Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ф - группы и леводистрибутивные квазигруппы 9
Глава 2. Конечные р - группы и леводистрибутивные квазигруппы 15
Глава 3. Сведения о группах Шевалле и их приложения 20
Глава 4. Вспомогательные утверждения 29
Глава 5. Доказательство гипотезы для симплектических групп в нечетной характеристике 32
Глава 6. Доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике 46
Литература 63
- Ф - группы и леводистрибутивные квазигруппы
- Конечные р - группы и леводистрибутивные квазигруппы
- Доказательство гипотезы для симплектических групп в нечетной характеристике
- Доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике
Введение к работе
Группой называется система G() (множество G с бинарной операцией ), для которой выполняются следующие аксиомы: уравнения ах = Ьиха = Ь однозначно разрешимы при V a,beG; а (Ь с) = (а Ь) с для V а,Ь,с є G.
Исключение ассоциативного закона превращает G() в квазигруппу, замена же его на тождество левой дистрибутивности а (Ьс) = (аЬ)»(ас) дает новый объект - леводистрибутивную квазигруппу. Привлекательность тождества левой дистрибутивности состоит в том, что в бинарной системе G() с ним отображение La = (х —> а х) есть, очевидно, эндоморфизм, а если G() квазигруппа, то даже и автоморфизм.
Родоначальниками теории конечных леводистрибутивных квазигрупп можно считать Бурстина и Майера [27], занимавшихся в 20-е годы нашего столетия дистрибутивными квазигруппами, где наряду с тождеством левой дистрибутивности выполняется тождество правой дистрибутивности. Они поняли, что изучение леводистрибутивных квазигрупп требует больших усилий, чем в элементарной теории групп, по-видимому, это обстоятельство вынудило их потребовать выполнение и правой дистрибутивности. Первое отмеченное ими фундаментальное отличие от групп состоит в том, что все элементы равноправны по своим свойствам.
Второе наблюдение: не для всех порядков дистрибутивные квазигруппы существуют. Бурстин и Майер показали отсутствие таких квазигрупп порядков 2 и (без доказательства) б. Наконец, Бурстин и Майер рассмотрели свойства подстановок La = (х -> ах) и R,, = (х —> х=а). Их замечания по этому поводу оказываются полезными при построении квазигрупп небольших порядков.
Далее развитие теории прослеживается в работах Тойоды [34], Медоча [30], Брака [28], которые изучали определенный тип квазигрупп, характеризующихся тождеством медиальности (аЬ) (с d) = (а с) (Ьd).
В конце 50-х годов появляются работы Стейна. Он доказал (совместно с Нортоном [31]), что квазигрупп порядка 4т+2 не существует. Другой результат, полученный Стейном, связан с выяснением независимости правой дистрибутивности от левой: удалось построить пример лево- , но не праводистрибутивной квазигруппы. Вот соответствующая конструкция: в группе G() с выделенным автоморфизмом ф полагаем ху = хср(х" у), причем на ср налагается следующее условие: лишь единица является неподвижным элементом автоморфизма. Такой автоморфиз называется регуларным.
В 1962 году выходит замечательная работа Фишера [28] по конечным дистрибутивным квазигруппам. Ее центральным результатом является доказательство разрешимости группы правых трансляций R(G) =
В это же время происходит значительное расширение исследований в области простых конечных групп. Главным толчком к этому послужила знаменитая теорема Фейта и Томпсона, согласно которой любая конечная группа нечетного порядка разрешима [5].
Много работ посвящено группам с регулярными автоморфизмами.
Интерес к этим группам связан с известной гипотезой о разрешимости их в случае конечного порядка. Томпсон доказал эту гипотезу для группы с автоморфизмом простого порядка [33]. Но полностью вопрос не был решен.
В начале 80-х годов В.М.Галкин выдвинул гипотезу о разрешимости групп левых траансляций конечных леводистрибутивных квазигрупп [12]. В дальнейшем она была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте так называемых ф - групп. Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в себя такие на первый взгляд далекие друг от друга утверждения, как упомянутые выше теоремы Фишера, Фейта-Томпсона, а также гипотезу о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами.
