Содержание к диссертации
Введение
2 Предварительные сведения 13
2.1 Теоретико-групповые сведения 13
2.2 Сведения из теории представлений 15
2.2.1 Начальные сведения 15
2.2.2 Характеры неразрешимых групп 16
2.2.3 Индуцированные характеры 16
2.2.4 Теория Клиффорда 18
2.2.5 Характеры знакопеременной группы Ап 18
2.3 Оценки классового числа 19
2.4 Сведения о простых неабелевых группах 22
2.4.1 Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп 22
2.4.2 Общие сведения о k(L), Out(L), StL 23
2.4.3 Группы Ln(q), Un(q), где n ^ 3 25
2.4.4 Группы Bn{q), Cn{q), где n ^ 2 26
2.4.5 Характеры групп PGL2{q) {q нечетно) и L2(q) (q четно) . 27
2.4.6 Спорадические группы 28
2.5 Теоретико-числовые сведения 29
3 Вещественные группы 31
3.1 Предварительные замечания 31
3.2 Результаты Берггрена о вещественных группах 32
3.3 Свойства вещественных 2-групп 33
3.4 Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса 2 33
4 Некоторые классы SR-rpynn 35
4.1 Предварительные замечания 35
4.2 SR-группы с абелевой подгруппой индекса 2 35
4.3 Описание SR-групп малых порядков 36
4.4 Сверхразрешимые SR-группы порядков 2fcpn, 1 ^. к ^ А 41
4.5 SR-группы порядка 2прт с циклической р-силоізской подгруппой . 45
4.5.1 Теорема редукции 45
4.5.2 Особенные SR-групны 46
4.6 SR-группы порядка 2прт с диэдральпой 2-силовской подгруппой . 50
4.6.1 Теорема редукции 50
4.6.2 Атомарные SR-группы 52
4.6.3 Пример SR-группы с неабелевой р-силовской подгруппой . 59
5 Разрешимость конечных ASR-rpyrm 64
5.1 Предварительные обсуждения 64
5.2 Простые неабелевы ASR-группы 64
5.3 Минимальный контрпример к теореме 5.1.2 69
5.4 Редукция 71
5.4.1 Знакопеременные группы 72
5.4.2 Спорадические простые группы 72
5.4.3 Исключительные простые группы лиева типа 73
5.4.4 Классические простые группы лиева типа 75
5.5 Характеры и нормальные подгруппы 77
5.6 Характеры группы PGL2(q) 81
5.7 Доказательство теорем 5.1.2 и 5.1.3 83
6 Приложение. Вычисления в системе GAP 86
6.1 Описание GAP и основные команды 86
6.2 Некоторые специальные функции 86
6.3 Некоторые вычисления из теоремы 4.6.2 88
6.4 Некоторые вычисления из леммы 5.4.3 89
6.5 SR-группы порядка 2", где 1^п^9 89
6.5.1 Предварительные замечания 89
6.5.2 SR-группы порядка 2 90
6.5.3 SR-группы порядка 4 91
6.5.4 SR-группы порядка 8 91
6.5.5 SR-группы порядка 16 91
6.5.6 SR-группы порядка 32 91
6.5.7 SR-группы порядка 64 92
6.5.8 SR-группы порядка 128 93
6.5.9 SR-группы порядка 256 94
6.5.10 SR-группы порядка 512 99
6.6 SR-груипы порядка 2" 3, где 1 ^ n ^ 7 103
6.6.1 SR-группы порядка 6 103
6.6.2 SR-группы порядка 12 103
6.6.3 SR-группы порядка 24 104
6.6.4 SR-группы порядка 48 104
6.6.5 SR-группы порядка 96 104
6.6.6 SR-группы порядка 192 105
6.6.7 SR-группы порядка 384 106
6.7 Несверхразрешимые SR-группы G с \G\ < 2000 и Z(G) = 1 107
6.8 Примеры ASR-групп отличных от SR-групп 109
7 Заключение 110
Список литературы 111
Публикации автора по теме диссертации 114
- Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп
- Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса 2
- SR-группы порядка 2прт с диэдральпой 2-силовской подгруппой
- Исключительные простые группы лиева типа
Введение к работе
1 Введение
Постановка задачи и актуальность темы диссертации
Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.
Ек^і3<Еі^)і2' (*)
geG geG
Здесь \М\ — мощность множества М, у/д = {х Є G \ х2 = д}, Са{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.
Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Виг-нера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в [10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики.
В книге [2], стр. 250-251, A. PL Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом:
Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?
В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94):
Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы?
В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ
^т английского "simply reducible', то есть "просто приводимыми'.
2Нобелевская премия но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, "За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии". Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета:
1. ВВЕДЕНИЕ
по этой теме, результаты которых будут использоваться в данной диссертации, можно отметить работы Берггрена [14] и [15].
В работе [10] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп. Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. Струнков показал, что если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, \W\ = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления lfv, а полу целые — компонентами представления (G, где С ~ нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата в частности вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления SR-группы без центра.
В работе [37] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-rpynnax.
Необходимо отметить и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Определение SR-групп указывает на их вероятную связь т.н. «соответствием Макки». Напомним, см. [9J, что с каждым представлением р группы G, можно связать некоторый граф представления Гр следующим образом. Пусть {/Зі, ..-,/5(} — набор неприводимых представлений группы G. Тогда имеется разложение
Р Рз = (BmjkPk,
где j, к Є {1, ...,}. Граф Гр = TP(G) — это граф с множеством вершин {pi, ...,/} и с rrijk (направленными) ребрами из pj к /. При этом пара противоположно направленных ребер заменяется на одно ненаправленное ребро. Доказано, см. [9], что граф TP(G) связен тогда и только тогда, когда р точно на G. Также, граф TP(G) са-модуален (инвариантен относительно противоположной ориентации ребер) тогда и только тогда, когда характер р принимает только вещественные значения. Поэтому, исследование графов представлений, связанных с точными представлениямми конечных SR-групп, может представлять определенный интерес. Действительно, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер (хотя петли возможны), что может иметь комбинаторный смысл. Возможно, более выпукло связь SR-групп с алгебраической комбинаторикой видна в определении схем отношений. Для более точных формулировок потребуется определение (мы следуем [1], стр. 61-62):
Определение 1.0.1. Пусть X — лтоо/сество мощности п и Щ, і Є {0,..., d} — подмножества в X х X, обладающие следующими свойствами:
R0 = {(х,х) | х ЄХ};
X х X = R0 U ... U Rd, R, n Rj = 0 для і ^ j;
lRi = Щі для некоторого г' Є {0, .-,d}, где lRi — {{х,у) \ {у,х) Ri\;
4- для i,j, к Є {0,..., d} число элементов z Є X, таких, что (х, z) Є Ri, (у, z) Є Rj, является константой, если (х,у) Є Rk', эта константа обозначается через у%;
1. ВВЕДЕНИЕ
Pij — Pji для всех h h к; 6. і = г',
тогда конфигурация % = (X, {Ri}o^.i^.d), для которой выполнены свойства 1, 2, 3, 4 называется схемой отношений на X с d классами. Если дополнительно выполнено свойство 5, то такая схема отношений называется коммутативной, а если выполнено свойство 6, то такая схема называется симметричной.
Теперь мы можем определить некоторую схему отношений, связанную с транзитивной группой подстановок. Пусть G — транзитивная группа подстановок па множестве Q — {1,2, ...,п} и в — подстановочный характер. Пусть G действует на О, х Q таким образом, что (a, f3)9 = (а9, /З9), для а, /З Є Г2, g Є G. Обозначим через Л0, Лі, ..., Ad орбиты действия G на Q х Г2. Предположим дополнительно, что для каждой пары (х,у) Є Aj, і Є {0,..., d}, существует такой элемент h Є G, что xh — у, yh = х (группы с таким свойством называются щедро3 транзитивными, см. [34]). Положим X = Q, Ri = Aj, тогда можно показать, см. пример 2.1(1), стр. 63, [1], что схема % — (Г2, {Лг-}0<;г<;<г) является схемой отношений. Схема Ті, определяемая действием G на Сі, является коммутативной симметричной, см. замечание (2) стр. 116, [1], тогда и только тогда, когда соответствующий подстановочный характер в не имеет кратностей, и каждая неприводимая компонента X характера 9 принимает па G значения в поле вещественных чисел. Итак, имеется явная параллель между определением SR-группы и определением коммутативной симметричной схемы отношений %.
Вопрос об орбитных кодах, связанных с SR-группами, также представляет интерес.
К сожалению, в настоящий момент, высказаться более определенно в отношении связей SR-групп с вышеуказанными объектами в алгебраической комбинаторике невозможно т.к. никаких исследований на эту тему, по-видимому, не проводилось.
