного изменения угла атаки.
Следующий заметный шаг был сделан в 1929 г. В этом году Глауэрт опубликовал данные [8, 9] относительно силы и момента, действующих на произвольно движущееся цилиндрическое тело, и аэродинамических коэффициентов колеблющегося крыла вплоть до к = 0,5. Вычисление основывалось на методе Вагнера. В том же году Кюсснер [10] обобщил метод Бирн-
баума для того, чтобы вычислить аэродинамические коэффициенты до к — 1,5.
В 1934 г. было опубликовано также точное решение Теодорсена [11] для гармонически колеблющегося крыла с закрыгасом; диапазон к при этом был неограничен. До 1934 г. было зарегистрировано несколько случаев флаттера. В то время флаттер имел место только на крыльях самолета. В большинстве из этих случаев основную роль играли массовая неуравновешенность элерона и малая жесткость крыла на кручение.
В 1929 г. Кюсснер разъяснил в теории флаттера много основных положений: исключение координаты времени, замена конфигурации крыла простой балкой, решение результирующей системы дифференциальных уравнений с помощью метода итераций, представление внутреннего демпфирования в виде запаздывания по фазе в упругой восстанавливающей силе и т. п. С другой стороны. Данкан и Фрейзер [12, 10] (1928 г.) измерили флаттерные производные в аэродинамической трубе и ввели понятие полужесткости и матричные методы. Простые правила предотвращения флаттера были выведены из статистических исследований в Германии (Кюсснер) и в Англии (Роксби, Кокс) [13].
С 1931 по 1937 г. благодаря гонке вооружений великих держав оживилось создание новых типов самолетов. Проблема двумерного флаттера крыла с двумя степенями свободы не представляла больше никакой трудности. Были созданы методы, позволяющие быстро получить решение задачи (например, практический метод Кюсснера и Фингадо [14]). Удовлетворительно исследовались двумерные задачи с тремя степенями свободы (крылья с закрылками). Для трехмерного крыла вместе с аэродинамической теорией «несущей полосы» был использован метод Галеркина. Кроме того, теория была подтверждена испытаниями флаттерных моделей в аэродинамических трубах, по крайней мере, для того диапазона скоростей, в котором воздух можно считать несжимаемым, и для крыльев умеренного удлинения.
В технике обычным делом стали испытания на колебания на земле. Были введены критерии жесткости, которые оказались удовлетворительными с точки зрения безопасности.
До 1938 г. предполагалось, что проблему флаттера можно разрешить с помощью летных испытаний. К сожалению, в феврале 1938 г. в процессе хорошо спланированного летного испытания четырехмоторный самолет Юнкере Ju 90 VI разрушился, и все исследователи, находившиеся на борту, погибли. Со времени этой катастрофы стало очевидным, что присущие летному испытанию трудности и риск довольно велики. Оно является только одним из многих средств исследования и оправдывается, если только характеристики флаттера исследуются перед опытом и приблизительно известны те опасные режимы, которые должны наблюдаться.
Это положение привело к усилению роли теоретического анализа. С развитием многомоторных самолетов, двойных килей, вспомогательных рулевых поверхностей и т. п. двумерный анализ должен был уступить место более сложному трехмерному анализу, а исследование флаттера становится все более и более специальной областью научного исследования. Динамика самолета, которая до сих пор считалась весьма отдаленно связанной с аэроупругостью, теперь оказалась тесно связанной с флаттером и другими задачами аэроупругости.
Аэроупругость изучает влияние аэродинамических сил на упругие тела. В большинстве важных задач аэроупругости аэродинамические силы очень сильно зависят от положения тела относительно потока. Упругая деформация играет важную роль в определении самой внешней нагрузки. Величина аэродинамической силы неизвестна до тех пор, пока не определена упругая деформация. Поэтому в общем случае внешняя нагрузка неизвестна до тех пор, пока не решена задача. В аэроупругости одновременно применяются методы, разработанные как в гидроаэромеханике, так и в механике деформируемого твердого тела.
