Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена теоретическому исследованию динамических фрактальных структур в физике космической плазмы, астрофизике и космологии, основанному на применении теории групп Ли к анализу соответствующих дифференциальных уравнений.
Широкое проникновение методов фрактальной геометрии в современную теоретическую физику привело к значительному прогрессу в понимании явлений, протекающих в неравновесных системах. Теория фазовых переходов, исследования процессов электролиза и агрегации, транспортные явления в пористых средах в значительной мере усилили интерес к фрактальным множествам как в чисто теоретических исследованиях, так и в компьютерных и натурных экспериментах. Процессы переноса на множествах дробной (фрактальной) размерности играют, по-видимому, ключевую роль в самых разнообразных физических явлениях. Ярким примером является диффузия- магнитных силовых трубок (то есть элементарных "сгустков" магнитного потока) в фотосфере Солнца под действием мелкомасштабных турбулентных вихрей. Исследование диффузионных процессов на фрактальных множествах привело к обобщению понятия случайного броуновского, движения и открытию, скажем, процессов супердиффузии, протекающих намного интенсивнее, чем обычная диффузия в евклидовых пространствах. Аналогичные эффекты, обусловленные влиянием дробной размерности на скорость протекания тех или иных кинетических процессов, были обнаружены при исследовании обобщенных "бимолекулярных" реакций вида А + В — 0 на фрактальной геометрии.
Чрезвычайно важной областью применения теории фракталей является обработка экспериментальных данных. Как показывает R/S-анализ. многие экспериментальные сигналы обладают фрактальной статистикой, исследование которой позволяет сделать глубокие выводы о сущности изучаемых* физических процессов. В качестве примера укажем, что исследование межпланетного магнитного поля с помощью космических аппаратов Voyager-І и 2, Helios-І и 2, ISEE-3,"IlporH03-7", IMP-8 позволило установить фрактальную структуру турбулентности солнечного ветра на гелиоцентрических расстояниях вплоть до ~ 25 а.е. При этом свойство самоаффинности временных рядов, представляющих результаты измерения межпланетного магнитного поля B(t) и поля-скоростей V(t), связано с определенным видом спектра турбулентности в инерционном интервале.
Однако даже очень краткий обзор роли фрактальных структур в неравновесных динамических системах был бы неполным без упозлина-ния о существовании иерархии в распределении (видимого) вещества во Вселенной, по крайней мере на масштабах, меньших либо порядка 50 h_i Мпк. (Здесь h - безразмерная постоянная Хаббла. нормированная на значение 100 км / с-Мпк.) В самом деле, построение двухточечных корреляционных функций для галактик, впервые предложенное в известной работе Т цуйи и Кихары (1969). показывает, что крупномасштабное распределение вещества во Вселенной соответствует пространственной фрактальной размерности Da 1,2 для масштабов расстояний г ~ 10 К"1 Мпк. Совсем недавно были получены первые экспериментальные указания на изменение фрактальной размерности D для крупномасштабного распределения вещества от значения D=sl,2 до D^2,2 при увеличении масштаба г до значений порядка 30 h_1MnK. Эти результаты открывают новое перспективное направление в исследовании крупномасштабной структуры
- з -Вселенной на сверхбольших расстояниях ( г - (ЗО - 60) h-i Мпк).
Большой интерес к. методам фрактальной геометрии можно з определенном смысле рассматривать как одно из проявлений чрезвычайно плодотворной тенденции к "геометризации" современной теоретической физики. Другим, не менее привлекательным проявлением этой тенденции могло бы служить все более интенсивное применение теории непрерывных групп, или групп Ли, не только в теоретической (и прикладной) физике, но и в инженерных и других базирующихся на математике науках. Приложения непрерывных групп Ли (т.е. групп, обладающих структурой гладкого многообразия) включают такие разнообразные разделы, как алгебраическая топология, теория инвариантов, теория бифуркаций, специальные функции, численный анализ, теория управления, классическая и квантовая механика, дифференциальные уравнения, теория относительности, механика сплошных сред и т.д. Роль теории непрерывных групп в современной физике и математике действительно трудно переоценить. Не вызывает сомнения и тот факт, что применение теории непрерывных групп к анализу динамических процессов на фрактальных множествах. явилось бы не просто данью "модным" направлениям в теоретической физике, но заключало бы в себе колоссальные возможности для дальнейших исследований. Первые работы в этом направлении появились совсем недавно и уже позволили получить ряд новых интересных результатов.
