Введение к работе
Актуальность проблемы. Процессы релаксации и переноса служат объектом исследования науки уже достаточно долгое время. Практически во всех отраслях физики конденсированного состояния встречаются задачи, которые связаны с изучением релаксации магнитного или электрического момента, переносом вещества или характеристик поля в различных условиях. Одновременно с экспериментальным обнаружением таких процессов были предприняты попытки их теоретического описания. Наиболее последовательное, с микроскопической точки зрения, было достигнуто в рамках статистической физики. Кроме того, большое количество чрезвычайно информативных экспериментальных методов изучения вещества основано на использовании этих процессов. Таким образом, можно сказать, что существует постоянный интерес к исследованию влияния различных факторов на процессы переноса и релаксации.
С другой стороны, в последнее время происходит интенсивное проникновение в физику идей математической теории самоподобных объектов. Сейчас становится очевидным, что в большинстве случаев вырисовывается некий единый сценарий перехода от дискретной структуры вещества к его непрерывной структуре, в котором самоподобные структуры занимают промежуточную область масштабов. Началом этого процесса проникновения идей фрактальной геометрии в физику принято считать появление книги Мандельброта (Mandelbrot В.В., Fractal Geometry of Nature, San-Francisco, Freeman (1982)). К настоящему времени с помощью применения идей теории самоподобных объектов (для таких объектов в литературе также используется термин фракталы от латинского слова fractus, что означает "доля") уже удалось понять достаточно много (см. обзоры Зосимов В.В., Лямшев Л.М.// УФН. -(1995) -Т.165. -№4, Олемский А.И., Флат А.Я., // УФН. -(1993) -Т. 163. -№12 и книгу Федер Е. Фракталы Мир, Москва (1991)) и можно надеяться, что возможности применения идей
фрактальной теории в физике еще далеко не исчерпаны. Однако, до сих пор существует целый ряд вопросов, ответы на которые еще предстоит найти.
Учитывая это, легко понять почему многие исследователи пытаются в настоящее время с одной стороны изучать самоподобные объекты и, с другой стороны, применять методы теории фракталов для описания известных явлений. Одной из работ, в которых предпринята попытка по-новому взглянуть на известные явления с точки зрения теории самоподобных объектов, можно считать данную диссертацию.
Практически во всех задачах физики конденсированного состояния, частным случаем которых являются задачи о переносе и релаксации, необходимо вычисление различных средних значений макроскопических величин. Очевидно, что структура среды, в которой происходят эти процессы, решающим образом может повлиять на результат усреднения. Поэтому вопрос о вычислении средних значений макроскопических величин на различных фрактальных объектах является чрезвычайно важным.
До недавнего времени данная проблема каждый раз решалась по-разному, в большинстве случаев усреднение производилось с помощью различных численных методов ("Фракталы В Физике" Труды IV международного симпозиума по фракталам), не позволяющих получить аналитические зависимости. Именно поэтому много усилий было потрачено на решение этой проблемы для достаточно широкого, хотя, возможно, ограниченного, класса случаев.
В работе (Нигматуллин P.P.// ТМФ. -Т.90. -(1992) -№3. -с.354) была высказана гипотеза о том, что при определенных условиях операции усреднения некоторой гладкой функции на фрактальном множестве типа множества Кантора может быть сопоставлена операция дробного интегрирования. Сама собой напрашивалась мысль попробовать применить эту гипотезу для описания физических процессов, происходящих во фрактальных средах. Именно поэтому первоначальной целью данной диссертации было попытаться описать различные процессы релаксации и
переноса во фрактальных средах. Однако, как выяснилось впоследствии, в работе (Нигматуллин P.P.// ТМФ. -Т.90. -(1992) -№3. -с.354) остались неотраженными некоторые существенные детали, без дополнительного осмысления которых не удавалось вполне эффективно использовать идеи этой работы для описания процессов переноса и релаксации. Именно поэтому понадобилось дополнительное исследование вопроса о усреднении гладких функций на фрактальных множествах. Полученные в ходе этого исследования результаты были использованы для построения феноменологических моделей неэкспокенциальной диэлектрической релаксации.
Помимо процессов релаксации в данной диссертации были исследованы процессы переноса электрического заряда в микроэмульсиях вблизи порога перкодяции. Если в случае релаксации в диэлектриках было установлено наличие нелинейного поведения и предстояло выяснить может ли подобное поведение быть обусловлено самоподобной структурой среды и/или взаимодействий в физических системах, то в данном случае, напротив, было известно, что вблизи порога перколяции в микроэмульсиях образуются фрактальные кластеры капель, и предстояло исследовать кооперативную динамику переноса электрического заряда в этих системах.
Цель работы. Таким образом, суммируя все выше изложенное, можно сказать, что целью данной диссертации было:
-
Продолжить работы по выяснению вопроса о соответствии усреднения гладких функций на фрактальных множествах и операции дробного интегрирования.
-
Использовать результаты предыдущего исследования для выяснения вопроса о самоподобной природе комплексной диэлектрической восприимчивости типа Коула-Коула, Коула-Девидсона, Гаврильяка-Негами.
Ш Исследовать механизм влияния фрактальной структуры перколяционных кластеров микроэмульсии на кооперативную динамику переноса электрического заряда в микроэмульсиях.
Научная новизна и практическая ценность. Полученные в данной диссертации результаты можно разделить на две группы. Во-первых, это результаты имеющие мат.-физический характер, связанные с исследованием процедуры усреднения гладких функций на фрактальных множествах типа множества Кантора, которые могут быть использованы для построения физических моделей различных процессов и явлений, происходящих в системах с фрактальным распределением свойств в пространстве и/или во времени. Во-вторых, это результаты теоретического изучения механизма влияния фрактальной структуры среды на процесс диэлектрической релаксации в микроэмульсиях и исследования неэкспоненциальной диэлектрической релаксации тапа Коула-Коула, Коула-Девидсона и Гаврильяка-Негами. Иначе говоря, научная новизна и практическая ценность диссертации заключается в том, что:
I Установленная связь между операциями усреднения гладкой функции на фрактальных множествах типа Канторовского и операцией дробного интегрирования позволяет по новому подойти к разработке моделей физических процессов, происходящих во фрактальных средах.
И Результаты работы связанные с построением феноменологической теории неэкспоненциальной диэлектрической релаксации могут быть, а результаты по исследованию релаксации в микроэмульсиях были использованы для интерпретации экспериментальных данных.
Публикации. Содержание работы опубликовано в 6 статьях и 8 тезисах различных научных конференций, включая международные, список которых приведен в конце автореферата.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: XXV11 congress Ampere (Kazan (1994)), "Геометризация физики И" (Казань (1995)), II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов (Казань (1996)), на научном симпозиуме зимней школы по теоретической физике Коуровка 96 (Ижевск (1996)) и на отчетных конференциях Казанского Государственного Университета (Казань (1993, 1994, 1995)).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, математических приложений к оригинальным главам диссертации, списков цитированной и авторской литературы. Диссертация содержит 144 страницы и 21 рисунок. Полный список литературы содержит 94 наименования.
