Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Параметрическая неустойчивость в колебательных и волновщщих системах 8
1. Параметрическая неустойчивость в системе двух нелинейно связанных гармонических осцилляторов 9
2. Параметрическая неустойчивость в системах с распределенными параметрами 14
3. Точные решения системы укороченных уравнений для трех параметрически взаимодействующих волн в безграничных и ограниченных нелинейных средах 19
4. Параметрические генераторы волн - практическая реализация и математические модели 24
ГЛАВА 2. Стационарные состояния 31
1. Классификация трехволновых параметрических процессов 31
2. Возможные варианты трехволновых параметрических взаимодействий в системе электронный поток электромагнитные волны 36
3. Стационарные состояния трехволновых параметрических взаимодействий в ограниченной области 41
4. Стационарные состояния трехволновых параметрических взаимодействий в ограниченных средах при наличии отражения 48
ГЛАВА 3. Численное моделирование трехволновых параметрических взаимодействий в ограниченных средах 60
1. Кинетика развития параметрической неустойчивости в ограниченных средах 61
2. Нестационарное взаимодействие попутных волн в квадратично-нелинейной среде при наличии отражения /вариант/ 67
3. Нестационарное взаимодействие встречных волн в квадратично-нелинейной среде при наличии отражения /вариант / 79
Основные результаты и выводы 89
Литература
- Параметрическая неустойчивость в системах с распределенными параметрами
- Параметрические генераторы волн - практическая реализация и математические модели
- Стационарные состояния трехволновых параметрических взаимодействий в ограниченной области
- Кинетика развития параметрической неустойчивости в ограниченных средах
Введение к работе
Явления параметрического усиления и генерации волн широко используются для создания высокоэффективных усилителей и генераторов когерентного коротковолнового излучения с плавно перестраиваемой частотой в миллиметровом, субмиллиметровом и оптическом диапазонах длин волн. Теория этих явлений хорошо разработана для случая термодинамически равновесных сред и успешно применяется при анализе работы параметрических усилителей и генераторов света а также различных акустооптических и акустоэлектрических устройств. В последнее время методы нелинейной оптики начинают широко использоваться при анализе параметрических процессов в термодинамически неравновесных средах - в частности в системах с электронным пучком, позволяющих вести активное преобразование частоты вверх и получать мощное когерентное излучение в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах длин волн. В связи с этим расширяется диапазон возможных вариантов параметрических взаимодействий и имеет смысл провести исследование стационарных и нестационарных параметрических процессов в равновесных и неравновесных средах с единой позиции.
Большой интерес представляет исследование нестационарных процессов в указанных системах, в частности анализ возможностей генерации мощных коротких импульсов /"пичковые" режимы/, а также исследование переходных процессов, поскольку в реальных параметрических генераторах время установления стационарного режима может быть сравнимым или даже превосходить длительность импульса накачки. Наконец, важной задачей в теории параметрических генераторов с непрерывной накачкой является анализ установившихся режимов гене-
рации и исследование переходных процессов. Указанные задачи сводятся к решению систем связанных уравнений в частных производных , поддающихся в общем случае лишь качественному анализу. Поэтому особую важность здесь приобретают численные методы решения, которые помимо получения количественных результатов позволяют производить численные эксперименты для выявления закономерностей изучаемых процессов .
Учитывая вышесказанное в данной работе была поставлена задача проанализировать все возможные случаи трехволнового параметрического взаимодействия, которые могут быть реализованы в термодинамически равновесных и неравновесных средах и изучить стационарные режимы с учетом граничных условий как без отражения, так и с отражением; исследовать нестационарные процессы и решить вопрос об устойчивости стационарных режимов параметрической генерации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы.
В первой главе рассмотрена параметрическая неустойчивость двух нелинейно связанных гармонических осцилляторов на основе укороченных уравнений, полученных методом, изложенным в [9] , который не использует общепринятой процедуры отбрасывания вторых производных. Приведен краткий обзор литературы по теории параметрической неустойчивости в системах с распределенными параметрами. Рассмотрены методы решения систем укороченных уравнений. Освещено состояние теории и практической реализации параметрических генераторов.
Во второй главе произведена классификация всех возможных вариантов трехволновых параметрических процессов в равновесных и неравновесных средах. Показано, что из возможных пяти вариантов два реализуются в равновесных средах, а в неравновесных средах могут быть реализованы все пять вариантов. На основе произведенной клас-
/
сификации изучены стационарные состояния в задачах с граничными условиями без отражения и с учетом отражения одной из волн. Пока-зано, что при отсутствии отраженных волн в ограниченных системах в двух из десяти возможных случаев реализуются неоднородные стационарные состояния. Развита теория стационарной параметрической генерации в системах с отраженной волной, обладающих при отсутствии обратной связи конвективной неустойчивостью.