Одним из крупнейших достижений XX века в теории групп является классификация простых конечных групп [5]. Чтобы доказать нашу гипотезу необходимо исследовать все известные простые конечные группы на предмет не существования в них нетривиальной ф - структуры. Будем говорить, что на простой конечной группе П существует нетривиальная <р - структура, если в группе П есть нетривиальный автоморфизм ф, удовлетворяющий условию: хф(х"1)е sTs"1 => хєТ = {уєП І ф(у) = у}
В.М.Галкин проверил все спорадические группы, серии знакопеременных и проективных групп [12]. Оказалось, что нетривиальной ф -структуры там нет. С.В.Лещева и О.В.Суворова получили аналогичный результат для проективной группы Ln(q), унитарной группы Un(q), симплектической группы Sp2n(c[) в четной характеристике и групп Sp4(q), Sp6(q) в нечетной характеристике, а так же проверили группы F4 (q), 2F4(q), G2(q),2G2(q),3D4(q)[17],[19].
Цель данной диссертационной работы - проверка ортогональных и симплектических групп в нечетной характеристике. Основным инструментом в исследовании являются методы теории групп в сочетании с теорией леводистрибутивных казигрупп. Это связано с возможностью представления квазигруппы G() однородным пространством ПУТ левых смежных классов группы П по подгруппе Т, где Т определяется как подгруппа неподвижных элементов некоторого автоморфизма ф группы П, а квазигрупповая операция выглядит тогда следующим образом: ху = хф(х'1у)(то<іТ).
Неисследованными на данную гипотезу остались ортогональные группы в четной характеристике и группы Ее, 2Еб, Е7, Es. Однако, уже получены некоторые положительные результаты [23].
Диссертация насчитывает 6 глав. В ГЛАВЕ 1 собраны сведения о леводистрибутивных квазигруппах и их свойствах, которые необходимы для постановки проблемы и ее решения. Вводится понятие ф - группы, т.е. группы П с выделенным автоморфизмом ф, удовлетворяющим некоторым условиям. Условия, налагающиеся на автоморфизм ф, позволяют гарантировать квазигрупповую структуру на однородном пространстве П/Т (Т - подгруппа ф - неподвижных элементов) относительно операции ху=хф(у"1х)(тос1Т). Представление G=n/T заданной квазигруппы G неоднозначно, однако, каждое представление может быть редуцировано к так называемому " минимальному ".
Непосредственно задача ставится в ГЛАВЕ 2. В ней рассматриваются конечные леводистрибутивные квазигруппы и ф -группы. Формулируется гипотеза о разрешимости конечных квазигрупп и проводится сведение ее к чисто теоретико-групповой гипотезе о не простоте ф - групп. В конце главы приведены арифметические свойства подгруппы Т, а также теорема о том, что в случае ф2 = 1 группа разрешима. Эта теорема используется на заключительном этапе в главе 5.
Интерпретация простых классических групп в терминах групп Шевалле облегчает их исследование и придает наглядность изложению материала, поэтому ГЛАВА 3 содержит основные моменты теории групп Шевалле.
При разработке методов исследования и применения их к конкретным группам проведено доказательство ряда вспомогательных утверждений. Для удобства изложения эти сведения выделены в отдельную ГЛАВУ 4.
В ГЛАВЕ 5 предложены результаты исследования гипотезы для симплектических групп Sp2n(c|) в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Сначала рассматривается подгруппа Т - ср - неподвижных элементов, и доказывается, что TV(1). Затем выводится заключение о четности порядка подгруппы Т, что свидетельствует о наличии инволюции в Т. Индуктивные рассуждения относительно централизаторов инволюций приводят к случаю ф =1, а это возможно лишь для разрешимых групп. Исключение из общей схемы доказательства составляет группа Sp4(3), которая рассматривается отдельно.
В ГЛАВЕ 6 приведено доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Каждая из серий: 02n+i(q), 04m+2±(q), Cv^q) рассматривается отдельно. Сначала исключается случай Т=(1). Далее ход доказательства для групп 0^+2* (q) предусматривает деление элементов подгруппы Т на полупростые и унипотентные, а для групп 02n+i(q) и 04nf(q) устанавливается, что Т содержит полупростые элементы. В каждом из этих случаев выводится заключение о наличии в Т инволюции. Затем рассматривается централизатор инволюции, с помощью индуктивных рассуждений устанавливается его ср-тривиальность и ф- тривиальность всей группы. Объем вычислений представляется достаточно большим из-за необходимости рассмотрения многих частных случаев.
