Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса и задачи исследования 11
1.1 Обзор работ по теме диссертации 11
1.2 Существующие методы расчёта взрывобезопасных расстояний . 20
1.2.1 Методика В.М. Плотникова [87] 21
1.2.2 Методика газодинамического расчета параметров воздушных ударных волн при взрывах газа и пыли [89] . 23
1.3 Цель и задачи исследования 25
2 Исследование распространения ударных волн в местах изменения геометрии горных выработок 26
2.1 Распространение ударных волн в местах изменения конфигурации горной выработки в двумерной постановке . 26
2.2 Распространение ударных волн в местах изменения конфигурации горной выработки в трехмерной постановке . 46
2.3 Исследование распространения ударных волн через насыпные преграды и парашютные перемычки 49
2.3.1 Распространение ударных волн взрыва через парашютные перемычки 49
2.3.2 Распространение ударных волн взрыва через завалы (загромождения) в горных выработках 54
2.4 Выводы по главе 57
3 Исследование влияния взрывов на выброс метана из обрушенных пород горных выработок 59
3.1 Постановка задачи 59
3.1.1 Физическая постановка 59
3.1.2 Математическая постановка 62
3.2 Алгоритм численного решения 73
3.3 Результаты расчетов 75
3.4 Выводы по главе 82
4 Исследование взаимодействия ударных волн с защитными сооружениями 83
4.1 Оценка параметров физических процессов, сопровождающих прохождение ударной волны через двухфазную среду водных и пылевых защитных перемычек 83
4.1.1 Оценка релаксационных процессов для твердых частиц пыли 83
4.1.2 Релаксационные процессы в среде, состоящих из газа и жидких частиц 88
4.2 Равновесная модель двухфазного течения газа с частицами с учетом объема, занимаемого конденсированной фазой 89
4.2.1 Термодинамические соотношения 89
4.2.2 Законы сохранения в двухфазной равновесной смеси газа и частиц 92
4.2.3 Соотношения на ударных волнах и волнах разрежения в равновесной двухфазной среде с учетом собственного объема частиц 94
4.3 Аналитические исследования прохождения ударной волны через защитную перемычку 99
4.3.1 Алгоритмы расчета взаимодействия ударной волны с границами раздела газа и равновесной двухфазной среды 99
4.4 Численная методика расчета взаимодействия волн взрыва с пылевыми и водными защитными перемычками 105
4.4.1 Постановка задачи 106
4.4.2 Результаты расчетов 108
4.5 Затухание ударных волн при их взаимодействии с системой, состоящей из дисперсной защитной перемычки и твердой преграды 112
4.5.1 Физические основы процесса 112
4.5.2 О выборе диапазонов изменения параметров газодинамической модели 117
4.5.3 Результаты расчетов 120
4.6 Газодинамический метод расчета взаимодействия ударной волны с водными защитными преградами с учетом ПАВ 123
4.6.1 Вывод уравнений 123
4.6.2 Постановка газодинамической задачи 127
4.6.3 Результаты расчетов 129
4.7 Выводы по главе 132
5 Заключение 134
Литература 137
- Методика газодинамического расчета параметров воздушных ударных волн при взрывах газа и пыли [89] .
- Распространение ударных волн взрыва через парашютные перемычки
- Оценка релаксационных процессов для твердых частиц пыли
- Соотношения на ударных волнах и волнах разрежения в равновесной двухфазной среде с учетом собственного объема частиц
Введение к работе
Актуальность работы. Угольная шахта в настоящее время представляет собой сложный производственный комплекс в основе работы которого лежат строго регламентированная деятельность человека. Нарушение технологии, как правило, влечет за собой аварийные ситуации, часто проявляющиеся в виде взрывов метановоздушных или пылеуглеметановоздушных смесей. За последние 10 лет только на шахтах Кузбасса произошло более 20 аварий, в которых погибли больше 220 человек, при этом 206 из них стали жертвами взрывов метана.
