Введение к работе
Актуальность темы. Один из основных принципов строительства мо делей - принцип соответствия - проявляется в том, что переходы между теориями имеют предельный характер. Этот аспект принципа соответствия, а именно, дискретное изменение свойств модели при предельных оначениях ее фиоических параметров, отражается также на свойствах инвариантности и группах симметрии. В теоретико-групповой формулировке принципа соответствия для всякой физической теории, являющейся приближением или предельным случаем другой фиоической теории, алгебры операторов н?<блюдаемых должны быть блиоки (связаны предельным переходом). В геометрическом описании каждому такому предельному переходу сопоставляется гладкая кривая на пространстве структурных констант алгебр фиксированной размерности. Алгебры, свяоанные предельным переходом, экспериментально нераоличимы я при строительстве модели наряду с некоторой основной симметрией следует рассматривать и все блиокие к ней.
Инварианты исходной алгебры при предельном переходе диктуют жесткие свяои для инвариантных операторов предельной симметрии, собственные оначения которых сопоставляются наблюдаемому спек тру. Задача поучения обобщенных симметрии сводится к исследова нию "допредельных" алгебр симметрии, предел которых содержал бы алгебры релятивистской и внутренней симметрии в виде прямой суммы и не имел бы дополнительных, "нефиоических", генераторов. Такие ал гебры могут быть в частности построены как деформации соответ ствующих исходных алгебр симметрии. Поучение деформаций лрями:: сумм пространственно-временной и внутренней алгебр симметрии ьо:і имодействия элементарных частиц привело к отрицательному реиулт.-. тату. Было показано, что прямая сумма алгебры Пуанкаре и полупростой алгебры не имеет физически нетривиальных деформаций.
Появление суперсимметричных моделей взаимодействия элементарных частиц вновь усилило интерес к проблеме спектра состояний. Бмло установлено, что введение калибровочной сунерсимметрии означает появление калибровочной группы Пуанкаре, то есть включение в оощую схему симметрии гравитационного воаимодействия. Благодаря расширению пространства алгебры симметрии и чомєіієш'.ю формы «.-с- оакоьа композиции открылись дополнительные возможности діія построении
блиоких симметрии. Однако для сулералгебр необходимый аппарат теории деформаций отсутствовал.
Решительный шаг в раовитии концепции близких симметрии был предпринят в связи с использованием в' суиергравитацки идей раомер-ной редукции и спонтанной компактификацпи. В классических вариантах моделей Калуцы-Клейна баловая конструкция представляет собой ковариантную теорию поля в D — 4 + п намерениях, содержащую метрические, тензорные калибровочные поля и поля материи. Предполагается, что теория допускает такое основное состояние, в котором D-мерное пространство расщепляется на 4-мерное пространство-время и внутреннее n-мерное многообразие. Последнее предполагается компактным и обладающим эйнштейновской метрикой. Бели такое вакуумное состояние оказывается энергетически более выгодным в силу свойств полей исходной теории, то эффект в целом наливают спонтанной компактификацией. Флуктуации многомерных полей над вакуумным решением разлагаются по гармоникам внутреннего пространства л коэффициенты этого раоложения рассматриваются как физические поля эффективной 4-мерной теории. Группа иоометрии внутреннего многообразия становится калибровочной группой. В итоге получаем 4-мерную калибровочную теорию, описывающую гравитацию, ферми-онные поля, скаляры (типа полей Хиггса) и калибровочные поля группы иоометрии.
В многомерных моделях раамерной редукции механизм спонтанной компактифнкацип дополняется требованием инвариантности, полного лагранжиана относительно преобраоований иоометрии внутреннего многообразия. Инвариантность обеспечивается тем, что всякое преобразование по группы иоометрии компенсируется калибровочным преобразованием исходной калибровочной группы. Калибровочная инвариантность полного лагранжиана приводит к тому, что теория в целом не зависит от координат внутреннего пространства. Стандартная размерная редукция, то есть усреднение по внутренним координатам, порождает аффективную четырехмерную теорию. В ней помимо спи-норных п калибровочных полей появляются мультинлеты скалярных нолей, играющих роль полей Хиггса. Калибровочная группа 4-мерного л.мрашквала сужается до централизатора группы голономіш внутреннего многообразия в исходной калибровочной группе. Важной особен-
ностыо этих моделей является возможность дополнительного нарушения симметрии оа.счет топологических оарядов внутреннего многооб раоия. Таким образом может иметь место многократное спонтанное нарушение симметрии.
