Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике физических систем различной природы
1.1. Движение электронов в кристалле под действием однородного постоянного электрического поля
1.1.1. Елоховские осцилляции и зенеровское 11
1.1.2. Наблюдение блохосских осцилляции в полупроводниковых сверхрешетках
1.2. Макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике джозефсоновских переходов малой емкости
1.2.1. Вводные замечания 17
1.2.2. Адиабатический гамильтониан 18
1.2.3. Елоховские оецгаляции и зепероаское туїшелироваїше 22
1.2.4. Динамика джозефсоновских переходов большей емкости 25
ГЛАВА 2. Нелинейная динамика квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле
2.1. Классическая динамика магнитного момента в магнитном ноле, с постоянной скоростью 28
2.2. Гамильтониан квазнклассического спина в нестационарном магнитном поле 31
2.2.1. Постановка задачи и пачачьные замечания 31
2.2.2. Вывод гамильтониана квазиклассического спина 32
2.2.3. Свойства гамильтониана квазиклассического спина 36
2.3. Макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцированные нестационарным магнитным нолем в динамике квазиклассического спина
2.3.1. Случай прецессии спина в постоянном 40
2.3.2. Спиновые осцилляции блоховского типа 41
2.3.3. Межзоннос зепероаское 42
2.3.4. Проявления макроскопических квантовых когерентных эффектов 44
2.3.4. Динамика спиновых систем с тетрагональной и гексагональной анизотропией
2.3.5. Динамика спина в магнитном поле, имеющем гармоническую составляющую
2.3.6. Случай стьной связи 53
ГЛАВА 3. Компьютерное моделирование динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов
3.1, Теоретические основы и алгоритмы компьютерного 56
3.2. Результаты моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных панокластеров, молекул и ионов
ГЛАВА 4. Использование высокоспиновых магнитных нанокллстегов, молекул и ионов в квантовых вычислениях
4.1. Некоторые общие сведения о квантовых вычислениях 64
4.2. Использование высокоспиновых магнитных частиц в качестве кубитов при квантовых вычислениях
4.2.1. Логические состояния магнитных кубитов 67
4.2.2. Инициализация магнитных кубитов 70
4.2.3. Декогерентизацня состояний магнитных кубитов 71
4.2.4. Реализация основных логических операций 72
4.2.5. Измерение состояний магнитных кубитов 74
ГЛАВА 5. Диссипативная динамика высокоспиновых магнитных, молекул и ионов в нестационарном магнитном поле
5.1. Диссипативиая динамика магнитного кубита 76
5.1.1. Стт-бозоппый гамильтониан 76
5.1.2. Точно решаемая квантовая модель дскогереитизации 79
5.1.3. Случай слабой связи кубита с окружением 84
5.1.4. Общий случай связи кубита с окружением 87
5.2, Диссипативиая динамика высокоспиновых магнитных памокластсров, молекул 90
и ионов в нестационарном магнитном поле
5.2.1. Квантовое уравнение Ланжевена 90
5.2.2. Случай стьного затухания 94
5.2.3. Диссипация и когерентные эффекты 95
Заключение
Литература 102
- Макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике джозефсоновских переходов малой емкости
- Макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцированные нестационарным магнитным нолем в динамике квазиклассического спина
- Результаты моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных панокластеров, молекул и ионов
- Использование высокоспиновых магнитных частиц в качестве кубитов при квантовых вычислениях
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы интерес к проблематике, связанной с динамикой спиновых систем, получил значительный импульс. Во многом это связано с недавними открытиями макроскопического квантового туннелирования намагниченности, молекулярной бистабильности и квантового гистерезиса, нового типа магнитных осцилляции, связанных с фазой Берри. Эти мезоскопические эффекты обнаружены в так называемых системах с гигантским спином, системах магнитных нанокластеров (высокоспиновых магнитных молекул) Мп12 и Fes, обладающих в основном состоянии спином, равным 10.
Очевидно с связи с этим, что исследование высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов представляет несомненный фундаментальный интерес, поскольку данные объекты являются источниками новых явлений, новых эффектов и новых свойств материи. Особое внимание привлекают вопросы, связанные с макроскопической квантовой когерентностью, квантовыми измерениями в спиновых системах и механизмами разрушения квантовых корреляций за счет взаимодействия с окружением, в особенности при переходе от микро- к макрообъектам.