Особо опасны для жизни людей взрывы, которые возникают во время горноспасательных работ. В этот момент, как правило, существующая в шахте система проветривания нарушается и существует угроза формирования объемов газа с взрывоопасной концентрацией метана. В таких условиях требуется оперативность и точность прогнозирования расстояний, на которых пребывание шахтеров и горноспасателей будет безопасным.
Поэтому исследования, направленные на детальное изучение прохождения ударных волн через повороты, пересечения, загромождения горных выработок, через дисперсные защитные сооружения, парашютные перемычки, а так же расчет выброса метана при прохождении ударной волны являются актуальными.
Исследования выполнялись по плану Томского государственного университета, тематике Научно-образовательного Центра "Физика и химия
высокоэнергетических систем" и по договорам с Российским научно-исследовательским институтом горноспасательного дела (РосНИИГД). Цель работы. Основными целями работы являются:
Исследовать распространение ударных волн в горных выработках с учетом их сложной геометрии в двумерной и трехмерной постановках;
Построить физическую и математическую модель и провести исследования взаимодействия ударных волн с выработанными пространствами, заполненными обрушенными породами;
Провести аналитические и численные исследования газодинамических процессов возникающих при взаимодействии ударной волны взрыва с защитной дисперсной преградой с учетом влияния различных факторов.
Задачи исследований:
Провести исследования газодинамических процессов, возникающих при распространении ударных волн через места поворотов, пересечения, загромождения горных выработок, через парашютные перемычки в двумерной постановке.
Провести исследования волновых эффектов, возникающих при распространении ударных волн через пересечения горных выработок в трехмерной постановке.
Исследовать влияние ударной волны на вытеснение метана из обрушенных пространств выработок.
Исследовать затухание ударной волны при прохождении пылевых и водных защитных перемычек.
7 Апробация работы. Результаты работы по мере их получения
докладывались и обсуждались на Международной конференции
"Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001г.),
VI международной конференции "Современные методы математического
моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск,
2001г.), IV Международной научно-практической конференции "Природные
и интеллектуальные ресурсы Сибири"(Кемерово, 2001г.), II Всероссийской
научной конференции молодых ученых "Фундаментальные и прикладные
проблемы современной механики" (Томск, 2001г.), Международной
конференции молодых ученых по математическому моделированию и
информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), XLI Международной
студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"
(Новосибирск, 2003г.), Международной конференции "VII Забабахинские
научные чтения" (Снежинск, 2003г.), I Всероссийской конференции молодых
ученых "Физика и химия высокоэнергетических систем" (Томск, 2005г.).
Научная новизна работы. В работе показано, что течение газа в области сопряжений и поворотов горных выработок имеет сложный характер и для корректного определения коэффициента затухания в каждом случае необходимы тщательные исследования, в том числе численные. Так же показано, что измерять давление газа для расчета коэффициента затухания ударной волны при прохождении сопряжения следует в некотором сечении, расположение которого можно выбирать в результате численных расчетов.
Построена физическая и математическая модель взаимодействия ударной волны взрыва в угольных шахтах с обрушенным пространством. Исследования в этом направлении позволили рассчитать объемы выброса
8 метана при взаимодействии ударной волны взрыва с выработанным
пространством. Хотя о наличии подобных выбросов известно было давно,
количественные результаты, позволяющие рассчитывать эти выбросы,
получены впервые.
В ходе исследований показана правомерность использования равновесной модели двухфазной среды при расчетах взрывозащитных пылевых и водных перемычек. Показано, что волны давления, в которые превращается ударная волна внутри перемычки, многократно отражаются от её границ, постепенно затухая за счет ухода слабых преломленных волн. Построена модель, учитывающая распыление водоналивных перемычек во времени. Показано, что времена распыления водных заслонов влияют на характер течения, однако на давление за перемычкой влияют слабо. Добавление поверхностно-активных веществ при создании водоналивных перемычек так же не приводит к заметному понижению запреградного давления. Основным фактором понижения давления является масса перемычки.