Целью настоящей диссертации является теоретическое иследова-ние динамической эволюции крупномасштабных фрактальных структур, возникающих в космической (в том числе космологической) плазме, звездных и галактических системах, основанное на применении теории групп Ли к решению соответствующих дифференциальных уравнений, а именно:
используя аппарат теории непрерывных групп, исследовать тонкую структуру (цилиндрически симметричных) силовых трубок магнитного поля для, строго говоря, немаксвелловских функций распределения частиц плазмы; вычислить класс функций распределения, позволяющих найти аналитические выражения для распределения магнитных полей и плотности плазмы в трубках; исследовать фрактальные свойства кластеров из магнитных силовых трубок для функций распределения плазмы, принадлежащих данному классу; используя полученные результаты, построить Фрактальную модель эволюции солнечных пятен, рассматриваемых как крупномасштабные фрактальные агрегаты из магнитных оиловых трубок в фотосфере Солнца, а также динамическую фрактальную модель, турбулентности межпланетного магнитного поля, исходя из представления о взаимодействующих фрактальных кластерах солнечного ветра на различных гелиоцентрических расстояниях;
на основе метода ренорм-группы исследовать симметрии квазистатической последовательности состояний "слой - ядро", соответствующей гомологической стадии эволюции шаровых звездных скоплений и сферических галактик; зная ренормализационные симметрии, вычислить допускаемую труппу Ли уравнения аномальной диффузии, описывающего дрейф горячих везд из ядра в гало скопления, а также построить автомодельные решения для эволюции ядра, удовлетворяющие необходимым требованиям "симметрии к уравнению диффуэии;
построить модель образования галактик и скоплений галактик в результате спонтанной полимеризации флуктуации магнитного поля в первичной космологической плазме (т.е. в эпоху, предшествовавшую эпохе рекомбинации вещества во Вселенной'); используя теорию групп Ли, найти точное аналитическое значение фрактальной размерности магнитных полимеров как крупномасштабных фрактальных агрегатов из
- 5 -"элементарных" флуктуации, а также фрактальной размерности для пространственного распределения флуктуации плотности космологической плазмы,' индуцированных магнитными полями полимеров; обсудить предсказания фрактальной модели на основе непосредственных наблюдений крупномасштабной структуры Вселенной.
Научная новизна работы
Впервые предложен теоретико-групповой подход к исследованию динамических фрактальных структур, таких как солнечные пятна в фотосфере Солнца, фрактальные кластеры в солнечном ветре, магнитные полимеры в первичной космологической плазме и др., на основе непосредственного вычисления точечных симметрии соответствующих дифференциальных уравнений.
Впервые предложена фрактальная модель эволюции солнечных пятен как крупномасштабных агрегатов из элементарных "сгустков" магнитного потока - магнитных силовых трубок; показано, что основные предсказания фрактальной модели находятся в неплохом соответствии с известными наблюдательными данными.
Для объяснения мультифрактальной структуры турбулентности межпланетного магнитного поля (ШП), открытой в экспериментах на космических аппаратах в широком диапазоне гелиоцентрических расстояний, впервые предложена динамическая фрактальная модель солнечного ветра, объясняющая основные закономерности в эволюции спектров турбулентности ММП. начиная от областей зарождения солнечного ветра вплоть до масштабов порядка - 30 а. е.
Впервые предложен теоретико-групповой подход к построению автомодельных решений, описывающих гомологическую стадию коллапса ядер шаровых звездных скоплений; впервые получены автомодельные
- 6 -решения для эволюции ядра скопления, удовлетворяющие необходимым требованиям симметрии к уравнению аномальной диффузии.