Результаты предлагаемой диссертации опубликованы в работах [15, 16, 18, 20-24, 26]; докладывались на IV и V Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров, 1999-2000), на конференции, посвященной дню науки в Нижегородском Государственном педагогическом университете (2000), на алгебраических семинарах в Нижегородском Государственном университете и в Нижегородском Государственном техническом университете (1997-2000).
Ф - группы и леводистрибутивные квазигруппы
Они называются, соответственно, тождеством идемпотентности, левого и правого законов ключей, тождествами левой и правой дистрибутивности, медиальной и слабой медиальности.
Исторически первый тип примеров появился из конструкции, обобщающей «процесс» деления отрезка в данном отношении, ху = Хк + цу на абелевой группе G() с выделенными автоморфизмами X и [і, причем Л.+д=1. Этот тип дает медиальные квазигруппы. В общей теории квазигрупп они играют ту же роль, что и абелевы группы в общей теории групп. Конечные квазигруппы этого типа можно получить взяв в качестве G() аддитивную группу конечного поля Fq при q 2, а в качестве ф -умножение на элемент отличный от 0 и 1. Квазигруппа порядка 2 не существует, что немедленно обнаруживается при попытке построить таблицу Кели. Этот факт является частным случаем теоремы Стейна [31]:
В дальнейшем под квазигруппой, если не оговорено противное, подразумевается леводистрибутивная квазигруппа. Идемпотентность ее есть следствие левой дистрибутивности х (х о х) = (х х) (х х) и х = х о х по закону сокращения. Отображения La = (х - а х) и Ra = (х —» х а) называются левой и правой трансляциями. Если G() - квазигруппа (не обязательно леводистрибутивная), то La и Ra - подстановки множества G. В этом случае полезно рассматривать группы L(G) = La aeG и R(G) = Ra ає G , называемые группами левых и правых трансляций, а также группу L(G),R(G) - мультипликативная группа квазигруппы G(). Для леводистрибутивных квазигрупп особый интерес представляет группа левых трансляций в силу следующих причин: 1 .Так как A3 эквивалентна тождеству La(bc) = La(b)La(c), то La, а, значит, и все элементы L(G), есть автоморфизмы G(). 2. Группа левых трансляций L(G) является нормальным делителем в полной группе G, так как ее система образующих переводится в себя при сопряжении. Коммутант L\G) порождается элементами La_1Lb , а факторгруппа LIU циклична и порождается образом La. Это свойство коммутанта имеет место для любой группы, порождаемой классом сопряженных элементов. (Доказательство в [12]). 3. Вся информация о квазигруппе по существу содержится в группе L{G). Именно, G() можно отождествить с множеством левых смежных классов L(G) по подгруппе Z(e) = {ueZ-(G) u(e) = є} (є - фиксированный элемент G()), сопоставляя элементу xeG класс автоморфизмов, переводящих е в х. На однородном пространстве (G)/Z(e) бинарная операция выглядит следующим образом uv = u(p(u4)v (mod Z(e)), где cp(u) = LeuLe 1 (Доказательство в [12]). Полученное представление квазигруппы однородным пространством называется каноническим. Введем основное для дальнейшего понятие - ф - группы. Определение 2. Группа П с выделенным автоморфизмом ср называется (р - группой, если в ней выполняются следующие условия: (2) каждый левый смежный класс П/Т содержит элемент вида х(р(х ). Первое условие в дальнейшем будет именоваться (р - свойством, а элементы вида хф(х-1) - каноническими. Если П конечна, то условие (2) следует из ф - свойства. [12] Каждая ф - группа допускает тривиальную структуру относительно тождественного автоморфизма. Квазигруппы позволяют строить нетривиальные ф - группы следующим образом: Теорема 2. Пусть G() квазигруппа, Aut G - группа автоморфизмов, р - автоморфизм сопряжения фиксированной трансляцией Ье. Если подгруппа П czAut G выдерживает ср, то П - ср- группа. В этом предложении выбор П можно специализировать, по крайней мере, тремя способами: П = Aut G, П = L(G) - группа левых трансляций конечной леводистрибутивной квазигруппы, П = L (G) - коммутант группы левых трансляций. С другой стороны, связь ф - групп и квазигрупп устанавливается следующей теоремой [12]: Теорема 3. Пусть П - ср-группа. Если на множестве G = П/Т левых смежных классов определить умножение как х у = x(p(x 1y)modT, то получим квазигруппу G() = П/Т. Определение 3. Пусть П - -группа. Подгруппа П] = хср(х 1)\ хєП , порожденная каноническими элементами, называется главной подгруппой в П. Максимальный (р- тривиальный нормальный делитель S в П называется инертной подгруппой в П. Нетрудно видеть, что S единственна и есть произведение всех ф-тривиальных нормальных делителей в П. Термин "отсутствие инерции в П" означает, что S состоит лишь из единичного элемента. Главная подгруппа Пі является нормальным делителем в П. В самом деле: sxq x s"1 = sx9((sx)"1)9(s)s"1 є Пі для Vsen. Представление квазигруппы однородным пространством неоднозначно, а потому возникает вопрос о представлениях с минимальной группой П. В его решении используется следующая теорема [12]. Теорема 4. Пусть П - р -группа. Тогда П и П/S - ср-группы относительно индуцированных автоморфизмов. Группа Пі совпадает со своей главной подгруппой, а в П/S инерции нет. Квазигруппы, ассоциированные сП, Пій П/S, изоморфны.