Высокоспиновые магнитные нанокластеры, молекулы и ионы также представляют значительный практический интерес для магнитной наноэлсктроники (спинтроники) и квантовой информатики. Предлагается использовать нанокластеры с гигантским спином как бистабильные элементы для молекулярной памяти будущих поколений. Эти же системы интересуют специалистов по квантовым компьютерам как перспективные реализации кубитов - элементарных ячеек хранения информации при квантовых вычислениях.
Управлять состояниями высокоспиновых магнитных ианокластеров, молекул и ионов предполагается с помощью магнитных (в т.ч. и нестационарных) полей, поэтому исследование динамических свойств указанных систем является актуальным.
Динамика высокоспиновых магнитных молекул, находящихся в кристаллическом поле с симметрией типа «легкая ось», исследована весьма подробно. Вместе с тем изучению магнитных свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов, кристалл h^mmIRUl которых обладает
-=з&ш
симметрией типа «легкая плоскость», до настоящего времени уделялось недостаточно внимания.
В настоящей работе исследуется поведение именно таких магнитных нанокластеров, молекул и ионов с большим спином в нестационарном магнитном поле. Согласно уравнениям Максвелла, такое поле создает вихревое электрическое поле, которое существенно влияет на симметрию системы и является причиной возникновения новых квантовых эффектов в динамике спиновых систем с гигантским спином.
Целью работы является изучение динамики анизотропной квантовой системы с большим спином, находящейся в магнитном поле, напряженность которого изменяется с течением времени. Такое поле создает вращающий момент, действующий на спин и индуцирующий его прецессию, и, таким образом, вьшвляет новые черты в динамике спиновой системы.
В работе решались следующие задачи:
1. Исследование динамики квазиклассического спина (спинового момента
высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул или ионов, обладающих
симметрией кристаллическою поля типа «легкая плоскость») в нестационарном
магнитном поле.
Описание макроскопических квантовых когерентных эффектов в динамике высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.
Разработка методов компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.
Описание новых возможностей использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях.
5. Исследование диссипативной динамики высокоспиновых магнитных
нанокласхеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях и изучение
механизмов потерь квантовой когерентности.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней
Исследована динамика анизотропной высокоспиновой квантовой системы в магнитных полях, нарастающих (убывающих) пропорционально времени, а также в полях, имеющих, кроме линейной, еще и гармоническую составляющую.
Предсказан ряд новых макроскопических когерентных квантовых эффектов в динамике квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле: образование зонного энергетического спектра с непрерывными спиновыми состояниями, спиновые осцилляции блоховского типа, межзонное зенеровское туннелирование, резонансы штарковского типа.
3. Разработаны программы, позволяющие проводить компьютерное
моделирование динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров,
молекул и ионов, обладающих различными типами магнитной анизотропии легкой
плоскости в нестационарных магнитных полях, зависящих от времени по
произвольному закону.
Описаны новые возможности использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях, показаны возможности практической реализации кубита, проанализированы возможности выполнения логических операций (вентилей), возможности воздействия на кубит при записи и считывании информации, а также возможности организации управляемого взаимодействия между ними, проведено обсуждение декогерентизации при выполнении квантовых вычислений.
Количественно изучены механизмы потери квантовой когерентности в динамике магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях при взаимодействии с диссипативным окружением, рассчитана ширина линии спиновых осцилляции блоховского типа, даны оценки времени декогерентизации, разработаны подходы построения диссипативной динамики указанных спиновых систем на основе использовании феноменологической модели Калдейры-Леггегта и решения квантового уравнения Ланжевена.
Практическая ценность работы заключается в том, что развиваемая в ней теория открывает новые возможности использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях в качестве кубитов, а
также описывает их свойства, понимание которых играет важную роль в применении высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в других приложениях (доставка лекарств к внутренним органам, магнитная холодильная техника, системы визуализации и др.).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Основные уравнения квантовой динамики высокоспииовых магнитных
нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.
2. Спектр гамильтониана спиновой системы с большим спином в магнитных
полях, зависящих от времени, макроскопические квантовые когерентные эффекты в
динамике квазиклассического спина.
3. Методы компьютерного моделирования динамических свойств
высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных
магнитных полях.
Уравнения, определяющие логические состояния кубита, реализованного на высокоспиновых магнитных нанокластерах, молекулах и ионах, а также алгоритмы выполнения логических операций с использованием таких кубитов.