Обоснованность и достоверность результатов подтверждается корректностью физико-математических постановок, сравнением с результатами расчетов и экспериментальными данными других авторов.
Практическая значимость Результаты исследований
взаимодействия ударных волн с сопряжениями, поворотами и пересечениями горных выработок позволяют уточнять имеющиеся данные, используемые в расчетах взрывобезопасных расстояний в угольных шахтах.
Полученные в диссертации оценки объемов вытесненного метана при прохождении ударных волн через обрушенные пространства позволяют
9 рассчитывать возможность повторных взрывов и уточнять взрывобезопасные расстояния, что можно использовать при оценках безопасности работ в угольных шахтах.
Полученные результаты по моделированию взаимодействия ударных волн с дисперсными взрывозащитыыми перемычками вошли в "Аналитическую инженерную методику оценки затухания ударных волн при их прохождении через защитные сооружения" [1], утвержденную 02.03.2003г. Госгортехнадзором России.
Положения, выносимые на защиту:
Картина течения при прохождении ударной волны через сопряжения и повороты горных выработок весьма сложна и поэтому значение коэффициента затухания ударной волны существенно зависит от места измерения параметров газа;
Прохождение ударных волн через выработанные пространства, заполненные обрушенными породами, а так же взрывы внутри этих пространств способны вытеснять объемы метана;
При взаимодействии ударной волны с водной или пылевой перемычкой волны давления, в которые превращается ударная волна внутри перемычки, многократно отражаются от её границ, постепенно затухая за счет ухода слабых преломленных волн; .
При взаимодействии ударной волны с водоналивной или пылевой перемычкой основным фактором, влияющим на понижение давления за преградой является масса перемычки;
Времена диспергирования защитной водной перемычки влияют на
10 характер течения, однако на давление за перемычкой оказывают слабое
влияние;
6. При взаимодействии ударных волн с системой, состоящей из водоналивной или пылевой перемычки и твердой преграды, процесс носит существенно волновой характер и поэтому может быть рассчитан путем численного решения уравнений газовой динамики.
Публикации Основное содержание работы отражено в 9 печатных работах.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, изложенных на 153 страницах машинописного текста, включая 65 рисунков, 9 таблиц, список литературы из 114 наименований.
Методика газодинамического расчета параметров воздушных ударных волн при взрывах газа и пыли [89] .
На первом этапе расчета параметров воздушных ударных волн в методике задается зона взрыва. Под ней подразумевается участок горных выработок с неуправляемым проветриванием или запыленный угольной пылью до взрывоопасной концентрации. Следующим этапом задается давление в зоне взрыва. Предполагается, что при взрывах в угольной шахте формируется ударная волна, интенсивность которой не превышает давления при взрыве стехиометрической метановоздушной смеси. Давление в зоне взрыва определяется по безразмерной длине активного участка горения от очага воспламенения до границы раздела "горючая смесь-воздух". Давление во фронте сформировавшейся ударной волны определяется графически. Если размер области загазования превосходит значения, указанные на графике, а так же в том случае, если нет достоверных сведений о загроможденности выработки, в которой предполагается горение, то давление во фронте ударной волны устанавливается равным максимальному (1.6 МПа). После прекращения горения газопылевой смеси наступает режим распространения ударной волны по горным выработкам. Для расчета распространения воздушной ударной волны по участкам выработок не имеющих местных сопротивлений, в методике [89] используется одномерные дифференциальные уравнения газовой динамики, в которых посредством правых частей учитываются процессы силового и теплового взаимодействия газового потока со стенками выработки. В качестве уравнения состояния используется уравнение состояния идеального газа. В местах сопряжения горных выработок под различными углами течение газа описывается трехмерными дифференциальными уравнениями газовой динамики, при этом пренебрегается трением и теплообменом вследствие их малости. В качестве начальных условий для решения уравнений в зоне взрыва задается давление, температура и плотность продуктов взрыва метановоздушной смеси стехиометрического состава. В остальных выработках задаются параметры газа, соответствующие нормальным условиям в шахте. Граничные условия устанавливаются в зависимости от конфигурации выработки. Для тупика или изолирующей перемычки используется условие непротекания. Если выработка выходит на поверхность, то на границе выставляются постоянные давление и плотность, соответствующие атмосферным. В местах ветвления в качестве граничных условий используются -значения потоков массы, импульса и энергии, определяемые из решения задачи о распаде разрыва. Расчет ведется на персональном компьютере по специальной программе, автоматизирующей весь ход вычислительного процесса и позволяющей рассчитывать давление, плотность и температуру в горных выработках в любой момент времени.