Конечные р - группы и леводистрибутивные квазигруппы
Если NH - нормализатор картановской подгруппы Н , то группа Вейля W изоморфна фактору NH/H (исключения составляют группы малых размерностей при малых значениях q).
Если обозначить через 1Г подгруппу в G , порожденную всеми Xa(t), где а пробегает множество положительных корней (соответственно U = xa(t) I a 0 ), то U будет Н-инвариантной силовской р-подгруппой в G. Подгруппа В = HU называется подгруппой Бореля в G .
Группы Шевалле связаны с диаграммами Дынкина из теории простых комплексных алгебр Ли [9]. Каждая диаграмма Дынкина определяет систему корней соответствующей группы Шевалле с точностью до изоморфизма. Верно и обратное.
Пример. Система корней группы Сг выглядит следующим образом, диаграмма Дынкина имеет вид 1 = = 2 , где вершины графа 1,2 соответствуют простым корням а и Р; количество ребер, соединяющих вершины равно a,p P,a , где а,р - число Картана. Так называемые скрученные группы Шевалле будут описаны далее. Конечные группы Шевалле An(q), 2An(q), Bn(q),Cn (q), Dn(q), 2Dn над полем Fq соответствуют сериям классических групп: линейным SLn+i(q), унитарным SUn(q), ортогональным S02n+i(q), симплектическим Sp2n(q), ортогональным S02n+ (q) и S02n"(q). Линейные группы L„ интерпретируются как группы пхп матриц определителя единица над полем Fq , профакторизованные по центру -подгруппе скалярных матриц. Группы Ln простые, исключение составляют группы Ьг(2) и Ьг(3). Согласно классическому определению универсальная симплектическая группа Sp2n(q) есть группа изометрий 2п - мерного линейного пространства V над конечным полем Fq с заданной невырожденной билинейной антисимметрической формой [х,у]: V V— Fq, х, yeV. Центр этой группы есть {+1}. Фактор по нему обозначается через Sp2n (q) и также называется симплектической группой. Симплектическая группа Sp2n (q) проста при n 2 и при п = 1, q 3. Как группа Шевалле Sp2n(q) строится по схеме Дынкина Сп ([9]): 12 3 п-1 п Вершины ее соответствуют простым корням из системы Z корней ±211;, + ±Ej (1 і j n), {;} - ортонормированный базис в евклидовом пространстве Rn. Sp2n(q) и Sp2n(q) порождаются корневыми группами xa(t) , где а е Z, teFq. Автоморфизмы группы Sp2n(q) с точки зрения групп Шевалле описаны в [10]. Каждый автоморфизм есть композиция полевого, диагонального, внутреннего автоморфизмов. Если элементы группы Sp2n(q) мы будем представлять матрицами из Sp2n(q) при подходящем выборе базиса в пространстве V, то полевой автоморфизм действует как автоморфизм поля Fq на элементах матриц. Любой диагональный автоморфизм, не являющийся внутренним есть сопряжение с помощью линейного преобразования g, для которого Квадрат любого диагонального автоморфизма всегда внутренний. Аналогично определяются и группы S02n+i(q) и S02n(q) пространства V с ортогональной метрикой. Причем, в четной характеристике серия ортогональных групп S02n+i(q) совпадает с симплектической Sp2tl(q). Пусть (х,у)- невырожденная билинейная симметрическая форма на 2п+1- мерном пространстве V над конечным полем Fq из q элементов. Значение метрики (х,у) равно либо /\ х V либо Of / у. V , где a - не квадрат в поле Fq. В последовательности групп ГОгп+і = G02n+i D SChn+i f 2n+i = 02n+b ГОгп+і - группа полулинейных преобразований [6], G02n+i -подгруппа изометрий формы (х,у), S02n+i - подгруппа преобразований с