Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема сопряженности в группах Артина с древесной структурой 13
1.1. Диаграммы над группой Артина с древесной структурой 13
1.2. Решение проблем равенства и сопряженности в группах Артина с древесной структурой 20
1.3. О кручении в группах Артина с древесной структурой 31
Глава 2. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой 41
2.1. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой 41
2.2. Решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой 59
2.3. Проблема степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой 71
Глава 3. Структура централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой 81
3.1. О пересечении циклических подгрупп в группах Артина с древесной структурой 81
3.2. О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой 89
Заключение 108
Библиографический список
- Решение проблем равенства и сопряженности в группах Артина с древесной структурой
- О кручении в группах Артина с древесной структурой
- Решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой
- О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой
Введение к работе
з
Актуальность темы
В 1972 г. Э. Брискорн и К. Сайто ввели класс групп, который назвали группами Артина.
Пусть G - конечно порожденная группа Артина с копредставлением
G = lal,a2,...,an,{a1aJY'1 =^.а,)тЛ, где (ага^ =ага]аг... - СЛОВО ДЛИНЫ тг], состоящее
из тц чередующихся букв а. и aj, i^j, mtj- число, соответствующее
симметрической матрице Кокстера, тц >2 при i* j. Если к определяющим
соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ є /, af = 1, то
получим копредставление соответствующей группы Кокстера.
Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, которые ввел в 1925 году Э. Артин . Группы кос имеют копредставление
вп+1 = (а1;СТ2;...;СТи;СТ,.ст,.+1а,. = стмстрм,і = U^W. = apjj = Щ - j\ > і) Группа Артина
называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна.
Группы Кокстера были введены X. С. М. Кокстером в 1934 году. Понятие данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Алгебраическая теория данного класса групп подробно представлена в работах Н. Бурбаки .
В 1912 г. М. Дэном были сформулированы фундаментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, проблема изоморфизма групп.
1 Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера.// Математика: Сб. переводов. - 1974. - № 6. - С.
56-79.
2 Artin Е. Theorie der Zorfe II Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. - 1925. - V. 4. - P. 47-72.
3 Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections. II Ann. Math. - 1934. - V. 35. - P. 588 -621.
4 Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. - М.: Мир, 1972.
5 Dehn М. Uber unendliche diskontinuierliche Grappen. II Math. Annal. - 1912. - V.71. - P. 116-144.
Поиск решения этих проблем послужил причиной развития комбинаторной методологии в теории групп, что позволило комбинаторной теории групп оформиться как самостоятельной науке и стать одним из активно развивающихся направлений современной математики. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова , показавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Вследствие этого возникла задача исследования данных алгоритмических проблем в конкретных классах конечно определенных групп, где особое место занимает класс групп Артина и Кокстера.
Проблема равенства слов в группах кос Вп+1 решена Э. Артином . Г.С.
о п
Маканиным и независимно Ф. Гарсайдом получено решение проблемы сопряженности в Вп+1. А также Г.С. Маканин показал, что нормализатор
любого элемента группы кос конечно порожден и построил алгоритм, выписывающий его образующие.
Э. Брискорн и К. Сайто показали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Для данного класса групп В.Н. Безверхним и В.А. Гринблатом было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу. Ю.Э. Трубицын и В.А. Гринблат доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. В.Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа.
К. Аппелем и П. Шуппом в 1983 г. выделены классы групп Артина большого и экстрабольшого типа. Если тц > 3 для всех /' ф j:, то G называется
6 Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп. / / Труды МИАН
СССР. - 1955. - Т.44. - С.3-143.
7 Artin Е. Theory of braids. II Ann. Math. - 1947. - V.48. - P. 101-126.
8 Маканин Г. С. Проблема сопряженности слов в группе кос. // Доклады АН СССР. - 1968. - Т. 182, №3. -
С.495-496.
9 Гарсайд Ф. Группа кос и другие группы. // Математика: Сб. переводов. - 1970. - №4. - С. 113-132.
10 Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос. // Математический сборник. - 1971. - Т.86, №2. - С. 171-179.
11 Appel К., Schupp P. Artin groups and infinite Coxter groups. II Invent. Math. - 1983. - V. 72. - P. 201-220.
группой Артина (Кокстера) большого типа. Если же тц > 3, то группа
называется группой Артина (Кокстера) экстрабольшого типа. П. Шупп и К. Аппель показали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа. В. Н. Безверхним и А.Н. Кузнецовой получено, что группы Артина большого типа являются группами без кручения , и в данном классе групп разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу . К. Аппелем и независимо В.Н, Безверхним была решена проблема сопряженности слов , а также В.Н. Безверхним получено решение проблемы обобщенной сопряженности слов для групп Артина большого типа.