Цель и методы работы
Целью работы является исследование строения конечных SR-групп. В диссертации используются методы доказательств теории групп и теории характеров, в том числе теорема Классификации простых конечных групп. Для проведения вычислений в ряде случаев использовалась система компьютерной алгебры GAP, [22].
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
1. получен положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-групи при дополнительном условии отсутствия у группы композиционных факторов, изоморфных знакопеременным группам A$ или Аб. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR-групп. Тем самым (частично) положительно решен вопрос 11.94 Коуровской тетради, [8];
3От английского "generosity".
1. ВВЕДЕНИЕ
2. получено описание строения бипримарных SR-групп (порядка 2прт) некото
рых классов по модулю подгруппы Фраттини, среди них: группы с цикли
ческой р-силовской подгруппой, группы с диэдральной 2-силовской подгруп
пой, а также сверхразрешимые группы сп<4;
3. определено строение SR-групп малых порядков.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения IV» (Ярославль, 2006), на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения V» (Ярославль, 2007), на международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения Л. А. Шеметкова, (Гомель, Беларусь, 2007), на международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддсева (Санкт-Петербург, 2007).
Публикация результатов
Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 1 статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 2 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин Л. С, Янишевский В. В.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав (30 параграфов), приложения, заключения и списка литературы из 39 наименований. Текст диссертации изложен на 114 страницах.
Содержание диссертации
Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа. Формулы и таблицы имеют сквозную внутри всей диссертации нумерацию. Для повышения наглядности изложения во всех вычислениях чисел корней и порядков централизаторов групп используются таблицы, которые
1. ВВЕДЕНИЕ
резюмируют эту информацию. В сносках и библиографии присутствуют интернет-ссылки на некоторые использованные материалы, они актуальны на момент защиты диссертации.
Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп
Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.
Здесь \М\ — мощность множества М, у/д = {х Є G \ х2 = д}, Са{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство ( ) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.
Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Виг-нера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в [10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики. В книге [2], стр. 250-251, A. PL Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом: Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы? В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94): Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы? В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ т английского "simply reducible , то есть "просто приводимыми . 2Нобелевская премия но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, "За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии". Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета: http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1963/ по этой теме, результаты которых будут использоваться в данной диссертации, можно отметить работы Берггрена [14] и [15].
В работе [10] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп. Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. Струнков показал, что если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, \W\ = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления lfv, а полу целые — компонентами представления (G, где С нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата в частности вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления SR-группы без центра.
Необходимо отметить и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Определение SR-групп указывает на их вероятную связь т.н. «соответствием Макки». Напомним, см. [9J, что с каждым представлением р группы G, можно связать некоторый граф представления Гр следующим образом. Пусть {/Зі, ..-,/5(} — набор неприводимых представлений группы G. Тогда имеется разложение Граф Гр = TP(G) — это граф с множеством вершин {pi, ...,/} и с rrijk (направленными) ребрами из pj к /. При этом пара противоположно направленных ребер заменяется на одно ненаправленное ребро. Доказано, см. [9], что граф TP(G) связен тогда и только тогда, когда р точно на G. Также, граф TP(G) са-модуален (инвариантен относительно противоположной ориентации ребер) тогда и только тогда, когда характер р принимает только вещественные значения. Поэтому, исследование графов представлений, связанных с точными представлениямми конечных SR-групп, может представлять определенный интерес. Действительно, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер (хотя петли возможны), что может иметь комбинаторный смысл. Возможно, более выпукло связь SR-групп с алгебраической комбинаторикой видна в определении схем отношений. Для более точных формулировок потребуется определение (мы следуем [1], стр. 61-62):
Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса 2
Это настоящая глава. Во введении обосновывается актуальность проблемы, делается постановка задачи, приводится краткий обзор уже известных результатов. Далее следует содержание диссертации, а также обзор полученных в ней результатов.
Данная глава носит вспомогательный характер. В ней формулируются основные определения и результаты, используемые в диссертации. Более подробно. В параграфе 2.1 изложены сведения теоретико-группового характера. Приведены некоторые леммы о полупрямых произведениях, даны определения центрального произведения, 7Г-длины группы, определение подгруппы Картера, цикла Зингера.