Среди задач об аэроупругих колебаниях крыла встречаются такие, где в качестве модели крыла используется балка или пластина. В уравнения механики деформированного твердого тела, характеризующие колебания балок и пластин, обычно входит нагрузка, под воздействием которой происходят колебания. При аэроупругих колебаниях крыла для определения этих нагрузок используются аэродинамические силы, формулы для которых получаются в результате решения аэродинамических задач. В формулы для аэродинамических сил входят параметры, характеризующие колебание. Таким образом, через эти параметры связьшаются уравнения механики деформированного твердого тела и аэродинамики. И эти же параметры находятся в результате решения связанной аэроупругой задачи.
Исследованиям в области аэродинамики колебаний крыла посвящено много публикаций. Из монографий можно отметить книгу Д. У. Майлса [15], в которой приведен обзор применения методов теории потенциальных течений идеальной жидкости, для определения аэродинамических сил, действующих на тонкие крылья и удлиненные тела, совершающие нестационарное движение в однородном сверхзвуковом потоке. Ряд приводимых в [15] результатов принадлежит автору, однако последний стремился охватить всю литературу, доступную к моменту написания книги.
Следует отметить результаты Е. А Красилыциковой, развившей в 1947 году эффективный метод расчета сверхзвукового обтекания тонкого крыла произвольной формы в плане как при установившемся движении, так и при гармонических колебаниях [16, 17]. В дальнейшем ею было дано обобщение метода на случай более общей зависимости от времени [18].
Также можно отметить несколько работ [19-24], посвященных нестационарным движениям профиля в плоском потоке, в которых решаются, в основном, задачи, когда параметры, характеризующие движение крыла как твердого тела, считаются заданными функциями времени.
В современной работе [25] рассмотрено нестационарное колебательное движение крыла с конечными амплитудами. Предложено несколько моделей
законов изменения гибкого крыла для обеспечения гладкого схода следа с задней кромки. Найдены выражения для циркуляции и сил и произведены численные расчеты для одной из моделей профиля крыла.
В работе [26] предложена модифицированная расчетная схема метода дискретных вихрей для решения задач нестационарного обтекания деформируемого крыла. Для реализации предложенной расчетной схемы составлена программа, позволяющая определять как распределенные, так и суммарные нестационарные аэродинамические характеристики несущей поверхности простой формы в плане при различных законах деформации. Численные эксперименты проведены для машущего крыла (когда безразмерная вертикальная координата точек крыла изменяется по гармоническому закону с амплитудой, пропорциональной квадрату их поперечной координаты) и машущего крыла с подкручиванием.
В области аэроупругости можно отметить книгу Фына [2], посвященную линейной теории колебаний различных элементов конструкции самолета, подверженных действию аэродинамических сил, в до и сверхзвуковом потоке. В монографии [27] рассмотрено поведение тонкостенных конструкций типа оболочек и пластинок при воздействии на них потока газа.
Нередко в литературе о связанных аэроупругих задачах встречаются задачи об изгибно-крутильных колебаниях крыла [28-33]. В таких задачах обычно пренебрегают деформацией крыла вдоль хорды. Однако имеется другой тип флаттера, в котором главную роль играет деформация вдоль хорды. Например, в монографии [34], посвященной проблемам, связанным с изучением и построением переходных процессов при движении гибкого профиля в несжимаемом и сжимаемом потоках, крыло моделируется бесконечной по размаху гибкой тонкой пластиной. И основное внимание в [34], таким образом, сосредоточено на исследовании деформации вдоль хорды крыла-пластины.
