Содержание к диссертации
Содержание 2
Введение 3
Глава 1. ^группы и леводистрибутивные квазигруппы 9
Глава 2. Ортогональные группы над конечными полями характеристики 2.
Глава 3. Централизаторы некоторых элементов в ортогональных группах.
3.1. Централизаторы полупростых элементов 29
3.2. Централизаторы инволюций 39
Глава 4. Группы Е67$(я)> Еб($) и ортогональные группы как группы
Шевалле 45
4.1. Сведения о ортогональных группах и группах типа Е как группах
Шевалле 45
4.2. Централизаторы инволюций в группах типа Е. 55
Глава 5. ^теорема для ортогональных групп в четной характеристике.... 60
Глава 6. ^теорема для групп E^^iq), E(,(q) в четной характеристике 68
Глава 7. >-теорема для групп E6(q), Ee{q) в нечетной характеристике 72
Список литературы 78
Приложение 81
Введение к работе
Объектом изучения в данной диссертации являются конечные группы с дополнительной структурой, определяемой заданием на группе П автоморфизма #>, причем принадлежность элемента вида х<р(х~1) подгруппе сопряженной с подгруппой ^неподвижных элементов влечет <р(х) = X .
Далее такие группы называются (р-группами. По отношению к тождественному автоморфизму любая группа является ^группой, а потому нас будут интересовать группы с нетривиальной ^структурой.
В ^группе П выделяется нормальный делитель Пі =< х<р(х~ ) | х є П > , порожденный так называемыми каноническими элементами, — главная подгруппа в 77.
Целью работы является завершение доказательства следующего утверждения.
Теорема О Л (^-теорема). Главная подгруппа конечной ^группы //разрешима.
На примерах можно показать, что условия теоремы нельзя ослабить, скажем заменой конечной группы на бесконечную или главной подгруппы 77, на 77.
Приведенная формулировка ^теоремы может показаться неестественной, а сама теорема — имеющей лишь частный интерес. В действительности это не так: ^теорема достаточно глубока по содержанию и связана с рядом вопросов и проблем в теории конечных групп и некоторых неассоциативных объектов. Поясним это рядом замечаний. Во-первых частными случаями ^ътеоремы являются (как будет показано в главе 1) утверждения о разрешимости конечных групп с регулярными автоморфизмами и о разрешимости конечных групп нечетного порядка (теорема Фейта-Томпсона). Известно, какие трудности пришлось преодолеть при доказательстве этих
теорем. В частности, разрешимость группы с регулярным автоморфизмом установлена лишь на основе классификации конечных простых групп. Оба утверждения на первый взгляд совершенно не связаны и удивительно, что они объединяются в р-теореме.
Во-вторых ^группы появляются при изучении любопытного неассоциативного объекта - лево дистрибутивной квазигруппы. Под последней понимается алгебраическая система G(o) с бинарной операцией удовлетворяющей закону левой дистрибутивности а о ф о с) = (а Ь) о (а о с) . Предполагается также выполнимость и однозначность в G левого и правого «делений». Левая (или правая (а Ь) с — (а о с) ф о с) ) дистрибутивность появилась в математике давно - в 20-х годах ХХ-го века. Так в геометрии эта структура присутствует на так называемых симметрических пространствах. Последние являются римановскими пространствами, а результат операции хоу на точках х,у некоторого пространства есть «отражение» у от х, сохраняющее риманову метрику. Можно также указать на появление этих объектов в алгебраической геометрии [9].
Леводистрибутивная квазигруппа (далее ЛДК) обладает достаточным запасом автоморфизмов, то есть является весьма «симметричным» объектом, а потому привлекательна для изучения. В частности, для любого элемента а автоморфизмом является левая трансляция La = (х —> а о х) . Сами левые трансляции порождают группу L(G) левых трансляций, являющуюся подгруппой (и даже нормальным делителем) в группе Aut(C) всех автоморфизмов ЛДК.
Теперь ^теорема может быть переформулирована в следующем виде (эта формулировка была первоначальной).
Теорема. 0.2. Группа левых трансляций конечной ЛДК разрешима.
Первым, кто обратил внимание на свойства группы левых трансляций Б. Фишер. Он рассматривал квазигруппы, обладающие как левой, так
и правой дистрибутивностью, доказав для них в 1964 году вышеприведенную теорему.
Работа Фишера впервые продемонстрировала эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп. В конечном счете, разработка круга идей, связанных с этой теоремой, впоследствии привела Фишера к открытию спорадических групп его имени.
