Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Описание топологии свободной группы в терминах продолжения псевдометрик. Вложения и полнота свободных топологических групп 31
1.1. Терминология и обозначения 31
1.2. Схемы слов 32
1.3. Определение семейства 34
1.4. Определение функций N и N 37
1.5. Леммы 38
1.6. Утверждения 47
1.7. Определение и свойства полунорм 55
1.8. Основные утверждения 58
1.9. Вложения свободных топологических групп 72
1.10. Полнота свободных топологических групп 73
1.11. Нульмерные свободные топологические группы 76
Глава 2. Свободные топологические группы с факторными отображениями умножения и топологиями индуктивного предела 81
2.1. Факторность отображения умножения 81
2.2. Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах 96
2.3. Свободные топологические группы с топологией индуктивного предела 110
2.4. Факторность отображения умножения и топология индуктивного предела в свободной группе 124
Глава 3. Ретракты свободных групп и локально выпуклых пространств. Кружевные свободные ЛВП 127
3.1. Компактные ретракты топологических групп 127
3.2. Кружевные свободные локально выпуклые пространства 133
3.3. Ретракты локально выпуклых пространств 168
Глава 4. Свойства типа локальной инвариантности в свободных топологических группах. Разные топологии на свободных группах и векторных пространствах 171
4.1. Локально инвариантные группы 171
4.2. Конструктивный метод топологизации свободных групп 188
4.3. Топологии на свободных векторных пространствах. Свободные ЛВП и пространства функций 206
4.4. Замечания о свободных ЛВП 209
Литература 218
- Полнота свободных топологических групп
- Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах
- Кружевные свободные локально выпуклые пространства
- Топологии на свободных векторных пространствах. Свободные ЛВП и пространства функций
Полнота свободных топологических групп
Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [86, 89] и в совместной работе [24] автора и Е. А. Резниченко (в диссертацию включены результаты первого параграфа этой работы, которые получены автором; Е. А. Резниченко принадлежат результаты второго параграфа).
Если в первом параграфе второй главы рассматривались факторные отображения в свободные топологические группы, то в первом параграфе третьей рассматриваются факторные отображения (более того, ретракции) из свободных топологических групп.
Когда топологическое пространство X является ретрактом некоторой топологической группы G1 Этот вопрос равносилен такому: когда топологическое пространство X является ретрактом своей свободной топологической группы F(X)? В самом деле, пусть г: G — X — ретракция. Продолжим вложение X в G до непрерывного гомоморфизма h: F(X) — G и рассмотрим композицию ho г. Получится снова ретракция.
Сформулированный выше вопрос тесно связан с вопросом о существовании на X непрерывной операции Мальцева. Напомним, что операция Мальцева на множестве X — это отображение /: X3 —) X такое, что f(x,y,y) = f(y,y,x) = х для любых х, у Є X. Если пространство X является ретрактом топологической группы G, то на X существует непрерывная операция Мальцева — ее можно определить, положив f(x,y,z) = г{х у г z) (где г — ретракция G на X, а точкой обозначено умножение в группе G — оно определено для элементов X, поскольку X вложено в G). Основной результат первого параграфа второй главы состоит в том, что для компактов верно и обратное: всякий компакт (и даже счетно компактное пространство) с непрерывной операцией Мальцева является ретрактом топологической группы. Более того, если тихоновское пространство X таково, что естественное отображение умножения і из конечных степеней пространства X {е} 0 Х-1 в F(X) факторно и X обладает непрерывной операцией Мальцева, то X является ретрактом топологической группы (теорема 3.1).
Заметим, что долгое время оставалось неясным, а не совпадают ли классы пространств с непрерывной операцией Мальцева и ретракты топологических групп? Автору совместно с П. Гартсайдом и Е.А. Рез-ниченко удалось построить пример пространства с непрерывной операцией Мальцева, которое не является ретрактом группы [63].
Вряд ли следует объяснять, почему пространства с операцией Мальцева и ретракты топологических групп представляют интерес; достаточно упомянуть, что все компакты с непрерывной операцией Мальцева (=ретракты групп) являются пространствами Дугун-джи [100].
Во втором параграфе рассматриваются ретракты свободных локально выпуклых пространств7 . Для этой цели естественнее всего привлечь теорему Дугунджи.
