Введение к работе
Актуальность темы
Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном1 в одной из его работ в 1912 г., являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.
Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самого активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной теме, достаточно назвать монографии В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера2, а также Р. Линдона и П. Шуппа3. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова4, доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп.
СИ. Адяном5 определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства /3, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством /3. Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание нильпотентности, конеч-
iDehn М. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Annal. — 1912. — V. 71. — P. 116-144.
2Магнус В., Kappac А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. — М.: Наука, 1974.
3Линдон Р., Шуи П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980.
4Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Труды
МИАН СССР. - 1955. - Т. 44. - С. 3-143.
5Адян С. И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в теории групп // Труды Московского математического общества. — 1957. — Т. 6. — С. 231-298.
ности, простоты, свободы или единичности группы, включая и основные проблемы теории групп.
Обобщением проблемы сопряженности слов являются проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов.
Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В. Н. Ре-месленниковым6, доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп.
Будем говорить, что в группе G разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {wi}i=Y^7 {vi}i=Tn из ^ установить, существует ли такое z Є G, что h=l(z~lWiZ = vi). Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма (р Є AutG определить, является ли он внутренним. С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы. Проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов для различных групп рассматривались в работах М. Д. Гриндлингера7, Д. И. Молдаванского8, В. Н. Безверхнего9 и других.
Центральными темами комбинаторной теории групп являются установление для различных подгрупп данных групп — свободны ли они, а также изучение выполнимости тождеств.
Группа G, заданная системой образующих а^, і Є J, и системой определяющих соотношений (aiaj)mij = 1, i,j Є J, m^ — элемент симметрической матрицы Кокстера (m^), i,j Є J, соответствующей данной группе, то есть матрицы, в которой тц = 1, Шу = rriji ^ 2 U {оо} для і ф j, называется
6Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах // Алгебра и логика. —
1967. - Т. 6, №2. - С. 61-76.
7Гриндлингер М. Д. Сопряженность подгрупп свободной группы // Сибирский математический
журнал. - 1970. - Т. 11. - С. 1178-1180.
8Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободного произведения групп // Уч. записки
Ивановского государственного пед. института. — 1972. — С. 123-135.
9Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряжённости слов в С(р)&Т(
Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. —
1998. - Т. 4, №3. - С. 5-13.
группой Кокстера (в последнем случае между di,dj соотношений нет). Из этого определения получаем а\ = 1 для всех і Є J. В дальнейшем будем полагать \J\ < оо.
Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером10 в 1934 году. Понятие данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер в 1934 году перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера. В следующей работе11 он доказал, что всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.
В чисто алгебраическом аспекте данные группы стали изучаться с 1962 года, начиная с работ Ж. Титса12. Обстоятельное изучение групп Кокстера имеется у Н. Бурбаки 13.
Так как каждую группу отражений G можно реализовать дискретной подгруппой ортогональной группы 0(т, п) при некоторых т, п, зависящих от G, то всякая группа отражений14 финитно аппроксимируема и содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения. Следовательно, проблема равенства слов в группах Кокстера разрешима.
П. Шуппом15 приведен пример группы Кокстера с неразрешимой проблемой вхождения, что доказывает неразрешимость этой проблемы в данном классе групп.
10Coxeter Н. S. М. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. — 1934. — V. 35.— P. 588-621. 11Coxeter H. S. M. The complete enumeration of finite groups of the form // J. Lond. Math. Soc. — 1935.
- V. 10. - P. 21-25.
12Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. — 1962. — P.
197-221.
13Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. — М.: Мир, 1972.
14Громов М. Л. Гиперболические группы. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
15Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability. // arXiv math. GR/0203020. - 2002. - V. 1. - P. 1-21.
К. Аппелем и П. Шуппом определены классы групп Кокстера большого и экстрабольшого типа. Если rriij ^ 3 для всех і ^ J, то G называется группой Кокстера большого типа. В случае rriij > 3 имеем группу Кокстера экстрабольшого типа. К настоящему моменту известно, что в группах Кокстера экстрабольшого типа К. Аппелем и П. Шуппом решена проблема сопряженности слов. Из работы И. Г. Лысенка17 следует разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов, а также проблем вхождения в циклическую подгруппу и извлечения корня в группах Кокстера экстрабольшого типа.
И. Каповичем и П. Шуппом18 для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (my), i,j Є J, с rriij > 3ft + 1, доказано, что всякая ft-порожденная подгруппа без кручения является свободной в G, а для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (rriij), hj Є J, с rriij > 3ft + 7, rriij — четное, доказано, что всякая ft-порожденная подгруппа, не содержащая элементов, сопряженных образующим, является отделимой в G.
