Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц Макарчук, Роман Сергеевич

Введение к работе

Актуальность проблемы. Изучение особенностей течений жидкости со свободными границами является очень актуальной задачей, поскольку такого рода течения встречаются повсеместно. Достаточно привести в качестве примеров такие сложные физические процессы, как накат волны на наклонный берег, взаимодействие волн с береговыми и донными сооружениями, погруженными в жидкость телами: задачи глиссирования, посадки гидросамолетов на поверхность водоемов и т. д. Практический интерес в таких задачах представляют как кинематические характеристики течений - поле скоростей, положение свободной границы, так и динамические - поле давления, величины гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения или погруженные тела.

Исследованию процессов взаимодействия твердых и упругих тел с жидкостью посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых: Л. И. Седова, Г. В. Логвиновича, В. В. Пухначева, А. А. Коробкина, А. Г. Те- рентьева, Э. И. Григолюка, А. Г. Горшкова, М. В. Норкина, В. И. Юдовича, Г. Г. Шахверди, H. Wagner, R. Zhao, O. Faltinsen, M. Greenhow, W. M. Lin, X. Zhu и др.

В работах приводятся аналитические и численные решения вышеуказанных задач, результаты лабораторных испытаний, однако, в связи со сложностью рассматриваемых явлений, получение как аналитических так и численных решений в полной математической постановке весьма затруднительно или невозможно, а лабораторные эксперименты, не говоря уже о натурных испытаниях, являются весьма дорогостоящими и трудоемкими. С другой стороны, непрерывный рост производительности компьютерной техники и все более возрастающая ее доступность для широкого круга исследователей, открывает новые возможности для решения ранее неисследованных, в силу их сложности, задач. Оба этих фактора и обуславливают постоянное увеличение общей доли вычислительного эксперимента в научных исследованиях по сравнению с аналитическими выкладками, лабораторными экспериментами и натурными испытаниями.

Несмотря на всю привлекательность использования аппарата вычислительной математики для моделирования таких процессов, этот путь, тем не менее, представляет значительные трудности, что обусловлено, во-первых, неизвестным заранее положением свободной границы области расчета, которое необходимо находить на каждом шаге по времени, во-вторых, ее сложным поведением, часто приводящим к нарушению связности области расчета и, в итоге, к вытекающим отсюда проблемам вычислительного характера.

Для описания движения сплошных сред традиционно используется два подхода: Эйлера и Лагранжа. Методы, основанные на подходе Эйлера, используют неподвижную сетку в системе координат наблюдателя, сквозь которую движутся материальные частицы (малые объемы) сплошной среды, все физические характеристики при этом определяются в узлах данной сетки. Методы, основанные на лагранжевом подходе, используют сетку, "вмороженную" в материальную среду. Это означает, что она двигается и деформируется вместе со сплошной средой. Узлы такой сетки жестко связаны ребрами и вместе с ними образуют ее ячейки, а при движениях и деформациях связи узлов сохраняются.

Использование классических численных методов как эйлерового так и лагранжевого типа для проведения вычислительных экспериментов связано с определенными трудностями. Основная проблема первых состоит в сложности постановки граничных условий в связи с заранее неизвестным положением свободной границы. Недостаток вторых - аварийный останов программы при пересечениях ребер ячеек сетки, возникающих в случае больших деформаций области расчета.

В последнее время все большее распространение стали получать бессеточные методы, к которым, следуя Лью, будем причислять методы, не требующие использования связной сетки, по крайней мере, на этапе построения функций формы. К таковым, в частности, относятся бессеточный метод конечных элементов (MFEM - Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (NEM - Natural Element Method), которые используют слабую форму уравнений динамики жидкости, для интегрирования которой и необходимо наличие сетки, что, несмотря на все несомненные достоинства этих методов, все же подразумевает привлечение сложных и ресурсоемких алгоритмов ее построения и алгоритмов определения свободной границы.

Особое место в ряду бессеточных методов занимает метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics), стремительно развивающийся и давший толчок к развитию множества других методов, использующих его идеологию (MPS - Moving Particle Semi-Implicit, ISPH - Incompressible SPH и др.). Ввиду общей идеологической основы методов, будем использовать для их именования общий термин - методы сглаженных частиц. Непосредственным предшественником метода сглаженных частиц является метод PAF (Particle-and-Force), от которого он унаследовал, среди прочего, и свое основное свойство - полное отсутствие сетки, обусловленное использованием сильной формы уравнений динамики жидкости. Эта специфика метода и определила ряд его преимуществ перед другими бессеточными методами: простота программной реализации ввиду отсутствия потребности в сложных алгоритмах численного интегрирования и построения сетки, использование простейших алгоритмов определения свободных границ и границ раздела, непосредственный переход к решению трехмерных задач без привлечения дополнительных, не характерных для двумерных случаев, алгоритмов.

К настоящему моменту метод сглаженных частиц оброс значительным количеством разнообразных модификаций, улучшивших качественные характеристики метода и его эффективность и позволивших ему завоевать твердые позиции в сфере численного моделирования задач из различных областей механики. Вышеперечисленные особенности метода обосновывают целесообразность его использования для решения задач, предлагаемых в настоящей работе.

Цель работы - адаптация и развитие метода сглаженных частиц для получения инструмента численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, позволяющего определять гидродинамические нагрузки на твердые стенки области течения и погруженные тела.

Задачи исследования:

1. Разработка алгоритма метода сглаженных частиц для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и его реализация в виде комплекса программ.