В 1956 г. появились работы [35] и [36], где для исследования флаттера
пластин предлагалась «поршневая теория» — связь давления, действующего
на колеблющуюся пластину, и прогиба в виде
( dw диЛ р(х,О = р0а01 щ — + — I,
где pQ, а0 и0 — невозмущенные плотность, скорость звука и скорость течения газа, р и w — возмущения давления и прогиба. Это выражение сводит
уравнение движения пластины к уравнению в частных производных, которое легче для исследования, чем точное интегродифференциальное уравнение. Поршневая теория получена как предел точной связи давления и прогиба при больших числах Маха, однако исследования показывают, что она дает приемлемую точность уже при М> 1,7 [37].
В 50-х годах XX в. задача о флаттере пластины в поршневой постановке была в значительной степени исследована А. А. Мовчаном [38, 39]. Дальнейшее развитие задач о флаттере пластины нашло отражение в работах С. Д. Алгазина и И. А. Кийко [40-46]. Материалы этих работ составили основу одной из частей их совместной книги [1], в которой представлены аналитические и численные методы для исследования задач по панельному флаттеру пластин и пологих оболочек в рамках разработанных на сегодня математических моделей, рассмотрены новые постановки задач и приведены конкретные примеры.
В современной литературе встречается немало работ, в которых используется поршневая теория [47-60]. Среди работ, в которых обсуждается более строгий подход к определению давления аэродинамического взаимодействия следует, прежде всего, отметить статьи [61-65].
Из работ последнего времени по исследованию флаттера пластин в рамках непоршневой теории можно отметить монографию [1], в которой приведены новые постановки задач флаттера с использованием выражения для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющего
формулу поршневой теории. Некоторые уточнения поршневой теории рассмотрены в работах [66], [67], [68] и [69],
Следует отметить упомянутую выше работу Б. А. Ершова [34] в которой находится потенциал возмущенных скоростей для случая произвольных прогибов профиля. При этом используется метод [70-74], отличающийся от метода Е. А. Красильщиковой. Найденный потенциал через интеграл Лагранжа-Коши определяет давление аэродинамического взаимодействия. И для определения прогиба профиля решается интегродифференциальное уравнение.
В работе [75] для давления аэродинамического взаимодействия используется модель, предложенная в [76] без учета интегральных слагаемых.
У В. В. Веденеева в [77] рассмотрен флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы в сверхзвуковом потоке газа. Собственные формы колебаний пластины строились в виде суперпозиции бегущих по безграничной пластине волн вида
W(x,t) = ei(kx-Wt\\x\
удовлетворяющей граничным условиям на кромках, а давление газа считалось суперпозицией давлений
*Jk2-(a>-Mkf действующих на эти волны. Здесь к - волновое число, со - частота возмущения, М - число Маха, р. = р/ рт , где р - плотность газа, рт - плотность материала пластины. В работе [78] для оценки ширины пластин, к которым применимы результаты [77] используется интегро-дифференциальное уравнение движения пластины, обтекаемой потоком газа. Также следует отметить работу [79] в которую вошли результаты [77] и [78].
Целью настоящей работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимпто-
тического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.
Методы исследования. В работе применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины профиля крыла и малости амплитуды его колебаний, а также основанные на рассмотрении задачи при малых и больших частотах. Для решения задач используются метод Римана, общее решение для телеграфного уравнения, общее решение для однородного волнового уравнения и формула для решения неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях. Также используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Новизна работы. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением асимптотических методов, методов математической физики и теории дифференциальных уравнений.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Полученные аналитические решения могут быть использованы для расчета скорости и давления на профиле крыла, совершающего произвольной формы колебания. Найденные формулы также позволяют рассчитать скорость и давление в области между профилем крыла и характеристикой. Еще могут представлять интерес найденные частоты, при которых возникают колебания определенной формы.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной работе, были доложены на международных конференциях «Пятые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006) и «Шестые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2008), на XXI Всероссийской конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт- Петербург, 2008) и на 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике «ENOC 2008» (Санкт-Петербург, 2008).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [81-88]. Работа [85] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.
