Введение к работе
Актуальность темы исследования
Как часто отмечается [1], теоретическое описание развитой турбулентности пока остается во многом нерешенной задачей. Большинство аналитических теорий турбулентности приходится рассматривать как полуфеноменологические модели в том смысле, что они не являются приближениями конечного порядка в некоторой регулярной теории возмущений по малому параметру для какой-либо последовательной микроскопической модели типа стохастического уравнения Навье -Стокса.
Одной из наиболее характерных открытых проблем остается исследование на основе такой микромодели отклонений от предсказаний классической феноменологической теории Колмогорова-Обухова, в особенности явлений перемежаемости и аномального скейлинга структурных функций турбулентного поля скорости. Одна из основных трудностей состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности.
Надежды на построение последовательной количественной теории турбулентности связываются с использованием методов квантовой теории поля, в особенности ренормализационной группы (РГ), ранее успешно примененной в теории фазовых переходов II рода для обоснования критического скейлинга и расчета соответствующих аномальных показателей в форме рядов по c = A-d - отклонению размерности пространства d от верхней критической размерности d = 4, выше которой аномалии исчезают.
Важное отличие состоит в том, что для турбулентности верхней критической размерности не существует, параметр РГ-разложения є имеет другой смысл, и возможность использования простого є -разложения далеко не очевидна. Поэтому весьма многообещающей представляется идея построения теории возмущений по \ld, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ: [2-4]. Ожидается, что в пределе d -»со задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория Колмогорова станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром \ld (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно невелик: \/ d = 1/3).
Как численные, так и натурные эксперименты показывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова для пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси) проявляются еще сильнее, чем для самой скорости [5]. В то же время, эта задача оказывается более доступной теоретическому анализу. Особое внимание в последнее десятилетие привлекала модель Обухова-Крейчнана, где был получен ряд точных результатов и впервые было построено систематическое разложение для аномальных показателей, подобное в -разложению критических индексов [5,6].
Тем самым, проблема турбулентного перемешивания, важная сама по себе, может рассматриваться и как отправная точка при изучении явлений перемежаемости и аномального скейлинга для развитой турбулентности в целом.
Цели работы
исследование ряда статистических моделей развитой гидродинамической турбулентности и турбулентного переноса (конвекции) с помощью теоретико-полевых методов ренормгруппы, включая ренормировку составных полей (операторов), операторное разложение на малых расстояниях, а также специально разработанную технику вычисления многопетлевых диаграмм теории возмущений в динамических моделях;
изучение высоких порядков є -разложения для стохастического уравнения Навье-Стокса, а также
изучение аномального скейлинга в более сложных и реалистических, чем обычная модель Обухова-Крейчнана, задачах турбулентного переноса: учет сжимаемости жидкости и крупномасштабной анизотропии, турбулентный перенос векторного поля.
Научная новизна Основная новая идея данной работы - совмещение асимптотики rf-юо с теоретико-полевым аппаратом ренормгруппы и -разложением. Это позволило получить следующие ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса с коррелятором случайной силы вида к ' ' s в
пространстве d измерений исследовано с помощью метода ренормализационной группы в связи с
проблемой построения разложения по lid и выхода за рамки стандартного -разложения в теории
развитой гидродинамической турбулентности. Показано, что число диаграмм теории возмущений
для функции Грина в пределе больших d резко сокращается и разработана техника их
аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового
подхода — константы ренормировки, Р -функции, координаты неподвижной точки и
ультрафиолетового поправочного индекса со — впервые выполнен в порядке 3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. вне рамок є -разложения) выражения для неподвижной точки и индекса со.
Парная корреляционная функция поля скорости для стохастического уравнения Навье-Стокса в пределе больших d впервые вычислена в третьем порядке разложения по є (двухпетлевое приближение). Вместе с полученными в п.1 результатами это позволило вычислить в третьем порядке -разложения константу Колмогорова СК в спектре энергии турбулентности и фактор асимметрии в асимптотике инерционного интервала.
Исследована модель турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля, в которой скорость турбулентной среды моделировалась статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана. Показано, что аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями, причем ведущие члены асимптотик структурных функций определяются собственными числами матриц критических
размерностей семейств таких операторов специального вида. При d -» то соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма, что позволило вычислить их в главном порядке е -разложения для структурных функций до порядка я = 28 включительно. Для высших структурных функций предложены явные эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. Таким образом, дано полное описание аномального скейлинга для модели при всех п.
4. Для двух моделей турбулентного переноса пассивного скалярного поля, обобщающих модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии, в главном порядке є -разложения вычислен бесконечный набор аномальных показателей, характеризущий поведение парной корреляционной функции в анизотропных секторах. В теоретико-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, квадратичных по полю скорости. Сравнение с точными ответами, полученными с помощью метода нулевых мод, позволило получить точные выражения для этих размерностей и соответствующих констант ренормировки.
Практическая и теоретическая ценность
Полученные в диссертации результаты должны стимулировать дальнейшие попытки нахождения точных решений в моделях развитой турбулентности в пределе большого числа измерений и построения систематического 1 / d -разложения. Разработанные методы вычисления многопетлевых диаграмм могут быть использованы в других моделях турбулентности и турбулентного переноса, например в модели Бюргерса. Полученное представление для асимптотик структурных функций в виде суперпозиции большого числа степенных вкладов с близкими показателями должно учитываться при теоретическом описании экспериментальных данных.
Апробация работы
Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на научном семинаре кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ, Школе молодых ученых "Физика и прогресс" (СПбГУ, ноябрь 2008), Международном семинаре "Фоковские чтения: Проблемы современной физики" (декабрь 2008г., Санкт-Петербург) и XLIII Зимней школе ПИЯФ (февраль 2009, Репино).
Публикации
По теме диссертации опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименований. Объем диссертации 111 страниц, она содержит 21 рисунок.
