Введение к работе
Актуальность темы.
Класс точно решаемых квантовых систем, т.е. систем, для которых известны аналитические выражения для собственных значений энергии и соответствующих волновых функций, весьма ограничен. В одномерном случае список таких систем известен давно, в основном, в рамках метода факторизации Шредингера [1].
В то же время существует очень небольшой набор многомерных точно решаемых моделей. Их решение было получено либо в рамках анза-ца Бете, либо с помощью стандартного метода разделения переменных. Такие системы являются во многих смыслах исключительными, и, кроме точной решаемости, обладают другими замечательными свойствами, в частности, интегрируемостью. Точно решаемые модели возникают во многих областях теоретической физики, их изучение и попытки обобщения продолжаются по сей день.
В конце 80-х годов стали активно изучаться одномерные квази-точно решаемые системы [2] - модели, для которых аналитически удается получить только часть спектра и соответствующие волновые функции.
С момента своего появления в 1982 году суперсимметричная квантовая механика (ССКМ)[3] и возникающие в её рамках соотношения сплетения стали мощными инструментами для поиска новых квази-точно и точно решаемых систем. Полиномиальное обобщение одномерной ССКМ [4] расширило арсенал методов, и позволило исследовать ряд одномерных моделей, в том числе периодических. Для многомерных моделей также был получен ряд результатов: путем решения соотношений сплетения было построено двумерное квази-точно решаемое обобщение потенциала Морса [5], а при некоторых значениях параметров доказана его точная решаемость [6] . Эти и многие другие работы последнего времени показывают, что исследовательский потенциал, содержащийся в ССКМ и методе соотношений сплетения, далеко не исчерпан, в рамках этих методов могут быть найдены новые интегрируемые квази-точно и точно
решаемые системы.
Соотношения сплетения возникают также при исследовании другого класса интегрируемых систем - спиновых цепочек [7]. Гильбертово пространство состояний для них является тензорным произведением пространств представления некоторой алгебры, и для конечномерных представлений гамильтониан молено представлять в виде матрицы. С помощью квантового метода обратной задачи рассеяния для таких цепочек строится набор взаимно коммутирующих генераторов и находится их спектр собственных значений. Валеную роль при этом играет универсальная R—матрица R(u), удовлетворяющая уравнению Янга-Бакстера: в её терминах выражается Q—оператор Бакстера, важный для нахождения спектра взаимно коммутирующих операторов модели.
Универсальные R—матрицы были найдены для многих классов спиновых цепочек с различными алгебрами симметрии. Был предложен метод [8], согласно которому R{u) может быть найдена как некоторый элемент группы перестановок специального вида. В рамках этого метода было получено явное выражение для R—матрицы спиновой цепочки с алгеброй симметрии sn.
Современное состояние проблемы.
И в ССКМ, и в теории интегрируемых спиновых цепочек важнейшую роль играют соотношения сплетения:
L{I = XL2} (1)
где Ьі,2, 2Г - некоторые операторы; X при этом называется сплетающим оператором. Наибольшую пользу такие соотношения приносят в задачах, где требуется найти спектр одного из операторов L1;2, например, когда они являются гамильтонианами шредингеровского вида.
Исходя только из (1), молено получить ряд важных следствий, касающихся спектров операторов L\^- В случае самосопряженных операторов Li2 молено рассмотреть таклее эрмитово-сопрялеенное соотношение I^Li = Ь21^ Совместно с (1) оно приводит к существованию операторов
симметрии:
[ЬиІ&] = 0; [Ь2,Ґ1} = 0. (2)
Таким образом, системы с эрмитовыми гамильтонианами Li,2, удовлетворяющими (1), автоматически являются интегрируемыми.
ССКМ была предложена Виттеном для изучения спонтанного нарушения суперсимметрии в квантово-полевых моделях. В её рамках возникли соотношения сплетения между гамильтонианами, содержащими произвольную функцию - суперпотенциал. В схему одномерной ССКМ вскоре были включены все известные точно решаемые одномерные потенциалы. Обобщение этой конструкции на случай потенциалов, зависящих от нескольких переменных, было предложено в 1984 году в работе [9]. При переходе к многомерному случаю сохранилась свобода в выборе суперпотенциала, но соотношения сплетения связывали матричные гамильтонианы различной размерности.
Вскоре было предложено полиномиальное обобщение многомерной ССКМ [10] для простейшего случая движения в двумерном пространстве. Соотношения сплетения при этом записывались в виде
hWq- = q-hw, (3)
где Н(>, Н^1> - сплетаемые гамильтонианы, a Q~ - сплетающий оператор:
Q- = 9гк{х)дгдк + Сг(х)дг + В(х) (4)
с произвольными функциями gik(x), Сі(х), В{х). Задача нахождения гамильтонианов со сплетением (3) приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее её решение неизвестно, однако некоторые частные решения позволили получить интересные двумерные квази-точно решаемые интегрируемые модели на плоскости [5]. Соотношения сплетения несколько другого вида возникают в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния. Как известно, интегрируемая спиновая цепочка задается с помощью оператора Лакса L(u) и
фундаментальной R—матрицы R(u — v). Эти операторы удовлетворяют фундаментальному коммутационному соотношению
R{u - w)L(1)(m)L(2)(^) = І(2)(«)і(1)(и)й(и - г;), (5)
которое можно интерпретировать как соотношение сплетения. В отличие от (1), операторы в нем действуют в разных пространствах.
Для нахождения спектра состояний спиновой цепочки существует ряд методов, самым старым из которых является анзац Бете. Однако большую область применимости имеет метод Q—оператора Бакстера.