В работах [83, 84] соавтору принадлежит постановка аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Также соавтором предложен метод Римана для решения задачи на профиле крыла. Диссертантом решена задача на профиле крыла методом, предложенным соавтором и произведен расчет амплитуды колебаний давления на профиле крыла при переходе через критическую частоту. Асимптотика, найденного решения и асимптотика колебаний давления на профиле крыла принадлежит обоим авторам.
В работе [88] соавтором показана возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности, получено уравнение и граничные условия во втором приближении стационарной задачи. Диссертантом получено аналитическое решение стационарной задачи во втором приближении.
Вклад соавторов в подготовку докладов и материалов для конференций (см. [81, 82, 86]) такой же, как и в [83, 84, 88].
Структура работы. Работа состоит из двух частей, содержит введение, заключение и список литературы, состоящий из 94 наименований. В первой части исследуется аэродинамика процесса колебаний крыла. Известное урав-
нение для потенциала упрощается на основе порядков возмущенных величин, найденных по методу порядковых уравнений. Найден потенциал скоростей на профиле крыла методом Римана. Для решения задачи внутри потока, между характеристикой и профилем крыла используется общее решение. Рассмотрено второе приближение стационарной задачи. Найдено аэродинамическое давление и его асимптотика при малых и больших частотах.
Во второй части рассмотрена связанная аэроупругая задача. Модель крыла, так же как и в [34], представлена гибкой пластиной бесконечной по размаху и постоянной толщины. При постановке связанной задачи для определения давления аэродинамического взаимодействия используются результаты, полученные в первой части диссертации. Асимптотическое упрощение интегродифференциального уравнения происходит за счет рассмотрения задачи на разных интервалах частот.
Общий объем работы составляет 59 страниц текста и 10 иллюстраций.
Основные результаты, выносимые на защиту.
Аналитическое решение на профиле крыла аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, полученное методом Римана.
Аналитическое решение в области между профилем крыла и характеристикой аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, найденное с помощью общего решения телеграфного уравнения.
Второе приближение стационарной задачи.
Выражение для аэродинамического давления, возникающего при колебании крыла в сверхзвуковом потоке и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.
Асимптотическое решение связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.
Асимптотическое упрощение задачи
Настоящая работа посвящена изучению колебаний крыла, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Колебания инженерных сооружений, элементов летательных аппаратов (крылья, оперения), тонкостенных элементов конструкций, происходящие при их взаимодействии с потоком газа, принято обозначать единым термином «флаттер» (от английского «flutter» - трепетать) [1]. Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим овободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания [2]. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.
В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса [2]. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.
Самые первые исследования флаттера были, по-видимому, проведены Ланчестером [3], Бэрстоу и Фейджем в 1916 г. в связи с антисимметричным (кручением фюзеляжа и кручением руля высоты) флаттером на бомбардировщике Хэн дли-Пей дж. Блазиус [4] в 1918 г. после поломки нижнего крыла биплана Альбатрос D3 произвел некоторые расчеты. Однако настоящее развитие исследования флаттера должно было ожидать развитии нестационарной теории крыла, основание которой было заложено Кутта и Жуковским в период от 1902 до 1906 г. Первый численный расчет аэродинамической силы, действующей на гармонически колеблющуюся тонкую пластинку в двумерном потоке, был дан 20 лет позднее, в 1922 г., Бирнбаумом в его диссертации в Геттингене. Хорошо известно, что создание теории присоединенных вихрей Прандтля было завершено в 1918 г. и Аккерман применил ее к вычислению подъемной силы крыла при установившемся движении. По предложению Прандтля Бирнбаум обобщил метод Аккермана на неустановившееся движение крыльев [5, б]. Он получил численные результаты вплоть до приведенной частоты к = 0,12 (к =—, со - частота колебаний, / - характерный размер тела, U - скорость набегающего потока). Приблизительно в то же время Вагнер [7] исследовал аэродинамические силы, действующие на тело, которое внезапно из положения покоя начинает двигаться с постоянной скоростью U. Был исследован также случай внезапного изменения угла атаки.