определителем 1, Cbn+i = Chn+i- коммутант группы S02n+i. Автоморфизмы группы 02n+i в классическом представлении определяются как сопряжение элементами из Г02п+і. Группа 02n+i проста при п 2 и при n=l, q 3. Имеют место следующие изоморфизмы: Оз(я) s L2(q), 05(q) = Sp4(q). Пусть (x,y)- невырожденная билинейная симметрическая форма на 2п - мерном пространстве V над конечным полем Fq с базисом Єї, е2, ... , Є2п. В аналогичной последовательности групп ГОгп1 з GC n з SCbn1 =5 Z(Q.2tT) обе группы О возникают как факторгруппы Q.2 IZ{Q.2n) по центру Z(Q,2n) = 1 или Z2, соответствующие выбору двух видов неэквивалентных билинейных форм (х,у): где а - не квадрат в поле Fq. Автоморфизмы группы 02п" определяются так же как и в группе 02n+i. При п 4 автоморфизмы группы 02„+ вновь индуцируются сопряжениями элементами из Г02п+. При п=4 ситуация усложняется в связи с появлением так называемой "тройственности". Группа 02п+ является простой при п 3 и при n=2, q 3, группа 02п - при п 2 и при n=l, q 3. Имеют место следующие изоморфизмы: 04+(q) = L2(q)xL2(q); 04(q) - L2(q2); 06+(q) = L4(q); ОДч) = U4(q).
Доказательство гипотезы для симплектических групп в нечетной характеристике
В этой главе доказывается невозможность существования нетривиальной ф - структуры на простых симплектических группах Sp2ll(q), где q - нечетно.
Предположим противное и пусть П = Sp2n(q) - наименьший контрпример. В наименьшем контрпримере можем считать п 1, так как Sp2(q)sL2(q), а группа L2(q) разобрана в [17]. Из исследования исключим пока группу Sp4(3), т.е. условимся считать q 3 при п=2. Дальнейшие рассуждения разобьем на несколько этапов.
Доказательство. А). Покажем сначала, что Т (1). Допустим противное. Установим существование ф - инвариантной силовской р -подгруппы Пр, где p/q. По рассуждениям Томпсона [33] выделяем силовскую р - подгруппу Пр в П. ф(Пр) - снова силовская р - подгруппа. Как известно, все силовские подгруппы сопряжены, то есть в П найдется элемент а, такой что ф(Пр)=а 1Пра. Элемент а можно представить в виде хф(х-1). Таким образом, ф(Пр) = ф(х)х"1Прхф(х"1) или ф(х_1Прх) = х_1Прх, то есть найдется ф - инвариантная силовская подгруппа для любого р. В группах Шевалле - это подгруппа унипотентных элементов U. Нормализатор N(U) - ф-инвариантен. Фактор N(U)/U есть ф-группа, изоморфная картановской подгруппе Н, т.е. на Н ф действует регулярно. Действительно, если ф действует не регулярно, то выделяем подгруппу ф 33 неподвижных элементов Г в Н, "поднимаем" ее до подгруппы Г -прообраза Г в N(U). Ее главная подгруппа Гі= х ф(х_1) х є Г будет лежать в U, так как х и ф(х) в факторе I7U = Г совпадают, то есть хф(х1)=1, Vxe f/U. Поскольку Г, с U с Г, та ( Г: Г0 1. По лемме Z главы 4: ( Г: Гг)/1X, то есть \Т\Ф 1. Противоречие. Следовательно, ф действует на Н = N(U)/U регулярно.
С другой стороны, в Н есть подгруппа Н0 = ha(t), teFp (t Ф 1, Fp -простое подполе), элементы которой выдерживают полевую и диагональную часть автоморфизма ф. Покажем, что и внутренняя часть автоморфизма ф тривиальна. Вернемся к ф - инвариантной подгруппе U. U выдерживает полевую и диагональную часть автоморфизма ф. Внутренняя часть - это сопряжение элементом из N(U). Фактор N(U)/U = Н абелев, т.е. внутренняя часть автоморфизма ф тривиальна в Н. Таким образом, в Н есть ф - неподвижные элементы. Противоречие. Следовательно, Т Ф (1).