В третьей главе приводятся результаты численного исследования кинетики развития параметрической неустойчивости в ограниченных средах. Рассмотрены различные стадии процесса развития во времени и в пространстве абсолютной неустойчивости, обусловленной трехволновым параметрическим взаимодействием. С учетом пространственного изменения амплитуд и расстройки групповых скоростей исследованы переходные процессы и различные установившиеся режимы генерации в параметрическом генераторе с обратной связью на одной из волн. Показано, что при некотором соотношении групповых скоростей и определенных значениях параметра нелинейности рассмотренные во второй главе стационарные решения являются неустойчивыми и реализуются различные динамические режимы генерации. Все режимы регулярные (квазистохастических режимов не наблюдалось). Произведен Фурье-анализ выходных сигналов, который показал, что динамические режимы отличаются спектральным составом.
В конце диссертации дан перечень основных результатов, полученных в ходе проведенных исследований.
На защиту выносятся основные положения: I) Классификация трехволновых параметрических взаимодействий волн
различной природы (электромагнитных, акустических, волн пространственного заряда и др.) на основе различия знаков их групповых скоростей и коэффициентов нелинейности.
2) Стационарная теория параметрической генерации в равновесных и неравновесных средах.
3} Установлены основные закономерности переходных процессов и различных режимов параметрической генерации в равновесных и неравновесных средах; исследована устойчивость стационарных режимов генерации с учетом пространственного изменения амплитуд и расстройки групповых скоростей взаимодействующих волн.
Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих работах:
Задорожный В.И., Федорченко A.M. Классификация трехволновых параметрических процессов.-ЖГФ, 1980, т.50,МО, с. 2256-2257;
Задорожный В.И., Федорченко A.M. О стационарных состояниях трехволновых параметрических процессов в ограниченной области.- УФЖ, 1981, т.26, №1, с. 51-56;
Задорожный В.И., Федорченко A.M. О возможных трехволновых параметрических процессах в электронных потоках. - ЇЇТФ, 1983, т.53, №2, с. 381-383;
Задорожный В.И., Федорченко A.M. О режимах параметрической генерации в электронных потоках. - ЖГФ, 1983, т.53, №11, с. 2272-2274;
Задорожный В.И., Коцаренко Н.Я., Федорченко A.M. Параметрическая неустойчивость в колебательных и волноведущих системах. - Вестник Киевского университета. Физика, 1984, вып. 25, с. 73-81;
Задорожный В.И., Федорченко A.M. О возможных трехволновых параметрических процессах в электронных потоках. - Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой". *- Алма-Ата, изд. Казахского госуниверситета, 1982, с. 22-23.
Параметрическая неустойчивость в системах с распределенными параметрами
При рассмотрении нелинейных распределенных систем за основу берутся периодические стационарные бегущие волны /волны, описываемые решениями j (to t - къ) / [Ю] . В нелинейной среде периодические стационарные волны разных частот или разных направлений начинают взаимодействовать между собой. В случае сильной нелинейности среды взаимодействие, сильно искажающее форму волн, происходит на интервале, сравнимом с характерным временем и пространственным масштабом волны. Сюда в большинстве случаев относится взаимодействие простых и ударных волн, солитонов. В настоящей работе будет рассмотрен прямо противоположный случай систем со слабой нелинейностью, в которых заметное искажение волн происходит только при резонансном взаимодействии на длинах, значительно превышающих длину волны. При этом взаимодействие будет максималь-ным при условии К = Z_ Kj , которое эквивалентно требованию, чтобы фазовые соотношения между волнами сохранялись на всем протяжении нелинейной среды [11,12] . В среде с квадратичной нелинейностью при наличии дисперсии самый общий процесс - трехчастотный. При этом параметрически неустойчивыми будут волны, для которых выполнены условия синхронизма
В дальнейшем будем рассматривать только такие случаи, когда условия (I.I2) выполняются для одной тройки волн, а также такие многоволновые взаимодействия, для которых взаимодействием всех троек волн кроме одной можно пренебречь и процесс взаимодействия рассматривать как трехволновой [3,6,13,14] .