Следующий заметный шаг был сделан в 1929 г. В этом году Глауэрт опубликовал данные [8, 9] относительно силы и момента, действующих на произвольно движущееся цилиндрическое тело, и аэродинамических коэффициентов колеблющегося крыла вплоть до к = 0,5. Вычисление основывалось на методе Вагнера. В том же году Кюсснер [10] обобщил метод Бирн баума для того, чтобы вычислить аэродинамические коэффициенты до к — 1,5.
В 1934 г. было опубликовано также точное решение Теодорсена [11] для гармонически колеблющегося крыла с закрыгасом; диапазон к при этом был неограничен. До 1934 г. было зарегистрировано несколько случаев флаттера. В то время флаттер имел место только на крыльях самолета. В большинстве из этих случаев основную роль играли массовая неуравновешенность элерона и малая жесткость крыла на кручение.
Второе приближение стационарной части задачи
В 1929 г. Кюсснер разъяснил в теории флаттера много основных положений: исключение координаты времени, замена конфигурации крыла простой балкой, решение результирующей системы дифференциальных уравнений с помощью метода итераций, представление внутреннего демпфирования в виде запаздывания по фазе в упругой восстанавливающей силе и т. п. С другой стороны. Данкан и Фрейзер [12, 10] (1928 г.) измерили флаттерные производные в аэродинамической трубе и ввели понятие полужесткости и матричные методы. Простые правила предотвращения флаттера были выведены из статистических исследований в Германии (Кюсснер) и в Англии (Роксби, Кокс) [13].
С 1931 по 1937 г. благодаря гонке вооружений великих держав оживилось создание новых типов самолетов. Проблема двумерного флаттера крыла с двумя степенями свободы не представляла больше никакой трудности. Были созданы методы, позволяющие быстро получить решение задачи (например, практический метод Кюсснера и Фингадо [14]). Удовлетворительно исследовались двумерные задачи с тремя степенями свободы (крылья с закрылками). Для трехмерного крыла вместе с аэродинамической теорией «несущей полосы» был использован метод Галеркина. Кроме того, теория была подтверждена испытаниями флаттерных моделей в аэродинамических трубах, по крайней мере, для того диапазона скоростей, в котором воздух можно считать несжимаемым, и для крыльев умеренного удлинения. В технике обычным делом стали испытания на колебания на земле. Были введены критерии жесткости, которые оказались удовлетворительными с точки зрения безопасности.
До 1938 г. предполагалось, что проблему флаттера можно разрешить с помощью летных испытаний. К сожалению, в феврале 1938 г. в процессе хорошо спланированного летного испытания четырехмоторный самолет Юнкере Ju 90 VI разрушился, и все исследователи, находившиеся на борту, погибли. Со времени этой катастрофы стало очевидным, что присущие летному испытанию трудности и риск довольно велики. Оно является только одним из многих средств исследования и оправдывается, если только характеристики флаттера исследуются перед опытом и приблизительно известны те опасные режимы, которые должны наблюдаться.
Это положение привело к усилению роли теоретического анализа. С развитием многомоторных самолетов, двойных килей, вспомогательных рулевых поверхностей и т. п. двумерный анализ должен был уступить место более сложному трехмерному анализу, а исследование флаттера становится все более и более специальной областью научного исследования. Динамика самолета, которая до сих пор считалась весьма отдаленно связанной с аэроупругостью, теперь оказалась тесно связанной с флаттером и другими задачами аэроупругости.