В параграфе 2.2 приводятся сведения из теории представлений и теории характеров. Вводится понятие индуцированного характера, характера Стейнберга простой неабелевой группы лиева типа, закон взаимности Фробениуса. Приводятся основные формулировки теории Клиффорда, сведения о характерах знакопеременной группы Ап, в частности т.н. «формула крюков».
В параграфе 2.3 содержатся важные предложения об оценке классового числа простых неабелевых групп произвольного лиева ранга, и более сильные оценки классового числа для групп L q), где п 6. В конце параграфа 2.3 приводится неравенство Галлахера, дающее верхнюю и нижнюю оценку для классового числа группы через индекс и классовое число ее подгруппы, а также оценка числа неприводимых характеров нормальной подгруппы конечной группы через классовое число. Приведены оценки максимального порядка разрешимой подгруппы в симметрической группе подстановок Sn.
В начале параграфа 2.4 излагаются сведения о простых неабелевых группах: некоторые изоморфизмы, порядки, оценки классового числа, порядки групп внешних автоморфизмов, степени характера Стейнберга групп лиева типа. Для групп Len{q), BTL(q), Cn{q) при небольших п п q вычислены точные значения классового числа. Кроме того, приводится таблица характеров группы PGL2(q), где q нечетно и группы L2(q), где q четно.
В параграфе 3.1 сформулировано понятие вещественной группы — группы в которой любой элемент сопряжен со своим обратным. Очевидно, что группы нечетного порядка, отличные от тривиальной, не могут быть вещественными, и также, что среди абелевых групп вещественной будет только элементарная абелева 2-группа. Параграф 3.2 содержит важный результат Берггрена о том, что подгруппа Картера (максимальная нильпотентная подгруппа, совпадающая со своим нормализаторохм) вещественной группы является ее 2-силовской подгруппой. В параграфах 3.1, 3.2, 3.3 можно найти утверждения о вложимостп некоторых классов конечных групп в вещественные группы. Поскольку симметрическая группа Sn вещественна для любого п, то любую конечную группу можно вложить в вещественную. Менее очевидно, что любую разрешимую группу можно вложить в разрешимую вещественную группу. Этот результат Берггрена приведен в 3.2. В параграфе 3.3 доказано несколько простых утверждений о вещественных 2-группах. В параграфе 3.4 устанавливается строение вещественных групп, содержащих абелеву подгруппу индекса 2, стр. 34: Теорема 3.4.2. Пусть G — вещественная группа, А — ее абелева подгруппа, причем \G : А\ = 2. Тогда G S G0 х Е, где GQ Є {Е2п l C2,D{A),QM(A)}, Е -элементарная абелева 2-группа. Здесь Q (A) есть группа, являющаяся кватернионным аналогом обобщенно диэдральной группы. Точное определение этой группы дается в параграфе 3.4. Глава 4 посвящена различным классам бипримарных SR-групп (как уже было замечено выше, группы нечетного порядка не являются вещественными, поэтому речь идет о группах порядка 2прт). В параграфе 4.1 формулируется определение SR-группы, понятие целой (все представления- таких групп реализуются в поле вещественных чисел) и полуцелой SR-группы (остальные группы). Делается замечание, что факторгруппа SR-группы также является SR-группой. Приводится результат Стрункова о том, что центр всякой полуцелой SR-группы нетривиален и является элементарной абелевой 2-группой. Формулируется неравенство Вигнера. В параграфе 4.2 изложено описание SR-групп с абелевой подгруппой индекса 2. А именно, любая такая группа является вещественной группой с абелевой подгруппой индекса 2, описание которых дано выше, в теореме 3.4.2. Параграф 4.3 содержит перечисление SR-групп порядков 2п и 2П-3, где п 7, а также всех несверхразрешимых SR-групп порядка не больше 2000 с тривиальным