Основные уравнения диссипативной динамики высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных Магнитных полях.
Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Функциональные материалы - 2001» (ICPM-2001. Крым, Партенит); Первой всероссийской конференции «Высокоспиновые молекулы и молекулярные ферромагнетики» (Московская область, 2002); Московском международном симпозиуме по магнетизму (MISM-2002, Москва); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (НМММ-18, Москва, 2002); Международном семинаре «Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах» (Астрахань, 2003); Международной конференции «Функциональные материалы - 2003» (ICFM-2003, Крым, Партенит); научных семинарах Физического факультета МГУ, Института общей физики РАН, Физического института РАН, Института физических проблем РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации работы опубликованы в 9 работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 125 страниц, включает 18 рисунков и 88 библиографических ссылок.
Макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике джозефсоновских переходов малой емкости
Впервые движение электронов в кристалле под действием статического электрического ноля было рассмотрено Друде [1]. В картине Друде предполагается, что носители зарядов движутся баллистически до тех пор, пока не изменят своего импульса при рассеянии. Скорость дрейфа носителей определяется балансом между приобретением импульса и энергии от поля и потерями импульса и энергии благодаря рассеянию. Полный ток, обусловленный таким движением электронов, подчиняется закону Ома j = rE, где проводимость а дается выражением cr = elnzjm. Здесь г -среднее время свободного пробега электронов проводимости, п - их концентрация, с и т — соответственно заряд (qe = е 0) и масса.
Основным допущением теории транспорта Друде является предположение о том, что электроны проводимости между отдельными актами рассеяния движутся свободно. Такое допущение оправдано только в том случае, если энергия электронов все время остается близкой к нижней границе энергетической зоны. По если электрическое поле является настолько сильным, что электроны успевают достичь верхней границы энергетической зоны, не испытывая рассеяния, то они начинают осциллировать. Это непосредственно следует из свойств энергетических зон кристалла. Блох (см., например, [2]) показал, что полной вектор к электрона в периодическом потенциале под действием приложенного электрического поля напряженности Е0 изменяется по закону
В самом деле, так как энергия, приобретаемая электроном в единицу времени dE(k)/dt - -cE0v, где v = (\/ti) VuE(\i) - скорость электронов, то, в силу очевидного соотношения dE{\i)jdt = VvE[W)-dk(dt, сразу получаем (1.1). Поскольку энергетические зоны периодичны по к, то, очевидно, что для электрона при отсутствии процессов рассеяния характерны осцилляции энергии [3], сопровождаемые колебательным движением в пространстве. Эти колебания и называются блоховскими осцилляциями. Их период (в случае одномерного движения) дается выражением где d -период кристаллической решетки. Амплитуда Аы блоховских осцилляции раина где Д - ширина энергетической зоны. Природа периодического движения электронов связана с их брэгговскими отражениями от краев зоны Бриллюэна при условии совпадения длины волны электрона с периодом кристаллической решетки. Совершая колебательное движение, электрон в течение первой половины блоховского периода приобретает энергию от внешнего электрического поля, а затем в течение второй половины периода теряет се (двигаясь по направлению поля!), не изменяя в среднем своего положения в пространстве. Протекание же постоянного тока в проводнике обуславливается процессами рассеяния. Не успевая достичь границы зоны Бриллюэна, электрон теряет свою энергию и снова начинает ускоряться, двигаясь в прежнем направлении, но с другой начхчыюй координатой, что приводит к дрейфу электронов против направления приложенного электрического поля. Интересно отмстить, что явление блоховских осцилляции почти не заиисит от конкретной структуры энергетических зон: выражения (1.2) и (1.3) для периода и амплитуды осцилляции носят общий характер.
При / = 5 Ли „=5000 В/м период блоховских осцилляции Ты = 1,7 не (fat =УТм = 0,6 ТГц), а их амплитуда Ат = 0,4 мм (при Д = 2 эВ). Поскольку в обычных кристаллах г —10 13...10 14 с, то в них блоховскис осцилляции наблюдать экспериментально невозможно.
