Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время теория групп является одним из самых развивающихся разделов алгебры, получившая свое применение в различных областях математики и естествознания. В 1911 году М.Дэн сформулировал для класса конечно определенных групп основные алгоритмические проблемы: проблему равенства слов, проблему сопряженности слов и проблему изоморфизма. После этого комбинаторная теория групп оформилась как самостоятельная наука со своей проблематикой.
Проблемы равенства, сопряженности слов и изоморфизма получили отрицательное решение в работах П.С. Новикова. Им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов1, тем самым бьша доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. П.С. Новиков построил пример группы с разрешимой проблемой равенства2, но неразрешимой проблемой сопряженности слов. Используя полученные результаты, им была доказана неразрешимость проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в определенных классах конечно определенных групп. В связи с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстера.
Группа Артина - это группа G, заданная системой образующих а., і el,
|/|<оо, и системой определяющих соотношений ataJal... = aJalaJ..., i,JBl, где слова, стоящие слева и справа, состоят из mtj чередующихся букв а, и а;, ІФ j; т - элемент симметрической матрицы Кокстера (>яД А/, имеющей вид
' Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Труды
математического института АН СССР. -1955. 2 Новиков П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп // Изв. АН СССР, сер. Мат. - Т. 18.
-С. 485-524.
(I m, Л
*
m„ ... * *
, причем, при і Ф j, т^ = mjV, m. > 2. Если к определяющим
соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: УіеІ, а] =\, получим копредставление соответствующей группы Кокстера. Группы Кокстера, со времени их введения Кокстером в 1935 году, были подробно изучены. Обстоятельное изложение полученных результатов имеется у Бурбаки3.
Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в данном классе групп проблему равенства слов, используя геометрические методы . Алгебраическая теория групп кос была построена А.А. Марковым5, который решил проблему равенства аналитическим методом. Проблема сопряженности в группе кос была решена Ф. Гарсайдом6 и независимо Г.С. Маканиным7. В 1971 г. Г.С. Маканин доказал, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден, и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора8. Г.Г. Гурзо путем обобщения метода, описанного в работе8, получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос9. Отметим, что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы равенства в конечно определенных группах Артина.
В 1972 году Брискорном и Сайто был введен класс групп - группы Артина конечного типа10. Группа Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна. Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в данном
5 Бурбаки Н. Группы и алгебри Ли. - М.: Мир, 1972.
4 Artin Е. Theorie der ZOpfe //Abh. math. Semin. Univ. Hamburg, 1925. - V. 4. - P. 47-72.
5 Марков A.A. Основы алгебраической теории кос II Труды математического института АН СССР. -1945. -
№16. 8 Гарсайд Ф. Группы кос и другие группы // Математика: Сб. переводов. -1970. - №4. -С. 113-132. ' Маканин Г.С. Проблема сопряженности в группах кос // Доклады АН СССР. -1968.—Т.182. - №3. - С. 495-
496. ' Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. -197 J. - Т. 86. - №2. - С. 171 -179. ' Гурзо Г.Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос // Математические заметки. -
1985.-Т.37.-№1.-С.З-6. 10 Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера // Математика: Сб. переводов. -1974. - №6. - С.
56-79.
классе групп. Для групп Артина конечного типа В.Н. Безверхним и В.А. Гринблатом было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу". Ю.Э. Трубицын12 и В.А. Гринблат13 доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. Также для групп Артина конечно типа В.Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа14.
В 1983 году К. Аппелем и П. Шуппом был выделен класс групп Артина большого и экстрабольшого типа15.
Если все числа ти. при j * j симметрической матрицы Кокстера для групп
Артина (Кокстера) больше либо равны трем, то группы называются группами Артина (Кокстера) большого типа. Если все числа mtj при i*j
симметрической матрицы Кокстера для групп Артина (Кокстера) больше трех, то группы называются группами Артина (Кокстера) экстрабольшого типа. Для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа П. Шуппом и К. Аппелем было получено решение проблем равенства и сопряженности слов15. К. Аппелем и независимо В.Н. Безверхним была решена проблема сопряженности слов16 в группах Артина большого типа; В.Н. Безверхний получил решение обобщенной сопряженности слов для групп Артина большого типа17.
Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение конечно порожденных групп Артина большого и экстрабольшого типа, а именно доказательство разрешимости некоторых алгоритмических
11 Безверхний В.Н., Гринблат В.А. О проблеме вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский
математический журнал. -1982. - Вып. 23. - №4. - С. 19-28.
12 Трубицын Ю.Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула:
Тул. гос. пед. ии-т, 1986. - С. 68-71.
13 Гринблат B.A. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.
Тула.-1981.-С. 82-94.
м Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский
математический журнал. -1985. - Т. 26. - №5. - С. 27-42. " Appel К., Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups II Invenf. Math.-1983. - V. 72. - P. 201-220. " Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. -1989. -
T.5.-J&1.-C. 1-38. 17 Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа//
Фундаментальная и прикладная математика. -1999. -Т J. -Jfel. -С. 1-38.
проблем, таких, как проблема кручения, проблема вхождения в циклическую подгруппу, проблема слабой степенной сопряженности слов в группах Артина большого типа, описание диаграмм над конечно порожденными группами Артина экстрабольшого типа и доказательство разрешимости проблемы степенной сопряженности слов и пересечения циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
доказано, что группы Артина большого типа свободны от кручения;
-
решена проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа;
-
показана разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности в группах Артина большого типа;
-
получено описание диаграмм над конечно порожденными группами Артина экстрабольшого типа;
-
установлена разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа;
-
решена проблема пересечения циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа.
Методы исследования. При доказательстве основных результатов в работе используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном в 1933 году и вновь переоткрытый Р. Линдоном в 1966 году18.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгоритмических проблем в других классах конечно
" Lindon R. On Dehn's algoritm. Math. Ann. -1966 - V. 166. - P. 208-228
порожденных групп Артина и Кокстера. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов университетов.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп" под руководством профессора Безверхнего В.Н. (Тула, 2005-2008 гг.), на международной научно-практической конференции "Л.Эйлер и российское образование, наука и культура" (Тула, 2007 г.), международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008 г.), семинаре по теории групп кафедры Высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Л. Шмелькина, А.Ю. Ольшанского и доцента А.А. Клячко (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата [1]-[8].
Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в диссертационной работе, получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежат соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, 7 параграфов и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 37 наименований.