В.Н. Безверхним были выделены конечно порожденные группы Артина и Кокстера с древесной структурой .
Пусть G - конечно порожденная группа Артина. Каждой конечно порожденной группе Артина G соответствует конечный граф Г'\ между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а. и aj являются вершинами ребра е, то ребру соответствует
соотношение вида (цаЛ lJ =(арЛ Jl для группы G. Группа Артина G имеет
древесную структуру, если граф Г* является дерево - графом.
В графе Г* всегда можно выделить максимальное дерево-граф Г, который соответствует группе, имеющей древесную структуру, для которой группа Артина с графом Г* является гомоморфным образом.
12 Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. О кручении групп Артина большого типа. //Чебышевский сборник. -
Т.6. -В. 1.-2005.-С. 13-22.
13 Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах
Артина большого типа. // Известия ТулГУ. - Серия Математика. Механика. Информатика.. - Т. 11. - 2005. -
С.76-94.
14 Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Кокстера большого типа. //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. - 1983. -
С.26-62.
15 Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа. //
Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. - Т.5. - № 1. - С. 1-38.
16 Безверхний В.Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой. // Алгебра и теория чисел:
Современные проблемы и приложения. - Тезисы докладов V Международной конференции. - Тула. - 2003.-
С. 33-34.
Степень разработанности темы исследования
Впервые прямоугольные группы Артина, т. е. группы с древесной структурой были изучены Баудишом , которого в свою очередь интересовали двупорожденные подгруппы в случае, когда все числа симметрической матрицы Кокстера принимают значения тц = {0,2}. Затем
данный класс групп подвергся широкому изучению, были решены многие алгоритмические задачи. Прямоугольные группы Артина являются биавтоматными , они имеют конечно порожденную группу автоморфизмов . Две прямоугольные группы Артина изоморфны тогда и
9П 91
только тогда, когда изоморфны их графы . В работах Бествина и Брэди были описаны некоторые подгруппы прямоугольных групп, которые
обладают специфическими гомологическими свойствами. Вайсом было доказано, что в прямоугольных группах Артина всякая квазивыпуклая подгруппа финитно отделима. В диссертации рассмотрен общий случай, когда числа симметрической матрицы Кокстера принимают значения Щ= {0,2,3,...}.
Цели задачи работы
Целью данной работы является изучение конечно порожденных групп Артина с древесной структурой, а также доказательство разрешимости некоторых алгоритмических проблем в данном классе групп. Поставленная цель предполагает решение следующих задач: описать диаграммы над данным классом групп, изучить их свойства; доказать разрешимость некоторых алгоритмических проблем таких как проблемы равенства и сопряженности слов, проблемы кручения, проблемы вхождения в
17 Baudisch. A. Subgroups of semifree groups. II Acta Math. Acad. Sci. Hungar. -1981.- 38(1-4). - P. 19-28.
18 Van Wyk. L. Graph groups are biautomatic. II J. Pure Appl. Algebra. - 1994. - 94(3). - P.341-352.
19 Servatius. H. Automorphisms of graph groups. //J. Algebra. - 1989. - 126(1). - P.34-60.
20 Droms. С Isomorphisms of graph groups. //Proc. Amer. Math. Soc. - 1987. - 100(3). - P.407-408.
21 Bestvina M., Brady N. Morse theory and finiteness properties of groups. //Invent. Math. - 1997. - 129(3). -
P.445-470.
22 Hsu Т., Wise D. T. Separating quasiconvex subgroups of right-angled Artin groups. //Mathematics Subject
Classification. - 2000. - P. 1 - 20.
циклическую подгруппу, проблемы вхождения в параболическую подгруппу, проблемы слабой степенной и степенной сопряженности слов, проблемы пересечения циклических подгрупп; описать структуру централизатора элементов группы.
Основные положения, выносимые на защиту и научная новизна
Все полученные результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие основные положения:
1) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема
сопряженности слов;
2) группы Артина с древесной структурой являются группами без
кручения;
-
в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу;
-
в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу;
-
в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема слабой степенной сопряженности слов;
-
в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов;
-
в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема пересечения циклических подгрупп;
-
получено описание централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой.