Допустим противное. Т содержит только унипотентные элементы. Выделим максимальную ф-инвариантную р - подгруппу Г, содержащую Т. Докажем, что Г=и. Допустим противное, то есть Г и. Нормализатор N(r) - ф - инвариантен. Из теории р - групп известно, что N(T) r, но содержит Г. Автоморфизм ф действует на N(T)/T регулярно.-Следовательно, можно выделить ф - инвариантную р - подгруппу подгруппу, большую чем Г. Противоречие. Следовательно, Г=и. Далее, повторяя рассуждения пункта А получаем противоречие. Следовательно, Т содержит полупростые элементы.
2. Докажем, что подгруппа Т содержит инволюцию. Возьмем полупростой элемент тєТ. Группа, порожденная элементом t, имеет ф - инвариантный нормализатор N t . N t приводит к некоторой квазигруппе G. Для xeN t , используя лемму 6 главы 4 имеем: xtx"1 = t"1 и ф(х)1ф(х"1)= "1, т.е. х_1ф(х)є C(t), где C(t) - централизатор элемента t. Подгруппа Ni t = хф(х-1), xN t»cC(t) N t .
Замечание. В дальнейшем эти рассуждения будем называть «C-N-конструкцией». Подгруппа Ni t так же приводит к квазигруппе G. Согласно лемме 2 главы 4 в Т входит множитель (N t :Ni t ). Он четен, т.к. четен уже (N t :C(t)). В самом деле в N t /C(t) есть элемент u: utu"1 = t"1 . Повторное сопряжение дает u2tu"2 = uf Vі = (utu1) 1 = t, т.е. u2eC(t), но ugC(t). Значит, в N t /C(t), а следовательно и в Т есть инволюция и. 3. Основным результатом этого пункта является теорема 2 ниже. Предварительно нам понадобятся сведения об представляющих инволюции элементах из накрытия Sp2n (q) и действиях их на векторном пространстве V. Инволюции в Sp2n(q) разобьем на два типа, в зависимости от того, удовлетворяет ли представляющий инволюцию в Sp2n(q) элемент ст условию: с2 = 1 или а2 = -1. Если и2 = 1 или а2 = -1, но -1 = а є Fq (последнее происходит при q=l(mod4)), то V разлагается в прямую сумму У=\ҐУ [1]. При этом VxeV": ст(х)= Хх. Vxe V": ст(х)= -А,х. (В случае ст2 = 1 следует брать Х-1.) Рассмотрим централизатор инволюции С(ст) = С (a) /Z(SpV). Накрытие централизатора С(а) состоит из элементов не Sp2n (q), которые коммутируют с а с точностью до знака, т.е. ист = Я.(и)сга, где Х(и) Л Л = +1. В С(сг) выделяем подгруппу С0(&), в которой Х,(и) = 1. Далее, необходимо рассмотреть действие и на каждом из пространств Vі, в зависимости от того, лежит ли и в С0 (сг) .
Доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике
Допустим, что ф - внешний автоморфизм. Как отмечалось ранее, квадрат диагонального автоморфизма является внутренним, т.е. ср (х) = sxs"1, где seC(a), т.к. s и ст коммутируют.