центром. Формулировки этих теорем были установлены в результате вычислений в системе компьютерной алгебры GAP. Большинство приведенных SR-групп имеют простое строение, вроде (центрального) произведения некоторого числа обобщенно диэдральных групп. Заметим, что существенную роль в этом описании играют SR-группы весьма специфического строения. Это бипримарные SR-группы с циклической силовской р-подгруппой или бипримарные SR-группы с диэдральной 2-силовской подгруппой. На начальном этапе исследований складывалось впечатление, что указанные классы групп представляют лишь некоторые экзотические примеры. Но численный эксперимент с использованием системы GAP показал, что эти группы встречаются очень часто. Однако, имеются и группы не укладывающиеся в схему. Для них приведено задание в виде образующих и определяющих соотношений, обсуждается их строение. Список известных SR-групп, согласно [7], [10] был весьма беден. Было известно лишь, что диэдральная, обобщенная группа кватернионов и группа S i являются SR-группами. Результаты параграфа 4.3 позволили существенно пополнить перечень известных SR-групп и выделить некоторые полезные серии таких групп. Теорема 4.4.1. Пусть G — сверхразрешимая SK-группа порядка 2крп с силовской 2-подгруппой порядка не больше 8 и Ф( 2) = 1. Тогда G — прямое произведение SR-групп, каждая из которых имеет абелеву подгруппу индекса не больше 2. Следствие 4.4.2 устанавливает, что теорема 4.4.1 переносится и на случай групп G с Ф((?) и 2-силовской подгруппой порядка 16. В параграфе 4.5 устанавливается строение бипримарных SR-групп с циклической р-силовской подгруппой по модулю подгруппы Фраттипи. Вначале вводится определение особенной группы, как группы G вида V х D2Pm, где V = Е2п минимальная нормальная подгруппа группы G, причем Z(G) — 1. Доказывается Лемма 4.5.3. Пусть G — Е2п х D2pm — особенная группа. Группа G является несверхразрешимой SR-группой тогда и только тогда, когда либо (п, т) = (2k, I), где р = 2к + 1 — простое число Ферма, либо (п, т) = (6, 2) и р = 3. Главный результат параграфа 4.5: Теорема 4.5.2. Пусть G — конечная несверхразрешилшя SR-группа порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой. Если Ф(С) = 1, то G = М х Е, где М — особенная SR-группа, р = 2к + 1 — простое число Ферма; Е — некоторая элементарная абелева 2-группа. Параграф 4.6 устанавливает строение бипримарных SR-групп с диэдральной 2-силовской подгруппой по модулю подгруппы Фраттипи. Вводится определение атомарной группы, как группы G вида V х D2n, где V = Ерт — минимальная нормальная подгруппа группы G, причем Z(G) = 1,р 2, п 3,га 1. Устанавливается Лемма 4.6.4. Пусть G = Ерт х D2n — атомарная группа. Группа G является несверхразрешимой SR-группой тогда и только тогда, когда гп = 2 и п = q + 1, где р = 2q — 1 — простое число Мерсенна.
SR-группы порядка 2прт с диэдральпой 2-силовской подгруппой
Условие 2) в этом определении означает, что все характеры данной группы G вещественные и все неприводимые представления группы G целые или полуцелые. Предложение 4.1.2. Факторгруппа SR-группы также является SR-группой. Доказательство. Действительно, для любой нормальной подгруппы N SR-группы G, каждое представление факторгруппы G/N является также представлением группы G. Определение 4.1.3. Пусть G — SK-группа и ср : G —У GL„(C) — ее некоторое представление. Если для любого g Є G выполняется ip(g) Є GLn(M), то представление ер называется целым. В противном случае, представление (р называется полуцелым. Предложение 4.1.4 (Струнков). Если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален и является элементарной абелевой 2-группой и целой подгруппой группы G. Доказательство. См. [10], Лемма 3, стр. 360. Предложение 4.1.5 (Вигнер). Для любой конечной группы G выполняется неравенство Ei 3 Eic )i2 (1) gG gG Неравенство (10) обращается в равенство тогда и только тогда, когда G является SR-группой. Доказательство. См. [11], 5.8, неравенство (5.136) на стр. 184. 