Теоретическая и практическая значимость работы
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгоритмических проблем в других классах конечно порожденных групп Артина и Кокстера. Многие
доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.
Методология и методы исследования
В диссертации при доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном в 1933 году и вновь переоткрытом Р. Линдоном в 1966 году .
Степень достоверности результатов
Степень достоверности результатов данной работы подтверждается полными и подробными математическими доказательствами.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» под руководством профессора Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2005 - 2010гг.), на Международной научной практической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТулГУ, 2006 - 2010гг.), на Международной научно-практической конференции «Л. Эйлер и российское образование, наука и культура» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2007г.), на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула, 2010г.), на алгебраическом семинаре под руководством профессора Шмелькина А.Л. (МГУ, 2012г.).
Публикации
Результаты работы опубликованы в статьях [1] -[6].
LindonR. OnDehn's algoritm. //Math. Ann. - 1966. - 166-P. 208-228.
Структура диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, 8 разделов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 115 страниц. Библиография включает 48 работ.
Решение проблем равенства и сопряженности в группах Артина с древесной структурой
Рассмотрим пересечение (я,) и (v ajV . Если (a,.)n(v 1a,v1W.E, то тх=т[,т2=т 2, то есть степени определены однозначно. Таким образом, мы зафиксировали а2 с точностью до элемента циклической подгруппы (а,). Рассмотрим область D2, q {dD2по) = w2, p(8D2nS) = v2, (p{dDxn8D2) = aj1, (p(dD2)eGJk. Используя лемму 1.2, решаем проблему вхождения w2amj2v2 в подгруппу (ак). Таким образом, выполняется равенство w2aj2v2[ = ак}, и так как имеет место лемма 1.8, то тг определяется однозначно. Аналогичными рассуждениями мы однозначно определим тл,т5,...,тп.
В противном случае {a n/v .v, W Е пересечение будет порождаться общей подгруппой a- =v a J,vl, где s,tx вполне определены, s = г, (это следует из того, что в группе Gv имеет место соотношение а\ =vj"1o v1, откуда следует a, =v ayv1). Вновь рассмотрим область D2, для которой p(dD2r\a) = w2, p(dD2r\S) = v2, p(dD}r\dD2)=a" 2,(p(dD2)eGJk. Применяя лемму 1.2., решим проблему вхождения w2a j2v2 в подгруппу (ак). Если ща"} 2 {ак), то подслово w2aj2v2 следует домножить в группе (ак) на некоторую степень а ], т. е. 3yls{z\0}, что w2aj1alf,v21=a s. Отсюда следует выполнимость ща у2\а ]у,У2 =акъ, где ч?2а "2у2 вполне определено. Рассмотрим пересечение (v2a lv2 r\{ak). В случае (v2a ]v2\n(ak) = E получим =0, и, следовательно, все степени mni = \,n ребер ai,aJ,ak,...,ar будут однозначно определены. Если же ( ta)v2}r\(ak) E, тогда 3t2,t2 = txyx,yx e{z\o} и Зр, e{z\0} такие, что v2a jv2l =а , где t2=px. Таким образом, значение t2 мы берем для общей подгруппы. И метки общих ребер смежных областей примут вид р(еп) = p(dDn п3D,) = а1+ 2, (р{ех) = (p{pDx ndD2) = а"
Отметим, если на каком-то этапе мы получаем, что результатом пересечения является единичная подгруппа, то в этом случае все степени m1}i = \,n ребер ai,aj,ak,...,ar будут однозначно определены.
Рассматривая общие случаи, когда результатом пересечения циклических подгрупп не является единичная подгруппа, и, проводя аналогичные рассуждения для области Д, как и для D2, мы должны решить проблему вхождения слова wiakiv? в циклическую подгруппу (а,). На этом этапе мы получим либо у2=0, либо Э/3,/3 =t2y2,y2 e{z\o}. Тогда метки ребер смежных областей примут вид р(е„) = (p(dD„ п3D,) = a?+h+h , р(е,) = p(dD, c\dD2) = aj +h , р(е2) = q (dD2 ndD3) = a?+h .