Аэроупругость изучает влияние аэродинамических сил на упругие тела. В большинстве важных задач аэроупругости аэродинамические силы очень сильно зависят от положения тела относительно потока. Упругая деформация играет важную роль в определении самой внешней нагрузки. Величина аэродинамической силы неизвестна до тех пор, пока не определена упругая деформация. Поэтому в общем случае внешняя нагрузка неизвестна до тех пор, пока не решена задача. В аэроупругости одновременно применяются методы, разработанные как в гидроаэромеханике, так и в механике деформируемого твердого тела. Среди задач об аэроупругих колебаниях крыла встречаются такие, где в качестве модели крыла используется балка или пластина. В уравнения механики деформированного твердого тела, характеризующие колебания балок и пластин, обычно входит нагрузка, под воздействием которой происходят колебания. При аэроупругих колебаниях крыла для определения этих нагрузок используются аэродинамические силы, формулы для которых получаются в результате решения аэродинамических задач. В формулы для аэродинамических сил входят параметры, характеризующие колебание. Таким образом, через эти параметры связьшаются уравнения механики деформированного твердого тела и аэродинамики. И эти же параметры находятся в результате решения связанной аэроупругой задачи.
Постановка связанной аэроупругой задачи
Исследованиям в области аэродинамики колебаний крыла посвящено много публикаций. Из монографий можно отметить книгу Д. У. Майлса [15], в которой приведен обзор применения методов теории потенциальных течений идеальной жидкости, для определения аэродинамических сил, действующих на тонкие крылья и удлиненные тела, совершающие нестационарное движение в однородном сверхзвуковом потоке. Ряд приводимых в [15] результатов принадлежит автору, однако последний стремился охватить всю литературу, доступную к моменту написания книги.
Следует отметить результаты Е. А Красилыциковой, развившей в 1947 году эффективный метод расчета сверхзвукового обтекания тонкого крыла произвольной формы в плане как при установившемся движении, так и при гармонических колебаниях [16, 17]. В дальнейшем ею было дано обобщение метода на случай более общей зависимости от времени [18].
Также можно отметить несколько работ [19-24], посвященных нестационарным движениям профиля в плоском потоке, в которых решаются, в основном, задачи, когда параметры, характеризующие движение крыла как твердого тела, считаются заданными функциями времени.
В современной работе [25] рассмотрено нестационарное колебательное движение крыла с конечными амплитудами. Предложено несколько моделей законов изменения гибкого крыла для обеспечения гладкого схода следа с задней кромки. Найдены выражения для циркуляции и сил и произведены численные расчеты для одной из моделей профиля крыла.
В работе [26] предложена модифицированная расчетная схема метода дискретных вихрей для решения задач нестационарного обтекания деформируемого крыла. Для реализации предложенной расчетной схемы составлена программа, позволяющая определять как распределенные, так и суммарные нестационарные аэродинамические характеристики несущей поверхности простой формы в плане при различных законах деформации. Численные эксперименты проведены для машущего крыла (когда безразмерная вертикальная координата точек крыла изменяется по гармоническому закону с амплитудой, пропорциональной квадрату их поперечной координаты) и машущего крыла с подкручиванием.
В области аэроупругости можно отметить книгу Фына [2], посвященную линейной теории колебаний различных элементов конструкции самолета, подверженных действию аэродинамических сил, в до и сверхзвуковом потоке. В монографии [27] рассмотрено поведение тонкостенных конструкций типа оболочек и пластинок при воздействии на них потока газа.
Нередко в литературе о связанных аэроупругих задачах встречаются задачи об изгибно-крутильных колебаниях крыла [28-33]. В таких задачах обычно пренебрегают деформацией крыла вдоль хорды. Однако имеется другой тип флаттера, в котором главную роль играет деформация вдоль хорды. Например, в монографии [34], посвященной проблемам, связанным с изучением и построением переходных процессов при движении гибкого профиля в несжимаемом и сжимаемом потоках, крыло моделируется бесконечной по размаху гибкой тонкой пластиной. И основное внимание в [34], таким образом, сосредоточено на исследовании деформации вдоль хорды крыла-пластины. В 1956 г. появились работы [35] и [36], где для исследования флаттера пластин предлагалась «поршневая теория» — связь давления, действующего на колеблющуюся пластину, и прогиба в виде ( dw диЛ р(х,О = р0а01 щ — + — I, где pQ, а0 и0 — невозмущенные плотность, скорость звука и скорость течения газа, р и w — возмущения давления и прогиба. Это выражение сводит уравнение движения пластины к уравнению в частных производных, которое легче для исследования, чем точное интегродифференциальное уравнение. Поршневая теория получена как предел точной связи давления и прогиба при больших числах Маха, однако исследования показывают, что она дает приемлемую точность уже при М 1,7 [37].