Елоховские осцилляции могут подавляться не только благодаря процессам рассеяния электронов, всегда имеющим место в реальных кристаллах, но и благодаря туннельным переходам в вышележащие энергетические зоны в том случае, если вызванное достаточно сильным электрическим нолем перекрытие состояний различных энергетических зон, становится существенным. Ключом к теоретическому пониманию эффектов сильного поля стала работа Зенера, который впервые рассчитал вероятность туннельного перехода электрона из зоны проводимости в соседнюю энергетическую зону в единицу времени:
Здесь SE - ширина запрещенной зоны между двумя соседними разрешенными. При d - 5 Л, Е0 - 5000 В/м, SE 0,5 эВ вероятность (1.4) зенеровского туннелироваиия является экспоненциально малой.
Особенности эффекта Зенера тесно связаны со структурой энергетического спектра электронов в периодическом потенциале при наличии внешнего электрического поля. Собственными состояниями электрона в периодическом потенциале, как хорошо известно, являются функции Блоха. При приложении постоянного электрического поля происходит локализация волновых функций, причем длина локализации LllK по порядку величины равна амплитуде блоховских осцилляции (1.3). Энергетический спектр решетки не является более совокупностью зон, в пределах которых энергия меняется непрерывным образом, но представляет собой т.н. лестницу Ваннье-Штарка, Представления о локализованное волновых функций и существовании лестницы Ваипьс-Штарка многие годы подвергались сомнению. В частности, в работе [5] было показано, что дискретный спектр может возникнуть только в случае полного отсутствия перекрытия волновых функций электронов различных узлов кристаллической решетки, что невозможно в обычных кристаллах при обычных значениях напряженности прикладываемого электрического поля. Детальному анализу этого вопроса с различных точек зрения посвящена работа [6].
Однако, более поздние теоретические рассмотрения, проведенные в рамках различных приближений, таких, например, как дискретная модель [7], приближение сильной связи [8], и, что особенно важно, эксперимент&тьные данные (см. п. 1.1.2) убеждают в справедливости представлений о значительной локализованное волновых функций и дискретности энергетического спектра электрона в периодическом потенциале полупроводниковых свсрхрсшсток при наличии внешнего электрического поля,
Макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцированные нестационарным магнитным нолем в динамике квазиклассического спина
Зснсровскос туннслировапис первоначально изучалось как свойство электронов кристалла, движущихся под действием приложенного электрического поля [3, 28]. Используя вполне очевидную аналогию между напряженностью электрического поля и силой внешнего электрического тока (е Л//2е), а также между постоянной кристаллической решетки а и периодом 2л потенциала U( p) = Ej cos , в пределе Ej «Ег для вероятности зенеровского туннелирования между зонами Бриллюэна (на их границах) с номерами и-1 и п получаем выражение
Т.к. ширины ЪЕЯ запрещенных зон уменьшаются с увеличением номера л, то вероятности (1.10) зенеровского туннелирования быстро увеличиваются с ростом п. Отметим, что в случае EjfEr »1 смешивание различных квантовых состояний менее существенно. Если внешний электрический ток, текущий через переход, имеет еще и гармоническую составляющую, т.е. I(t) = Idi. + IMsm ot, то при соразмерности частот блоховских осцилляции и внешнего воздействия {o = {njm)(oMMh, n,meN), согласно (1.9), на вольт- амперном характеристике джозефсоновского перехода имеются строго параллельные прямолинейные участки, имеющие наклон, равный R. Содержащие эти участки прямые (или их продолжения) пересекают ось токов в точках Im „ = (m/n)2ef, f = ю/2к. Длительное время этот эффект пс удавалось наблюдать экспериментально по причине наличия тепловых флуктуации и одпоэлектрониого квазичастичного туппелирова-ния. В связи с этим даже ставился вопрос о самом существовании блоховских осцилляции [29, 30]. Однако в свете проведенных позднее успешных экспериментов [31] в настоящее время существование блоховских осцилляции в джозефсоповскнх переходах малой емкости не вызывает сомнений. В пионерской работе [31] было исследовано поведение джозефсоновского туннельного перехода площади 0,01 мкм2 при низких температурах. В интервале частот от 3,5 до 10 ГГц дифференциальное сопротивление dVjdlJc (представленное как функция IJc) обнаруживает пики при Idc =±2 ?/\ Этот эффект возникает из-за периодической перезарядки джозефсоновского перехода куперовскими парами, и, следовательно, объясняется изложенной выше теорией блоховских осцилляции, подтверждая ее истинность. Наконец, для полноты представленного обзора, кратко обсудим макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике джозефсоновского перехода большей емкости (С \0 и Ф). Наибольший интерес представляет исследование макроскопического квантового туннелирования (МКТ) разности фаз р джозефсоновского перехода, по которому пропускается электрический ток / , а также на изучение влияния диссипации [22, 23]. Типичные значения емкости перехода и температуры наблюдения МКТ составляют соответствен по Потенциальная энергия джозефсоновского перехода Джозефсола при / 0 имее вид «стиральной доски»: Напомним, что Ej =h!j2e. Если внешний ток / меньше критического 1С, то потенциал U(tp) имеет ряд лок&чьных минимумов, в каждом из которых разность фаз ср может быть некоторое время локализована. Однако благодаря тепловым флуктуациям энергии система способна преодолеть потенциальный барьер [32, 33]. Это явление наблюдалось экспериментально как переход из состояния с нулевым напряжением на туннельном джозефсо-новском контакте в состояние с напряжением V , отличным от нуля [34].