Проводим подобные рассуждения для областей D4,D5,...,D„_,. л-1 Рассмотрим область Dn,(p(dD„_lr\dD!J) = a", p(8D„ndD[) = af], где т\ =т1 +Y,ts» и решим проблему вхождения слова wna""v l в подгруппу (а,). Вновь подслово w -v"1 умножаем в подгруппе (я.) на степень а ;- , откуда, либо .ул_і=0 либо ="лЛ = -іЛ-і Л-і e{z\o}.PeuiaH проблему вхождения, мы получили равенство wna""+ "v; =а и". И метки ребер смежных областей вновь перепишем р(еп) = а" 1 -1 , л и p{ex) = aj -г , (р(е2) = ак --1 ,..., p(en_1) = p(dDn_lndDn) = aя ", то есть изменится и л Если WJJ = ти", то слова w и v сопряжены в G, в противном случае следует рассмотреть другое соответствие между подсловами w,,vy,/,y є {z}\0. Бели і - приведенная диаграмма М сопряженности слов содержит «треугольную» область Д,/=1,и, г (й , пс) = w,, р(сЮ,. псг) = 2, (p(dDjndDi_])=aJ,(p(dDindDi+l)=a", то, решая проблему вхождения в циклическую подгруппу (а,.), проверяем выполнимость wtaj=a". А из леммы 1.2 следует, что зо все степени «Ї.,І = 1,И ребер ai,aJ,ak,..,tar будут однозначно определены.
Рассмотрим случай, когда диаграмма М сопряженности слов w и v имеет вид как на Рисунке 1.8.6. Сделаем «разрез» по точке, и будем рассматривать всевозможные циклические перестановки слов w и v, и решать проблему равенства.
Таким образом, в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов. 1.3. О кручении в группах Артина с древесной структурой. V/, / = 1,и -1 дЛ,рао,+1 = е., где е,- - ребро; V/, і = 1,n dDj f]y = yi, где /,. - связный путь, причем \у\ 1; дДГНЧ5І) №0) и \ nrirHSDn\(dDnf]r)\; Определение 1.7. Поддиаграмма Я = J" Di образует полосу в R-приведенной диаграмме М с граничным циклом дМ = у\ 8, где у есть путь А В , 5-А А[В\В , АВ = дПпг,АА = dI7nS (Рисунок 1.13), если
В слове w есть R - сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово w, выделяется полоса. При этом подслово слова w, соответствующее пути у, заменяется словом, соответствующим пути дП\у в приведенной диаграмме М. Определение 1.8. Слово и называется циклически R - несократимым, если любая его циклическая перестановка и не содержит R - сокращения. Лемма.1.9. [3]. Группа Артина Gy при т,у=2А + 1 изоморфна группе (x,y;x2k+l =у2) а при mi} = 2k - группе (t,x\txkt"x = xk\. Пусть w - циклически R и R - несократимое слово. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 1.3. Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения. Доказательство. Пусть w" = 1. Тогда по теореме ван Кампена слово w является меткой связной односвязной диаграммы М над R. Пусть weGab. Группа Артина Gab, согласно лемме 1.9, при таЬ = 2 +1 изоморфна группе (х,у;х2к+] =у2}, а при тц = 2к - группе (t,x-,tx rl = ). Данный класс групп свободен от кручения [23]. Следовательно, группа Gab свободна от кручения.
Пусть w є G и wGob, тогда w содержит минимум 3 образующие. Так как по условию w - циклически -несократимое слово в группе Артина G, следовательно, на границе слов w с w в слове w" деновских и Л-сокращений нет.
Пусть в слове w" имеют место R - сокращения. Рассмотрим окружность, по границе которой запишем слово W (обозначим эту границу дМ). Разобьем окружность на пути yt i \,n, причем p{yt) w. Можно всегда считать, что п = 2к. Пусть Я = ДиДи...иД - полоса. Обозначим через дПпу = /, а(у ) - начальную точку пути у , ф(у ) - конечную точку пути у .
Будем полагать, сделав, если это необходимо, циклический сдвиг на w так, что & (/) = а {у\). Считаем, что р(у ) = w - циклически несократимое слово. Подклеиваем с внешней стороны к Уі,у3,-,у2к-і и с внутренней стороны окружности к у2,уА,...,у2к полосы, причем конечная точка пути у в каждом случае совпадает с начальной точкой пути у2і+1,і = 1,...,к. Полученную диаграмму обозначим через К. Для простоты рассмотрим всевозможные случаи для полос, у которых ОД) = {4,6} и d{Dn) = {A,6} (Рисунок. 1.14). Если же d(D]) 6 и (или) d(Dn) 6, доказательство проводится аналогично и при этом значительно упрощается. Обозначим через т внутренний, а через / - внешний граничные циклы К. Покажем, что в р(&) нет деновских сокращений. Деновские сокращения могут возникнуть только на стыке двух полос у2к_] и у2к k = \ji, приклеенных с внешней и внутренней стороны окружности. Пусть D0 - деновская область, которую мы будем подклеивать к границам стыкующихся полос у1к_х И 72 к = 1,п.
