Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 12
1.1. Теоретико-групповые определения и обозначения 12
1.2. Теоретико-числовые обозначения и леммы 12
1.3. Спектр и граф простых чисел 14
1.4. Неабелевы простые группы с решенной проблемой распознаваемости . 17
2. Порядки элементов в накрытиях простых групп 22
2.1. Спектры накрытий и представления 22
2.2. Полупростые элементы классических групп 26
2.3. Представления Вейля группы SU5(q) 30
2.4. Случай модуля в другой характеристике 34
2.5. Унисингулярные элементы групп лиева типа 40
2.6. Случай модуля в характеристике определения 43
2.7. Спектры группы S2n(q) и накрытий группы 02n+i{q) 47
3. Неабелевы композиционные факторы групп, изоспектральных простым классическим группам 49
3.2. Линейные и унитарные группы 52
3.3. Симплектические и ортогональные группы 56
3.4. Исключительные случаи теоремы 3 65
4. Линейные и унитарные группы на полями характеристики 67
4.1. Некоторые свойства групп лиева типа 67
4.2. Квазираспознаваемость 70
4.3. Автоморфные расширения и доказательство теоремы 4 75
5. Характеризация спектром и порядком 82
5.1. Оценки на порядки элементов и порядки силовских подгрупп 82
5.2. Спектры групп Bn(q) и Cn(q) 88
5.3. Редукция к случаю другой характеристики 90
5.4. Случай группы в другой характеристике 95
Заключение 110
Список литературы
- Теоретико-числовые обозначения и леммы
- Полупростые элементы классических групп
- Унисингулярные элементы групп лиева типа
- Квазираспознаваемость
Теоретико-числовые обозначения и леммы
В 1986 г. В. Ши [131] обнаружил, что любая группа со спектром {1, 2, 3, 5} изоморфна простой группе PSL2(4) (эта самая маленькая по порядку неабелева простая группа известна также как PSL2(5) и AU5), а затем обобщил [132] этот результат, показав, что любая группа, изоспектральная простой группе PSL2(2k), изоморфна PSL2(2k) (группы называются изоспектралъными, если у них одинаковые спектры). Это открытие привело к постановке еще более общей проблемы: как устроены группы, изоспектральные данной неабелевой простой группе? Именно эта проблема рассматривается в настоящей диссертации.
Отметим, что множество групп, изоспектральных группе с нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, всегда бесконечно [49,141], и получить его удовлетворительное описание в общем случае представляется затруднительным. И напротив, имеющиеся результаты позволяют предположить, что множество групп, изоспектральных неабелевой простой группе L, как правило, конечно и состоит из групп, достаточно близких к L.
Таким образом, диссертация посвящена классической задаче о характеризации конечной группы некоторыми арифметическими параметрами, причем в роли параметров выступает спектр группы, который, с одной стороны, является одним из самых естестве-ных числовых множеств, связанных с конечной группой, и, с другой стороны, достаточно хорошо задает группы из такого важного класса, как класс неабелевых простых групп.
Степень разработанности темы исследования Обозначим через h(G) число различных, т.е. попарно неизоморфных, конечных групп, имеющих такой же спектр, как у группы G. Если h(G) = 1, то будем говорить, что G распознаваема по спектру.
Согласно классификационной теореме конечных простых групп любая конечная неабелева простая группа является либо знакопеременной группой, либо группой лиева типа, либо одной из 26 спорадических групп. Все спорадические группы, кроме группы J2, и все знакопеременные группы степени больше четырех, кроме групп степеней шесть и десять, распознаваемы по спектру [25,116,122,132,133,135,137,141,143]. Строение групп, изоспектральных J2, AIU и Altva описано в [56, 120, 122]. Таким образом, для спорадических и знакопеременных групп проблема полностью решена.
Обзор результатов, касающихся групп лиева типа, приведен в 1.4. Как показывает этот обзор, группы лиева типа, для которых проблема была решена до настоящего ис 5
следования, являются скорее исключением, чем правилом: это либо группы небольшого лиева ранга, либо группы, лиев ранг которых имеет крайне специальный вид (простое число или степень числа два), либо группы над полем небольшого порядка. Этот факт объясняется тем, что при исследовании проблемы возникает несколько вопросов, решение которых может быть не очень сложным в частных случаях или может быть осуществлено прямым перебором в случае ограниченных параметров, и которые становятся трудными в общем случае (многие из этих вопросов занесены в «Коуровскую тетрадь» [55]). Далее мы изложим эти вопросы.