При очень низких температурах имеет место туннелированис через потенциальный барьер между двумя локальными минимумами энергии U((p). ІЗ этом процессе макроскопическая переменная р принимает значения, невозможные но классическим представлениям. В случае слабой диссипации вероятность туннелироиания в единицу времени дастся выражением [22, 23]
Здесь AU - высота барьера, a Q собственная частота колебаний системы вблизи локального минимума потенциальной энергии, числовые коэффициенты а, Ъ и с зависят от формы потенциала. Эти туннельные переходы, как и термостимулировапные, были обнаружены в контакте Джозефсона по переходам из состояния с V =0 в состояние с V 0 при пропускании через контакт внешнего электрического тока [35]. Туннельные переходы преобладают над термостимулировапными переходами, если емкость С 10 ,гФ и температура Т 0,1 К. Это означает, что Ec=e2J2C«Ej, следовательно, внешний ток / должен быть близок к 1( для того, чтобы квантовое туннелированис имело достаточную для наблюдения вероятность,
К макроскопическим квантовым эффектам следует также отнести образование системы дискретных энергетических уровней Еп джозсфсоповского перехода, по которому пропускается внешний электрический ток [36]. Строго говоря, в потенциале тина «стиральная доска» состояния, которым соответствуют энергии Е„, не являются собственными состояниями, но они достаточно хорошо определены, если перекрытия волновых функций соседних минимумов пренебрежимо малы. Эти дискретные энергетические уровни обнаруживаются по появлению рсзонансов, если частота со внешнего возмущения совпадает с расстоянием между уровнями.
Укажем также на эффект макроскопической квантовой когерентности, привлекающий к себе повышенное внимание, поскольку он демонстрирует проявление одного из основных принципов квантовой механики - принципа суперпозиции. Эффект должен наблюдаться в СКВИДс, если величина внешнего магнитного потока подобрана таким образом, чтобы сформировать потенциал с двумя симметричными потенциальными ямами. Разность энергий Д между двумя наиболее низко лежащими уровнями, соответствующими симметричному и антисимметричному состояниям, должна быть мала по сравнению с разностью энергий между ними и другими энергетическими уровнями. Если СКВИД в начальный момент времени приготовлен в одном из минимумов потенциала, иными словами, если его состояние представляет собой суперпозицию указанных симметричного и антисимметричного состояний, то возбуждаются когерентные осцилляции частоты Д//г между двумя минимумами потенциала.
Результаты моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных панокластеров, молекул и ионов
Для случаев тетрагональной (2.10) и гексагональной (2.И) анизотропии справедливы аналогичные формулы. При этом роль величины Кг играет константа К4, а роль постоянных анизотропии К2 и Къ сводится к несущественному переопределению величины А , в (2.16). В дальнейшем там, где это не приводит к недоразумениям, мы не будем явно оговаривать указанные различия, записывая все формулы для простейшего случая (2.9).
Следует специально отметить, что переменная р определена здесь не па множестве А1 (0 р 2я), как это обычно принимается в теории углового момента, а на множестве R] всех действительных чисел. Последнее в данной задаче представляет собой тривиальное расслоение пространства А 1, играющее роль базы пространства Rl. Этот факт обусловлен тем, что наличие поля B.{t)=at нарушает симметрию системы относительно преобразования # — $? + 2тш, где п - целое число, Действительно, нарушение этой симметрии очевидно, так как изменяющееся с течением времени магнитное ноле Вг{1 ) порождает вихревое стационарное электрическое поле Ev = -BR/2KC, где Л - радиус окружности, вдоль которой производится поворот. Отсюда следует, что повороты р— р + 2пп, а также повороты по часовой стрелке и против нее пе являются эквивалентными.
