Введение к работе
Актуальность темы. Группы матриц с матричными элементами из счетного дискретного поля служат примерами групп, для которых многие "естественные" вопросы, особенно в теории представлений, не имеют ни простого ответа, ни общепринятого подхода к исследованию С точки зрения теории представлений, описание классов эквивалентности унитарных неприводимых представлений для них — задача, не имеющая обозримого ответа. Вместе с тем указанные группы относятся к классу локально полупростых групп, что позволяет вести их исследования, пользуясь конечномерными аппроксимациями.
Теория локально полупростых алгебр разработана в работах Братте-ли [5], Эллиотта [7], Эффроса и др. [6] в 70-е-80-е гг. прошлого века. Ее результаты показывают, что классические задачи теории представлений — описание следов, факторпредставлений, группы Гротендика, гармонический анализ — в принципе могут быть решены или во всяком случае сформулированы на специфическом комбинаторном языке диаграмм Браттели и сопутствующих объектов. Нетривиальным примером применения этого подхода служат работы Вершика-Керова [1, 2] о бесконечной симметрической группе, в которых вычислены АГ-функтор, следы и т.д. для этой и ряда других групп.
Дискретные нильпотентные группы, особенно группа Гейзепберга, являются популярными объектами, поскольку часто служат "испытательным стендом" для построения той или иной теории. Ответ на многие вопросы для нильпотентных групп Ли дала классическая работа Кириллова 1962 г. [3], заложившая основы теории орбит. Техника положительно-определенных функций для дискретных счетных групп развита в работах Тома, в частности (10]. В ріаботе Смирнова [4] (1966 г.) приведена классификация следов на алгебраических нильпотентных группах над счетным дискретным полем характеристики 0. В статье Хау [8] (1977 г.) описано пространство примитивных идеалов дискретных конечно порожденных нильпотентных групп свободных от кручения. Для случая конечных нильпотентных групп ступени 2 теория орбит описана в заметке Михайловса [9] (2000 г.).
іго; йр
Цель работы. Основной целью данной работы была реализация аппроксимативно конечномерного подхода к описанию факторпредставлений, следов и /f-функтора определенного класса дискретных групп, применение конечномерных аппроксимаций|к|циуетЩйіб№едівййігіам, атак-
КИБЛ ПОТЕКА |
же построение метода орбит для дискретных нильпотентных групп ступени 2.
Общая методика работы. В работе использовались как классические методы теории представлений и анализа (вычисления с характерами, теория орбит, положительно определенные функции, асимптотика), так и специфические методы теории локально полупростых алгебр.
Основные результаты работы. 1. Описаны группы Гротендика групповых алгебр группы SL?. и группы Гейзенберга над счетным дискретным полем конечной характеристики (в случае SL,2 рассматривалось алгебраически замкнутое поле).
-
Построена теория орбит для дискретных нильпотентных групп ступени 2, связывающая орбиты и факторпредставления.
-
Доказаны спектральные оценки для оператора Лапласа на дискретной группе Гейзенберга.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных областях математики и приложениях, где встречаются счетные дискретные группы. Оценки спектра оператора Лапласа могут найти применение в теории изопериметрических неравенств и неголономной геометрии.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, а также были представлены на международной конференции "Combinatorics, Dynamics, Probabilities" (Стокгольм, 2000).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пяти работах [11, 12, 13, 14, 15], перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация разделов, формул, лемм, предложений и теорем ведется отдельно для каждой главы. Текст диссертации изложен на 89 страницах Список литературы содержит 34 наименования". ' ' ' "
» ( * 'І. '!'*
- .л "Vі . ,>