Обзор современного состояния математического моделирования взрывов метановоздушных смесей, методов расчета взрывобезопасных расстояний и взрывозащитных сооружений в угольных шахтах показывает, что в результате применения газодинамических методов и компьютерного моделирования в последние годы произошел качественный скачек в исследованиях подземной газовой динамики взрывов. Тем не менее, существует очень много вопросов, требующих дополнительных исследований, а такая проблема как выбросы метана практически не изучена. Поэтому в данной диссертации с целью совершенствования методов расчета распространения ударных волн в горньгх выработках угольных шахт и учета их влияния на возможные выбросы метана решались следующие задачи: 1. Исследование волновых эффектов, возникающих при распространении ударных волн через повороты, пересечения, загромождения горных выработок, через парашютные перемычки в двумерной постановке. 2. Исследование трехмерных волновых эффектов, возникающих при распространении ударных волн через пересечения горных выработок в трехмерной постановке. 3. Исследование затухания ударной волны при прохождении водоналивных и пылевых дисперсных перемычек, в том числе с учетом затрат энергии на дробление капель. 4. Исследование влияния ударной волны на вытеснение метана из обрушенных пород горных выработок. Технологии угледобычи сопряжены с опасностью накопления в шахтной атмосфере больших объемов горючих газов и пыли, в результате чего может произойти взрыв смеси метана, угольной пыли и воздуха с формированием ударных волн. Избыточное давление во фронте ударной волны является наиболее опасным для жизни и здоровья людей. По мере прохождения ударными волнами мест сопряжения и поворотов горных выработок избыточное давление изменяется и необходимо знать насколько произойдет уменьшение или увеличение избыточного давления. Существующие методы расчетов избыточного давления основаны либо на экспериментальных данных [87], либо на моделировании распространения ударных волн в одномерном приближении [89]. Однако, как уже было показано в [90], картина течения при прохождении ударной волны через сопряжение горных выработок, пересекающихся под прямым углом, весьма сложна и требует тщательного исследования. В данной главе поставлена и решена численным методом задача о распространении ударной волны в местах изменения геометрии.
Распространение ударных волн взрыва через парашютные перемычки
Горным бюро США [94] и ВНИИГД [95] предложено использовать для гашения воздушных ударных волн слабой интенсивности взрывоустойчивые перемычки парашютного типа. Эти перемычки требуют не более получаса на возведение и в режиме ожидания не нарушают режим проветривания горных выработок. Моделирование взаимодействия ударных волн с парашютными взрывозащитпыми перемычками проводилось в системе уравнений (2.1). Область расчета представлена на рисунке 2.16. На границах АВ, BD, DE, ЕА. а так же на самой парашютной перемычке устанавливалось граничное условие непротекания (2.5). Область взрыва задавалась так, как предложено в работе [96] — мгновенным повышением давления и температуры до величин Р 1, GMIJa, Т — 4650Л" на длине 30 метров начиная от границы выработки. Взрывозащитная парашютная перемычка располагалась на расстоянии 105 метров от зоны взрыва и характеризовалась параметром a = Snp/S, где Snp — площадь проходного сечения выработки, S — площадь сечения выработки. На рисунке 2.17 представлен фрагмент расчетной области, содержащий парашютную перемычку в различные моменты времени. В первый представленный момент времени (t = 0,08сек.) отчетливо видно