Содержание к диссертации
Введение
1. Механизмы торможения линейных дефектов 6
1.1 Фононные механизмы торможения 6
1.2 Электронные механизмы торможения 11
1.3 Механизм диссипации, обусловленный динамикой кинков 15
1.4 Механизмы диссипации, связанные с шумом 20
2. Вклад линейных дефектов во внутреннее трение и тепло емкость 32
2.1 Консервативность движения линейных дефектов 32
2.2 Вклад дисклинаций кручения в теплоемкость 39
2.3 Расчёт характеристик дисклинационного внутреннего трения. 47
2.4 Вклад во внутреннее трение LiF, обусловленный динамикой дислокационных диполей 56
3. Тепловые и акустические свойства металлов в модели диполей дислокаций в поле случайных сил 62
3.1 Эксперимент 62
3.2 Модель 71
3.3 Внутреннее трение 77
3.4 Теплопроводность 82
Заключение 88
- Электронные механизмы торможения
- Вклад дисклинаций кручения в теплоемкость
- Вклад во внутреннее трение LiF, обусловленный динамикой дислокационных диполей
- Внутреннее трение
Введение к работе
В теории дислокаций широкое распространение, благодаря своей физической наглядности и математической простоте, получила струнная модель Гранато-Люке [1]. В основе модели лежит аналогия между колебанием пинингованного сегмента дислокационной линии и вынужденным колебанием струны, испытывающей затухание. Базовыми характеристиками модели являются линейное натяжение, эффективная масса и постоянная демпфирования, которые для дислокаций были рассчитаны в серии работ [2, 3, 4, 5]. В рамках модели колеблющейся струны были успешно рассмотрены вопросы дислокационного внутреннего трения [1], вклада дислокаций в теплоемкость [6] и рассеяние фононов [7]. Учет взаимодействия между дислокациями, рассматриваемыми: как струна, позволил в [8],на основе дипольных представлений о ансамбле дислокаций описать поведение низкотемпературной теплопроводности пластически деформированного кристалла LiF, находящегося в сверхпроводящем состоянии.
Тепловые и акустические свойства упругих сред, обусловленные динамикой линейных дефектов, существенно зависят от механизмов торможения линейного дефекта упругой средой. Ввиду особой важности вопроса, первая глава посвящена подробному рассмотрению механизмов диссипации, связанных с линейными дефектами. Можно выделить условно две группы таких механизмов. Во первых, это диссипация, вызванная взаимодействием линейных дефектов с источниками потенциальных барьеров различной природы, сюда можно отнести как взаимодействие с точечными дефектами, так и специфическое влияние решетки, отражающее ее дискретность, а именно, существование барьеров Пайерлса. Ко второй группе механизмов можно отнести диссипацию, вызванную взаи- модействием дислокации с различными элементарными возбуждениями в кристалле: фононами, электронами проводимости, и т.д. Особое внимание уделяется механизмам, определяющим поведение диссипации в области низких температур, ниже температуры сверхпроводящего перехода. Отмечается, что в сверхпроводящей области, при достаточно низких температурах, диссипация, обусловленная динамикой линейного дефекта в упругом поле падающей волны (флаттер-эффект), и диссипация, обусловленная движением линейного дефекта или части его (кинка) в барьере Пайерлса, являются доминирующими. Дополнительно обсуждается недавно исследованный в [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] вопрос о шумовом воздействии на дислокацию. Как было показано в [9, 10, 13, 14, 15], шум напряжений ведет к возникновению дополнительного канала диссипации, дающего существенный, постоянный в области низких частот, вклад в декремент.
Как хорошо известно, наряду с дислокациями, ответственными за нарушения трансляционной симметрии кристалла, существуют линейные дефекты, дисклинации, вызывающие нарушения ротационной симметрии кристалла. В работах [16,.17, 18] исследовалось движение дисклинации и дисклинационпых петель и были найдены выражения для силы, действующей на линию дисклинации и сё ось, а также условие консервативности движения дисклинации. Однако до настоящего времени не было построено модели, позволяющей количественно оценить влияние динамики дисклинации на физические характеристики упругих сред, Следует отметить, что в последнее время широко исследуется влияние дисклинации и дисклинационных петель на физические характеристики топологически неупорядоченных систем (стекол), демонстрирующих аномалии по целому спектру свойств: теплопроводности, теплоемкости, внутреннему трению, теплоте выхода, относительному изменению скорости звука. Кроме того, структурные свойства металлических стекол могут быть смоделированы на основе дисклинационных представлений [19]. Для описания целого ряда физико-механических характеристик оказалось вполне достаточным представлений о статических дисклииациях, обладающих дальиодействующими полями напряжений. Как правило, статическая дисклинация в таком случае моделируется дислокационной стенкой. Однако, данное приближение требует уточнения при рассмотрении динамических характеристик, прежде всего связанных с процессами рассеяния, поскольку квазидвумерный объект (стенка) и линейный объект (дисклинация) участвуют в рассеянии по разному. Таким образом, представляется: актуальным построение модели, которая учитывала бы специфику динамики дисклинаций. Поскольку дисклинация по определению является линейным дефектом, было бы естественным попытаться обобщить струнную модель [1], на случай дисклинаций и получить, таким образом, базовую модель для динамики дисклинаций.