Обобщенный импульс, соответствующий координате 7, согласно (2.16), равен Рр дЬ /дф-Іф. К этому выражению нужно добавить произвольную постоянную a, поскольку функция Лагранжа (2,16) определена с точностью до полной производной аф. Повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к следующему уравнению Шредингера:
Системы с потенциальной энергией типа «стиральная доска» где U0(x) — периодическая функция, а с - некоторая константа, а именно такой является потенциальная энергия в (2.22), ранее уже исследовались. Такой же по виду энергией обладает электрон при движении в кристалле в постоянном внешнем электрическом поле [42—44] или переход Джозсфсона при протекании через него постоянного электрического тока [24, 45, 46]. Поэтому можно ожидать проявления п динамике спинового момента некоторых свойств аналогичных свойствам упомянутых систем. Такими характерными свойствами являются образование зонного энергетического спектра, блоховскис осцилляции и межзонный зенеровский туннельный эффект.
Для изучения динамики спина в общем случае рассмотрим сначала свойства гамильтониана (2.22) при В-0. Прежде чем переходить к исследованию уравнения с U0{ p) const, рассмотрим вопрос о граничных условиях для него, точнее, вопрос о поведении функции ф{ф) при изменении q на 2л. Собственными состояниями гамильтониана (2.22) являются функции Блоха где т - произвольное вещественное число (meJJ!),n- номер энергетической полосы. По аналогии с термином «зарядовые состояния», используемым для характеристики подобных состояний в теории эффекта Джозефсона, можно ввести термин «непрерывные спиновые состояния». Параметр т естественно тогда назвать квазиспином (ср. с квазиимпульсом зонного электрона). Интересны также аналогии рассматриваемых спиновых возбуждений с анионами [47].
Хорошо известно, что в квантовой механике проекция спинового момента на выделенное направление квантуется. Квантованные спиновые состояния заданы в простраистве S (0 # 2л), при этом квантование спинового момента естественно связано с симметрией квантовой задачи относительно поворота системы координат на угол 2л вокруг оси г, или, другими словами, с граничными условиями у/( р + 2ті) = ±у( р). С другой стороны, как отмечено выше и непосредственно следует из вида гамильтониана (2.22), симметрия относительно сдвига р хр+2п нарушается в поле Вг{1) = а(, а поэтому нарушаются граничные условия ц/((р+2п) = ±у/{ р) и, соответственно, стандартное квантование спинового момента. Действительно, состояния, описываемые волновыми функциями у/( р) и у/{(р + 2л)ь являются физически различимыми, поскольку за период прецессии спин приобретает энергию от вращающего момента. Этот факт требует, как отмечено выше, использования расширенного (многолистного, или расслоенного) пространства /? (-со (р оо) для описания динамики спина.
Аналогичная ситуация реализуется в переходе Джозефсона и в квантовой точке в условиях кулоповской блокады, где роль угла р играет фаза волновой функции, а роль проекции спина 5. - заряд или число частиц. Подробно этот вопрос обсуждается в работе [48].
Пусть Ua( p)--K2cos2 ptrn.c К2 - константа. Тогда уравнение Шредиигсра (2.22) сводится к уравнению Матье, из теории которого следует [49], что энергетический спектр гамильтониана (2.22) имеет зонную структуру. Это означает, что собственные значения Еп{т) являются функциями, определенными в соответствующих зонах Бриллюэна. Мри К2 0 зонная структура соответствует приближению свободных электронов, с запрещенными зонами на границах зон Бриллюэна {т!{ = ±1,±2,.„), которые являются узкими в меру отличия величины К2 от нуля.
