Введение к работе
-
Актуальность темы. Исследование свойств Оазисов топологических векторных лространств и свободных в алгебраическом смысле топологических групп играет важную" роль при г решении многих, задач -обтаей топологии. Впервые их использовал А. А. Марков в 1945 году при доказательстве существования вполне регулярной, но- не нормальной топологической группы. В последующие 50 лет эта проблематика разрабатывалась А. А. Марковым, М. И. Граевым. Ч. Джойнером. А. В. Архангельским, Л. Г. ЗамОахидзе. Д..С. Павловским. В. Г. Пестовым и другими топологами. М. И. Граев ---отрицательно ответил на поставленный в 1941. году вопрос -А. А. Маркова о гомеоморфности пространств х и y в случае, если их свободные топологические группы F(X) и F(Y) изоморфны (в дальнейшем такие пространства х и Y--стали называть -М-эквивалентными). Км же было доказано сохранение бикомпактности отношением М-эквивалентности. Д. С. Павловский 1' в 1982 году доказал. что отношение 1-эквивалентяости сохраняет бикомпактность в классе нормальных пространств. Он впервые стал изучать свойства конечных произведений l-эквиваленгных пространств. Ям !) было доказано, что если х и y i-эквивалентные бикомпакты, то для всякого
Натурального ЧИСЛа п dim ХЛ = dim Yn.
Д. С. Павловский. О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН - 1982 - т. 37, К2 - с. 185-186
В.Г. Пестов г> получил представление М-эквивалентных пространств X И Ї в виде Х = U {. хі: ІЄН }, Y « U { Yi: хеЫ ), такое, что. для любого і пространства х^_ и -ч^ гомеоморфны. Настоящая работа продолжает эти исследования.
Цель диссертации - изучение размерностных свойств пар конечных произведений и пар М-, 1-, ъ- .и слабо 1-эквивалентных пространств, завершение исследований о сохранении бикомпакт-ности отношениями М-, 1-, ь- и слабой 1-эквивалентности.
Методы исследования. В диссертации используются как достаточно традиционные методы теории размерностей (теорема счетной суммы, методы Даукера, построение и исследование размерностных свойств "чешуи" и др.), так и некоторые методы Д. С. Павловского, техника Л. Г. ЗамОахидзе и исследование с помощью ретракций размерности ind+ бесконечномерных пространств.
Научная новизна. Доказано, что отношение ь-эквивалентности не сохраняет бикомпактность и. в частности, не совпадает с отношением 1-эквивалентностн. Показано существование "хороших" взаимных разложений конечных произведений ь- и М-эквивалентных пространств на локально замкнутые подмножества. Изучено поведение функций, размерностного типа на конечных произведения:':
.г? В. Г. Пестов, Совпадение размерностей dim 1-эквивалентных топологических пространств /у ДАН СССР - 1982 - т. 266, f#3. -с. 553-556
M-, 1-, ь- и слабо і-эквивалентных пространств. Построены примеры М-эквивалентных тотально нормальных , сильно паракомпактных пространств, несчетные значения размерности ind+ которых различны. Все перечисленные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют возможность построения теории ь-, L-. М- и слабо 1-эквивалентяых пространств. Результаты и методы, используемые в диссертации могут - быть использованы в дальнейших исследованиях по - теории топологических групп и теории размерностей. Методы- исследования размерности md+ могут быть использованы при построении новых примеров бесконечномерных пространств с различными размерностными свойствами. -
Апробация работы. Результаты докладывались на научных семинарах в Московском Государственном- Университете и Российском Университете Дружбы Народов.
Публикации. Основные результаты опубликованы в семи работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, списка терминологии и обозначений, семи параграфов, объединенных в две главы (первую "Совпадение и различие топологических свойств базисов свободных в алгебраическом смысле топологических групп и топологических векторных
