Содержание к диссертации
Предисловие 3
План работы 9
§0. Обозначения и соглашения 12
§1. Стягиваемые кривые 19
§2. Исключительные и базисные множества 24
§3. Граф 1 30
§4. Рёбра и треугольники графа П, 43
§5. Множества 63
§6. Граф 70
§7. Связность графа A (Vj 89
§8. Одно связность комплекса Д (V) 102
§9. Одно связность комплекса Р 115
§10. Определяющие соотношения для кремоновой группы 124
§11. Комплекс и представление кремоновой группы в виде факторгруппы амальгамированной суммы 130
Литература 148
Указатель обозначений 150
Предметный указатель І5І
Введение к работе
Исследования бирациональных преобразований плоскости были начаты в 1863 году итальянским геометром и инженером Луиджи Кремоной (1830-1903; см.Г10], стр. III), в честь которого совокупность Ст всех таких преобразований называют кремоновой группой плоскости . В начальный период этих исследований изучались отдельные преобразования из группы С г. , а в 1869 году английский математик Уильям Клиффорд поставил вопрос о её образующих, точнее, он предположил, что группа бирациональных преобразований комплексной плоскости порождается проективными и квадратичными преобразованиями. В 1870 году немецкий геометр Макс Нётер объявил о наличии у него доказательства этого утверждения, называемого с тех пор теоремой Нётера, и в следующем , 1871 году он опубликовал доказательство, правда, недостаточно полное. Строгое же, по общему мнению, доказательство теоремы Нётера дал итальянец Гвидо Кастельнуово в 1901 году (подробно история этой теоремы изложена в 16 ]). Современному алгебраисту ясно, что, установив образующие группы, следует описать связывающие их определяющие соотношения. Но постановка вопроса о задании абстрактной группы посредством образующих и соотношений прояснилась лишь в начале нашего века, хотя одна из основных по этому вопросу работ:, статья В.Дика, опубликована в 1882 году (см. С14], §34 у. Алгебраисты и топологи, занимавшиеся связанным с отмеченным вопросом кругом проблем (т.е. тем, что теперь называют комбинаторной теорией групп) , долгое время имели дело лишь с конечно представленными группами, или, во всяком случае, с группами более простыми, чем кремонова. Правда, в процессе их деятельности возникли конструкции, пригодные и для описания сложных групп, например, введённое 0. Щрайером в 1926 г. свободное произведение с объединённой подгруппой (иначе говоря, амальгамированная сумма у , а также предложенное в 1969 г. Х.Бассом и Ж.-П. Серром обобщение амальгамированной суммы - фундаментальная группа графа групп см.[133}.
Позже автор и В.И.Данилов (см. [182уобобщили этот результат, представив группу автоморфизмов квазиоднородной аффинной поверхности в виде фундаментальной группы подходящего графа групп.
Примерно в это же время вполне отчётливо ставится вопрос об определяющих соотношениях, связывающих проективные и квадратичные образующие кремоновой .группы. В 2Д на стр. 232 отмечается, что "соотношения между образующими в теореме Нётера неизвестны , а в І] на стр. 291 можно прочесть, что "интересный вопрос о том, в какой мере однозначно представление бирационального автоморфизма через квадратичные, до сих пор не исследован".
Данная диссертационная работа является исследованием этого "интересного вопроса". Ответ на него, представленный в §10 работы теоремой 10.1, выглядит следующим образом: если У"- \J Of - объединение множества проективных преобразований плоскости (определённой над алгебраически замкнутым полемJ и множества (3/, всех её квадратичных преобразований, то за определяющие соотношения при порождении кремоновой группы множеством У U ОІ можно взять все трёхчленные соотношения композиция Qi°%2° Зі " тождественное преобразование. В теореме 10.2 С из §10; утверждение, помеченное т. Уі, , находится всегда в §7п) приведены определяющие соотношения для более экономного традиционного множества образующих XTU{-$QJ » где Э0 - так называемое стандартное квадратичное преобразование. Указанные теоремы 10.1-2 основаны на утверждениях о связности (теорема 7.2І и односвязности Гтеорема 8.1J клеточного комплекса Д f V" ) » сопоставляемого рациональной поверхности ""у , и на утверждении об односвязности (теорема 9.1 J симпли-циального комплекса , получающегося как индуктивный предел некоторых комплексов ( V ) » вложенных в /д ( v ) . Для вывода упомянутой односвязности комплекса Д (V) существенным оказалось усиление факта связности этого комплекса, заключающееся в возможности соединения двух заданных вершин: некоторым специальным, так называемым монотонным путём. Использованный в работе подход к получению определяющих соотношений дал попутно возможность построить в §10 действие кремоновой группы на двумерном односвязном комплексе Г у подкомплексе в /у и указать фундаментальную область для этого действия.