Решение при больших частотах
В 50-х годах XX в. задача о флаттере пластины в поршневой постановке была в значительной степени исследована А. А. Мовчаном [38, 39]. Дальнейшее развитие задач о флаттере пластины нашло отражение в работах С. Д. Алгазина и И. А. Кийко [40-46]. Материалы этих работ составили основу одной из частей их совместной книги [1], в которой представлены аналитические и численные методы для исследования задач по панельному флаттеру пластин и пологих оболочек в рамках разработанных на сегодня математических моделей, рассмотрены новые постановки задач и приведены конкретные примеры.
В современной литературе встречается немало работ, в которых используется поршневая теория [47-60]. Среди работ, в которых обсуждается более строгий подход к определению давления аэродинамического взаимодействия следует, прежде всего, отметить статьи [61-65]. Из работ последнего времени по исследованию флаттера пластин в рамках непоршневой теории можно отметить монографию [1], в которой приведены новые постановки задач флаттера с использованием выражения для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющего формулу поршневой теории. Некоторые уточнения поршневой теории рассмотрены в работах [66], [67], [68] и [69], Следует отметить упомянутую выше работу Б. А. Ершова [34] в которой находится потенциал возмущенных скоростей для случая произвольных прогибов профиля. При этом используется метод [70-74], отличающийся от метода Е. А. Красильщиковой. Найденный потенциал через интеграл Лагранжа-Коши определяет давление аэродинамического взаимодействия. И для определения прогиба профиля решается интегродифференциальное уравнение. В работе [75] для давления аэродинамического взаимодействия используется модель, предложенная в [76] без учета интегральных слагаемых. У В. В. Веденеева в [77] рассмотрен флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы в сверхзвуковом потоке газа. Собственные формы колебаний пластины строились в виде суперпозиции бегущих по безграничной пластине волн вида W(x,t) = ei(kx-Wt\\x\ oo, удовлетворяющей граничным условиям на кромках, а давление газа считалось суперпозицией давлений Jk2-(a -Mkf действующих на эти волны. Здесь к - волновое число, со - частота возмущения, М - число Маха, р. = р/ рт , где р - плотность газа, рт - плотность материала пластины. В работе [78] для оценки ширины пластин, к которым применимы результаты [77] используется интегро-дифференциальное уравнение движения пластины, обтекаемой потоком газа. Также следует отметить работу [79] в которую вошли результаты [77] и [78].
Целью настоящей работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимпто тического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.
Методы исследования. В работе применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины профиля крыла и малости амплитуды его колебаний, а также основанные на рассмотрении задачи при малых и больших частотах. Для решения задач используются метод Римана, общее решение для телеграфного уравнения, общее решение для однородного волнового уравнения и формула для решения неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях. Также используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Новизна работы. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением асимптотических методов, методов математической физики и теории дифференциальных уравнений.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Полученные аналитические решения могут быть использованы для расчета скорости и давления на профиле крыла, совершающего произвольной формы колебания. Найденные формулы также позволяют рассчитать скорость и давление в области между профилем крыла и характеристикой. Еще могут представлять интерес найденные частоты, при которых возникают колебания определенной формы. Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной работе, были доложены на международных конференциях «Пятые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006) и «Шестые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2008), на XXI Всероссийской конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт- Петербург, 2008) и на 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике «ENOC 2008» (Санкт-Петербург, 2008).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [81-88]. Работа [85] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.