О кручении в группах Артина с древесной структурой
Доказательство. Доказательство леммы 2.4 следует непосредственно из того, что показатели степени l s m в каждом слоге слова «акЬ"1а гЪн...a "bsa m» не превосходят по абсолютной величине w+1, т.е. /,, Sj., т \w\ +1. Лемма 2.5. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина с древесной структурой выяснить, является ли w R - приведенным.
Доказательство. Разбиваем слово w на подслова wt,w2,...,w„, т.е. w = w1w2...wn, где каждое ws є GaA ,s = \,n. 1. Для каждого подслова ws определяем, равны ли они единице в группе GaA, которой они принадлежат. 2. Рассмотрим подслова ws є GaА, выясняем, принадлежат ли ws подгруппе (as) либо (bs), 3. Рассмотрим подслова ws =Gob . Выясним, имеет ли решение одно из уравнений wX = a a /b1/ ..х к;Ь ;, wtf = » 2 ...Ь ;ак;, кі„ tj, m jws j+1, i, j = 1, n. Лемма доказана.
Лемма 2.6. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина с древесной структурой выяснить, является ли w R - приведенным.
Доказательство. Запишем w на окружности, разбиваем его на подслова W,,H 25...JW„, т.е. w=wlw1,..wn, где каждое ws eGaA,s = l,n. Строить полосу начинаем с w,. Пусть w}eGaA, решаем в GaA уравнения wf ef dj .. " = l,w1 16, l 2fl..i 1 " =1. При этом должно выполняться, во-первых, условие циклической неприводимости слов w akxb ; ...ак" ,ч Ь[ ак] ...Ь[" в свободной группе; во-вторых, слоговая длина или а\хЪ ..л\п \b ak b « у, ы, ...и1 подслова w, должна удовлетворять условию р, = Допустим, что уравнение w, "1e1 JiI l...af" =1 (или w i -A " =1) разрешимо в группе GaA, и все условия выполняются. Заменив w2 на = ak"w2, решаем уравнение Х1 .. = 1 (или M V 1 ..лг»Ь1 = 1) в группе GaA, м/2 є G0i2. Тогда: а) Если уравнение w 2 1b af1...a{ =1 разрешимо, и слоговая длина w3 удовлетворяет \\w21 = Ь\ of ...af I +1, и слово Wj"1 af ...ар циклически несократимо, тогда полоса построена. б) Допустим уравнение w2 1b a[ ...a1Pl =1 разрешимо, при этом слоговая длина ч 2 удовлетворяет \\м 21 = несократимо. И пусть ситуация б) выполняется для h слов ws,s = 2,h,h = 2,n. Тогда, обозначив w h = almwh, решаем уравнение Wh lbZ a ..xt " = 1, где выполняется
Если данное уравнение разрешимо, и слово w h }b ay,...aXm циклически несократимо, то полоса построена. В противном случае решаем уравнение Wh la b% ..bxhm = 1. И так далее. Лемма доказана.
Теорема 2.1. [3]. Пусть G = (Gtt;rlH}t = Н2) есть HNN расширение группы Gc помощью ассоциированных подгрупп Н{,Н2, удовлетворяющие условию максимальности и пусть: 1) в G разрешима проблема вхождения; 2) существует алгоритм такой, что для каждой конечно порожденной подгруппе HczG позволяет выписать образующие Н п #,.,/ = 1,2; 3) существует алгоритм, позволяющий для \faeG, для любой конечно порожденной подгруппы НcG установить пусто или не пусто множество аНпНпг = \,2. Тогда в G разрешима проблема вхождения. По лемме 1.9, группа Артина GtJ при my=2k + l изоморфна группе (x,y;x2k+l = у2\, а при т0 -2к - группе (і,х;ґхкҐ =хк\. Случай при ту = 2к непосредственно вытекает из теоремы 2.1. Если т9 2к + \. Пусть Gu=(ai,aj\a" =an ),Gl={ai,aj,t;t la"t = an!)i тогда G0 вложима в G o, в которой, по теореме 2.1, разрешима проблема вхождения, следовательно, и в GQ разрешима проблема вхождения. Таким образом, и в группе Gu при /и.. = 2к +1 разрешима проблема вхождения. Пусть w - циклически R и R- несократимое слово. Теорема 2.2. Существует алгоритм, строящий по любому несократимому слову w сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово w0, любая степень которого R и R - несократима.