В 1972 г. Э. Брискорн и К. Сайто19 рассмотрели класс групп, названный ими группами Артина. Группа Артина — это группа, заданная копред-ставлением с системой образующих щ,г Є J, и соотношениями aidjdi ...= ajttittj ..., i,j Є J, где слова, стоящие слева и справа данного равенства, состоят каждое из т^ чередующихся букв а{, <х,-, при этом rriij ~ элемент матрицы Кокстера (rriij), hj Є J, соответствующей данной группе. Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина соотношения а\ = 1 для всех і Є J, получим копредставление группы Кокстера G. Таким образом, группа Кокстера естественно представляется как некоторая факторгруппа группы Артина.
16Арре1 К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Ivent. Math. — 1983. — V. 72. — P.
201-220.
17Лысенок И. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Известия АН СССР. Сер. математическая. - 1989. - Т. 53, №4. - С. 814-832.
18Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups
with torsion J) London Math. Soc. - 2004. - V. 88. - P. 89-113.
19Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера // Математика: Сб. переводов. — 1974.
- № 6. - С. 56-79.
Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа, то есть в тех группах Артина, для которых соответствующие группы Кокстера конечны. Одновременно и независимо аналогичные результаты получил Дел инь20. В. Н. Безверхним21 доказано, что в неприводимых группах Артина конечного типа Вп, п > 4, D\, I > 4, Eq, E-j, Eg, F4, 7 проблема вхождения неразрешима, а в группах А^, В^, ,( ^2(^), где р = 5 или р > 7, — разрешима.
В. Гринблат22 доказал алгебраическую вычислимость нормализатора элемента в группах Артина конечного типа. Ю. Трубицын23 получил алгоритм построения образующих нормализатора конечного множества элементов в группах Артина конечного типа.
Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, введенных в 1925 году Э. Артином24. В настоящее время библиография работ по косам содержит сотни наименований25. В основополагающих работах Артина косы определяются чисто геометрически и выступают как естественные и наглядные объекты трехмерной топологии, сходные с узлами и зацеплениями. Полученное впервые Артином копредставление группы кос Вп+\ =< (J\,..., ап; агаг+іаг = аг+іагаг+і,і = 1,п —1; (J%(jj = (Tjcr^i,] = l,n,\i — j\ > 1 > позволило сводить геометрические задачи к алгоритмическим проблемам теории групп. В частности, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна проблеме равенства слов в группе кос Артина, а проблема эквивалентности замыканий геометрических кос — про-
20Delinge P. Les immeubles des groupes de tresses generalisses // Invent, math. — 1972. — V. 17, N 4. —
P. 273-302.
21Безверхний В. H. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа //
Сибирский математический журнал. — 1985. — Т. 23, №5. — С. 27-42.
22Гринблат В. А. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и
полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1981. — С. 82-94. 23Трубицын Ю. Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. —
Тула, 1986. - С. 62-65.
24Artin Е. Theorie der Zopfe // Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. — 1925.—V. 4. — P. 47-72.
25Лин В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Алгебра, топология, геометрия. - 1979. - Т. 17. - С. 159-227.
блеме сопряженности в Bn+i26.
Проблема равенства слов в группе кос Вп+\ решена Э. Артином27. Проблема сопряженности в Вп+\ решена Г. С. Маканиным28 и Ф. Гарсайдом29, что явилось важным событием после работ Артина.
В 1971 г. Г. С. Маканин 30 доказал, что нормализатор любого элемента группы кос Вп+\ конечно порожден и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора. Г. Г. Гурзо31 получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос Вп+\. Т. А. Маканина32 решила проблему обобщенной сопряженности слов в Вп+\.
Ядро естественного гомоморфизма группы кос Вп+\ в симметрическую группу Sn+\: переводящего каждый образующий а і в транспозицию (г, г +
1), і = 1, п, называется группой крашеных кос. Коса, реализующая единичную подстановку, называется крашеной. Подгруппа крашеных кос группы
*j
Вп+і обозначается через Rn+\- В. Бурау доказал, что элементы s Gj-\Gj-2 ... of ... <7~_2c"7_i, 1 ^ і < j ^ n + 1, порождают группу крашеных кос Rn+i- Э. Артин доказал, что подгруппа Uj,j = l,n, (j + 1) -чистых кос из Rn+i: порожденная элементами Sij+i, S2,j+i, ---1 sj,j+i является свободной, сами элементы Sij+i, S2,j+i, ---і sj,j+i ~ свободными образующими
Uj,j = 1,п, а всякая крашеная коса из Rn+i однозначно представима в
виде произведения чистых кос F1F2 ... Fn} где Fi Є Ui,i = 1, п.