В случае слабой нелинейности и наличия дисперсии /в указан ном выше смысле/ стационарные бегущие волны (несущие) близки к синусоидальным и квазистационарные /медленно изменяющиеся по от дельным параметрам/ волны можно описать решениями A(i,z) С + к.с. , где Яа, ) - вещественная медленно изменяющаяся функция времени и координаты. В достаточно длинных по сравнению с длиной волны нелинейных пространственно однородных системах резонансное трехволновое параметрическое взаимодействие может быть описано системой укороченных уравнений, которые в первом приближении имеют вид [3, 14-16] : ГДЄ М: = —1 + Vj — + S: коэффициенты линейного поглощения, ск-. - коэффици су енты нелинейной связи, л К = К2+ къ - кі , У- = Л- Є J Уравнения второго приближения [16,17,19] отличаются от л (2.) А /v) л уравнений (I.I3) видом оператора Pi- : М- = М: + [_ » где L: = - г ;ГГ7я гтга - если рассматривается задача с началь-ными условиями и L; - -yJ г—Jx тг " если раеематрива ется задача с граничными условиями /см. [19] /. Этими уравнениями следует пользоваться, когда нельзя пренебречь слагаемыми, содержащими вторые производные по координате /или по времени/, т.е. при выполнении условия _. « эк / Ч» (или "lj : j Эс / ), где L: и Tj - соответственно характерный пространственный и временной масштаб волны. Для случая задачи с граничными условиями /которая и будет рассматриваться в последующем изложении/ оценки показывают [15] , что указанное выше условие выполняется лишь для сверхкоротких импульсов излучения длительностью V& 10 с .
В случае равновесной среды вещественные коэффициенты нелинейности of- /чисто мнимые dj могут быть сведены к вещественным перенормировкой амплитуд/ удовлетворяют условиям симметрии [18] : В термодинамически неравновесных средах dj могут ока заться произвольными комплексными. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением таких систем, для которых olj являются вещест венными величинами.
Характер энергообмена между параметрически взаимодействующими волнами имеет существенные различия в равновесных и неравновесных нелинейных средах. В равновесных средах волны могут обмениваться энергией лишь друг с другом. При этом существенно уменьшать амплитуду при малых начальных амплитудах двух других волн может только высокочастотная волна накачки / сон со2 3 / [з] . При низкочастотной накачке энергообмен между волнами является менее эффективным и сводится к обмену энергией между слабыми сигнальной и холостой волнами в поле мощной волны накачки [19] .
В неравновесных средах волны могут отбирать энергию у среды. В этом случае оказывается возможным эффективное преобразование частоты вверх при низкочастотной накачке, а также может наблюдаться одновременный рост амплитуд всех трех волн /взрывная неустойчивость/.
Параметрические генераторы волн - практическая реализация и математические модели
Как известно, в системах, обладающих абсолютной неустойчивостью, при превышении некоторой пороговой интенсивности накачки может наблюдаться параметрическая генерация волн. Такие системы известны в оптике [15,47,48] , СВЧ-электронике [20,49] , а также нелинейной акустике и акустооптике [6, 50] . Существует много схем реализации таких генераторов, при этом выбор каждой конкретной схемы диктуется прежде всего возможностями выполнения условий синхронизма.
В параметрических генераторах обратной волны необходимая для самовозбуждения генерации обратная связь осуществляется по всему объему области взаимодействия. Такая схема генератора характерна для акустических, акустооптических устройств и усторйств СВЧ -электроники. В оптической области частот такая схема реализована в генераторе обратной волны на кристалле Мл N0 [47J.
Существует множество вариантов схем параметрических генераторов, в которых необходимая обратная связь осуществляется с помощью зеркал. В безрезонаторных генераторах входное зеркало отражает только волну на частоте OJ3 , а выходное - отражает только волну накачки и волну частоты оох .На прямом проходе усиливается волна со3 , на обратном - волна coz . В классических схемах с резонатором зеркала отражают /с коэффициентом отражения R: / либо все три волны, либо две /двухрезонаторный параметрический генератор, либо одну из волн - обычно сигнальную или холостую волну /однорезонаторный параметрический генератор/. При этом генератор может иметь резонатор типа Фабри-Перо или же кольцевой резонатор /резонатор бегущей волны/. Наибольшее распространение получили одно - и двухрезонаторные параметрические генераторы оптического диапазона частот, причем большее предпочтение отдается однорезонаторный схемам. Преимуществами однорезона-торных схем над двухрезонаторными являются - нечувствительность к фазовым изменениям волн на зеркалах, которые могут иметь место при небольших изменениях длины резонатора /за счет внешних факторов/; бблыдая стабильность генерируемых частот; меньшее время установления параметрических колебаний; отсутствие кластерной структуры спектра; возмоиность уменьшения ширины спектра излучения в случае прохождения волн через две области взаимодействия [51] , а также возможность получения более высоких коэффициентов полезного действия. Следует также отметить, что генерация одноре-зонаторного параметрического генератора не зависит от модуляции фазы волны накачки, поскольку уход частоты накачки компенсируется уходом частоты холостой волны [52] . К недостаткам относится большая пороговая мощность накачки. Конкретные примеры практической реализации одно - и двухрезонаторных параметрических генераторов с подробным анализом достоинств или недостатков той или иной схемы можно найти в работах [51,53,54] .