Струнная модель для дисклинаций кручения была построена в серии работ [20, 21, 22, 23, 24]. Подробному изложению модели посвящена глава 2 диссертации. Во второй главе вводится понятие линейного дефекта в упругой среде и на основе существующей теории детально излагаются известные результаты, касающиеся вопросов, консервативности-движения линейных дефектов. Отмечается, что дисклинация кручения как и обычные дислокации имеет естественную плоскость скольжения и, следовательно, для нее допустимо моделирование с помощью эффективной струны. Оригинальная часть главы посвящена расчету базовых характеристик струнной модели для динамики дисклинаций кручения, и оценке вклад дисклинаций кручения в теплоёмкость и внутреннее трение.
В заключение главы изложен оригинальный результат [25] по расчету вклада во внутреннее трение LiF от ансамбля оптически колеблющихся диполей краевых дислокаций. Исследована зависимость дипольного вклада от размера плеча. Показано, что наличие диполей приводит к повышению частоты пика внутреннего трения.
В серии недавних экспериментов [26, 27, 28, 29, 30], исследовались низкотемпературное внутреннее трение, теплопроводность, теплоемкость и теплота выхода пластически деформированных кристаллических образцов алюминия, тантала и ниобия высокой чистоты, находящихся в сверхпроводящем состоянии. Полученные данные сравнивались с резуль- татами экспериментальных измерений того же набора характеристик в аморфном кремнии SiCV Было установлено,.что пластическая деформация оказывает ярко выраженное влияние на поведение теплопроводности и внутреннего трения. А именно, внутреннее трение демонстрирует атер-мальиое и частотно-независимое поведение,, а его величина возрастает на два порядка по сравнению с отожженными образцами, и становится сравнимым по порядку величины с внутренним трением в аморфном кремнии. Кроме того, теплопроводность также принимает значения, попадающие в диапазон, характерный для аморфного кремния. В то же время, никаких аномалий; ни по теплоте выхода, ни по теплоемкости, характерных для аморфного состояния, в случае деформированных металлов не наблюдалось. Такое поведение указывает на то, что рассеяние фононов на дислокациях определяет низкотемпературные характеристики: пластически деформированных металлов, находящихся в сверхпроводящем состоянии.
Электронные механизмы торможения
Особенности, присущие электронным механизмам, достаточно подробно освещены в работе [36]. При последующем изложении будем следовать идеологии данной работы. В интересующей нас области низких температур электронная вязкость, наряду с уже рассмотренными фононными и решеточными механизмами, является еще одним, требующим учета каналом динамических потерь дислокаций. Очевидно, что любое ее изменение (например, сверхпроводящий переход) будет влиять на динамику дислокаций и, в конечном счете, на динамические дислокационные вклады в тепловые и акустические свойства металлов. Согласно [36] проблема оценки электронного торможения дислокации сводится к рассмотрению задачи о поглощении высокочастотного звука ql 1 (q - волновой вектор звуковой волны, 1 - длина свободного пробега электрона). Сила, действующая со стороны дислокации на электроны проводимости, определяется деформационным потенциалом, связанным с полем упругих деформаций, создаваемым движущимся дефектом. Таким образом, движущаяся дислокация, воздействуя через деформационный потенциал на электроны проводимости, вызывает переходы в электронной системе, на возмущение которой тратится энергия дислокации. Тогда сила торможения по модулю есть энергия, поглощаемая электронами при перемещении дислокации на единицу пути. Квантовый способ расчета приводит к следующему выражению для силы электронного торможения винтовой дислокации в нормальном металле [36] m2b2X2q1] где Л2 — (1/4)(A2z + ЗА2 ), = 2&р, кр - радиус сферы Ферми в к-пространстве, b - величина вектора Бюргерса дислокации, m - масса электрона, h - постоянная Планка, Х(п - тензор, наряду с тензором деформаций, входящий в деформационный потенциал, и характеризующий электронную систему. Аналогичная (1.5) формула справедлива и для краевой дислокации, с той лишь разницей, что величина А2 определяется комбинацией-других компонент тензора \{п. На основании (1.5), можно сделать вывод, чтх) сила электронного торможения дислокации в нормальном металле не зависит от температуры и линейно возрастает с ростом скорости дислокации. Одной из основных особенностей сверхпроводящего перехода является появление щели,А в энергетическом спектре электронов проводимости, что, в свою очередь, приводит к резкому уменьшению их поглощающей способности. К примеру коэффициент поглощения ультразвука в сверхпроводнике, а следовательно и внутренне трение экспоненциально убывают с температурой [37]. Нечто подобное можно было бы ожидать и для электронного торможения дислокаций в сверхпроводнике.