Пусть группа G порождена более чем двумя образующими. Рассмотрим слово w и произвольную степень слова w - w",п 2. И пусть любая циклическая перестановка w слова w такая, что w G0.. Так как по условию w - циклически R - несократимое слово в группе G, то на границе слов в слове w" R - сокращений нет.
Проверим, возможны ли в слове w" R- сокращения. Рассмотрим окружность, по границе которой запишем слово w" (обозначим эту границу дМ). Разобьем окружность на пути yj,i = \,n, причем $?(/,) = w. Можно всегда считать, что п = 2к. Пусть J = Z),uD2u...uD„ - полоса. Обозначим через дПг\у = /, а{у ) -начальную точку пути у , со(у ) - конечную точку пути у .
Будем полагать, сделав, если это необходимо, циклический сдвиг на w так, что а)(у ) = Й (/]) . Считаем, что р{ух) = w - циклически несократимое слово. Подклеиваем с внешней стороны к У\,уъ,...,у2к-\ и с внутренней стороны окружности к у2,у4,—,У2к полосы, причем конечная точка пути у в каждом случае совпадает с начальной точкой пути y2M,i = l,...,k. Полученную диаграмму обозначим через К. Рассмотрим всевозможные случаи для полос, у которых і(Д) = {4,6} и d(Dn) = {4,6] (Рисунок 2.1). Если же d(Dl) 6 и (или) d(Dn) 6, доказательство проводится аналогично и при этом значительно упрощается. Обозначим через а внутренний, а через у - внешний граничные циклы К. Покажем, что в р(сг) нет деновских сокращений.
Решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой
Di,i = l,n являются областями первого типа, и, если ребро с меткой g (dDn гл 9Д) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро р(зд_, пдД }/ = 1,и. Рассмотрим поддиаграмму ДД...Д, где имеем p{dDn пШ, )= р(дЦ r\dD{ )= p(dDr пйД+1).
Таким образом, w = z Vz , выделяем поддиаграмму сопряженности слов W и v , которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо; в результате через конечное число шагов получаем к Ъ.
Вырезаем поддиаграмму сопряженности слов W и V, оставшуюся часть замыкаем в кольцо, и через конечное число шагов получаем к 3.
II. Пусть диаграмма м содержит области первого, второго и третьего типа, дМ = уид, (p(y) = (w )k, p(s)=(y Y. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме М выделится полоса. Приклеим к м диаграмму М", тождественную диаграмме М , с циклическим сдвигом на слово w . Обозначим р(у) = О ) , p(yt) = w , причем a(8D] r\y}) = 0, со(у1) = 0 , P(rl)= p(pa)=w.
Степень внутренней точки О 4, так как в противном случае она является особой внутренней точкой диаграммы. Пусть d(0 ) = 4. 1. Пусть Dx,Dr+l и соответственно Ц - области третьего типа, при этом
Рисунок 3.2 - Случай 2. Пусть A) W)eGa4, moA 2, Дпг) = , рфЦпЯ) = г, p(dDnndDx)=bp, (р(дО 1глдВ[) = ЬС1 ,(p(dD{n dD2) = a", q (dD[ndD 2) = a , Ц И- Тогда, проводя аналогичные рассуждения, что и в 1 случае, получим sb" s"x =ат, где q p = h = m . Строим, как и в 1 случае, диаграмму сопряженности для Ът и ат.
Если для области D, выполняется условие \ p(dDx)\ = 2mab, тогда и p(dD ])\\ = 2mal), q {dDxndD[) содержит либо Ър (если таЬ =2к,к 1), либо содержит ар (если тяЛ=2+1). Учитывая, d{Dx) = d(D[) и лемму 1.1, получаем p{dD ,r\dD[)-bp, следовательно, и # (& ,. пЗД.+1) = б .Таким образом, метка пути p(OOi)= p(dD„ndDi) совпадает с меткой p(dDrr\dDr+l). При таЬ=2 получаем аналогичный случай. Выделяем поддиаграмму сопряженности слов W и v , которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо, процесс продолжается до тех пор, пока не получим к 3.