Для возбуждения параметрической генерации обычно в среду вводят только волну накачки и генерация начинается от уровня шумов. Параметрическая генерация может быть также инициирована путем введения в среду внешнего сигнала, уровень которого намного больше уровня квантовых шумов [54,55] . Это позволяет значительно уменьшить время переходных процессов и увеличить эффективность преобразования, а в импульсных однорезонаторных параметрических генераторах к тому же сузить линию и стабилизировать частоту генерации.
Порог генерации первых параметрических генераторов света составлял сотни киловатт /например, в опытах Бьеркхольма [53]порог составлял 180 кВт/. В связи с разработкой новых нелинейных кристаллов, снижением потерь в резонаторе за счет использования элементов высокого оптического качества, а также улучшением согласования накачки с резонатором удается все более понижать порог генерации /например, в работе [56] приводится значение пороговой мощности 2,8 мВт/, что позволяет создавать параметрические гене
раторы непрерывного действия. В работе [57І описан параметрический генератор квазинепрерывного действия с непрерывной накачкой, порог возбуждения которого составляет 45 мВт. Недостатком этого и других первых параметрических генераторов с непрерывной накачкой был пичковый характер их излучения, хотя в отдельных пичках и наблюдалось установление стационарного режима параметрических колебаний. Главной причиной такой нестабильности в работе генератора является отражение волны накачки от зеркал резонатора и ее обратное влияние на резонатор лазера, генерирующего волну накачки. Этот недостаток отчасти устраняется применением кольцевого резонатора [56] .
Параметрический генератор резонаторного типа, работающий в СВЧ - области спектра рассмотрен в работах [58,59] . При этом проведен анализ усиления и стационарной генерации при параметрическом взаимодействии электромагнитных волн с медленной волной пространственного заряда релятивистского электронного пучка. В качестве накачки в таком генераторе используется низкочастотная / OJC о- Впз H / электромагнитная волна, обратная связь осуществляется за счет отражения электромагнитной волны частоты сос от зеркал резонатора, прозрачных на частотах
Стационарные состояния трехволновых параметрических взаимодействий в ограниченной области
Результаты исследования (2.7) при упрощающем предположении представлены в таблице 2.2, в которой знаки "-" соответствуют невозможным, а знаки и+" - возможным /при любых значениях t г-і и а? і / параметрическим взаимодействиям. Если данное взаимодействие возможно не при всех значениях и эе. , то вместо знака "+" в соответствующей клетке таблицы записаны условия, которым должны удовлетворять параметры и se . Знаки "+" и "-", записанные в верхней части таблицы, соответствуют знакам коэффициентов нелинейности в правых частях укороченных уравнений. Римские цифры указывают на номер варианта взаимодействия. Отметим, что некоторые варианты, соответствующие взаимодействию быстрой волны пространственного заряда суммарной частоты с электромагнитными волна ми, возможны только при наличии замедления Это же относится и к вариантам I и П, которые возможны только при взаимодействии медленной волны пространственного заряда с замедленными электромагнитными волнами.
Из приведенной таблицы видно, что в рассмотренной системе возможны все пять вариантов трехволновых параметрических взаимодействий.
Исследуем теперь все возможные типы стационарных состояний системы (2.1), но с учетом конечности размеров. Граничные условия для каждой волны необходимо задавать на левом конце, если волна распространяется вправо, и на правом конце, если она распространяется влево [76] . .Из граничных условий следует, что СП &С - О , Sn 8(і + С) = О . откуда где Н. - полный эллиптический интеграл первого рода, Yi =1,2,3,.. Окончательное решение принимает вид
Зависимость амплитуды накачки на выходе системы ё = C-f) от ее значения на входе Q определяется соотношением (2.17). Эта зависимость для ГС. = 1,2,3 приведена на рисунке 2.1а). Таким образом, кроме однородного состояния, которое абсолютно неустойчиво, имеется также бесконечное множество стационарных состояний, причем с ростом амплитуды накачки состояния с малыми значениями
В случае в) должно быть Src 10С = 0 и си? 0 ( f + с) = 0 » откуда находим 0= (2 -i) K(siwJo() , g=iocoso/. (2.21) Окончательное решение имеет вид
Зависимость амплитуды накачки на выходе системы ё = йі(і) от ее значения на входе 0 определяется соотношениями (2.21). Эта зависимость для некоторых П приведена на рисунке 2.16); ее можно получить из зависимости рисунка 2.1а) заменой % 0 . Таким образом, в этом случае кроме однородного состояния, которое абсолютно неустойчиво, имеется бесконечное множество неоднородных стационарных состояний, причем с ростом амплитуды накачки появляются новые состояния с большими п
Итак, в зависимости от направления групповых скоростей, знаков коэффициентов нелинейности волн и типа волны накачки в ограниченной системе возможны десять различных случаев. В восьми из них реализуются только однородные стационарные состояния и в двух - неоднородные /в вариантах П и У /.