взаимодействие ударной волны взрыва с перемычкой — в той части выработки, где перемычка отсутствует происходит дифрагирование ударной волны и проникновение газа повышенного давления области за парашютной перемычкой. Перед парашютной перемычкой, где происходит отражение ударной волны, давление повышается — это легко проследить по более темному цвету заливки. непосредственно за парашютной перемычкой. Точки 4,5 и 6 располагались в серединах отрезков 1-7, 2-8, 3-9 соответственно. Из первого рисунка (рис. 2.18а) легко заметить, что непосредственно в месте установки перемычки давление существенно различается, однако, на расстоянии 25 метров от перемычки (рис. 2.186) значения давления в точках 4,5,6 выравниваются. В точках 7,8,9 (рис. 2.18в) величины давления так же слабо различаются. С уменьшением числа о. (рис. 2.19) давление за парашютной перемычкой уменьшается — это связано с уменьшением проходного сечения канала. Однако, с ростом числа а увеличивается разброс значений давления в точках 7,8,9 (рис. 2.20— 2.22). Сразу стоит отметить, что несмотря на этот факт, максимальное значение давления мало отличается от среднего значения по поперечному сечению выработки. В таблице 2.6 приведены значения коэффициентов ослабления ударной волны взрыва в зависимости от перфорации преграды [87]. Под коэффициентом перфорации (а) преграды в [87] принимается отношение свободной от заполнения преградой площади канала к площади канала, в котором устанавливается преграда. Под коэффициентом ослабления понимается отношения избыточного давления до перемычки к избыточному давлению после нее. Как видно из таблицы, полученные в ходе численного моделирования результаты для а = 0,1; 0,3; 0,5 хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в [87].
Однако, для а = 0,7; 0,9 данные существенно различаются; коэффициенты ослабления представленные в [87] оказываются выше — это может быть оправдано с В угольных шахтах при ликвидации подземных аварий при угрозе взрыва на пути предполагаемого движения ударной волны создают искусственные загромождения горных выработок в виде завалов из груженых вагонеток или обрушенной кровли. Такие завалы не полностью перекрывают сечение горной выработки, поэтому их можно рассматривать как аэродинамическое сопротивление на пути распространения ударной волны. В области, изображенной на рисунке 2.23 решаются уравнения газовой динамики (2.1). На границах расчетной области ставилось граничное условие непротекания (2.5). Область взрыва задавалась так, как предложено в работе [96] — мгновенным повышением давления и температуры до величин Р = 1,6МЯа, Т = АбЬОК на длине 30 метров начиная от границы выработки. Место загромождения моделировалось изменением нижней границы по тригонометрическому закону. Основными параметрами завала являлись высота Н и длина L. Расчетная стека, использовавшаяся для расчета представлена на рис. 2.24. В ходе расчетов проводилось исследования распределения давления по верхней (BD), нижней (АЕ) и центру выработки (GI). Результаты расчетов приведены на рисунке 2.25 для Легко заметить, что практически на всех девяти графиках давление в расчетной области в представленный момент времени в трех продольных сечениях выработки (кривые BD, GI, АЕ) практически не меняются. Из рисунка отчетливо видно, что длина завала, особенно при малых значениях Н оказывает слабое влияние на величину давления после преграды. Однако, при возрастании высоты завала влияние L на давление усиливается. Основным же фактором, влияющим на понижение давления является высота завала Н — чем она выше, тем меньше проникает давление за преграду.