В работе [8] впервые был построен Q—оператор Бакстера для спиновой цепочки XXX с алгеброй симметрии sn; при этом авторы существенным образом опирались на явный вид универсальной R—матрицы этой модели. Такой подход может быть использован и для спиновых цепочек с деформированной алгеброй симметрии: достаточно лишь знать явный вид универсальной R—матрицы.
Построение универсальной R—матрицы является сложной задачей. Для её упрощения удобно представлять генераторы алгебры в виде дифференциальных операторов, действующих на определенном пространстве функций. Для алгебры sn такие реализации известны давно [11], и именно их применение позволило авторам [8] построить универсальную R—матрицу в виде дифференциального оператора, а затем получить уравнения Бакстера. Предложенный авторами метод опирается на факторизацию R—матрицы.
Оператор Лакса спиновой цепочки с алгеброй симметрии sn зависит от спектрального параметра и и параметров представления алгебры li} і = 1,... , п. Если использовать реализацию генераторов этой алгебры в виде дифференциальных операторов, в выражения для которых входят /і, то можно увидеть, что в итоговой формуле для L(u) будут встречаться только комбинации вида щ = и — li. Уравнение для универсальной
R—матрицы 1Z будет иметь вид
ГЩи - v)L(1\Ul,.. .,un)L(2\Vl,..., vn) =
= L« (гл,..., vn)L^ (щ,..., un)VlZ(u - v), (6)
где V - оператор перестановки, т.е. VIZ переставляет набор параметров (щ,... ,ип) первого оператора Лакса Ь^1> с набором {v\,... ,vn), входящим в L^2'. Оператор 1Z можно представить в факторизованном виде в терминах элементарных операторов Si, і = 1,... ,п, каждый из которых осуществляет перестановку г—го и (г + 1)—го параметра из набора {щ,... ,un,V\,... , vn). Задача нахождения Si является более простой, так как при і ф п в определяющие уравнения входит только один оператор Лакса, а не два, как в (6).
Описанная выше технология может быть с некоторыми модификациями перенесена на случай цепочек с деформированной алгеброй симметрии Uq(sn). Для её применения требуется во-первых, построить реализацию генераторов в виде дифференциальных операторов, действующих на определенном пространстве функций, и, во-вторых, получить факто-ризованные выражения для оператора Лакса.
Цель работы. Основными целями диссертации являются:
Получение новых двумерных квази-точно решаемых и интегрируемых моделей при помощи решения суперсимметричных соотношений сплетения и последующее их исследование.
Построение реализации алгебры симметрии спиновой цепочки в виде операторов, действующих на пространстве функций нескольких переменных. Использование этой реализации для вычисления универсальной R—матрицы.
Практическая ценность.
Полученные в диссертации результаты позволяют построить новые квази-точно решаемые интегрируемые двумерные модели и найти пути к построению новых точно-решаемых моделей.
Явный вид универсальной R—матрицы спиновой цепочки с деформированной алгеброй симметрии Uq(ss) может быть использован для дальнейшего исследования этой системы: построения Q—оператора, получения уравнений Бакстера и определения собственных значений энергии и операторов симметрии.
Предложенный метод построения реализации квантовой алгебры Uq(sn) на пространстве функций п{п— 1)/2 переменных позволяет получить компактные рекуррентные выражения для генераторов алгебры, а также дает возможность представить оператор Лакса спиновой цепочки в факторизованном виде, полезном для дальнейшего построения универсальной R—матрицы для квантовой алгебры Uq(sn).
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на международных конференциях, посвященных интегрируемым и точно решаемым моделям квантовой механики: 3rd International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics 2005 (Стамбул, Турция); First and Second Workshops "New challenges in Quantum Mechanics: Integrability and Supersymmetry" 2005 (Вальядолид, Испания), 2006 (Бургос, Испания); International Workshop on Theoretical and Mathematical Physics 2006 (Болонья, Италия).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах. Список публикаций приведён в конце автореферата. На защиту выносятся следующие основные положения.
Предложен новый метод решения двумерных суперсимметричных соотношений сплетения второго порядка с суперзарядами, представимы-ми в виде произведения двух операторов первого порядка с промежуточным твистом. Получено общее решение для гамильтонианов, операторов симметрии и сплетающих суперзарядов.
Метод суперсимметричного разделения переменных применен для исследования спектра ряда двумерных моделей, не допускающих стандартного разделения переменных. Доказана квази-точная решаемость
обобщённой модели Пёшля-Теллера (в терминах полиномов Лежандра), обобщённого потенциала Ламе и обобщённого присоединенного потенциала Ламе (в терминах эллиптических функций Якоби), а также найдена волновая функция и энергия основного состояния для обобщённого потенциала Разави.
3. Разработана новая рекуррентная процедура построения опера
тора Лакса для спиновой цепочки с алгеброй симметрии, являющей
ся q—деформированной универсальной обертывающей алгеброй Uq(sn).
Оператор Лакса L(u) реализован в виде разностного оператора, действу
ющего на пространстве функций п(п— 1)/2 переменных. Предложенный
метод позволил получить компактные факторизованные выражения для
L(u).
4. Для спиновой цепочки с алгеброй симметрии Uq(ss) получено яв
ное выражение для универсальной R—матрицы при помощи факториза
ции её на произведение элементарных операторов перестановки парамет
ров. Для вычислений использовался оператор Лакса, построенный с по
мощью метода когерентных состояний. Построенная R—матрица имеет
вид произведения операторных q—экспонент, действующих на простран
стве функций 6 переменных.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объём диссертации — 120 страниц. Список литературы включает 86 наименований.