Впервые построена модель образования крупномасштабной фрактальной структуры в распределении видимого вещества во Вселенной в результате спонтанной полимеризации флуктуации магнитного поля на множествах дробной размерности. В рамках модели получено точное аналитическое значение фрактальной размерности для пространственного распределения вещества во Вселенной на масштабах расстояний - 10 h-1MnK, практически совпадающее с известным экспериментальным значением.
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 научных работах и докладывались автором на 34-ой ежегодной сессии Американского Физического Общества (Сиэттл, 1992). III совещании "Математические модели ближнего космоса", посвященном памяти В.П.Ша-банского' (Москва 1993), а также на научных семинарах в ИКИ РАН, ГАИШ, ВМК МГУ и Институте Исследований Синтеза при Техасском Университете (г. Остин, США).
Научная и практическая значимость работы
Приведенные в диссертации результаты могут быть использованы для моделирования крупномасштабного магнитного поля Солнца и звезд, исследования динамической эволюции звездных и галактических систем, а также решения многих интересных проблем, связанных с происхождением иерархии в распределении видимого вещества во Вселенной. Аналитические решения для системы уравнений Максвелла-Власова, найденные .в главах 1 и 5, могли бы оказаться полезными в исследованиях, касающихся структуры магнитного поля Земли и
- 7 -планет, проблемы удержания заряженных частиц в магнитных ловушках (как природных, так и искусственных), динамики активных областей Солнца и т.д. Результаты группового анализа уравнения аномальной диффузии (глава 6) и кинетического уравнения для полимеризации магнитных флуктуации (глава 7) могли бы быть очень актуальными для моделирования аномальных свойств динамических систем'на множествах дробной размерности, исследования транспортных явлений в пористых средах, и решения многих других задач.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, семи глгв и заключения; содержит 111 страниц основного текста, 3 таблицы и 4 рисунка. Список литературы включает 83 названия.
Во введении дается краткий обзор роли фрактальных структур в самых разнообразных физических явлениях - супердиффузии и фазовых переходах, процессах агрегации, необратимого роста и протекания, существовании иерархии в распределении видимого вещества во Вселенной и самоаффинности временных рядов, представляющих результаты непосредственных измерений межпланетного магнитного поля, и ряде других, а также затрагивается один из наиболее принципиальных аспектов работы - применение теории непрерывных групп к анализу дифференциальных уравнений, описывающих динамическую эволюцию крупномасштабных фрактальных структур в космической плазме.
- 8 -астрофизике и космологии.
В первой главе сформулирована задача о групповой классификации системы уравнений Максвелла-Власова, описывающей самосогласованное равновесие цилиндрически симметричных силовых трубок магнитного поля в бесстолкновительной плазме, по допускаемым группам точечных преобразований. Предполагается, что функция распределения частиц сорта s (где индекс s относится либо к электронной (s - є), либо к ионной (s - і) компонентам плазмы) является непрерывной функцией, зависящей от линейной комбинации интегралов движения частиц сорта s - энергии частиц, обобщенного импульса и обобщенного момента импульса. Заметим, что это единственное начальное предположение относительно вида функции распределения плазмы. Показано, что для функции распределения, зависящей от линейной комбинации интегралов движения, система уравнений Власова может быть сведена к одному нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка, которое, кроме того, позволяет найти требуемые аналитические выражения для магнитных полей и плотности плазмы в трубках для некоторого особого класса функций распределения, зависящих от параметра р. Параметр р характеризует степень неравновесности плазмы, причем предельный переход р -* ею соответствует максвелловской фуікции распределения и хорошо известным из предыдущих исследований выражениям для магнитных полей и плотности плазмы в трубках. Решения уравнений Власова для конечных значений р, найденные с помощью теории групп Ли, позволяют, таким образом, исследовать тонкую структуру магнитных силовых трубок для неравновесных функций распределения, играющих чрезвычайно важную роль при исследовании динамических процессов в бесстолкновительной плазме. .
