Введение к работе
Актуальность темы
Комбинаторная теория групп долгое время развивалась под влиянием геометрии и топологии. Как самостоятельная наука со своей проблематикой она оформилась по существу только после того, как в 1911 году М.Дэн сформулировал для класса конечно определенных групп основные алгоритмические проблемы: проблему равенства слов, проблему сопряженности слов и проблему изоморфизма. Данные проблемы получили отрицательное решение в работах Новикова П.С. Им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов1, тем самым была доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. Новиков П.С. построил пример группы с нетазрешимой проблемой сопряженности слов, но разрешимой проблемой равенства2. Используя полученные результаты им была доказана неразрешимость проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. В связи с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстсра.
Группа Артина - это группа G, заданная копредставлением с системой образующих апієІ, |/|<, и соотношениями alujai... = ajalaJ..., где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из т0 чередующихся букв а. и ау, /п(/ - элемент симметрической матрицы Кокстера М = (wr).
Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. // Труды математического института АНСССР. - 1955.
2 Новиков П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп. // Изв. АН СССР - Серия Математика. - Том 18. - С. 485-524.
соответствующей данной группе G,причем при ІФ j, т^ =mJt, ти є {2,3,..}.
Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/є /, а,2 =1, получим непредставление соответствующей
группы Кокстера. Группы Кокстера были введены Кокстером в 1935 году. Результаты изучения этих групп изложены у Бурбаки3.
Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в данном классе групп проблему тождества слов, используя геометрические методы4. Алгебраическая теория групп кос была построена Марковым А.А., который решил проблему равенства другими методами5. Гарсайдом и независимо Маканиным Г.С. для групп кос была решена проблема сопряженности слов6, доказано, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден, и построен алгоритм выписывающий образующие этого нормализатора7. Гурзо Г.Г. получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос8. Отметим, что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы равенства в конечно определенных группах Артина.
В 1972 году Брискорном и Сайто был введен класс групп - группы Артина конечного типа9. Группа Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна. Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и
3 Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. - М.: - Мир. - 1972.
4 Artin Е. Theorie der Zopfe //Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. -1925. - 4. - P. 47-72.
Марков A.A. Основы алгебраической теории кос. II Труды математического института
АН СССР.-1945.-С. 16.
6 Маканин Г.С. Проблема сопряженности в группах кос. // Доклады АН СССР. - 1968. -
182. -№3.- С. 495-496.
Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос. // Математический сборник. - 1971. - 86. -№2. -С. 171-179.
Гурзо Г.Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос. // Математические заметки. -1985. - 37. - №1. - С. 3-6.
Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера. // Математика: Сб. переводов. -1974.- №6. -С. 56-79.
сопряженности слов в данном классе групп9. Для групп Артина конечного типа Безверхним В.Н. и Гринблатом В.А. было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу. Трубицин Ю.Э. и Гринблат В.А. доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов. Безверхний В.Н. доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа.
В 1983 году Аппелем К. и Шуппом П. был выделен класс групп Артина большого и экстрабольшого типа10. Если вес числа т:1 симметрической
матрицы Кокстера для групп Артина или Кокстера больше либо равны трем, то группы называются группами Артина или Кокстера большого типа. Если все числа /п. симметрической матрицы Кокстера для групп Артина или
Кокстера больше трех, то группы называются группами Артина или Кокстера экстраболыиого типа. Для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа Шуппом П. и Аппелем К. было получено решение проблем равенства и сопряженности слов10. Безверхним В.Н. и Кузнецовой А.Н. доказано, что группы Артина большого типа не имеют кручения", и в данном классе групп разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу12. Аппелем К. и независимо Безверхним В.Н. была решена проблема сопряженности слов13, Безверхним В.Н. доказана разрешимость обобщенной проблемы сопряженности слов14 для групп Артина большого типа. Для групп Кокстера
Appel К., Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups// Invenf. Math. - 1983. - V. 72. -P. 201-220.
" Безверхний D.H., Кузнецова А.Н. О кручении групп Артина большого типа. // Чебышевский сборник. - Т.6. - В. 1. - 2005. - С. 13 - 22.
12 Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Решение проблемы вхождения в циклическую
подгруппу в группах Артина большого типа. // Известия ТулГУ. - Серия Математика.
Механика. Информатика. -Т.П.- 2005. -С. 76-94.
13 Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Кокстера
большого типа. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский
сборник научных трудов. -1983. - С. 26-62.
14 Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина
большого типа. // Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. - Т. 5. - №1. - С. 1-
38.