Однако, на деле, зависимость силы электронного торможения от скорости дислокаций и температуры, носит более сложный характер, из-за возможности дислокации при высоких скоростях вызывать переходы, связанные с рождением новых возбуждений (разрывом куперовских пар). На рисунке 1.2 изображены различные предельные случаи зависимости силы электронного торможения Fs от температуры и от скорости дислокаций V. 1) При абсолютном нуле температуры (Т — О, Д = До) В этом случае Fs = 0 при скоростях дислокации V Vc = 2А0/fiqm. При V Vc сила трения отлична от нуля, причем если V — Vc где Вдг Д\г (коэффициент торможения в нормальном металле), ар -положительный.параметр, значение которого определяется видом дислокации, симметрией кристалла и т.. д. Очевидно, что существование критической скорости Vc целиком обусловлено наличием щели в энергетическом спектре сверхпроводника. При больших скоростях V Vc, сила Fs асимптотически стремится к значению силы трения в нормальном металле F (смотри рисунок 1.2, а). 2)При отличных от нуля температурах и малых скоростях дислокации V T/hqm, A(T)/hqm имеем 3) Если температура сверхпроводника мала по сравнению с критической, Т С Тс, то на графике зависимости FS(V) (смотри рисунок 1.2, Рис. 1.2: Схематическое изображение зависимости силы электронного торможения дислокации в сверхпроводнике от скорости ее движения при различных температурах (сплошная кривая) из [36]; штриховая линия изображает силу электронного торможения в нормальном металле. б) небольшой линейный участок-(1.7) с увеличением скорости (Т ; &ЧтУ С Тс) заменяется параболическим с последующим выходом на значения близкие к i jv 4) При температурах, близких к Тс, и при малых скоростях справедлива формула (1.7). При более высоких скоростях линейный участок, сменяется зависимостью, которая снова как и в предыдущем случае стремится K-FN (смотри рисунок 1.2,в). Для дальнейшего изложения наиболее актуальным является поведение электронного торможения при низких скоростях движения (килоге-рцовый диапазон), то есть когда не происходит разрыва куперовских пар. В таком случае, как легко видеть, сила трения в сверхпроводнике, обусловленная электронами, будет экспоненциально спадать с температурой. Иными словами, при достаточно низких температурах можно пренебречь электронным вкладом в диссипацию. При обсуждении фононных механизмов торможения было отмечено, что движение дефекта в барьере Пайерлса, приводит к возникновению еще одного канала диссипации, который сохраняется и при самых низких температурах. Наиболее сильно подобный механизм диссипации будет проявлять себя по отношению к динамике кинков во вторичном барьере Пайерлса, Схематически дислокация в сложном потенциальном рельефе изображена на рирсунке 1.3. Основная часть дислокации лежит в до- Ряс. 1.3: Кинк ширины w на дислокации из [29}. PR - вершина рельефа Пайерлса. PV -долина рельефа Пайерлса. do - расстояние между кивками и а - расстояние между кристаллическими плоскостями, лине Пайерлса, однако солитоноподобные возбуждения на дислокации (кинки) также находятся в своей собственной потенциальной яме (вторичном рельефе Пайерлса), которая имеет схожую с основным барьером Пайерлса физическую природу, но по величине примерно на 2 порядка меньше. Таким образом, для движущегося кинка (который физически представляет собой часть линии дислокации), находящегося во вторичном, барьере Пайерлса, будут иметь место такие же каналы диссипации как и для дислокации в обычном рельефе Пайерлса, вплоть до самых низких температур. Остановимся более подробно на вкладе во внутреннее трение, обусловленном динамикой кинков во вторичном барьере Пайерлса.