Использование высокоспиновых магнитных частиц в качестве кубитов при квантовых вычислениях
Рассмотрим сначала предельный случай свободной прецессии, К2 = 0. Уравнения (2.31) в простейшем случае (2.9) дают ( p) = y(B.(t)+c), где с — константа, определяемая начальными условиями. Подставляя в (2.40), получаем {Л/г) = — с = со list. Таким образом, отличительной особенностью случая свободной прецессии является то, что ускоренная прецессия спина под влиянием растущего (убывающего) магнитного поля экранирует вклад парамагнитной восприимчивости иона (%±Вг), так что средний магнитный момент не зависит от величины поля. В случае же блоховских осцилляции картина существенно меняется. Зависимость {Д /.)(.) представляет собой сумму «обычной» линейной %±В: и периодической кривой с периодом АВ = В//[Я = 2Ь, й = й/у/. Намагниченность испытывает скачки на величину ДА/. =2цл при значениях внешнего поля Вг -b + kAB,k є N. Таким образом, график зависимости (Л/.)(В.) напоминает лестницу, При К2 -0 форма ступенек является строго прямоугольной. Если же К2 & 0, то их передние края слегка размыты, но высота и местоположения тс же. В общем случае, зависимость {М.)(Вг) содержит характерные черты обоих предельных процессов. Действительно, как показано выше (2,28), при К2(КХ «1 ширина запрещенной зоны является быстро убывающей функцией се номера. Поэтому в первом приближении (назовем его одпозонным) можно пренебречь блоховскими осцнлляциями в первой возбужденной и следующих зонах. Это означает, что прецессию под влиянием поля B.(t) во всех зонах, кроме основной, можно рассматривать как свободную. В целом, ее можно представить себе следующим образом. Сформированный в начальный момент времени волновой пакет, несколько расплываясь, достигает границы зоны Бриллюэна, частично отражается и частично тупислируст в следующую зону, в которой прецессирует свободно.
Тунпелированне волнового пакета в следующие энергетические зоны приводит к тому, что величина скачка намагниченности AMZ становится зависящей от номера скачка к и определяется выражением где р - вероятность туннельного перехода из основной энергетической зоны в первую возбужденную. Эта вероятность задается формулой (2.38).
В двухзонном приближении принимаются во внимание блоховские осцилляции, происходящие в первой возбужденной зоне. Их влияние на ход кривой намагниченности выражается в появлении дополнительных скачков в моменты времени, когда внешнее магнитное поле принимает значения Вг = кАВ,к є N. Из-за возможности туннельного перехода из первой возбужденной энергетической зоны обратно в основную величины главных и дополнительных скачков перепутываются, в результате чего общая формула для высоты ступенек намагниченности является исключительно громоздкой. На качественном уровне о скачках можно сказать следующее: высоты главных скачков убывают с ростом их номера (по медленнее, нежели в одиозошюм приближении), а высоты дополнительных в течение первых нескольких блоховских периодов возрастают и только после достижения некоторого максимального значения начинают убывать по величине. Очевидно, каждому скачку на кривой намагничивания соответствует острый пик на магнитной восприимчивости х(В) = d{M.)jdB.
На рисунках 3 и 4 представлены зависимости намагниченности и восприимчивости от внешнего магнитного поля для случая орто ромби ческой анизотропии и различных скоростей изменения величины магнитного поля, которое линейно нарастает со временем от нуля до некоторой величины в течение 7,5 блоховскнх периодов, а затем с той же скоростью убывает опять до нуля. При расчетах необходимо следить за тем, чтобы условие 0-тг/2{«1 (см. п. 2.2.2) не было нарушено. А это возможно лишь при большом (не менее десяти) значении спинового момента наиокластера. Намагниченность приводится в расчете на один нанокластер и измеряется в единицах магнетона Бора. Само же магнитное поле измеряется п единицах приращения за один блоховский период. Вычисления проведены в рамках однозонной" модели с учетом туннелнрования Зенера, интенсивность которого возрастает по мере увеличения скорости изменения магнитного поля. Пики восприимчивости для обратного хода магнитного поля изображаются перевернутыми в целях удобства и большей наглядности.
Результаты, полученные в рамках двухзонной модели, представлены на рисунке 5. Здесь принято, что магнитное ноле линейно возрастает со временем от нуля до некоторой величины в течение 5 блоховскнх периодов, а затем с той же скоростью убывает опять до нуля.
Все те характерные особенности поведения рассматриваемой спиновой системы, о которых шла речь выше, на этих рисунках отражены и могут быть обнаружены без труда.
Важной отличительной особенностью свободной прецессии для систем с тетрагональной (2.10) или гексагональной (2.11) анизотропией является то, что ускоренная прецессия спина под влиянием растущего (убывающего) магнитного поля экранирует вклад парамагнитной восприимчивости иона xjl, не полностью, что выражается и отсутствии горизонтальных участков па кривой намагничивания.