большого типа Безверхним В.Н. и Добрыниной И.В. доказана разрешимость проблемы сопряженности слов15, описаны элементы конечного порядка16, дано решение проблемы степенной сопряженности слов17, а также решение проблемы обобщенной сопряженности слов18.
В классах конечно порожденных групп Артина и Кокстера Безверхним В.Н. были выделены новые классы групп: конечно порожденные группы Артина и Кокстера с древесной структурой19.
Итак, пусть G конечно-порожденная группа Артина.
И пусть G - соответствующая группе G конечно порожденная группа Кокстера, полученная присоединением соотношений а* -1, і = 1, п, и
имеющая копредставление 0 = (0,,...0:/, (a,)2, (й\а\)т|/1<і,у< и). Каждой
конечно порожденной группе Артина G и группе Кокстера G соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что, если я, и at являются вершинами
ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (ap^f" = (яуа,У" для группы G и (а,яу)"' =1 для группы G. Группа Артина или Кокстера имеет древесную структуру, если граф Ґ является дерево - графом.
Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа. // Чебышевский сборник: Труды V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» - Тула. -2003. -Т.4.- Выпуск 1(5).- 2004.-С. 10-33.
16 Безверхний В.Н., И.В. Добрынина И.В. Об элементах конечного порядка в группах
Кокстера большого типа. // Чебышевский сборник. - Т.5. - Выпуск 1 (9). - 2004. - С. 30 -
39.
17 Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в
группах Коксетера большого типа. // Международная научная конференция.
«Современные проблемы Математики, Механики, Информатики». - Тезисы докладов. -
2005.-С. 43-45.
18 Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов
в группах Кокстера большого типа. // Чебышевский сборник. - Т.5. - Выпуск 1(9). - 2004. -
С.39-62
19 Безверхний В.Н. О группах Артина, Коксетера с древесной структурой. // Алгебра и
теория чисел: Современные проблемы и приложения. - Тезисы докладов V
Международной конференции. - Тула. - 2003. - С. 33 - 34.
В графе Г', соответствующем конечно порожденной группе Артина G (Кокстера G), всегда можно выделить максимальный дерево-граф Г, который соответствует группе имеющей древесную структуру, для которой группа Артина (Кокстера) с графом Г' является гомоморфным образом. Поэтому естественно рассмотреть решение основных алгоритмических проблем для групп этого типа.
Особая значимость групп Артина и Кокстера с древесной структурой, заключается в том, что они всегда существуют в качестве прообразов конечно порожденных групп Артина и Кокстера.
McCammond (Маккамонд) исследовал прямоугольные группы, то есть группы Кокстера с древесной структурой в случае, когда все числа т0
симметрической матрицы Кокстера принимают значения т.={0,2}. В
диссертации рассмотрен общий случай, когда числа mi; симметрической
матрицы Кокстера принимают значения тц є {0,2,3,..}.
Цель работы
Целью работы является изучение конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой, а именно описание централизатора элементов группы, доказательство разрешимости проблемы обобщенной сопряженности слов геометрическими методами, доказательство разрешимости проблемы пересечения конечно порожденных подгрупп, а также изучение проблемы сопряженности подгрупп в данном классе групп.
Методы исследования
При доказательстве некоторых результатов в работе используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном в 1933 году и вновь переоткрыт Линдоном Р. в 1966 году20. При доказательстве основных результатов был
20 Lindon R. On Dehn's algoritm. Math. Ann., - 1966. - 166 - P. 208-228.
использован метод специального множества слов введенный и примененный Безверхним В.Н. при решении некоторых алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп21.
Научная новизна
Основные результаты диссертации, являются новыми и состоят в следующем: для конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой
-
дано описание централизатора элементов конечного порядка;
-
геометрическими методами установлена разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов;
-
установлен алгоритм выписывающий образующие пересечения конечного числа конечно порожденных подгрупп;
-
доказана разрешимость проблемы пересечения классов смежности двух конечно порожденных подгрупп;
-
показана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подгрупп в данном классе групп.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгоритмических проблем в других классах конечно порожденных групп Артина и Кокстера.
Апробация диссертации
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» под руководством профессора Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2004г., 2005г.,
21 В.Н. Безверхний Решение проблемы вхождения в классе HNN-групп. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. - Тула. - 1981. - С. 20-62.
2009г.), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТулГУ, 2005г., 2006г., 2007г., 2008г.), на международной научно-практической конференции «Л.Эйлер и российское образование, наука и культура» (ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2007г.), на алгебраическом семинаре под руководством профессора Шмелькина А.Л. (МГУ, 2009г.).
Публикации
Результаты работы опубликованы в статьях [1]-[7].
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, 11 параграфов и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 122 страницы. Библиография включает 49 работ.
