Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ диссертации связана прежде всего с тем, что несмотря на замечательные успехи, достигнутые в описании физики реальных частиц, в теориях, основанных на калибровочных полях Янга-Миллса, имеется ряд нерешенных вопросов принципиального характера, как то проблема конфайнмента в квантовой хромодинамике, отсутствие последовательного способа введения скалярных полей Хиггса, трудности с Великим Объединением и т.д. Современный интерес к изучаемым в диссертации математическим структурам связан с попытками положить их в основу построения но-
вых физических теорий, выходящих за рамки стандартного описания, но сохраняющих его лучшие достижения.
Замена в той или иной теории группы Ли квантовой группой естественным образом приводит к задаче об обобщении на случай квантовых групп таких фундаментальных дифференциально-геометрических понятий как тензорные расслоения над группами Ли, внешняя алгебра дифференциальных форм и комплекс де Рама. Эту задачу последовательно рассматривает аксиоматическая теория дифференциального исчисления на квантовых группах, предложенная С.Вороновичем. Несмотря на значительный интерес и обширную литературу, посвященную теории Вороновича, в ней имеется ряд открытых вопросов. К ним, например, относятся классификация и явное описание квантовых внешних алгебр для конкретной квантовой группы, вопрос о выполнении для этих алгебр валеного свойства Пуанкаре-Бнркгофа-Витта и о совпадении их рядов Пуанкаре с соответствующими классическими рядами. Более того, остается открытым вопрос о существовании других схем некоммутативной дифференциальной геометрии на квантовых группах, отличных от схемы Вороновича.
Развиваемый в диссертации метод градуированных структур Пуассона-Ли представляется актуальным по нескольким причинам. Во-первых, градуированные структуры Пуассона-Ли являются тем квазиклассическим объектом, который позволит включить дифференциальное исчисление на квантовых группах в общую теорию деформаций. Во-вторых, они не только дают ответы на некоторые из
вопросов теории Вороновича, но также позволяют выяснить статус этой теории среди других возможных схем дифференциального исчисления на квантовых группах.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является
-
Исследование градуированных структур Пуассона-Ли, связанных с классическими комплексными группами Ли, а также группой GL(N,C).
-
Построение нового биковариантного дифференциального исчисления на квантовой группе SLq(2) как квантования градуированных структур Пуассона-Ли на соответствующей классической группе.
-
Исследование структуры алгебр, описывающих биковариантное дифференциальное исчисление на квантовых простых группах.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы заключается в следующем:
-
Ведено новое понятие градуированной структуры Пуассона-Ли. Эта структура определена как ^-градуированная скобка Пуассона, заданная на внешней алгебре кокасательного расслоения группы Ли и ковариантная относительно левых и правых групповых сдвигов.
-
Изучены градуированные структуры Пуассона-Ли на GL(N, С). Показано, что среди всех структур имеются две выделенные, которые являются супералгебрами Пуасоона-Хопфа. Высказана и доказана гипотеза о том, что биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе GLq(N) представляет собой деформацию (квантование) указанных супералгебр Пуассона-Хопфа в категории
і^-градуированньгх алгебр Хопфа.
-
Получена универсальная формула, описывающая биковариант-ную скобку на внешней алгебре кокасательного расслоения комплексной матричной группы Ли.
-
Основываясь на наблюдении, что любое биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе, обладающее свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта и стандартным классическим пределом по параметру деформации, определяет в квазиклассическом пределе некоторую градуированную структуру Пуассона-Ли, найдены новые би-ковариантные дифференциальные исчисления на квантовой группе SLq{2), а также доказано, что известные биковариантные дифференциальные исчисления на простых квантовых группах SOg(N) и Spq(N) являются неплоскими деформациями комплекса де Рама, связанного с соответствующими классическими группами.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И НАУЧНАЯ ЦЕННОСТЬ диссертации заключается в том, что:
-
Предложенный в диссертации метод градуированных структур Пуассона-Ли существенно облегчает задачу построения, классификации и анализа биковариантных дифференциальных исчислений на квантовых группах, сводя ее на первом этапе к классической задаче о классификации векторных инвариантов группы Ли.
-
Построенное в диссертации новое биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе SL(/(2), а также его обобщения на SLq(N), могут быть использованы в модельных построениях
— о —
наряду с исчислением Вороновпча.
-
Полученные в диссертации результаты показывают невозможность построения в рамках теории Вороновпча биковариантного дифференциального исчисления на квантовых группах SOq(N) и Spq(N), являющегося естественным аналогом стандартного дифференциального исчисления на соответствующей классической группе Ли. Этот факт может служить правилом отбора физической модели, имеющей квантовую группу в качестве группы симметрии. С другой стороны он указывает на необходимость поиска новой теории биковариантного дифференциального исчисления, в котороп бы все простые квантовые группы выступали равноправно.
-
Найденная в диссертации общая формула для биковариантной ^-градуированной скобки может быть применены для построения и анализа биковариантных дифференциальных исчислений на важных для физических приложений квантовых группах Лоренца и Пуанкаре.
АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела квантовой теории поля Математического Института им.В.А.Стеклова РАН, на семинарах ЛТФ ОИЯИ. на 2-м Пражском Коллоквиуме по квантовым группам (Прага. 1993 г.). на ХХХ-й Карпачской Зимней Школе Теоретической Физики (Польша. 1994 г.). на международной конференции "Суперсимметрии и квантовые симметрии" (Дубна, 1995 г.), на семестре "Квантовые группы и квантовые пространства" в Международном Математическом Центре им. С.Банаха (Польша, 1995 г.).
По материалам, вошедшим в диссертацию, сделаны доклады на семинарах Института Теоретической Физики и Института Математики г.Вроцлава (Польша, 1994-1995 гг.)
По материалам диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка цитированной литературы, содержащего 119 наименований. Общий объем 119 страниц.