Знаменитая теорема Дугунджи о продолжении [59] гласит, что если F — замкнутое подмножество метризуемого пространства X, а Е — локально выпуклое пространство (ЛВП), то существует линейный оператор продолжения Ф: C(F, Е) — С(Х, Е) такой, что для всякого отображения / Є C(F, Е) образ его продолжения Ф(/)(Х) содержится в выпуклой оболочке образа /(F) самого отображения / и оператор Ф непрерывен при наделении обоих пространств C(F, Е) и С(Х, Е) топологией поточечной сходимости, компактно-открытой топологией или топологией равномерной сходимости. (Как обычно, C(Y,Z) — пространство непрерывных отображений из Y в Z; словосочетание
7)3десь впервые на сцену выходят свободные ЛВП. Дело в том, что проблемы, обсуждавшиеся до сих пор, для ЛВП либо решены (как, например, вопрос о вложении свободного ЛВП над подпространством или вопрос о полноте), либо имеют мало смысла (в частности, свободное ЛВП L(X) не является индуктивным пределом подпространств, состоящих из линейных комбинаций ограниченной длины или из линейных комбинаций ограниченной длины с ограниченными по модулю коэффициентами, — естественных аналогов множеств Fn(X), — если X содержит бесконечный компакт; это показано в последней главе). «оператор продолжения» означает, что сужение отображения Ф(/) на F всегда совпадает с /.)
В 1966 году Борхес [55] обобщил теорему Дугунджи с метризуе-мых пространств на пространства X из более широкого класса, известного в то время как класс Мз-пространств. Из-за того, что эти пространства оказались чрезвычайно важными и полезными, Борхес предложил использовать для них специальный термин — stratiftable; с тех пор они так и называются. С легкой руки А. В. Архангельского в русской литературе их принято называть кружевными. По своим топологическим свойствам кружевные пространства очень близки к метризуемым; в частности, все они паракомпактны и совершенно нормальны (см. [65]). Однако свойство пространства быть кружевным сохраняется замкнутыми отображениями [55], поэтому класс кружевных пространств существенно шире класса метризуемых пространств. Он включает в себя, в частности, все клеточные комплексы, а также, как недавно доказал С. А. Шкарин [81], многие неметризуе-мые ЛВП, естественно возникающие в функциональном анализе (такие как D — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций, D — пространство обобщенных функций, S — пространство обобщенных функций умеренного роста, — пространство финитных обобщенных функций) с их естественной топологией.
Существует много эквивалентных определений кружевных пространств, большинство которых выглядят пугающе сложными. С определением кружевного пространства легче всего смириться, если рассматривать свойство быть кружевным пространством как монотонный аналог совершенной нормальности: пространство X называется кружевным, если каждое замкнутое в X множество F можно так представить в виде пересечения F = ( ) Un{F) = р) Un(F), где все Un(F) открыты, что и для любого замкнутого F С F Un{F ) С Un(F) при всех п.
Основной результат второго параграфа состоит в том, что свободное локально выпуклое пространство кружевного пространства является кружевным (теорема 3.2); отметим, что свободные ЛВП бесконечных пространств никогда не бывают метризуемыми.
В последнем параграфе обсуждаются следствия теоремы 3.2. Из теоремы Дугунджи для кружевных пространств вытекает, что всякое замкнутое выпуклое подмножество F кружевного ЛВП Е является ретрактом этого ЛВП — чтобы получить ретракцию, достаточно продолжить тождественное вложение id: F — Е ка, X = Е в соответствии с теоремой Дугунджи-Борхеса. Таким образом, всякое выпуклое подмножество свободного ЛВП Ь(Х) над кружевным пространством X, в частности, пространство вероятностных мер с конечным носителем на X (которое совпадает с выпуклой оболочкой множества X в L(X)), является ретрактом пространства Ь(Х). Кроме того, если F — кружевное выпуклое подмножество некоторого ЛВП Е, то F является ретрактом некоторого другого ЛВП, а именно, своего свободного ЛВП L{F), — ретракция получается продолжением вложения id: F — Е на X = L(F). Для некружевных пространств это не так — нетрудно построить пример компактного выпуклого подмножества в ЛВП, которое не является ретрактом никакой топологической группы.
Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах
Теорема 1.2. Если тихоновское пространство X полно по Дьёдонне, то его свободная топологическая группа F(X) полна по Вейлю.