Одна из первых работ, посвященных расчету постоянной демпфирования, обусловленной осцилляциями мгновенной скорости во вторичном барьере Пайерлса, была выполнена Альшицем [35]. Качественно, поведение перегиба мало отличается от поведения дислокации в основном барьере Пайерлса. А именно, излучение происходит на основной гармонике и радиационное трение обратно пропорционально скорости. С уменьшением скорости кинка возрастает степень неравномерности его движения и, соответственно, увеличиваются радиационные потери, причем излучение на высших гармониках становится все более эффективным. Согласно [38], расчет радиационного трения на основе аналогии между динамикой заряженной частицы в электрическом поле и динамикой дисклока-ций в поле напряжений приводит к схожим с [34] результатам. В обоих подходах, ниже некоторой критической скорости, сила сопротивления движению кинков не зависит от скорости, реализуется режим так называемого "сухого трения в то время как выше критической скорости сила трения обратно пропорциональна скорости.В рамках данных моделей, действие на кинк внешних напряжений приводит к его неограниченному ускорению. Для устранения данной проблемы в [34] была введена внешняя вязкость, сохраняющая большие значения вплоть до самых низких температур. В дальнейшем изложении мы будем следовать работе [38], в которой было рассчитано затухание ультразвука на цепочке кинков, с диссипацией, обусловленной динамикой каждого кинка цепочки в своем потенциальном рельефе. Иными словами диссипация такой цепочки кинков целиком определяется механизмом, представленным в работе [34]. Однако для цепочки кинков не возникает указанной выше проблемы неограниченного возрастания: ускорения кинка, так как взаимодействие: между кинками в цепочке препятствует этому.
Вклад дисклинаций кручения в теплоемкость
Струнная модель закреплённых (пинингованных) дислокаций в завершенной: форме впервые была сформулирована А.Гранато и К.Люке в [1]. В основе модели лежит аналогия между колебанием сегмента пинин-гованной дислокационной линии и колебанием струны с учетом затухания. Главными характеристиками модели являются линейное натяжение и эффективная масса дислокации. Для дислокации они были рассчитаны Лаубом и Эшелби [3], а в более общем случае Ниномией и Ишиокой [4]. Струнная модель с успехом применялась для описания внутреннего трения вызванного дислокациями [1], вклада дислокаций в теплоемкость [6], рассеяния фононов [7] и низкотемпературной теплопроводности [8] в кристаллах с дислокациями. Уравнение струны известно последовательно, мы имеем готовый математический . аппарат для исследования динамики дислокаций вплоть до самых низких температур. Динамика ротационных дефектов- дисклинаций пока не столь же ясна как и динамика дислокаций. Однако на этом направлении удалось получить ряд важных результатов: [16, 17, 18]. В частности,. как уже было указано, в работе [16] были получены условия консервативности движения дисклинаций и выражения для сил, действующих на дисклинацию. Обобщение струнной модели на случай динамики дисклинаций . кручения; и расчет вклада дисклинаций кручения в теплоемкость были проделаны-в [20, 22]: Полагаем, что дисклина-ция движется квазиравновесно. Это означает, что движение дисклинаций кручения происходит таким образом, что в каждый момент времени она находится:в положении упругого равновесия со средой..Тогда, мы можем применить известную формулу теории дислокаций для линейного натяжения [3, 46] где Т - статическое линейное натяжение, р - радиус кривизны, и F - компонента в плоскости скольжения, силы Пича - Келлера, /j. По сути F имеет смысл силы реакции среды на искривление линейного дефекта. Мы перенесли без изменения соотношение для Т на случай дисклинаций поскольку оно получено из геометрических соображений для линии произвольной природы, находящейся под действием внешней силы F. Как известно, сама дисклинация является источником поля напряжений. Так как дисклинация находится в равновесии со средой, то последняя должна компенсировать напряжение от искривления дисклинаций, причем из. условия равновесия следует, что компенсирующее напряжение должно быть равным и противоположным по знаку.