Если mah =2к,к 1, то, строя диаграмму сопряженности как и для 1 случая, получаем представление области Д в виде Д =\jD j,j = \,f, где (9D ) =2mab. Но, учитывая "г ф), в результате имеем, что среди областей первого типа/) есть хотя бы одна область D f третьего типа. В итоге VZ) ,y = l,/-l имеет место (d = 2s0 + 2, и L(dD - = y0 + 2, s = s{, r = s{ x. Такой случай возможен только если область D f имеет таЬ=2. Но тогда s0 = ахЬу, и, учитывая, что s0 является полсловом определяющего соотношения каждой области D],j = \,f \, приходим к заключению, что данный случай невозможен. При таЬ = 2к +1 получаем аналогичный случай.
2. Пусть Д и Д+1 - области различных типов (например, области Д-третьего, Д+1 - первого или второго типа). Данная ситуация невозможна. Так как получили внутреннюю особую точку О = a(dDt пу). Рассмотрим теперь, когда связная, приведенная кольцевая R - диаграмма М сопряженности слов (w f,(v )k имеет вид (Рисунок 2.166). Выделим в диаграмме М поддиаграмму М вида (Рисунок 3.3). Число таких поддиаграмм ограничено числом . Если диаграмма имеет больше чем Jw v подкарт вида (Рисунок 3.3), то выделится повторяющаяся часть диаграммы, которую можно вырезать, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо, при этом получившаяся диаграмма будет содержать не больше поддиаграмм вида Рисунок 3.3.
Обозначим внешний путь АВ через /,, внутренний путь АВ через 3 (Рисунок 3.4). Заметим, что слоговые длины путей /, и S} должны совпадать, иначе диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно ввиду ее R -приведенности.
Структура подкарты Рисунок 3.4. Структура поддиаграммы Предположим, что \у\ - достаточно большое число. Пусть y1) 4w .
Выделим на пути /,, начиная от вершины А, некоторую циклическую перестановку (w ) слова W такую, что слово (w J начинается в вершине О, имеющей в диаграмме W степень 3. Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично как и для диаграмм вида Рисунок 2.16а. Таким образом, можно показать, что к 3. Если jKjI 4ffw , число поддиаграмм вида Рисунок 3.3 не превышает w -jv , длина каждого простого пути не превышает \w \, количество простых путей не превышает w j-Jv . Тогда m-w 4-w -(jw -v )+w -(jw -v )=5w -(jw -v ), откуда
Если \z\ = 0. В этом случае будем рассматривать связную односвязную приведенную диаграмму М с граничным циклом дМ = уи$, p(y)={w )k, р{б) {у )к. Предположим, что к 1, тогда преобразуем диаграмму, подклеив к ней по границе / тождественную ей диаграмму с циклическим сдвигом на слово w . Проводя дальнейшие рассуждения аналогично случаю 1, получим, что к можно уменьшить, следовательно, к 3, и числа т,п ограничены сверху 5(jw ] v ).
О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой
Так как таЬ - нечетное, то, чтобы Ьт перевести в Vя, потребуется два (или четное число) сопряжений Ът словами zvz2. Вновь построим диаграмму сопряженности для Ьт и Ът, состоящую из / вложенных S г областей с граничными циклами rj,i = \,f + l. Каждую S-i область обозначим через Dy , p(dD"j)\ = 2таЬ. Имеем р(т1) = bm, p(rf+l) = bm, и все D, имеют нечетное таЬ. В этом случае получаем, если р(Т;) = Ьт, р(т ) = ат, то (p{e = z2 и p(ej+1) = zx. Получили о — 7 1 2" 1 Пусть область Д состоит из ряда областей Dj,j = \,f, где (3Z ) = 2woi, получим, согласно лемме 1.1, что метки общих ребер областей p\dD] n5Z JJ и p(dD ndD +l) есть степени Ьр или ар. Тогда p = h, p(dD]r\dD2) = bp. Все области Dt,i = l,n являются областями первого типа, и, если ребро с меткой p\pDn пдД ) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро (dDM r\dDi \i = l,n. Рассмотрим поддиаграмму DXD2...DF, где имеем p(dDn no, )=(p{dD\ пЗД )= p(dDf ndDr+l).