На основе полученных результатов в главах 2-4 построены
- 9 -фрактальная модель эволюции солнечных пятен как фрактальных агрегатов из силовых трубок магнитного поля и динамическая фрактальная модель солнечного ветра, учитывающая роль незамкнутых силовых трубок в формировании спектров турбулентности межпланетного магнитного поля на различных гелиоцентрических расстояниях.
Во второй главе представлена фрактальная модель развитых солнечных пятен, то есть пятен, обладающих ярко выраженной полутенью. Формирование фрактальных структур в солнечном пятне рассматривается как результат агрегации силовых трубок магнитного поля на фрактальный кластер. Получены выражения для распределения магнитного поля в тени и полутени солнечного пятна, а также аналитическое выражение для фрактальной размерности из условия минимума свободной энергии кластера. Обсуждается связь фрактальной размерности полутени пятна с параметрами функции распределения частиц плазмы. Найдена функция распределения, соответствующая наблюдаемому значению Фрактальной размерности.
В третьей главе учитываются диссипативные процессы в магнитных силовых трубках, могущие повлиять на равновесную структуру солнечного пятна, исследованную в предыдущей главе. Показано, что омическая диссипация магнитного поля в трубках способна привести к эффективному разрушению солнечного пятна, причем дрейф магнитных силовых трубок в полутени пятна рассматривается как обобщенное броуновское движение на множестве дробной размерности. Получены оценки характерного времени образования и разрушения пятен, а также скорости потери магнитного потока пятном, которые хорошо согласуются с известными наблюдательными данными. Момент исчезновения тени пятна в процессе его медленного разрушения под действием диссипативных процессов интерпретируется как фазовый переход второго рода, аналогичный переходу через точку Кюри в ферромагне-
- 10 -тиках при соответствующем изменении температуры.
В четвертой главе анализируются результаты исследования турбулентности межпланетного магнитного поля на гелиоцентрических расстояниях R ~ 1 - 30 а.е. Показано, что фрактальное распределение магнитных силовых трубок по поверхности Солнца, обнаруженное на масштабах расстояний от - 400 до - 40 000 км (Tarbell et al.. 1990), обусловливает формирование на гелиоцентрических расстояниях ~ 10 Rq магнитных облаков, пространственен распределение которых в солнечном ветре характеризуется фрактальной размерностью, блиэкой к 3/2. Получено вначение пространственной фрактальной размерности, определяющей тонкую структуру магнитного облака как фрактального кластера из магнитных силовых трубок. Обсуждается связь пространственной фрактальной размерности со спектром турбулентности межпланетной плазмы, параметрами функции распределения и фрактальной размерностью временных рядов, представляющих непосредственные измерения межпланетного"магнитного поля на различных гелиоцентрических расстояниях.
В пятой главе представлено полное решение задачи о групповой классификации дифференциальных уравнений, описывающих самосогласованное равновесие цилиндрически симметричных силовых трубок магнитного поля в бесстолкновительной плазме, а также с помощью теории групп проинтегрирована система уравнений Власова для (упомянутого в главе 1) класса функций распределения, зависящих от параметра р. На этой главе заканчивается рассмотрение математических методов, лежащих в основе исследования магнитоплазменных фрактальных конфигураций в фотосфере Солнца и солнечном ветре.
Главы 6 и 7 посвящены анализу фрактальных структур б звездных и галактических системах на основе теории групп Ли.
В шестой главе предложен теоретико-групповой подхо/т к пост-
роению автомодельных решений, описывающих гомологическую стадию эволюции шаровых звездных скоплений. Дрейф горячих звезд из кол-лапсирующего ядра в гало скопления рассматривается как аномальная диффузия на Фрактальном кластере. Получены численные оценки для фрактальной размерности кластера, а также фрактальной размерности броуновских траекторий звезд, дрейфующих из ядра в гало. С помощью теории групп найдены явные выражения для показателя аномальной диффузии, соответствующие гомологической стадии эволюции ядра. Построены автомодельные решения для эволюции ядра, удовлетворяющие необходимым требованиям симметрии к уравнению аномальной диффузии.