Пусть дефекты двигаются в плоскости скольжения. Тогда, сила Пича - Келлера, действующая на единицу длины линейного дефекта имеет вид где &ik - тензор напряжений, ггак - полностью антисимметричный единичный тензор. Тензор напряжений движущегося линейного дефекта, в квазистатическом приближении; определяется через квазистатические поля смещений в упругой среде, вызванные пластической деформацией, обусловленной движением дефекта. Причем, используя метод функций, Грина [47], можно рассчитать поля смещений где Сфі - тензор упругих постоянных, Gjn- тензорная функция Грина, Se i - вариация пластической части тензора деформации. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, и Gjn7i = dGjn/dxi. Для изотропного случая где А и // - постоянные Ламе. Скольжение линейного дефекта вызывает изменение (вариацию) сингулярной деформации сосредоточенное на линии дефекта[47] где 5х описывает смещение линии дефекта, 5() - двумерная дельта -функция, отсчитывается от линии дефекта. Таким образом, построен в завершенном виде формализм для определения энергии единицы длины скользящего линейного дефекта Т. При этом надо отметить, что если мы хотим рассмотреть тип движения отличный от скольжения, то мы должны изменить вид выражений (2.11,2.15) и учесть появление "лиш-него"объема о котором уже говорилось выше. Кроме того, можно вычислить Т непосредственно, рассчитав упругую энергию от линейного дефекта Именно так поступили Ниномия и Ишиока при рассмотрении вопросов взаимодействия фононов с дислокациями произвольной формы [4, 5]. Поскольку, дисклинация кручения может двигаться консервативно, нет никаких препятствий для применения изложенного формализма к вычислению ее линейного натяжения. Пусть, линия дискл и нации: кручения направлена вдоль оси: z, а.ее вектор Франка вдоль оси у, то есть, О. = (О, Q, 0),т — (0,0,1). Тогда, согласно уравнению (2.11), получим для силы, действующей на.линию дисклинации Согласно методу, изложенному в начале раздела, легко установить, что при выбранной геометрии дисклинации кручения, ее поверхность скольжения совпадает с плоскостью xz. Следовательно, при расчете линейного натяжения: скользящей дисклинации кручения нас будет интересовать лишь компонента /і. Так же как и в случае краевой дислокации мы полагаем, что линия дисклинации осциллирует в направление оси х по закону e(z) — е(к) exp(ikz), то есть 5х = (є, 0,-0). Принимая во внимание геометрию дефекта получаем из (2.12, 2.15) для поля смещений 00 Следует отметить, что как линейное натяжение, так и масса по сути характеризуют полный вклад в свободную энергию от дисклинации кручения. Расходимость этих параметров модели целиком обусловлена ротационным типом дефекта и специфическим характером, полей напряжений вокруг него. Для дислокаций подобная зависимость от размеров среды носит логарифмический, а не степенной характер. Как видно из полученных результатов, линейное натяжение и масса дисклинации кручения зависят от z. Это означает, что дисклииацию кручения мы должны трактовать как неоднородную струну. В этом состоит еще одно существенное отличие от случая дислокаций, в котором струна была однородной.
Как известно, уравнение движения неоднородной струны имеет вид Заметим, что.из соотношений (2.28) и (2.35) следует, что для дисклинации кручения локально справедливо равенство T(z) = m(z)fi/p = mzv27 где v - скорость звука. Будем искать решение уравнения (2.36) в виде После.подстановки в ( 2.36) получаем Общее решение уравнения (2,38) имеет вид где Сі и Сі - произвольные постоянные. Мы полагаем, что концы дисклинации кручения закреплены, то есть е(—) e(L) = 0. Удовлетворяющее таким граничным условиям решение имеет вид здесь CQ.- максимальная амплитуда (при z =-0), и спектр Мы получили решение, узлы которого расположены регулярно. Этот факт позволяет нам рассчитывать вклад в тепловые характеристики решетки от дисклинаций кручения-подобно тому как это было сделано в случае дислокаций. Вклад в теплоемкость дисклинаций кручения рассчитывается аналогично случаю дислокаций [6]. А именно, задача сводится к расчету внутренней энергии одномерного кристалла здесь суммирование идет, по всем нормальным колебаниям дисклинаций кручения. Переходя стандартным образом:от суммирования к интегрированию, получаем Следовательно, для вклада в теплоемкость от одной колеблющейся-дисклинаций кручения будем иметь следующее выражение Как известно, температура Дебая в связана с максимальной частотой соотношением В свою очередь, величина максимальной частоты, очевидно, определяется постоянной решетки где vo - скорость звука в идеальной решетке, р — VQ/V. Учитывая соотношения (2.45, 2.46), получаем Молярная теплоемкость, в свою очередь получается умножением (2.48) на объем одного моля и число дисклинаций в единице объема. В.результате получаем где ао - постоянная решетки, Л - плотность дисклинаций, N - количество атомов в моле вещества, Z - количество атомов в элементарной ячейке. Полученный результат по форме совпадает с аналогичной оценкой для дислокаций [1]. Таким образом, вклад дисклинаций кручения в теплоемкость (2.49) линеен по плотности дефектов и по температуре. 2.3 Рас чёт характеристик дисклинациопного внутреннего трения. Как известно, на любой движущийся в среде объект действуют силы тре ния. Следовательно, для движущейся дисклинаций кручения мы также можем ввести силы, ответственные за диссипацию энергии движущей ся дисклинаций.