Кинетика развития параметрической неустойчивости в ограниченных средах
Во второй главе была изложена теория стационарной параметрической генерации в системах, использующих в качестве обратной связи отраженную волну, параметрически не связанную с тремя другими волнами. Было показано, что кроме однородных решений в вариантах І - ІУ могут существовать неоднородные стационарные решения. Для исследования устойчивости этих стационарных решений, как уже указывалось в 4 главы I, необходимо решать систему уравнений в частных производных (2.1), дополненную начальными и граничными условиями, учитывающими отражение и запаздывание волны, обеспечивающей обратную связь. Численное решение такой задачи для вырожденного случая генерации субгармоники было получено в работе [67] методом последовательных шагов /см. 4 главы I / без учета расстройки групповых скоростей. При этом оказалось, что при превышении порога по мощности волны накачки в системе через некоторый промежуток времени устанавливается стационарный режим генерации. Однако точное решение уравнений (2.1) в безграничной среде /см. 3 главы I/ показывает, что картина нелинейного взаимодействия волн существенно зависит от соотношения их групповых скоростей, что, как будет показано ниже, проявляется и при взаимодействии волн в ограниченной области.
Приведем основные результаты численного решения указанной выше задачи для системы, соответствующей варианту взаимодействия Ш, полученные с учетом расстройки групповых скоростей взаимодействующих волн.
Проведенная серия численных экспериментов с системой уравнений (3.4) при начальных условиях (3.5) и граничных условиях (3.6) показала следующее:
1. При Япор. = fSz a-2clo(Vft)B системе через некоторый промежуток времени устанавливается однородное распределе-ние амплитуд Ei г-0 , Е3 =
2. В области значений ПОР - oi = v 2 ) K(1-R ) , соответствующих моде (0,1) /см. рис. 2.46) / при произвольных соотношениях групповых скоростей устанавливается стационарный режим генерации с неоднородным распределением амплитуд по длине нелинейной среды. Типичные картины установления стационарного режима представлены на рис. 3.2 и 3.3 . Из приведенных рисунков видно, что установление стационарных значений амплитуд в зависимости от соотношения групповых скоростей волн может носить как колебательный (рис. 3.2), так и апериодический характер (рис. 3.3 ), реализуемый при достаточно малых значениях Sx (SA 1,S3). Период осцилляции выходящих из области взаимодействия волн при колебательном режиме установления равен времени обхода сигнальной волной резонатора f В процессе установления максимальные выходные амплитуды сигнальной и холостой волн не превосходят / а минимальная выходная амплитуда накачки не меньше/ соответствующих стационарных значений выходных амплитуд / 1Е а.(М) $ I Е ,стац. , \ъ(г,0\ъ ІЕЗСТЯ,.1/.
3. В области значений значение &0 , при котором достигается максимум в зависимости zt от 0 для моды ( 1,-1) (см. рис. 2.46) / при произвольном соотношении групповых скоростей также устанав ливается режим стационарной генерации, однако процесс установле ния в этом случае имеет свои отличительные особенности /см. рис. 3.4 / : а) амплитуда волны накачки в течение некоторого промежутка времени несколько раз обращается в нуль, при этом ее фаза каждый раз изменяется на і ; б) в процессе установления выходные амплитуды не ограничиваются своими стационарными значениями; в) выходные сигналы различаются спектральным составом - как видно из рис. 3.4 в спектре сильно возбуждены первая и третья гармоники /отметим, что аналогичная картина наблюдается в области значений Дпор Я Л0 при условии Sz S3 /.
4. Кроме режима стационарной генерации при выполнении условия S 1 5д наблюдается динамичес кий режим генерации. На рис. 3.5 показана картина установления постоянного значения амплитуды осцилляции при динамическом режи ме, которая соответствует значениям параметров R = 0,5