До сих пор близкие симметрии рассматривались в рамках категории конечномерных алгебр Ли и соответствующих им групп Ли. Можно ослабить ото ограничение и рассмотреть деформации 119(А) бесконечномерной универсальной обертывающей алгебры U(A) , то есть алгебры операторов, порожденных алгеброй Ли симметрии. Требования инвариантности теории относительно группы G с алгеброй А заменяются на условия согласования алгебраических и коалгебранческих свойств U/,(A). Такие деформации получили наование квантовых алгебр Ли. Первоначально они применялись для описания симметрии точно решаемых моделей теории поля. В настоящее время квантовые алгебры и квантовые группы используются в самых раоличных областях теоретической физики. С точки орения строительства моделей объединенной симметрии элементарных частиц особенно примечательно, что механиом Калуцы-Клейна в моделях с некоммутативной геометрией (то есть с квантовой группой пространственно-временной симметрии) может приводить к появлению симметрии, сравнимых с симметриями нио-ковнергетического сектора взаимодействий, в том числе и с группой симметрии стандартной модели.
Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит в разработке системы новых алгебраических методов исследования нарушения симметрии, способных преодолеть специфические трудности, вооникающпе при поучении многомерных моделей и моделей с квантовыми группами симметрии.
Эти трудности проистекают прежде всего ио множественности допустимых схем внутренней симметрии и ее нарушении. При сравнении фи-оических характеристик модели для раоличных компактификацин п топологических особенностей необходимо для каждого внутреннего многообразия иметь явный вид базиса гармонического раоложения п спектров инвариантных операторов. Подразумевается также, что для каждой геометрии внутреннего пространства должна быть возможность
построить все спинорные структуры. Существующие методы построения спинорных структур применимы лишь для пространств с простой топологией и малой раомерностью. Баоисные гармоники должны кроме того иметь удобную параметризацию. В противном случае трудности при расчете квантовых поправок к основному состоянию могут окапаться непреодолимыми.
Понятие близких симметрии предлагается положить в основу алгебраического подхода к исследованию процессов нарушения симметрии. С втой точки орения главной особенностью многомерных моделей является спонтанная хомпалтификация внутреннего пространства и соответствующее нарушение инвариантности. В тех случаях, когда первоначальная симметрия явно не формулируется, как в моделях многомерной вселенной, она присутствует в виде симметрии исходного лагранжиана или многомерных уравнений движения. Этим уравнениям удовлетворяет и вакуумное состояние и его возбуждения. Так что после выделения внутреннего пространства свяоь между собственными значениями операторов Казимира пространственно-временной и внутренней симметрии сохраняется.Имеет место классический вариант поведения системы при переходе к предельной симметрии за счет сжатия исходной алгебры. При последующей спонтанной комнахтификации вну-чреннего пространства, напротив, операторы Казимира группы движения плоского многообразия формируют инвариантные операторы компактного пространства. Происходит деформация внутренней неоднородной симметрии. Таким образом, алгебраический подход к изучению механизма Калуцы-Клейна будет состоять в расширении диапазона исследуемых моделей, когда в окрестность исходной алгебры наблюдаемых включаются не только ее сжатия и деформации, но и продукты комбинированных предельных переходов.
Чтобы найти все допустимые вакуумные решения и нолевые конфигурации возбужденных состояний, необходимо прежде неп о построить такую окрестность исходной группы симметрии, которая сооїветство-нала бы физическому смыслу процедуры спонтанной компактнфикацнн. Она должна содержать близкие симмеї рип, каждая из коюрых препста-ннма ь mine последовательности сжатий и деформаций. Промеж) точная (сжатая) симметрии должна иметь нормальную ло:н руппу. факторизация по которой приполи і к прямому произведению прост ране 1 »"ННО-
временной и внутренней симметрии или блиоких к ним. Елли в полученном множестве внутренних пространств {А'} выделить пространства одного топологического типа (например, сферы), то элементы полученного подмножества будут свяоаны симметричным рескейлингом метрики. Цепочки однородных пространств, связанных рескейлингом, будут параметриоованы переменными деформации групп симметрии внутреннего многообразия. Собственные (значения инвариантных операторов в одной цепочке рескейлинга описываются общими формулами, предусматривающими явную (зависимость инвариантных наблюдаемых от параметров деформации.
Введение дискретных групп Г в группу голономии однородного пространства эквивалентно ограничению цепочки рескейлинга. Допустимыми остаются лишь те внутренние многообразия, для которых представления группы симметрии пространства X реализуют подгруппу Г точно.
Предложенный алгебраический подход дает единое описание классов многомерных моделей с блиокой симметрией. Их внутренние много-обраоия представляют собой параметрические семейства однородных пространств, свяоанных одновременной деформацией группы симметрии и подгруппы стабильности.