Вклад во внутреннее трение LiF, обусловленный динамикой дислокационных диполей
В этом разделе рассматриваются диполи движущихся краевых дислокаций, в бесконечной изотропной упругой среде [25]. Используя модель Гранато-Люке рассчитывается вклад диполей во внутреннее трение. В приближении изотропной упругой среды построены теоретические кривые зависимости дипольного декремента от частоты для LiF. Проблема оценки вклада во-внутреннее трение LiF от движущихся диполей краевых дислокаций стала актуальной после попытки Книзе-ля-и Гранато [8] в рамках струнной модели: [1] теоретически описать эксперименты по низкотемпературной: теплопроводности в LiF [48, 49]. Как оказалось, теоретическое описание с помощью рассеяния фоноиов на статических дислокациях или через ансамбль невзаимодействующих краевых дислокаций не дает удовлетворительного описания наблюдаемого эффекта в теплопроводности. Однако если предположить наличие в LiF достаточной концентрации "оптически"колеблющихся.дислокационных диполей, то удается достичь удовлетворительного согласия между теорией и экспериментом. Следует отметить, что диполи дислокаций были экспериментально обнаружены в образцах LiF [50]. В данном разделе мы рассмотрим вклад диполей во внутреннее трение. Как известно, вклад во внутреннее трение от ансамбля колеблющихся невзаимодействующих дислокаций достаточно хорошо описывается в рамках струнной модели Гранато-Люке. Согласно этой модели дислокация трактуется как закрепленная (пинингованная) струна. В таком случае динамика дислокации описывается уравнением струны, в котором учтены процессы диссипации (трение) и. влияние внешних сил от источников напряжений. На наш взгляд, модель струны допускает обобщение на случай динамики диполя: в изотропной упругой среде. А именно, мы моделируем диполь посредством двух колеблющихся взаимодействующих струн. Сила взаимодействия между ними определяется известным выражением Пича-Келлера [47]. При рассмотрении динамики, нас будут интересовать напряжения, непосредственно связанные с движением диполей. В рамках линейной теории упругости в квазистатическом приближении они могут быть выражены через поля смещений, определяемые по формуле где Cijki - тензор упругих постоянных, Gjn. функция Грина для изотропной среды, 5ерк1- вариация пластической части тензора деформаций, связанная с движением скользящей линии дефекта [47]. Пусть линии дислокаций диполя ориентированы противоположно оси z, вектора Бюргерса Ь+ — —Ь = (6,0,0), Для простоты полагаем, что положительная дислокация проходит через начало координат, а отрицательная через точку у — I, где Г- плечо диполя.
Уравнения движения диполя имеют вид где e(z,t), ф{х,і) смещения положительной и отрицательной дислокаций соответственно в своих плоскостях скольжения, т масса единицы длины дислокации, Г-линейное натяжение;, -постоянная демпфирования, a o,o,z. и а ]о,!,2 внешние напряжения, приложенные в точках.нахождения положительной и отрицательной дислокаций, D — [гЬ2/2тг(1 — р)12 - константа взаимодействия определяемая из соотношений для поля смещений(2.100) и силы Пича-Келлера [47], подробный расчет которой приведен в главе 3, -постоянная Пуассона. В общем случае декремент определяется соотношением Q l = ДW/2W, где AW- средние потери за период, W- полная средняя колебательная энергия. Для диполя дислокаций, ДТУ = РТ, где Т - период, определяет средние потери энергии за счет трения в единицу времени. Здесь F - сила Пича - Келлера действующая на положительную и отрицательную дислокации со стороны внешнего фононного поля. Полная энергия W = (7 /2fiy где аа - амплитуда приложенного напряжения, р, -модуль сдвига. После разрешения системы (2.101) для оптических колебаний диполя (б — —ф) и подстановки решения в (2.102) окончательно получаем где по аналогии с невзаимодействующими дислокациями мы оставили лишь.первое слагаемое в.сумме по п. Теоретические кривые зависимости декремента от частоты в LiF для невзаимодействующих дислокаций и диполей краевых дислокаций показаны на рисунке 2.3. При построении графиков для LiF мы использовали следующие значения материальных констант р — 2635 кг/м3, р = 6.29 ж 1010 Н/м2. Согласно рисунку 2.3 резонансная частота для дипольного декремента:по-меньшей мере в 5 раз больше, чем для невзаимодействующих дислокаций той же длины. Таким образом, если большая часть ансамбля дислокаций в LiF действительно состоит из диполей, то следует ожидать появления пика внутреннего трения в области более высоких частот (в отличие от случая невзаимодействующих дислокаций). Кроме того, для того чтобы исследовать вопрос о зависимости декремента от плеча диполя мы построили теоретические кривые зависимости декремента от частоты при различных значениях I (смотри рисунок 2.4). Расчеты показывают, что уменьшение плеча приводит к росту резонансной частоты и: уменьшению значения пика внутреннего трения. Мы считаем, что ультразвуковые методы исследования позволят проверить правильность полученных теоретических результатов. В заключение, отметим, что несмотря на тот факт, что характеристики эффективной неоднородной струны моделирующей динамику дисклинации кручения растут с расстоянием. вдоль линии дисклинации: кручения по степенному закону, динамика такой струны является ограниченной, а спектр колебаний регулярным. Полученный результат позволил нам рассчитать вклад в теплоемкость от дисклинации кручения.