2. Разработка алгоритма корректировки свободной поверхности для обеспечения устойчивости вычислений и корректного определения гидродинамических нагрузок.

3. Разработка алгоритмов перемещения абсолютно твердого тела и его взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью.

4. Проведение расчетов тестовых и модельных задач методом сглаженных частиц. Сравнение полученных результатов с аналитическими и эталонными численными решениями, а также расчетами других авторов.

5. Проведение вычислительных экспериментов по моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости при наличие больших деформаций свободных границ, приводящих к нарушению связности области расчета, включая процессы взаимодействия жидкости и погруженного твердого тела.

6. Определение значений гидродинамических нагрузок на твердые границы области течений и погруженные в жидкость тела.

Научная новизна работы:

6. 1. Предложены модификации метода сглаженных частиц, использование которых дает возможность моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, включая процессы взаимодействия жидкости с твердыми телами, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

   2. Разработан алгоритм на основе метода сглаженных частиц, позволяющий проводить моделирование сложных задач динамики жидкости на всех стадиях вычислительного эксперимента, включая этапы развитых течений, сопровождающиеся нарушением связности области расчета.

   3. Проведены в полной нелинейной постановке численные расчеты задач о всплытии плоского кругового цилиндра в жидкости, входе и погружении в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров. Определены гидродинамические нагрузки на вертикальные стенки бассейна, гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, исследованы процессы распространения волн, образующихся в результате падения цилиндров в жидкость.

   На защиту выносятся:

   6. 3. 1. Разработанная полиномиальная функция ядра четвертой степени, обладающая свойством монотонности первой производной и позволяющая стабилизировать вычисления за счет обеспечения равномерности расположения узлов "сетки".

         2. Алгоритм корректировки свободной поверхности, позволяющий стабилизировать вычисления поля давления вблизи нее и получить удовлетворительные хронограммы гидродинамических нагрузок.

         3. Алгоритм решения нестационарных задач, позволяющий моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости, сопровождающиеся сильными деформациями свободной поверхности, взаимодействие жидкости с погруженными твердыми телами, определять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

         4. Результаты численного моделирования процессов всплытия плоского кругового цилиндра в жидкости, входа и погружения в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

         Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждаются адекватностью используемых математических моделей рассматриваемой предметной области и корректностью математических постановок задач и методов их решения, основываются на расчетах классических тестовых и модельных задач и сравнении их с известными аналитическими решениями или результатами расчетов, приведенных в работах других исследователей.

         Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем. Метод сглаженных частиц с предлагаемыми в работе модификациями дает возможность проводить численное моделирование задач динамики жидкости со свободными границами, включая этапы развитых течений, особенностью которых является наличие сильных деформаций области расчета, и процессы взаимодействия жидкости с погруженными твердыми телами. Метод позволяет получать качественные картины поля давления, определять значения гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения и твердые тела, погруженные в жидкость.

         Основные результаты исследования использовались при выполнении работ в рамках проектов, выполненных в ЦНИТ КемГУ:

         - проекта № 4829 "Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах" (2005 год) по ведомственной научной программе федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы".

         1. интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008 годы) по теме "Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом Блок 2: "Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями Пункт 1. "Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения".

         2. государственного задания на выполнение научно-исследовательских работ в рамках тематического плана ФГБОУ ВПО "Кемеровский государственный университет" (2012-2014 годы) по теме "Исследование воздействия весомой жидкости на закрепленные и плавающие конструкции и береговые сооружения" (регистрационный № 01201263105).

         Представление результатов. Основные результаты диссертации представлялись на: III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово, 2004-2008); XI Международной научно- методической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Кемерово, 2006); III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово, 2006); VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006); Международной конференции "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии" (Томск, 2007); 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008); Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2010); Научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Чебоксары, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Научном семинаре "Информационные технологии и математическое моделирование" под руководством профессора Афанасьева К. Е. (Кемерово, 2004-2012); Научном семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр. РАН Пухначева В. В. (Новосибирск, 2012); Научном семинаре "Вычислительные методы в гидромеханике" под руководством профессора Бубенчико- ва А. М. (Томск, 2012).

         Публикации. По теме диссертации опубликована 20 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертации.

         Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертационной работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

         Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 177 страниц машинописного текста, включая приложение - 8 страниц; библиографический список состоит из 170 литературных источников.

         Похожие диссертации на Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц

         

         Моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностьюПономарева, Мария Андреевна

         

         Численное моделирование трехмерных турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в лопастных гидромашинахБолдырев Алексей Владимирович

         

         Сопряжённый тепломассоперенос при течении вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной каверне с подвижными границамиКрайнов Александр Валерьевич

         

         Моделирование лазерно-оптических методов измерения параметров дисперсных частиц в запыленных плазменных струяхКартаев Евгений Владимирович

         

         Численное моделирование особенностей течений идеального газа и двухфазных смесей газа с частицамиПьянков, Кирилл Сергеевич

         

         Численное исследование течений вязкой жидкости в каналах с заданными перепадами давления Мошкин Николай Павлович

         

         Динамика и устойчивость формы капель и пузырьков при течении вязкой жидкостиУсанина, Анна Сергеевна

         

         Численное исследование периодических и стационарных течений вязкой жидкостиКалинин, Евгений Игоревич

         Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра : численный эксперимент, бифуркационный и асимптотический анализНуриев, Артем Наилевич

         Исследование течений вязкой жидкости в каналах сложной формыФирсов Дмитрий Константинович