4.2 SR-группы с абелевой подгруппой индекса 2 Пусть G — SR-группа, и А — ее абелева подгруппа, причем \G : А\ = 2. Поскольку G — вещественная группа, то, как было доказано в теореме 3.4.2, G имеет вид G0 х Е, где G0 Є {E2nlC2, D(A),Q (A)}, a E — элементарная абелева 2-группа. С другой стороны, согласно результату Макки, см. предложение 2.2.8, представления группы G обладают свойством простой приводимости. Поэтому справедливо Следствие 4.2.1. Конечная группа G тогда и только тогда является SYl-группой с абелевой подгруппой А индекса 2, когда она имеет вид G = GQ Х Е, где G0 Є {Е2п I C2,D(A),Q (A)}, a E — элементарная абелева 2-группа. 4.3. Описание SR-групп малых порядков 4.3 Описание SR-групп малых порядков В этом разделе представлены теоремы резюмирующие информацию о классах изоморфизмов SR-групп порядков 2п и 2" 3, где п 7, а также всех несверхразреши-мых SR-групп порядков не больше 2000 с тривиальным центром. Все эти теоремы были получены в результате вычислений в системе компьютерной алгебры GAP. Детали вычислений можно найти в Приложении, в котором также содержится информация о SR-группах порядков 256, 512 (см. таблицы 34, 35 соответственно). Заметную часть перечисленных SR-групп составляют SR-группы, получающиеся из групп вида D(A) или Q{A) с помощью прямого произведения или факторизации по подгруппе из центра такого произведения (т.н. центральное произведение групп, см. раздел 2.1). Однако, имеются SR-груииы более сложного строения, все они являются иесверхразрешимыми. В таких случаях приведены их задания в виде образующих и соотношений, а также замечания проясняющие их строение. Сам факт существования подобных групп показывает нетривиальность класса SR-групп. В Заключении сформулированы гипотезы обобщающие полученные здесь результаты. Теорема 4.3.1. Пусть G — 2-группа порядка не большего 25, являющаяся SR-группой. Тогда верно одно из следующих утверждений: 1. G = AxB,edeA,B- SR-группы и \А\\В\ 25; 2. G Є {Дь Qs, D16, Qie, D32, Q32, EA I C2, D{C4 x C4), Q(C4 x C4)}; 3. Ge{E+2,E32}. Замечание 3. Имеется ровно 73 2-группы порядка не большего 32, из которых 21 является SR-группой. Теорема 4.3.2. Пусть G — SR-группа порядка 26. Тогда верно одно из следующих утверждений: 1. G = Ax В, где А, В - SR-группы и \А\\В\ = 26; 2. Ge {DM,QM,D{CA х C8),Q4(C4 х Ca),Q8(C4 х С8)}; 3. Ge{D8 D16,D8 Q16}; 4. G E2lEA; 5. G = (a, b, с, d I a4 = bA = c2 = d2 = [a, b] = [c, d) = 1, ac = 6, bc = a, ad = a \ bd = b l); 6. G = (a,b,c,d a4 = b4 = c2 = d4 = [a,b] = [c,d] = 1, ac = b, bc = a, ad = a \ bd = b \ {ab)2 = d2). Замечание 4. Группа E2\E4 изоморфна 2-силовской подгруппе знакопеременной группы As- Эта группа допускает представление в виде H/Z(H), где группа Н порядка 128 изоморфна 2-силовской подгруппе симметрической группы S$- Поэтому Е2 I Е4 является целой, в силу теоремы 4.1.4. 4.3. Описание SR-групп малых порядков Группа 5) имеет имеет вид G = А х В, где А — (а, Ь) = С4 х С4, В = (с, d) = Е4. Имеются изоморфизмы G = Aut(D8xC2) = Hol(Z 8). Группа 6) представима в виде произведения двух групп G = АВ, где А = (а, Ь) = С4 х С4, В = (с, rf) = С4 х Сг, причем АП-В = (d2) = Z(G). Группа 5) целая, в то время как группа 6) полуцелая, при этом группы 5) и 6) обладают одинаковой таблицей характеров. Имеются изоморфизмы D8 .Di6 — Qs Qi6, D8 Qie — Qs Dm, поэтому группы Qs Qi6, Qs Dw не были включены в список теоремы 4.3.2. Из 267 групп порядка 64 ровно 25 являются SR-группами.