Доказательство. Поскольку пространство X полно по Дьёдонне, его можно замкнуто вложить в произведение Р метрических пространств так, что любая ограниченная непрерывная псевдометрика на X продолжается на Р (см. [53, теорема 8.3.8]). По теореме 1.1 F(X) — топологическая подгруппа группы F(P)\ она замкнута в F(P) в силу замкнутости X ъ Р [18]. В. В. Успенский [51] доказал, что свободная топологическая группа произведения метрических пространств полна по Вейлю; следовательно, группа F(X) полна по Вейлю как замкнутая подгруппа полной по Вейлю группы F(P). В. Г. Пестов доказал, что полнота по Дьёдонне пространства X является необходимым условием полноты свободной топологической группы F(X) (см. доказательство теоремы 1 в [20]). Таким образом, получаем Теорема 1.3. Тихоновское пространство X полно по Дьёдонне тогда и только тогда, когда его свободная топологическая группа F{X) полна по Вейлю. Следующий факт используется в доказательстве очередного следствия. По-видимому, его автором следует считать Н. Г. Окромешко (см. [5, п. 7]). Утверждение 1.5 ([5]). Всякое тихоновское пространство является факторным образом дискретной суммы пространств с единственной неизолированной точкой (т.е. нульмерного паракомпакт-ного пространства). Следствие 1.1. Всякая отделимая топологическая группа является фактор-группой полной по Вейлю отделимой топологической группы. Доказательство. Пусть G — произвольная отделимая топологиче ская группа. Согласно утверждению 1.5 пространство группы G явля ется факторным образом паракомпактного пространства. Пусть X — паракомпактное пространство и / — факторное отображение про странства X на пространство группы G. Отображение / продолжа ется до непрерывного гомоморфизма /: F(X) -» G. Этот гомомор физм открыт, потому что / факторно [2]. Следовательно, G — фак тор-группа группы F(X). Пространство X полно по Дьёдонне, буду чи паракомпактным [73] (см. также [53, 8.5.13]). В силу теоремы 1.2 группа F(X) полна по Вейлю. Топологическая группа G называется пополняемой по Вейлю, если она топологически изоморфна подгруппе полной по Вейлю группы (см. [12]). Следующий результат дает ответ на вопрос Ханта и Морриса, поставленный в 1974 г. [69]: Следствие 1.2. Всякая свободная топологическая группа пополняема по Вейлю. Доказательство. Как уже отмечалось, X Р-вложено в любое объем лющее пространство, лежащее в /JX, В частности, в само /iX. Значит, F(X) является (всюду плотной) топологической подгруппой в полной по Вейлю группе F(fxX). Поскольку операция F сопоставления каждому тихоновскому пространству его свободной топологической группы, операция /і пополнения тихоновских пространств и операция г пополнения (по Райкову) топологических групп являются ковариантными функторами (из категории тихоновских пространств в категорию отделимых топологических групп, из категории тихоновских пространств в категорию полных по Дьёдонне тихоновских пространств и из категории отделимых топологических групп в категорию полных по Райкову топологических групп соответственно), мы получаем следующую теорему: Теорема 1.4. Для любого тихоновского пространства X группы rF(X) и F(/JX) топологически изоморфны. Более того, функторы г о F и F о [і естественно эквивалентны. Доказательство. Группа rF{X) полна в своей двусторонней равномерности V. Группа F(/J,X) полна по Вейлю в силу теоремы 1.3. Тем более группа F(IIX) полна по Райкову, т. е. в своей двусторонней равномерности Ч. Пусть W — двусторонняя равномерность группы F(X), id — топологическое вложение пространства X в \iX и id — продолжение отображения id до непрерывного гомоморфизма F(X) — F(/iX). По теореме Пестова [20] (см. также теорему 1.1) этот гомоморфизм является топологическим мономорфизмом и, следовательно, равномерно непрерывен относительно WHU. Поскольку (rF(X),V) — пополнение равномерного пространства (F(X),W), из полноты пространства (F(fiX),ll) вытекает возможность продол жения отображения id до непрерывного отображения id: rF{X) — - F{IAX). Отображение id"1: (id(F(X)),W) - (rF{X), V), где W = = ІХІіашх)) тоже равномерно непрерывно, и равномерное пространство (rF(X),V) полно, поэтому существует непрерывное продолжениє id : F(fiX) — rF(X) отображения id . Очевидно, сужение отображения id о id на множество id(F(X)) является тождественным отображением, равно как и сужение отображения id о id на множество F(X). Поскольку F(X) всюду плотно в rF(X), id(F(X)) всюду плотно в F(fiX) и отображения id и id непрерывны, заключаем, чтоid о id — тождественное отображение пространства F(fiX) на се бя, a id о id — тождественное отображение пространства r(F(X)) на себя. Значит, id — топологический изоморфизм группы rF{X) на группу F(fiX), что и требовалось. Чтобы показать, что функторы гор и pop, естественно эквивалент ны, рассмотрим произвольное непрерывное отображение /: X - Y тихоновских пространств. Поскольку rF(X) = F(fiX), непрерывные отображения r(pf) и p(pf) совпадают на всюду плотном подпростран стве F(X) топологических групп r(F(X)) и F{piX)\ значит, непрерыв ные гомоморфизмы r(pf) и p(fJ.f) изоморфны.