Для реалпоации отого подхода необходимо обобщить методы теории деформаций, чтобы получить возможность единого описания всех предельных переходов в алгебрах симметрии и изучить свойства таких деформаций. Требуется разработать методы редукции представлений алгебр Ли как для регулярных, так и для специальных вложений и решить задачу параметриоации подпредставлении. Тем самым будет решена проблема гармонического разложения полей на фактор-пространствах с учетом дискретных подгрупп, описывающих топологические свойства внутренних многообразий. Необходимо также найти алгоритмы построения спинорных структур на однородных пространствах, которые позволили бы изучать саойства спинорных полей на классах вакуумных решений в многомерных моделях.
Использование квантовых алгебр симметрии в теории элементарных частиц также связано с решением проблемы построения окрестности исходной ("классической")симмеірин. Широкое применение клані onux алгебр сдерживается тем обстоятельством, что изпестные схемы кван-
тования пригодны лишь для комплексных полупростых алгебр Ли. Тогда кох с точки ореніи приложений наиболылии интерес представляют ненолуиростые вещественные квантовые алгебры.
Последовательно используя методы теории деформаций, можно решить оадачу квантования произвольной алгебры Ли, что существенно упростит исследование симметрии, описываемых квантовыми алгебрами и квантовыми группами. В основу нового метода квантования следует положить построение и классификацию допустимых форм копро-иоведения в квантовых алгебрах. После того как вид копроиоведенпл зафиксирован, «задача квантования сводится к решению уравнений деформации для оакона композиции в U(A) и его согласования с копроио-ведением. Преимущества такого подхода оаключаются в том, что в нем испольоуются общие свойства копроиоведений, не связанные со структурой исходной алгебры А. Полученный алгоритм может быть исполь-иован для любой алгебры над проиовольным полем.
Научная повчана. Основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.
Установлено существование нетривиальных кограничных деформаций алгебр Ли, описывающих сжатия. Получены критерии стабильности полунростых супералгебр и сильной стабильности полупростых подалгебр в супералгебрах.
Разработан новый метод редукции представлений для вложений уни-і арных алгебр и универсальный метод редукции для регулярных вложении классических алгебр Ли, а также оригинальный метод редукции для специальных вложений. Получена рекуррентная формула для относи гельных кратностей старших весов нодпредставлений для регулярных вложений.
Впервые установлена стабильность подалгебр релятивистской симметрии в моделях суперпуанкарссупергравитации.
Доказано, что ьсліоіі схеме спонтанной компакт ифпкашш в многомерных моделях соответствует последовательность сжатий и деформации алн'бры симметрии (суперснмм'Трни) модели. Разработан г«ффек-гнвный метод пне :роеііии системи вакуумных состоянии в моделях
Калуцы-Клейна, основанный на свойствах деформаций симметрии однородных внутренних многообразий.
Раоработан метод одновременного анализа класса моделей, внутренние пространства котзрых связаны симметричным рескейлингом метрики. Получена формула для коэффициентов симметричного рескей-лннга с оаданной группой симметрии однородного пространства. Установлена вооможность параметризации спектра инвариантных наблюдаемых коэффициентами ресхейлннга.
Предложен новый алгебраический метод построения спинооных структур на однородных пространствах. Построена полная классификация спшюрных полей на многообразиях SU(n)/SU(p) х SU(q) х U(l)/Z4.
Доказано, что на неодносвяэных пространствах вида Sb/Zp топологический чаряд в многомерных калибровочных моделях приводит к спонтанному нарушению калибровочной симметрии.
Доказано существование однозначного соответствия между квантовыми алгебрами определенного типа и плоскими разрешимыми группами Ли. Раоработан новый метод построения квантовых алгебр симметрии, основанный на свойствах деформаций плоских абелевых групп. Метод применим для любых алгебр Ли над произвольным полем.
Научная ц практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования симметрии и ее нарушений в объединенных моделях а полученные с их помощью реоультаты могут быть использованы для построения инвариантных полевых систем и исследования спектра наблюдаемых в моделях теории элементарных частиц, пространства которых содержат однородные подпространства с групповыми н кван-товогрушювыми симметриямн. Новые алгоритмы редукции представлений применимы в теоретико-групповом анализе хвантопомеханичеекпх систем и ядер.
Апробация работы. Основные реоультаты диссертации опубликованы в работах [1-20] и неоднократно докладывались на сессиях Отделения Ядерной физики ЛИ СССР, на научных семинарах СПбГУ, ПОМП
РАН, Парижского, Берлинского и Лейпдпгского университетов; были представлены на V Международной конференции "Проблемы квантовой теории поля и математической физики" (Либлиц, Чехословакия, 1989г.), на II Международном симпооиуме "Маьс Борн" (Вроцлав, Польша, 1992г.) и на Международном совещании "Супгрсимметрия и квантовые группы" (Дубна, 1993г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ио введения, четырех глав и (заключения. Полный объем диссертации - 220 стр., включая список литературы ио 167 наименований.