Исключительные простые группы лиева типа
Покажем, что по-существу тот же результат справедлив, если силовская 2-подгруппа S сверхразрешимой SR-группы G с Ф((?) = 1 имеет порядок 24. Пусть Cs{P) = 1. Тогда, как и выше, имеются образующие элементы 7 ,72,73,7 группы S, образы 9(ті),9(т2),в(т3),в(т4) имеют вид 0{т{) — (1,0,0,0, а5, ...,а ), в(т2) = (0,1,0,0, ft,.., &), 0(т3) = (0,0,1,0,75, -., Ik), в(т4) = (0,0,0,1,6S,..., 5к). При этом элемент fj, — (1,1,...,1) является линейной комбинацией 0(ТЇ), 9(т2), 9(r-j), 9(т.і) и, как легко видеть, аі+/Зг+ Уі+Зі = 1 Для любого г . к. Следовательно, (а;, /%, уг, 5г) содержит лишь одну единицу, либо ровно 3 единицы. Покажем, что последний случай-исключен. Действительно, допустим, что некоторый набор (аг,РііУі,5і) содержит ровно 3 единицы. Не ограничивая общности, можно считать, что і = 5 и а5 = / = 75 = 1 5 = 0- Отфакторизуем группу G по подгруппе Р0 — {Х4,Х6, ...,Хк). Так как G/P0 является SR-группой и т± действует тождественно n d,G/Po, то имеем G/PQ - G = (Р/Ро х (fi,f2,T3)) х (г4), где п = т{Р0/Р0. Нетрудно видеть, что действие S = SPQ/PQ противоречит теореме. Таким образом, если Cs(P) = 1 и \S\ = 24, то G = D(Pi) х (Р2) х D(P3) х (Р4), где FixP2xP3x Р4 = Р- Будем считать, для удобства, чтоС2 = D(l). Тогда, доказано
Следствие 4.4.2: Если G — сверхразрешимая SK-группа с Ф(С?) = 1 порядка 2Арп, mo G — прямое произведение четырех подгрупп D{Pi) с абелевой подгруппой индекса 2. Замечание 11. Так как двухступенно разрешимая SR-группа G с силовской 2-подгруппой порядка не больше 16 и Ф(С?) = 1, является сверхразрешимой, то заодно получено описание двухступенно разрешимых SR-групп порядка 2крп, где к 4 при условии &{G) = 1. Определение 4.5.1. Пусть группа G изоморфна группе вида V х D2pm, где V = Е2п — минимальная нормальная подгруппа группы G, причем Z(G) = 1. Такую группу мы будем называть особенной группой. Сформулируем главный результат этого параграфа: Теорема 4.5.2. Пусть G — конечная несверхразрешимая SK-группа порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой. Если Ф(С?) = 1, то G = Е х М, где М — особенная SK-группа, р = 2к + 1 — простое число Ферма; Е — элементарная абелева 2-группа. Доказательство. Пусть G — несверхразрешимая SR-группа и G — минимальный контрпример к теореме 4.5.2. Так как Ф(С?) = 1, то всякая минимальная нормальная подгруппа группы G имеет дополнение в G. Если Z(G) Ф 1, то, используя лемму 4.1.4, стр. 35, имеем exp(Z(G)) — 2. Следовательно, любая подгрупп SR-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой 46 {z)2 Z{G) является минимальной нормальной. А значит, G = Н х (z), откуда Н — SR-группа. Поэтому можно считать, что Z(G) = 1. Так как р-силовская подгруппа группы G абелева, то, согласно предложению 2.1.10, стр. 14, G имеет р-длину 1, т.е. G = 02)Pl2(G). Так как 02,P(G)/02(G) = Op(G/02(G)), то 02lP(G) содержит р-силовскую подгруппу. При этом если Р = Ср- Є Sylp(G), то CG(P) С 02tP(G). Поэтому G/02,p(G) Aut(P) = Cpm_pm-i, а так как G/02,P(G) является абелевой циклической SR-группой, то она имеет порядок 2, то есть G/02(G) = D2pm. Теперь рассмотрим Т — 02(G). Очевидно, что Т/Ф(Т) абелева и Ф(Т) есть нормальная характеристическая подгруппа в G. Різ Ф(Т) Ф(С?) = 1 следует, что Ф(Т) = 1. Пусть Р = SylJ,(G). Рассмотрим NG(P). В силу аргумента Фраттини (см. предложение 2.1.15) TPNG(P) = G = TNG(P) и, очевидно, NG(P) = ((Т П NG(P)) х Р)(т) для некоторого элемента т, где г2 Є Т П NG(P). Поэтому т2 Є CG(P) Г\Т Z(G) = 1. Следовательно, г — инволюция и (Р,т) — группа диэдра порядка 2рт. Далее, пусть Е = Tf)NG(P) = Tf\CG(P). Если Е ф 1, то существует t Є Е \ (1), такой что т = rt, откуда t Є Z(G) = 1, противоречие. Таким образом, CG(P) ПТ = 