Кружевные свободные локально выпуклые пространства
Доказательство. Пусть множество S С F(X) таково, что для всех п пересечения Sn = SC\Fn(X) открыты в Fn(X). Мы должны доказать, что S открыто. Возьмем произвольное слово g Є S. Из открытости всех пересечений Sn в Fn(X) вытекает, что для всякого п найдется открытая окрестность Un единицы в группе F(X) такая, что g Un П П Fn(X) С Sn (если g Sk, т. е. длина слова g больше к, то в качестве Uk можно взять любую открытую окрестность единицы, удовлетворяющую условию g Uk П Fk(X) = 0 — такая окрестность существует, потому что все Fk(X) замкнуты в F(X) [18]). Для каждого п найдутся непрерывная метрика dn на X и окрестность единицы Vn С С Un такие, что Vn открыта в топологии свободной топологической группы пространства (X,dn). В самом деле, поскольку X счетно (и, тем более, линделёфово), F(X) вкладывается как подгруппа в тихоновское произведение Yl G метризуемых групп [9] (см. также [5]).
Множество Un является пересечением некоторой открытой окрестности единицы в этом произведении с F(X); значит, найдутся г Є N и !,...,аг Є А такие, что YlVa П F(X) С Un, где Va — некоторые окрестности единицы в Ga для а Є {аь ..., аг} и Va = Ga для всех прочих а Є А. Обозначим через Та топологию группы Ga для а Є {«і,... ,аг} и антидискретную топологию на группе Ga для а Є Є А\ {а?і,..., аг}. Топология тихоновского произведения YK a a) слабее топологии исходного произведения Y[GQ, и она порождается некоторой псевдометрикой р, потому что лишь конечное число сомножителей имеет неантидискретные топологии, и все эти топологии метризуемы. Тем не менее множество YI Уа- очевидно, открыто и в произведении W(Ga Ja). Множество X содержится (как подмножество) в произведении Yl Ga вместе со своей свободной группой, и на X есть непрерывная метрика d (потому что сетевой вес X счетен и, следовательно, его топология ослабляется до топологии, удовлетворяющей второй аксиоме счетности; см. [53, лемма 3.1.18]). Максимум max(d,p\x) — искомая метрика dn, а множество J VaC\F(X) — искомая окрестность единицы Vn: топология группы F(X), порожденная сужением P\F(X)I — это групповая топология, индуцирующая на X топологию, порожденную метрикой dn; значит, она слабее свободной топологии группы F(X, dn), и, поскольку множество Vn открыто в этой топологии, оно тем более открыто в свободной топологии группы F(X,dn).