В седьмой главе предложена модель образования крупномасштабной фрактальной структуры в распределении галактик и скоплений галактик в результате спонтанной полимеризации флуктуации магнитного поля, существовавших в первичной космологической плазме в эпоху, предшествовавшую эпохе рекомбинации вещества. Получено нелинейное кинетическое уравнение, описывающее процесс аномальной диффузии и полимеризации магнитных флуктуации в ранней Вселенной. Показано, что полимеризация магнитных флуктуации приводит к формированию в первичной космологической плазме крупномасштабных фрактальных структур - магнитных полимеров и суперполимеров, способных индуцировать необходимые флуктуации плотности плазмы для последующего образования галактик и скоплений галактик. С помощью теории групп Ли найдено решение кинетического уравнения, позволяющее вычислить точное аналитическое значение фрактальной размерности магнитных полимеров как фрактальных кластеров из "элементарных" флуктуации магнитного поля, а также фрактальной размерности для пространственного распределения первичных флуктуации плотности в ранней Вселенной. Обсуждаются предсказания фракталь-
- 12 -ной модели на основе непосредственных наблюдений крупномасштабной структуры Вселенной, с учетом известных ограничений на напряженность межгалактических магнитных полей и амплитуду флуктуации микроволнового фонового излучения.
Краткие выводы диссертационной работы
В настоящей работе рассматривается динамическая эволюция крупномасштабных фрактальных структур в фотосфере Солнца и солнечном ветре, шаровых звездных скоплениях и сферических галактиках, а также в первичной космологической плазме в эпоху, предшествовавшую эпохе рекомбинации и, по-видимому, определившую возникновение иерархии в распределении видимого вещества во Вселенной. Характерные.пространственные масштабы таких структур изменя-
ются от - 3-10 км для солнечных датен в фотосфере Солнца до
го *
- 3-Ю км в небольших скоплениях галактик. Хотя конкретный физический механизм, лежащий в основе эволюции тех или иных фрактальных конфигураций, носит свои индивидуальные черты, систематическое применение теории групп Ли к анализу точечных симметрии соответствующих дифференциальных уравнений позволяет с единых позиций исследовать важнейшие физические процессы, приводящие к образованию таких конфигураций. Огромный разброс логарифмических масштабов фрактальных структур, возникающих в физике космической плазмы, астрофизике и космологии, делает единый подход к их изучению тем более привлекательным. Применение методов фрактальной геометрии (и, в частности, представление о неевклидовых дробному рных пространствах, определяющих вид соответствующих дифференциальных уравнений) позволяет в данных случаях получить важную информацию о свойствах физических систем на основе анализа гео-
- 13 -метрических характеристик фрактальных образований. Полученные таким образом теоретические результаты открывают, скорее, новые перспективы в изучении динамических явлений на фрактальных множествах, хотя и являются определенным итогом уже законченного исследования.
На защиту диссертации выносятся следующие основные результаты исследований:
-
групповой анализ системы уравнений Максвелла-Власова, описывающей самосогласованное равновесие цилиндрически симметричных силовых трубок магнитного поля в бесстолкновительной плазме, включая построение соответствующих решений для распределения магнитных полей и плотности плазмы в трубках;
-
фрактальная модель эволюции солнечных пятен как крупномасштабных агрегатов из магнитных силовых трубок в фотосфере Солнца;
-
динамическая фрактальная модель солнечного ветра, анализирующая мультифрактальный характер турбулентности межпланетного магнитного поля в широком диапазоне частот и гелиоцентрических расстояний;
-
автомодельные решения, описывающие гомологическую стадию коллапса ядер шаровых звездных скоплений, с учетом точечных симметрии уравнения аномальной диффузии;
-
модель образования крупномасштабной структуры в распределении галактик и скоплений галактик в результате спонтанной полимеризации магнитных флуктуации на множестве дробной размерности.