Оценка релаксационных процессов для твердых частиц пыли
Рассмотрим сначала процессы, протекающие в двухфазных средах, состоящих из газа и взвешенных в нем твердых частиц пыли. При нестационарных течениях газа с частицами имеет место скоростная и тепловая неравновесность течения: скорости и температуры частиц в таких течениях отличаются от скоростей и температуры газовой фазы. Оценим эффекты неравновесности для частиц пыли при прохождении ударной волны через защитную перємвічку. С этой целью рассмотрим взаимодействие с ударной волной одиночной частицы, покоившейся в газе до прохождения в момент времени t — О ударной волны. Пусть скорость газа за фронтом ударной волны равняется щ = const. Скорость частицы щ можно найти, решая уравнение движения где ms — масса частицы, a Fc — сила сопротивления, с которой набегающий поток воздействует на частицу. Для оценок силы сопротивления воспользуемся законом Стокса, согласно которому для сферических частиц диаметром dS) обтекаемых вязким газом с вязкостью п и скоростью и Введем плотность ps материала, из которого состоит частица. Тогда масса сферической частицы Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1) с учетом равенства и = щ = const получим уравнение Решая (4.4) с учетом начального условия (щ — u$)t=0 = щ найдем Величина та называется динамическим временем релаксации частицы в вязком газе (за время тд начальная разность скоростей газа и частицы, равная «о, уменьшается в е раз). Обозначим через гг характерное время исследуемого газодинамического процесса. В рассматриваемом случае п Рассмотрим сначала процессы, протекающие в двухфазных средах, состоящих из газа и взвешенных в нем твердых частиц пыли. При нестационарных течениях газа с частицами имеет место скоростная и тепловая неравновесность течения: скорости и температуры частиц в таких течениях отличаются от скоростей и температуры газовой фазы. Оценим эффекты неравновесности для частиц пыли при прохождении ударной волны через защитную перємвічку. С этой целью рассмотрим взаимодействие с ударной волной одиночной частицы, покоившейся в газе до прохождения в момент времени t — О ударной волны. Пусть скорость газа за фронтом ударной волны равняется щ = const. Скорость частицы щ можно найти, решая уравнение движения где ms — масса частицы, a Fc — сила сопротивления, с которой набегающий поток воздействует на частицу. Для оценок силы сопротивления воспользуемся законом
Стокса, согласно которому для сферических частиц диаметром dS) обтекаемых вязким газом с вязкостью п и скоростью и Введем плотность ps материала, из которого состоит частица. Тогда масса сферической частицы Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1) с учетом равенства и = щ = const получим уравнение Решая (4.4) с учетом начального условия (щ — u$)t=0 = щ найдем Величина та называется динамическим временем релаксации частицы в вязком газе (за время тд начальная разность скоростей газа и частицы, равная «о, уменьшается в е раз). Обозначим через гг характерное время исследуемого газодинамического процесса. В рассматриваемом случае прохождения ударной волны через газопылевую перемычку, простирающуюся на расстояние L, за тг удобно принять величину где D- скорость ударной волны. За время тг начальная разность скоростей газа и частицы уменьшиться в етй раз. Если TQ « тр, то по прошествии времени тг частицы будут двигаться почти со скоростью газа. При т& » тг скорость частиц за время тр практически не изменится. Так как TQ ~ d2s, то последнее неравенство всегда может быть выполнено для достаточно крупных частиц. Как следует из (4.5) такие частицы фактически не будут ускоряться газом и по третьему закону Ньютона в свою очередь будут оказывать на газовую среду в ударной волн весьма слабое воздействие. В результате для крупных частиц можно ожидать падения эффективности защитной перемычки, через которую газ будет протекать "не замечая" частиц. Подставляя в первое неравенство выражение (4.5) и (4.6) для TQ И тр получим оценку для диаметра частиц, хорошо взаимодействующих с газовой фазой в ударной волне Для характерных величин т) рохождения ударной волны через газопылевую перемычку, простирающуюся на расстояние L, за тг удобно принять величину где D- скорость ударной волны. За время тг начальная разность скоростей газа и частицы уменьшиться в етй раз. Если TQ « тр, то по прошествии времени тг частицы будут двигаться почти со скоростью газа. При