Проблема оценки вклада в теплоемкость свелась к расчету внутренней энергии одномерного кристалла, но со спектром, полученным на основании решения уравнения движения неоднородной струны. Расчет коэффициента торможения методом фиктивных сил для случая флаттера дисклинации кручения позволил нам учесть диссипацию в уравнениях движения и оценить вклад во внутреннее трение, обусловленный динамикой дисклинации кручения. В настоящей главе мы построили модель диполя дислокаций в поле случайных сил для описания низкотемпературных аномалий во внутреннем трении и теплопроводности пластически деформированных металлов алюминия, тантала и ниобия, находящихся в сверхпроводящем состоянии. Как известно, теория Дебая хорошо описывает теплоемкость обычного твердого тела, в частности, при низких температурах теория предсказывает Т3 зависимость теплоемкости от температуры. Кроме того, на основании кинетической формулы для теплопроводности к = І/ЗСуйА, где Cv - теплоемкость, v- средняя скорость акустических фононов, А - длина свободного пробега фононов при низких температурах, также ожидалась и была обнаружена в разнообразных кристаллических твердых телах Т3 зависимость теплопроводности. Предполагалось, что в дебаевском приближении для аморфного состояния должно было получиться аналогичное температурное поведение теплоемкости и теплопроводности: а именно, поскольку дебаевская длина волны фононов при низких температурах превышает сотни постоянных решетки, считалось, что беспорядок аморфного состояния не играет существенной роли на таких масштабах. Однако, эксперименты Зеллера и Поля [51] показали, что как тепло- проводность, так и теплоемкость диэлектрических аморфных тел ведет себя совершенно иначе по сравнению с.предсказаниями теории Дебая. В частности, для теплоемкости при температурах ниже 10 К характерно линейное по температуре поведение, а теплопроводность, квадратична по температуре с последующим выходом на плато при более высоких температурах. Для объяснения наблюдавшихся аномалий аморфного состояния была предложена модель двухуровневых туннельных систем (ДУС) [52]. В основе модели лежит гипотеза о существовании в среде с беспорядком аморфного типа объектов (предположительно групп атомов), имеющих два равновесных состояния и способных туннелировать между ними.
Внутреннее трение
В рамках построенной модели, вычислим полный декремент Д(, обусловленный оптическими колебаниями диполей краевых дислокаций; Заметим, что кроме усреднения по времени, мы должны выполнить, дополнительное усреднение по всем возможным реализациям случайных напряжений ?(), так как cn(t), определяющая выражение для декремента является случайной функцией (смотри раздел 1.4). Средние потери энергии в единицу времени, обусловленные оптической модой колебаний диполя краевых дислокаций, имеют вид где символ О означает усреднение по всему ансамблю реализаций случайной силы. Декремент, в общем случае, можно представить в виде где W усредненная: но ансамблю полная колебательная энергия, отнесенная к единице объема кристалла, N полное число диполей дислокаций в единице объема, AWd вклад в потери энергии от одного диполя дислокаций. После подстановки (3.19) в (3.23), декремент примет вид W 2 W Выражение (3.25) описывает вклад во внутреннее трение, обусловленный диполями дислокаций при совместном действии периодической и случайной сил. Как известно, декремент показывает насколько быстро спадает амплитуда волны за период. В свою очередь, соответствующее обратное время релаксации, которое понадобится нам для описания теплопроводности, определяет долю энергии, которую падающая волна теряет на дислокационном диполе, и дается выражением Легко видеть, что декремент, а следовательно и время релаксации, зависят от двух наборов параметров. А именно, от характеристик струны (То, В, m, D), которые могут быть вычислены по формулам,(3.2) и (3.11), а также от характеристик ансамбля диполей дислокаций, таких, как плотность диполей Л и корреляционная функция rj(T — S)TJ(T) . В общем случае, плотность диполей зависит от пластической деформации образца. Обычно, для описания такой зависимости используются феноменологические соотношения между пластической деформацией є и плотностью дислокаций. В экспериментах, исследовались пластически деформированные образцы А1, Та и Nb [26, 27, 28, 29, 30]. Плотность дислокаций в этих образцах зависит от способа приготовления материалов и изменяется в диапазоне 1013 - 4 X 1014 м 2 [26, 27, 28, 29, 30]. В наших расчетах, мы использовали значения плотностей из указанного диапазона.