Под шириной34 вербальной подгруппы
28Клейн Ф. Высшая геометрия. - М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
27Artin Е. Theory of braids // Ann. Math. - 1947. - V. 48. - P. 101-126.
28Маканин Г. С. Проблема сопряженности в группе кос // Доклады АН СССР. — 1968. — Т. 182, №
3. - С. 495-496. 29Гарсайд Ф. Группа кос и другие группы // Математика: Сб. переводов. — 1970. — №4. — С. 113-132. 30Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. — 1971. — Т. 86, №2. —
С. 171-179.
31 Гурзо Г. Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос // Математические заметки. - 1985. - Т. 37, № 1. - С. 3-6.
32Маканина Т. А. Об одной системе уравнений в группе кос // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1986. - № 9. - С. 58-62.
33Burau W. Uber Zopfmvarianten // Abh. math. Seim. Univ. Hamburg. — 1932. — V. 9. — P. 117-124.
34Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. — М.: Наука, 1987.
элемент подгруппы (fi(G) записывается в виде произведения не более чем т значений слов (f±l. Подгруппу
Термин "ширина" введен Ю. И. Мерзляковым35 в 1967 году, хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась в более ранних работах. Так ширина вербальных подгрупп исследовалась в работах Шода (1936), Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Н. Ито (1951), Ф. Холла (1959) и многих других авторов. Наиболее общий результат принадлежит Ю. И. Мерзляко-ву: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(Q), Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова (р. В других работах выбирались конкретные группы G, слова (р и давались оценки ширины (fi(G).
Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = xyx~ly~l. Н. Ито36 доказал, что при п > 5 всякий элемент симметрической группы Sn является коммутатором. С. Оре37 обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества.
Проблема вычисления ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии38.
Многие авторы изучали следующий вопрос: как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях.
В этом направлении А. X. Ремтулла39 доказал, что в нетривиальном свободном произведении А * В ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна тогда и только тогда, когда \А\ > 3, \В\ > 2.
35Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. — 1967. — Т. 6, №1. — С. 83-94.
38Ito N. A. A theorem of alternating group An (n > 5) // Math. Japon. — 1951. — V. 2, N 2. — С 59-60.
370re S. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. — 1951. — V. 2. — P. 307-314.
38Глухов M. M., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих // Математические вопросы кибернетики. — 1999. — №8. — С. 5-32.
39Rhemtulla А. Н. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1968. - V. 64, N 3. - P. 573-584.
В. Г. Бардаковым показано, что в свободных произведениях с объединением А *и В, где U — нормальная подгруппа в А и в >, а \А : U\ > 2, \В : U\ > 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.
Р. И. Григорчуком41 доказано, что для свободных произведений с объединением А*цВ, где \А :: U\ > 37 \В : U\ > 27 ширина всякой собственной вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.
Автором [3] в 2000 году получен следующий результат : пусть G = А *и В, где \А : U\ > 2 и в В существует такой элемент Ь, что UblJ ^ Ub~lU, тогда ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.
В. А. Файзиев42 в 2001 году доказал , что для свободных произведений с объединением А *и В, где \А : U\ > 2, \В :: U\ > 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.
В. Г. Бардаковым показано, что ширина всякой собственной вербальной подгруппы для групп с одним определяющим соотношением и тремя образующими бесконечна. Распространить данный результат на группы с двумя порождающими и одним определяющим соотношением не удается, так как это неверно для групп Gn =< a, t; t~lat = ап, п Є Z \ 0 >.
Р. И. Григорчук доказал, что для і7А^А^-расширений, где связные подгруппы являются собственными свободными подгруппами в базовой группе, ширина всякой собственной вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.
В. Г. Бардаковым доказана бесконечность ширины всякой собственной вербальной подгруппы для і/А^А^-расширений, где связные подгруппы отличны от базовой группы.
Ряд исследований связан с изучением ширины вербальных подгрупп в
40Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и
логика. - 1997. - Т. 36, №5.- С. 494-517.
41 Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки.
- 1996. - Т. 59, №4. - С. 546-550.
42Faiziev V. A. A problem of expressibility in some amalgamated products of groups // J. Austral. Math.
Soc. - 2001. - V. 71. - P. 105-115.