т& » тг скорость частиц за время тр практически не изменится. Так как TQ d2s, то последнее неравенство всегда может быть выполнено для достаточно крупных частиц. Как следует из (4.5) такие частицы фактически не будут ускоряться газом и по третьему закону Ньютона в свою очередь будут оказывать на газовую среду в ударной волн весьма слабое воздействие. В результате для крупных частиц можно ожидать падения эффективности защитной перемычки, через которую газ будет протекать "не замечая" частиц. Подставляя в первое неравенство выражение (4.5) и (4.6) для TQ И тр получим оценку для диаметра частиц, хорошо взаимодействующих с газовой фазой в ударной волне Для характерных величин т)
Соотношения на ударных волнах и волнах разрежения в равновесной двухфазной среде с учетом собственного объема частиц
С целью вывода указанных соотношений перепишем условия на разрыве (4.27) в форме где j - поток газа через поверхность разрыва. В дальнейшем условимся, что среда перетекает через разрыв со стороны 1 на сторону 2. Другими словами, Из (4.37) и (4.35) получаем выражения для скорости перед ударной волной Выражения (4.38) и (4.39) для скорости потока записаны в системе координат, движущейся вместе с ударной волной. Если ударная волна движется влево, то, переходя в (4.38) к неподвижной системе координат, получим Для численных и аналитических исследований взаимодействия ударных волн с защитными преградами необходимо также иметь формулы для расчета центрированных волн разрежения в средах с учетом собственного объема дисперсной фазы. Прежде чем переходить к исследованию этого вопроса, найдем выражение для скорости звука в такой среде. По определению, квадрах с_ звука равен производной [ ), вычисленной при постоянной энтропии. Б рассматриваемой модели следствием постоянства энтропии является связь (4.41). Исключая с помощью (4.41) из уравнения состояния (4.14) температуру, получим выражение (4.22), из которого можно найти искомую производную. Результат дифференцирования приводит к выражению для скорости звука с = (4.44) V Р« С использованием связи (4.22) выражение для квадрата скорости звука может быть приведено так же к виду - (?)( ) Для вычисления связей между параметрами на переднем и заднем фронтах волны разрежения используются инварианты Р и мана fdP 7 fdP fttnS J+=u+/ — и J_ = u - / — (4.46) J pc J pc При изэнтропическом течении газа величина J+ остается постоянной вдоль характеристики -— = и + с, пересекающей центрированную at волну разрежения, распространяющуюся влево. Аналогично Л остается постоянной вдоль характеристики, пересекающей правую волну разрежения. Интегрируя квадратуры (4.45) и (4.46) найдем -sJo (4.47) fdP_ 2 кРр ( J рс к - 1V Ро V Подставляя (4.47) в (4.46) и используя постоянство инвариантов поперек соответствующих волн разрежения, для левой волны разрежения найдем связь параметров 1- щ-щ для правой волны ( = с\ fc-i V 1-А ( ) к-у 2к = (4.48) U2 — Щ + = ггЫ) 4S) fc-1 2 = (4.49) Здесь, как и в случае ударных волн, индекс 1 относиться к параметрам перед фронтом волны разрежения, индекс 2 к параметрам на последней характеристике её заднего фронта. 4.3. Аналитические исследования прохождения ударной волны через защитную перемычку 4.3.1. Алгоритмы расчета взаимодействия ударной волны с границами раздела газа и равновесной двухфазной среды
При взаимодействии ударных волн (волн сжатия) и волн разрежения с границами раздела сред возникают задачи о распаде разрыва. Классическая постановка задачи о распаде разрыва состоит в следующем. Пусть в начальный момент времени і — 0 при х — 0 приведены в соприкосновение две среды. полупространства (х 0) -параметрами {p2,P2,v 2)- Так, например, если в начальный момент времени привести в соприкосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то поверхность соприкосновения будет поверхностью разрыва в начальном распределении давления. Если параметры соприкасающихся сред не удовлетворяют записанным выше соотношениям на разрывах, то такой разрыв не может существовать и распадается на несколько разрывов, которые с течением времени отходят друг от друга. Возможные конфигурации возникающих при распаде волн хорошо изучены [91]. Всего существует четыре конфигурации: - две ударные волны с контактным разрывом между ними; - две центрированные волны разрежения с промежуточным контактным разрывом; - конфигурация, состоящая из ударной волны и волны разрежения с контактным разрывом;