Наряду с порождением группы С объединением у$ U 0\ иногда рассматривается её порождение более широким множеством JUG , где J-Jj G = Gj, Q - подгруппы в первая из которых отвечает точке J , лежащей на плоскости, вторая - паре \f Qj таких точек, J«p - группа преобразований де Жонкьера с центром в х , т.е. бирациональных преобразований, сохраняющих пучок прямых, проходящих через х , Q- - группа всех тех бирациональных преобразований плос-кости, что индуцируются автоморфизмами гладкой поверхности второго порядка (квадрики)посредством стереографической проекции этой квадрики на плоскость, причём х и Q - точки неопределённости обратного к стереографической проекции отображения. Возникает эпиморфизм Тг jJ n - . В. А. Псковских отметил в 4 на стр. 175, что "можно описать все соотношения" при указанном порождении, и в 1978 году Г см. [53) анонсировал выражение для элемента из Тт & , нормальная оболочка которого совпадает с ядром эпиморфизма "Т . Элемент этот ,-(Є У » гДе €л проективная инволюция, оставляющая точ-ку р неподвижной, но сдвигающая с места точку Q , a -проективная инволюция, переставляющая друг с другом Г и Q , а точку Є (Q) оставляющая на месте. Утверждение о совпадении нормальной оболочки элемента ( с K t/Y, выводится в нашей работе в §11 (см. теорему II. 17) из доказанных в §§7,8 утверждений о связности и односвязности комплекса Д (V") и из свойств введённого в начале §11 симплициального комплекса. В §11 строится также действие кремоновой группы на одно-связном двумерном комплексе , причём фундаментальной областью такого действия оказывается треугольник.
Несколько слов об используемых методах. Здесь, конечно, главное - геометрия рациональных поверхностей. Доставляемые этой геометрией сведения упорядочиваются и перерабатываются посредством графов, клеточных комплексов, их отображений, гомо-топий, т.е. посредством конструкций, взятых из комбинаторной топологии. Методы теории групп, основанные на использовании таких конструкций, развиваются давно (см.p3j и главы 3, 5 книги 12]) , поэтому вряд ли можно утверждать, что в каком-либо месте нашей работы есть существенно новое; рассуждение, но, быть может, новой является получившаяся композиция проведённых рассуждений.
Основными результатами работы являются упомянутые: выше утверждения
П о монотонной связности графа Дд1 V ) (теорема 7.2) f z\ об односвязности комплекса Д(ЛГ) (теорема 8.1 -центральный пункт работы J
3) об односвязности комплекса I (теорема 9.1 J
4) о выводимости- всех соотношений, связывающих проективные и квадратичные преобразования, из совокупности трёхчленных соотношении.
Их доказательства опубликованы в і9Д • Устно эти результаты излагались в 1982 году на 3-й Ярославской школе-семинаре по алгебраической геометрии и. на семинаре отдела алгебры Математического института имени В.А.Стеклова АНСССР .
В заключение хочу высказать глубокую благодарность И.Р.Шафаревичу, у которого я учился алгебраической геометрии,
В.И.Данилову, у которого я учился методам исследования групп, преобразований алгебраических поверхностей,
В.А.Исковских, стимулирующе влиявшего на мою работу над задачей о соотношениях в кремоновой группе.
Хочу также поблагодарить кафедру высшей математики Владимирского политехнического института и руководителей института за предоставленное освобождение от преподавательской нагрузки (перевод на должность старшего научного сотрудника J на два учебных года (1981-82 и 1982-8з") .