группах кос. Это результаты Н. Н. Репина43, Ю. С. Семенова44, В. Г. Дур-нева45 и В. К. Шалашова46. В. Г. Бардаковым доказано, что группа кос47 с двумя и более образующими, а также многие группы Артина48 не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины.
Цель работы и научная новизна
Целью диссертации является решение ряда известных проблем комбинаторной теории групп.
К основным, результатам диссертации можно отнести следующие результаты.
Доказана разрешимость проблемы сопряженности слов в группах Кокс-тера большого типа.
Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.
Доказана теорема о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.
В группах Кокстера экстрабольшого типа доказана разрешимость проблем степенной сопряженности слов и пересечения циклических подгрупп.
Доказано, что любая конечно порожденная подгруппа группы Кокстера экстрабольшого типа, не содержащая элементов конечного порядка, является свободной.
Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос.
43Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах 1 и В^. // Алгоритмические проблемы
теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1986. — С. 114-117. 44Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос // 10-й Всесоюзный симпозиум по теории групп.
Тезисы докладов.— Минск, 1986. — С. 207.
45Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос В3 и В4 // Деп. в ВИНИТИ. - 1987. - JNM040-B87.
48Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта групп кос 1 и В\ // 19-я Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов.— Львов, 1987. — С. 89.
47Бардаков В. Г. К теории групп кос // Математический сборник. — 1992. — Т. 183, №6. — С. 3-42.
48Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, групповые и метрические
свойства отображений // Сборник работ, поев, памяти Ю. И. Мерзлякова. — Новосибирск, 1995. — С. 8-18.
Доказаны нерезрешимость проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос Rn+i (п > 4) и разрешимость данной проблемы в группе крашеных кос R^.
Решена проблема ширины собственной вербальной подгруппы в свободном произведении групп с объединением.
Получены следующие результаты, примыкающие к основным,.
Доказана разрешимость проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.
Доказано, что централизатор конечно порожденной подгруппы группы Кокстера большого типа есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий образующие этого централизатора.
Доказано, что в группах Кокстера большого типа существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора любого конечного множества слов.
В группах Кокстера большого типа описаны элементы конечного порядка.
Доказано, что в группах Кокстера большого типа разрешима проблема корня.
Доказано, что если две подгруппы Н\ и 7 из группы кос Вп сопряжены в Вр (р > п), то Hi и Н2 сопряжены в Вп.
Доказана конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2.
Описаны нормализаторы специальных классов подгрупп в группе крашеных кос R$.
Доказана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подполугрупп в группах Артина конечного типа.
Решена проблема построения нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.
Рассмотрены вопросы пересечения нормализаторов конечного числа конечных множеств и подполугрупп в группах Артина конечного типа.
Доказана бесконечность ширины собственных вербальных подгрупп в
некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением, а также в некоторых HNTV-расширениях, где хотя бы одна из связных подгрупп совпадает с базовой группой.
Исследована ширина вербальных подгрупп групп Артина с двумя образующими.
Все результаты диссертации являются новыми.
Методы исследования
Проводимые в диссертации исследования базируются на комбинаторных и геометрических методах теории групп.
Практическая и теоретическая ценность
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в различных разделах теории групп. Развитые в диссертации вопросы важны для дальнейших исследований алгоритмических проблем в группах. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.
Аппробация работы
Результаты работы докладывались на: Х-й Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-Ата, 1990 г.); семинаре под руководством М. М. Лесохина (ЛГУ, 1991 г.); семинаре по теории групп под руководством А. Л. Шмелькина, А. Ю. Ольшанского (МГУ, 1996 г.); Ш-й международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее применения" (ТГПУ, 1996 г.); V-ой международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(ТГПУ, 2003 г.); открытом научном семинаре "Кольца и модули"под руководством С. А. Пихтилькова с участием А. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. Н. Чубарикова (ТГПУ, 2005 г.); международной алгебраической конференции, посвященной 100 - летию со дня рождения А. Г. Куроша (МГУ, 2008 г.); ежегодной международной
научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (ТулГУ, 2000, 2005-2008 г.г.); Тульском городском научном семинаре по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп под руководством В. Н. Безверхнего (1990-2009 г.г.); расширенном заседании Тульского городского научного семинара по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп под руководством В. Н. Безверхнего с участием А. Л. Шмелькина (2009 г.); научно-исследовательском семинаре по алгебре кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (2009 г.).
Работы были выполнены по грантам РФФИ 00-01-00767, 03-01-00198, 08-01-00790 и Министерства образования РД 02-1.1-209.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [28].
Объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, восемнадцати разделов и списка литературы из 100 наименований. Диссертация содержит 230 страниц машинописного текста.