Вновь выделим поддиаграмму [JDk и склеим ее по ребрам е, = dD„ лдД и e2 = dDrndDr+l, где $?(е1) = (е2) = 6р. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную R - диаграмму сопряженности слов w 0,v 0, а, значит, степени этих слов также сопряжены. U(SD ) =2таЬ и все D являются областями первого б) Если ЬФа, тогда sbms l =ат . Строим диаграмму сопряженности для Ът и а!" аналогичным образом, как и в предыдущем случае. Мы представляем область Д в виде Д = uD],j = lf, где типа, p(dD ndD J+x) = ap или q (dD ndD j+l) = bp. Получим J = Z2Z,Z2.. 2, и p(dDr пdD2) = ар. Учитывая, что все области Diti = 1,п являются областями первого типа, и, если ребро с меткой (p{dDa n dD{) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро (5DMn5Z),),/ = l,«. В итоге p{dDn П5Д )= p(dD; ndD; )= p{dDr ndDr+l). Выделим поддиаграмму (Jz)t и склеим ее по ребрам el=dD„r\dDl и е2 =dDrndDF+l, где р(е]) = р(е2) = Ьр. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную R - диаграмму сопряженности слов м 0У0, а, значит, степени этих слов также сопряжены. случай. Пусть диаграмма М содержит одну область второго или третьего типа. Данный случай невозможен, так как в ?(/, r2) = {w of будут R -сокращения. случай. Пусть диаграмма М содержит области первого, второго и третьего типа. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме М выделится полоса. Вновь приклеим к ней диаграмму М , тождественную диаграмме М , с циклическим сдвигом на слово w Q. Обозначим (p{y) = {wl)m,(p{yi) = wl, причем а(дЦпГі) = 0, 0)(Гі) = О , р(Гі) = р(00 ) = м 1.
Степень внутренней точки О 4, так как в противном случае она является особой внутренней точкой диаграммы. Пусть d{0 ) = 4.
Пусть р(дПХ р{дВ1)еОаЬ, mab 2, p(dDlny) = s, p(dDlne) = r, p(dDnndDx) = bp, (p(dD lndD l) = b4, p(dD]ndD2) = ah, p(dD[ п dD 2) = а , Щ И- Тогда, проводя аналогичные рассуждения, что и в 1 случае, получим sbms l = зи,где q-p = h = m . Строим, как и в 1 случае, диаграмму сопряженности для Ьт и ат. ех=дВпг\дВі и е2=дВгпдВг+], где р(ех) = р(е2) = Ър. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную R - диаграмму сопряженности слов w0 ,v0 , а, значит, степени этих слов также сопряжены, б) Пусть для области Д выполняется условие (ЗД ) 2таЬ.
Если тдЬ=2к,к \,то, строя диаграмму сопряженности как и для 1 случая, получаем представление области Д в виде Д = uD ,j = l,f, где \ p(dD])\ = 2таЬ. Но, учитывая Н И» в результате имеем, что среди областей первого типаД есть хотя бы одна область D f третьего типа (Рисунок 2.24). В итоге \/D ,j = \,f-\ имеет место р(Э1 ] = 2s0 + 2, и p(aD)J = s0 + 2, s = s(, r = s( l. Такой случай возможен только если область D f имеет таЬ=2. Но тогда s0 = ахЪу, и, учитывая, что s0 является подсловом определяющего соотношения каждой области
D"j,j = l,f l, приходим к заключению, что данный случай невозможен. Рисунок 2.24 - Представление области D{ При таЬ = 2к+1 получаем аналогичный случай. 3.2. Пусть Д и Д+] - области различных типов (например, области Д -третьего, Д+1 - первого или второго типа). Данная ситуация невозможна. Так как получили внутреннюю особую точку О = a(8D1 г\у) (Рисунок 2.23). Рассмотрим случай, когда связная, приведенная кольцевая R - диаграмма М имеет вид (Рисунок 2.166). И пусть p(y) = (w u)m и # ( ?) = (v )\ Выделим в
Обозначим внешний путь АВ через /,, внутренний путь АВ через дх (Рисунок 2.27). Заметим, что слоговые длины путей 7,и должны совпадать, иначе диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно ввиду ее -приведенности. Рисунок 2.27. Структура поддиаграммы Предположим, что диаграмма М содержит поддиаграмму М вида Рисунок 2.27 такую, что \у\ - достаточно большое число. Пусть \у\ 4Jw0. Выделим на пути yit начиная от вершины А, некоторую циклическую перестановку wu слова w0 такую, что слово w 0 начинается в вершине О, имеющей в диаграмме М степень 3 (Рисунок 2.27). Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично как и для диаграмм вида Рисунок 2.16а. Так как число подкарт вида Рисунок 2.25 не превышает U vJ, длина пути в каждой подкарте /, 4Jw , длина каждого простого пути не превышает w 0\ Таким образом, в группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов.