Итак, для каждого g Є S найдется счетное семейство непрерыв ных метрик dn(g) на X и открытых окрестностей Vn(g) единицы в свободных топологических группах F(X, dn) таких, что (g Vn(g)) П П Fn(X) С S. Поскольку пространство X счетно, свободная группа F(X) тоже счетна, как и семейство {dn(g) : g Є F(X),n Є N}. Зна чит, найдется непрерывная метрика d на X, относительно которой непрерывны все метрики dn; понятно, что все множества Vn(g) откры ты в свободной топологической группе F(X,d). По условию можно считать, что F(X,d) имеет топологию индуктивного предела. Итак, для любого g Є F(X) и любого п N найдется открытая окрест ность слова g в F(X,d) (а именно, g Vn(g)) такая, что ее пересе чение с Fn(X) содержится в Sn. Это означает, что все Sn открыты в Fn(X,d). Поскольку F(X,d) — индуктивный предел своих подпро странств Fn(X,d), множество 5 открыто в F(X,d) и, следовательно, в F{X). Теорема 2.5. Пусть X — счетное пространство с единственной неизолированной точкой . Свободная топологическая группа F{X) (А(Х)) является индуктивным пределом своих подпространств Fn(X) (соответственно, подпространств Ап(Х)) тогда и только тогда, когда для любой последовательности {Un : п N} открытых окрестностей точки найдется открытая окрестность V точки такая, что пересечение V П (Un \ Un+i) конечно для всех п. Лемма 2.8. Пусть X — счетное пространство с единственной неизолированной точкой . Предположим, что найдется последовательность {Un : п Є No} открытых окрестностей точки такая, что Un+i С Un для каждого п Є No и для любой открытой окрестности V точки существует п No, для которого \VC\(Un \ \ /n+i) = о- Тогда А(Х) не является индуктивным пределом своих подпространств Ап(Х). Доказательство. Мы можем предполагать без потери общности, что U0 = X и дополнение Un\Un+i бесконечно для каждого п. Как-нибудь перенумеруем точки в этом дополнении: Un \ Un+1 = {хпі : і N}; для всякого п Є No положим а это множество конечно. Отсюда вытекает, что Fn — замкнутое дискретное подпространство в А(Х). Поскольку Fn С А2П+ї(Х) \ Л2гг+і( ) для всех п Є N, множество F — (J Fn замкнуто в топологии индуктивного предела на А(Х) = U АП{Х). Чтобы доказать лемму, достаточно проверить, что О Є F, т. е. что для любой непрерывной псевдометрики d на X пересечение (7(d) П F непусто. Возьмем произвольную непрерывную псевдометрику d на X. Поскольку шар Bd( , 1/2) — открытая окрестность точки , из условий леммы вытекает, что множество М = {т Є N : d( ,xnm) 1/2)} бесконечно для некоторого п Є N. Поскольку Д ( , 1/2п) П Un+i — тоже открытая окрестность точки , из условий леммы вытекает, что множество J = {j N : і( ,ж ) 1/2п} бесконечно для некоторого і п. Возьмем j Є J такое, что j г, и т М такое, что т j.
Топологии на свободных векторных пространствах. Свободные ЛВП и пространства функций
Теорема ([59, 55]). Пусть F — замкнутое подмножество кружевного пространства X, аЕ —локально выпуклое пространство. Тогда всякое непрерывное отображение F — Е продолжается до непрерывного отображения X — Е.
Более того, существует отображение Ф: C(F,E) — С(Х,Е), где C(F} Е) (С(Х, Е)) — множество всех непрерывных отображений из F в Е (из X в Е), такое, что 1) Ф — линейный оператор; 2) Ф — оператор продолжения, т.е. сужение отображения Ф(/) на F всегда совпадает с f; 3) для всякого отображения f Є C(F,E) образ его продолжения Ф(/)(Х) содержится в выпуклой оболочке образа f(F) самого отображения f; 4) оператор Ф непрерывен при наделении обоих пространств C(F, Е) и С(Х, Е) топологией поточечной сходимости, компактно-открытой топологией или топологией равномерной сходимости. Из доказанной в предыдущем разделе теоремы о том, что свободное ЛВП кружевного пространства является кружевным, и теоремы Дугунджи-Борхеса немедленно вытекают следующие три утверждения: Следствие 3.6. Всякое замкнутое выпуклое подмножество кружевного локально выпуклого пространства является ретрактом этого локально выпуклого пространства. Доказательство. Пусть Е — кружевное ЛВП и F — его замкнутое выпуклое подмножество. Положим X = Е. В соответствии с теоре мой Дугунджи-Борхеса тождественное вложение id: F — X = Е про должается на X, причем образ продолжения содержится в выпуклой оболочке образа id(F) = F, т.