В. М. Галкин в 80-х годах прошлого века высказал предположение о справедливости результата Б. Фишера при отказе от правой дистрибутивности. Ему удалось свести ^теорему к утверждению о непростоте ^ьгрупп П с нетождественным автоморфизмом <р [23], Именно, из предположения о наличии нетривиальной ^структуры на неразрешимой, но непростой группе вытекает существование нетривиальной ^структуры на простом сечении этой группы.
Таким образом, данная проблема свелась к последовательной проверке всех простых групп на предмет несуществования на них нетривиальной ^структуры.
К началу этого века такая проверка была проведена В. М. Галкиным, СВ. Лещевой, Н. В. Мохниной и О. В. Суворовой для всех известных простых групп [35, 36, 37], за исключением серии ортогональных групп в четной характеристике и серий исключительных простых групп #6,7,8 (#)»
2E6(q). Нетривиальной ^структуры на проверенных группах нет.
В этой работе будут разобраны оставшиеся случаи, а именно: ортогональные группы в четной характеристике, исключительные группы
E6-j%(q), E6(q) в четной характеристике и E6(q), Eb(q) в нечетной характеристике.
Тем самым ^теорема будет доказана.
Доказательство носит индуктивный характер. Приводится к противоречию предположение о существовании нетривиального автоморфизма
(р на каждой из указанных групп. При этом применяются не только групповые методы, но и ряд утверждений о леводистрибутивных квазигруппах. Доказательство существенно использует следующую теоретико-групповую теорему [24].
Теорема 0.3. (Галкин). Если в ^группе П совпадающей со своей главной подгруппой квадрат автоморфизма ^тождественен, то П— разрешима.
Диссертация включает в себя 7 глав. В четырёх первых главах содержится теоретический материал, который необходим для авторского исследования в последующих трёх главах.
В первой главе приводятся основные сведения о 9-группах, леводистрибутивных квазигруппах и простых конечных группах необходимые для постановки проблемы и ее решения. В частности рассматриваются примеры в которых разбираются упомянутые выше частные случаи ^теоремы и связь между квазигруппами и #>-группами. В конце главы приведен ряд простых, но полезных утверждений — предложения 1.1,-1.3.
Во второй главе собраны необходимые сведения об ортогональных группах в четной характеристике. В частности, приводится определение ортогональной группы и доказывается неэквивалентность двух типов ортогональных метрик. Рассматриваются автоморфизмы этих групп и приводятся авторские доказательства изоморфизмов в малых размерностях. Некоторые известные факты даны с доказательством, ввиду того, что они разбирались в работах начала XIX века, которые по понятным причинам сейчас недоступны, а в более поздних работах они лишь формулируются.
В главе 3 даются описания централизаторов полупростых элементов и инволюций. Автору не удалось найти связного изложения этого материала в литературе, поэтому рассуждения подробны и ряд утверждений приводится с доказательствами.
В четвертой главе приводятся сведения из теории групп Шевалле. При этом акцент, по понятным причинам, сделан на группы типа Е и ортогональные группы. Основными здесь являются предложение 4.2, в котором выявляется строение групп Вейля для групп типа Е и содержится информация о сопряженности полупростых элементов со своими степенями.
В пятой главе изложено доказательство ^теоремы для ортогональных групп в четной характеристике. В начале главы приведена схема доказательства. Рассуждение ведется от противного и носит индуктивный характер. Предполагается существование наименьшей (с минимальными и и q) простой ^группы 02п (#), где q — четное число. Затем показывается, что
в действительности построить такую группу невозможно. В ходе доказательства приходится отдельно рассматривать возможность появления
тройственного графового автоморфизма (групп 0 (q) ) в составе (р.
В шестой главе аналогичное исследование проводится для групп типа Е четной характеристики. Общая схема рассуждений остаётся той же, что и в главе 5. Однако специфика этих групп не позволяет использовать тот же метод. Поэтому все доказательства проводятся на совершенно иной основе - привлекается теоретический аппарат групп Шевалле.
В главе 7 доказывается $?-теорема для групп E6(q\ E6(q) нечетной
характеристики. Схема рассуждений аналогична доказательствам из глав 5 и 6. Но опять-таки конкретные особенности вносят свою специфику в методы доказательства. Структура рассматриваемых групп такова, что здесь необходимо доказывать наличие ^неподвижных полупростых элементов. Кроме того, для некоторых из рассматриваемых (универсальных) групп центр нетривиален, что значительно усложняет доказательство.