Как было отмечено во введении, мы полагаем, что случайная компонента напряжений появляется естественным образом в ансамбле дислокаций высокой плотности. В частности, в работе [61] указывается на то, что на промежутках времени, меньших, чем время релаксации всей дислокационной системы, внутренние напряжения, обусловленные дислокациями в ансамбле,.могут быть представлены в виде суммы медленно меняющегося среднего напряжения; ( обусловленного внутренними напряжениями от сглаженного распределения дислокаций) и быстро меняющейся, нерегулярной функции с нулевым, средним значением. В этом случае случайная компоіїента имеет вид белого шума. Наши расчеты показывают, что белый шум напряжений не дает вклада во внутреннее трение. Таким образом, мы должны модифицировать слагаемое с шумом в уравнениях движения и предположить наличие окрашенного шума. В качестве простейшего приближения мы использовали дихотомный шум, который характеризуется следующим средним.значением и корреляци- онной функцией где а параметр соответствующего пуассоновского процесса, т}$ дисперсия. Одними из. возможных источников окрашенного шума в дислокационном ансамбле: могли; бы быть внешняя сила, дальнодействующсе взаимодействие между дислокациями, потенциал решетки. Принимая: во внимание (3.25) и (3.29), а также тот факт, что для днхотомного шума W — (т/о + СО/2)/2/І, получаем для полного декремента формулу На рисунке 3.5 изображена зависимость декремента (3.30) от нормированной, частоты для параметров, поликристаллического алюминия А1. Соответствующие материальные константы для А1, Та и Nb собраны в Таб. 3.1. Как видно из рисунка 3.5, при низких частотах (вплоть до Таб. 3.1: Материальные константы для А1 из [28], Та из [27], and Nb из [29]. Sample и їх (GPa) р (kg/m3) ct (m/s). q (m/s) 10s Гц для алюминия) полный декремент практически постоянен. Важно отметить, что подобное поведение целиком определяется вкладом от случайной составляющей: полных напряжений: Ситуация меняется кардинальным образом вблизи резонансной частоты, где декремент имеет ярко выраженный пик и зависит от потерь, обусловленных периодическими внешними напряжениями. А именно, Ар для алюминия оказывается в 104 раз больше чем Дг вблизи резонансной частоты. Следует отметить, что подобное поведение характерно также и для: Та и Nb. В экспериментах [26, 29, 30] исследовалось низкочастотное (90kHz [26, 29] и 1kHz [30]) внутреннее трение. Таким: образом, область частот в которой декремент постоянен, оказывается в. центре нашего1 внимания при описании вышеуказанных экспериментов. Кроме того, в рамках нашей модели, выполняются условия Это так называемое приближение "жесткого"рельефа [9]. На наш взгляд, разумное ограничение па дисперсию окрашенного шума имеет вид 770/00 1. Учитывая (3.31) и выполняя суммирование в (3.30), окончательно получаем Значения декремента, рассчитанные по формуле (3.32), для различных Таб. 3.2: Низкочастотное внутреннее трение, вычисленное по формуле ( 3,32) для различных металлических образцов. Данные по образцам взяты из [26], [29], [30]. Sample Plastic strain (%) Л (m-2) 2ка/ш rjo/сто At образцов, представлены в Таб. 3.2. Легко видеть, что полученные значения находятся в хорошем согласии с экспериментом [26, 29, 30]. Заметим;, что представленная модель фактически содержит только два свободных параметра (T/O/CTQ, a/w).
Как уже отмечалось выше, в экспериментах [26, 29, 30] низкочастотное внутреннее, трение не зависит ни от температуры, ни от частоты при низких температурах. В рамках нашей модели [31] такое поведение может быть объяснено только когда присутствуют как взаимодействие (диполи дислокаций) так и окрашенный шум. А именно, окрашенный шум вносит главный (по сравнению со стандартным струнным механизмом) вклад во внутреннее трение в области низких частот. В то же самое время дальнодействующее упругое (диполыше) взаимодействие между дислокациями, целиком определяемое структурой дислокационного ансамбля ; обеспечивает независимость низкочастотного внутреннего трение от температуры (атермальность) при низких температурах. Упругое взаимодействие в таком случае обеспечивает выполнение приближения жесткого рельефа ( 3.31), подавляя влияние как зависящих от температуры слагаемых (содержащих параметр демпфирования В) так и инерционных членов (содержащих линейное натяжение и массу). Подобная: роль упругого взаимодействия уже рассматривалась в [62, 63] при исследовании вопросов амплитуднозависимого внутреннего трения в твердых растворах. 3.4 Теплопроводность Как известно, при низких температурах, поведение теплопроводности определяется рассеянием на границах образца и на дефектах решетки. В рамках приближения времен релаксации и дебаевской модели, теплопроводность определяется выражением [64] здесь по j осуществляется суммирование по всем акустическим модам фононов, и)щ - дебаевская частота, Vj - скорость звука, Tj - полное время релаксации фононной подсистемы n-Cj - теплоемкость фононной моды с номером j. Принимая, что все фононные моды рассеиваются одинаково диполями-дислокаций, полное обратное время релаксации:г-1 можно записать в виде где т 1 - время, релаксации, обусловленное рассеянием фононов на границах образца, rj" - время релаксации связанное с динамическим фонон-дипольным взаимодействием, В качестве следующего упрощения мы будем использовать.в расчетах среднюю скорость звука v вместо скорости звука фононной моды с номером j.