Поскольку С(ст) получается из полупростого, в случае ст2=1, и простых, в случаях а2=-1, сечений расширением с помощью ф -тривиальных групп Z2, Z(Ln), Z(Un), Zq_b Zq+1, то С(ст) будет также ф -тривиален. Далее покажем, что порядок s есть степень двойки. Допустим, что порядок s содержит нечетную часть, т.е. 5 = 1, где - нечетно. Рассмотрим элемент s\=s , тогда Si=l. Число 1 должно делить порядок центра, т.е. должно делить одно из чисел Z2xZ2, q-1, q+1. В любом случае (l,q)=l, значит Si - полупростой элемент. По лемме 6 главы 4: si si \ Централизатор C(si) - ф-инвариантен, т.к. Si коммутирует с s. Тогда по «C-N-конструкции » имеем Т = C(s) с C(si) Ф N Si , и главная подгруппа Ni Si a C(si). По лемме 2 главы 4 в порядок Т входит множитель (N Si :Ni Si ), т.е. в факторе N Si /C(si) есть Т часть. Противоречие. Значит, порядок s равен степени двойки, и порядок ф равен степени двойки. На соответствующей квазигруппе G = Г/Т левая трансляция х - ф(х) = Ьх также имеет четный порядок. Поскольку левая трансляция имеет единственный неподвижный элемент (лемма 1, гл. 4), то IG - нечетен и Т содержит силовскую 2 - подгруппу. В качестве инволюции ст можно ограничиться инволюцией, которая лежит в центре силовской 2 - подгруппы. Такая инволюция заведомо является инволюцией типа ст2=1, т.к. централизаторы инволюций типа а2=-1 не содержат силовскую 2 - подгруппу, что устанавливается подсчетом индекса (П:Т), который должен быть нечетным. Т.к. seZ(C(a)), а центр централизатора инволюции типа ст2=1 состоит из инволюций, то s будет являться инволюцией. Рассмотрим представление диагонального автоморфизма d как автоморфизма сопряжения с помощью элемента g: е; - е/. Преобразование g несимплектично. Если симплектичный базис взять так, чтобы To g будет переводить каждое пространство V в себя. Таким образом, диагональная часть автоморфизма ф переводит в себя SpfV ). Но на С(ст) ср=1, что ведет к отсутствию диагональной части на SpCV1), а, значит, и на всей группе Sp2n(q)- Следовательно, ср является внутренним автоморфизмом где s2=l и, значит, ф2(х)=х. Но в этом случае группа разрешима, (гл.2, теорема 4.) Противоречие. 6. В заключении этой главы рассмотрим группу Sp4(3). Здесь ф заведомо не содержит полевой части, поэтому ф(х)=5Х5"1 или ф2(х)=5Х8"1, eseSp4(3). При sVl должно выполняться C(sa)=N sa по «C-N-конструкции ». Это ограничивает выбор s, т.е. s не может быть сопряжен со своей степенью. Из таблицы 2 замечаем, что кандидатом на роль s могут быть лишь элементы 2А; 2В; ЗА; 6А,В ; 6C,D Пусть ср- внутренний автоморфизм, т.е. 9(x)=sxs \ Первые два случая (s=2A; s=2B) отвергаются из-за того, что для них Ф2(х)=х. Случай, когда s=3A,B исключается ввиду того, что соответствующая квазигруппа G разрешима, т.к. имеет порядок I GI = (П:Т) = 25920:648 = 40 [12]. Пусть s=6A,B . Рассмотрим элемент s3, который является либо 2А, либо 2В элементом. Имеем Т = C(s) с C(s3) = N s3 . Последнее равенство выполняется вследствии того, что s3 не сопряжён со своей степенью. C(s3) - ф-группа. Порядок квазигруппы Н, соответствующей C(s3), определяется следующим образом ІНІ = (C(s3):C(s)) Используя данные таблицы 2, имеем IН = 576:72 = 8, если s3=2A, IН = 96:72, если s3=2B. Элемент s=6A,B исключается, т.к. в первом случае ІН 1=8, т.е. ф7=1, а во втором - порядок IН дробное число. Отвергнем последний вариант для s. Пусть s=6C,D , тогда s2=3A,B . По аналогии с выше разобранным вариантом имеем Т = C(s) с C(s2) = N s2 и Н і = (C(s2) : C(s)) = 648:36 = 18. Отсюда s не может быть элементом 6А,В , т.к. квазигруппы порядка 4т+2 не существует (гл. 1, теорема 1). Итак, если ф - внутренний автоморфизм, то он может быть только тождественным. Допустим теперь, что автоморфизм ср- внешний, т.е. (p2(x)=sxs"\ В случае s=2A или s=2B будем иметь ф4=1 и, соответственно, нечётный порядок квазигруппы G. Из чего следует, что Т содержит всю силовскую 2-подгруппу, порядок которой 2 -. Заметим, что по этой причине вариант s=2B исключается. Пусть на C(s) ф Ф 1. Тогда нормальный делитель Ci(s) о C(s) по Т-теореме (гл. 2) должен иметь нечётный порядок. Но C(s) таких нормальных делителей не имеет, так как C(s) = Z2x[Sp2(3) х Sp2(3) ] 2. Противоречие. Имеем C(s) =Т и 2/1 Т/Т , где Т- коммутант Т. Тогда по Т-теореме (гл.2) 2/1 G I, что невозможно. Отсюда приходим к заключению о том, что ф - внутренний автоморфизм.