1. Если G — сверхразрешимая группа, то 02(G) — 1 и G — группа диэдра порядка 2р. Теперь можно считать, что G — несверхразрешимая SR-группа. Группа Т раскладывается в произведение Т = Ei х ... х Е нормальных подгрупп, где каждая Ei — минимальная нормальная подгруппа в G. Положим Ёг — Ei х ... х Ег_г х Ei+i х ... х Ек, тогда G/Ei = Etxi D2pm — особенная группа. В лемме 4.5.3 будет доказано, что особенная группа является SR-группой тогда и только тогда, когда р — простое число Ферма. Значит, без ограничения общности можно считать, что минимальным контрпримером является группа G = (Е\ х i?2) XI D2Pm, где Ei х D2pm, и Е2 х 1 — особенные группы. В лемме 4.5.4 мы покажем, что такая группа не является SR-группой, что завершит доказательство теоремы 4.5.2. 4.5.2 Особенные SR-группы Лемма 4.5.3. Пусть G = Е2п х D2p — особенная группа. Группа G является SR-группой тогда и только тогда, когда либо (щт) = (2k, 1), где р = 2к + 1 — простое число Ферма, либо (п, т) = (6,2) и р = 3. Доказательство. Покажем вначале, что п четно. Для этого представим группу G в виде V х (Срт х (т)2), где V = i?2" — минимальная нормальная подгруппа G. Тогда V является Срт-модулем. Если V — неприводимый Срт-модуль, то NG(Cpm) = Срт х (т)2- Легко показать, что (т)2 Aut(F2n). Причем рт \ 2п — 1 и рт \ 2\ — 1, при 1 г п. Отсюда следует, что п — 2к и рт 2к + 1. Если же V не является неприводимым Срт-модулем, то рассмотрим его неприводимый Срт-подмодуль Vo. При этом для инволюции г имеем V0VQ = V. Отсюда также получаем, что п = 2к, и что рт \ 2к — 1. Введем обозначения: Н = V х Ср и S = V х (т)2. Проверим, когда группа G обращает в равенство неравенство Вигнера, см. предложение 4.1.5, на стр. 35. Для этого найдем числа квадратных корней из элементов группы G.
Число корней из единичного элемента равно числу инволюций в G плюс 1. Покажем, что все инволюции из G \ Н сопряжены между собой. Рассмотрим ин-волюцию v Є G\H. Так как G/V = D2P, то и сопряжена с инволюцией из VT. Пусть ШЄУИІ = ШТ — инволюция, тогда итсот — 1 и тшт — и . То есть инволюция г перестановочна с и и ш Є Z(S). Число инволюций, сопряженных с инволюцией г в 5", равно \V : Су(т) = \V : Z(S)\, так как S = V(r), где У — абелева группа. С другой стороны, CV(r) = 1- (5)1 = 2к. Если V — неприводимый Срт-модуль, то мы можем выбрать в качестве г автоморфизм порядка 2 поля F22ft и тогда \Су(т)\ — число элементов а Є F22 , удовлетворяющих соотношению а2 = а, то есть \Cv{f)\ = F2 = 2fc. Если же У = У0 Є У0Т, то С у(т) = 2 и в этом случае. В обоих случаях \V : Су(т)\ = 1- (5)1 = 2к. Так как любой элемент, сопряженный с т, имеет вид ти, где ш Є Z(S), то все элементы такого вида сопряжены с элементом т. С другой стороны, тк = U IT для любого h Є 5 и некоторого ші Є Z(S). Если (uT)h = Шіт, то в качестве сопрягающего можно взять элемент из V, ибо г перестановочен с шт для любого и Є Z(S). РІтак, все инволюции из G\H сопряжены между собой, а их число равно 2крт. Поскольку в подгруппе V число инволюций равно 22к — 1 то число всех инволюций в G равно 22к + 2крт — 1. Откуда получаем: \/ї = 22к + 2крт.
РІнволюции в G, сопряженные с некоторой инволюцией из Z(S), будем называть центральными. Покажем, что из любой центральной инволюции извлекается 2к корней. Если V не является неприводимым Cpm-модулем, ТО V = VQ ф VQ, где г — инволюция из D pm, и тогда множество элементов вида z = v vT, где v є VQ составляет центр S = V х (г). Так как vvT — VTVT = (VT)2, ТО из z извлекается корень квадратный.
Пусть V — неприводимый модуль. Тогда, как показано выше, CV(r) = 2к. Рассмотрим действие г на V как линейного оператора. Очевидно, ввиду г2 — 1 = О, что в подходящем базисе жорданова нормальная форма элемента т имеет вид