е. с самим множеством F. Значит, это продолжение и является искомой ретракцией. Следующее утверждение требует небольшого вступления. Пусть X — тихоновское пространство и С{Х) — векторное пространство всех непрерывных функций на X. Свободное локально выпуклое пространство над X естественно вкладывается в пространство, сопряженное к С(Х), и свободная топология — это топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных поточечно ограниченных семействах функций [23]. Пространство, сопряженное пространству СС(Х) всех непрерывных функций на X с компактно-открытой топологией, естественно изоморфно (как векторное пространство) пространству М(Х) регулярных борелевских мер на X с компактным носителем; таким образом, векторное пространство М(Х) естественно вкладывается в пространство С{СС{Х)) всех непрерывных функций на СС(Х). Рассмотрим на М(Х) топологию равномерной сходимости на семействах равностепенно непрерывных поточечно ограниченных функций из СС(Х) (из теоремы Асколи (см., например, [53]) вытекает, что для компактных X пространство М(Х) с такой топологией вложено в СССС{Х)). Следствие 3.7. Пространство вероятностных мер с конечным носителем на кружевном пространстве, снабженное описанной выше топологией, является ретрактом локально выпуклого пространства. Доказательство. Достаточно вспомнить, что пространство вероят ностных мер с конечным носителем на произвольном пространстве X совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества X в L(X) [51], и применить предыдущее следствие. Следствие 3.8. Всякое кружевное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства является ретрактом локально выпуклого пространства. Доказательство. Пусть F — кружевное выпуклое подмножество ло кально выпуклого пространства Е. Поскольку F замкнуто вкладыва ется в свое свободное ЛВП L(F) и по теореме 3.2 L(X) кружевное, из теоремы Дугунджи-Борхеса вытекает, что вложение id: F — Е продолжается до непрерывного отображения id: L(F) — Е, причем id(L(.F)) совпадает с выпуклой оболочкой множества id(F) в Е, т.е. с Е. Значит, id — ретракция. Для некружевных пространств последнее утверждение неверно, как показывает следующий пример. Пример 3.1. Существует компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства (которое вдобавок является пространством вероятностных мер на компакте), не являющееся ретрактом никакого локально выпуклого пространства. Действительно, пусть К — произвольный компакт, не удовлетворяющий условию Суслина (например, одноточечная компактифика-ция несчетного дискретного пространства). Пространство, сопряженное пространству всех непрерывных функций на К с компактно-открытой топологией и снабженное слабой топологией, естественно изоморфно пространству М(К) регулярных борелевских мер на К со слабой топологией, и пространство Р(К) вероятностных мер на К является выпуклым компактным подпространством в М(К)Х\ не удовлетворяющим условию Суслина [61]. Если бы это пространство было ретрактом топологической группы (тем более, локального выпуклого пространства), то оно было бы ретрактом своей свободной топологической группы F{P{K)) (см. теорему 3.1); с другой стороны, всякая компактно-порожденная группа (в частности, F{P(K))) имеет счетное число Суслина [40], поэтому и все ее непрерывные образы, включая ретракты, должны иметь счетное число Суслина. 1)Пространство Р(К) является замкнутой выпуклой оболочкой компакта К, т.е. лежит в его замкнутой абсолютно выпуклой облочке; поэтому из утверждения 4.2 вытекает, что слабая топология на Р(К) совпадает с рассмотренной на с. 169 топологией, индуцированной из СССС(К) или, что тоже самое [47, 51], из пополнения свободного ЛВП L(K). Свойства типа локальной инвариантно с ти в свободных топологических группах. Разные топологии на свободных группах и векторных пространствах Определение, данное ниже, представляет собой небольшую модификацию определения А. В. Архангельского т-уравновешенных групп [5]; во избежание путаницы мы используем иной термин. Определение 4.1. Пусть г — кардинал. Топологическая группа G называется т--локально инвариантной, если для любой открытой окрестности U единицы существуют кардинал т т и семейство {Va : а г } открытых окрестностей единицы такие, что для любого д Є G g 1Vag С U при некотором а т1. Класс г-уравновешенных групп А. В. Архангельского совпадает с классом г+-локально инвариантных групп, а -локально инвариантные группы — это группы с квазиинвариантным базисом, введенные Г. И. Кацем [14]. Наконец, К0-локально инвариантные группы совпадают с локально инвариантными (т.е. с группами, обладающими инвариантным базисом в терминологии М. И. Граева [12]). Действительно, для любой открытой окрестности U единицы в К0-локально инвариантной группе G найдется конечный набор открытых окрестностей единицы {Vi,. ..,Un} такой, что для всякого д Є G д 1Vig С U при некотором і к. Положим V = f]V{. Ясно, что \J g 1Vg — инвари » =1 gEG атная открытая окрестность единицы, которая содержится в U. Таким образом, семейство всех инвариантных открытых окрестностей единицы образует базу топологии группы G в единице. М. Г. Ткаченко назвал подмножество X топологической группы G тонким в G [42], если для любой открытой окрестности U единицы найдется открытая окрестность V единицы такая, что x lVx С U для всех х Є X.