При изучении групп, изоспектральных конечной группе L, естественно начать с групп, близких к L. Примером таких групп являются накрытия группы L, т. е. группы, гомоморфно отображающиеся на L. Накрытие называется собственным, если оно не изоморфно L. Группа L называется распознаваемой по спектру среди (авоих) накрытий, если ее спектр отличен от спектра ее любого собственного накрытия. Роль накрытий в решении рассматриваемой проблемы становится еще более важной, если учесть, что h(L) бесконечно, если L нераспознаваема по спектру среди накрытий. Все спорадические и знакопеременные группы (даже нераспознаваемые по спектру) распознаваемы по спектру среди накрытий [36,122]. Вопрос состоит в том, верно ли это для простых групп лиева типа.
Проблема 1. Может ли спектр данной простой группы лиева типа совпадать со спектром ее собственного накрытия?
Как несложно показать, для решения проблемы 1 необходимо и достаточно рассматривать накрытия группы L, являющиеся естественным полупрямым произведением конечномерного L-модуля V и группы L (см. лемму 2.1.1). Если V - конечномерный L-модуль и H — естественное полупрямое произведение VXL, то порядки элементов в смежном классе Vg группы H совпадают с порядком элемента g тогда и тогда только тогда, когда минимальный аннулирующий многочлен элемента g в представлении на V делит (x й — 1)/(x- 1).
Таким образом, для решения проблемы 1 требуется информация о минимальных аннулирующих многочленах элементов группы L во всех ее представлениях над полями, характеристика которых лежит в спектре группы L. Безусловно, в некоторых случаях для некоторых характеристик требуемое свойство минимального многочлена элемента g L на V не зависит от самого модуля V. Например, это так, когда g может быть вложен в дополнение подгруппы Фробениуса группы L (см., например, [47, лемма 1]), или когда группа L является унисингулярной [100]. Однако в общем случае этот многочлен зависит от модуля V, и поскольку явного описания неприводимых модулей групп лиева типа не существует, задача становится действительно сложной и требует детального и трудоемкого анализа подгруппового строения групп лиева типа для применения теорем типа Холла-Хигмэна или теорем о неподвижных точках элементов в представлениях простых алгебраических групп. Если исключить некоторые частные случаи групп над полями характеристики 2 или 3, то серии групп лиева типа, для которых проблема 1 была решена к началу настоящего исследования, исчерпываются группами Ри и Сузуки [66,78,138], группами типа G2 [24], группами типа Е8 [44], унитарными группами размерности три [33] и линейными группами размерности, не равной четырем [34]. Для остальных серий групп проблема 1 была записана в [55] как вопросы 17.73 и 17.74.
В общем случае из распознаваемости группы L среди своих накрытий не следует, что h(L) конечно. Примером такой группы является группа PSL2(9), изоспектральная накрытию группы Р5L2(4) [65]. Это пример демонстрирует важность следующей проблемы.
Проблема 2. Может ли среди неабелевых композиционных факторов группы, изо-спектральной данной простой группе лиева типа, быть фактор, не изоморфный этой простой группе?
Неабелева простая группа S называется квазираспознаваемой по спектру, если у любой конечной группы, изоспектральной S, ровно один неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Согласно [12,13] если L - простая группа лиева типа, отличная от PSLs(3), PSU;i(3), PSpii3), то любая группа, изоспектральная L, имеет ровно один неабелев композиционный фактор, поэтому по сути решение проблемы 2 — это решение вопроса о квазираспознаваемости группы L.
Пусть L — простая группа лиева и пусть изоспектральная ей группа имеет неабелев композиционный фактор S. Если у L несвязный граф простых чисел, то по вышеупомянутой теореме Грюнберга-Кегеля у S тоже несвязный граф простых чисел, причем параметры групп L и S связаны некоторой системой уравнений, и эти уравнения существенно облегчают решение проблемы 2. К настоящему моменту проблема 2 решена для всех групп лиева типа с несвязным графом простых чисел, кроме некоторых серий линейных и унитарных групп и групп PSp8(q), П9(д) (см. [30,38-40,102-104] и обзор результатов в [43]). Отметим, что все исключительные группы, кроме групп типа Е7, имеют несвязный граф простых чисел. Кроме того, недавно была анонсирована квазираспознаваемость группы E7(q) [146]. Таким образом, можно считать, что группа лиева типа в проблеме 2 - это классическая группа. Классические группы, как правило имеют связный граф простых чисел, и никакого общего подхода для решения проблемы 2 для них нет. Первый пример неограниченной как по размерности, так и по порядку поля серии квазираспознаваемых классических групп со связными графами простых чисел был указан в 2005 г. автором диссертации совместно с А.В. Васильевым [18].
Проблему 2 естественно разделить на несколько отдельных проблем в зависимости от того, является ли фактор S спорадической, знакопеременной или группой лиева типа. В последнем случае также имеет смысл провести границу между группами в характеристике, отличной от характеристики определения группы L, и группами в той же характеристике. При этом группы в той же характеристике представляют особый интерес, поскольку именно так устроена единственная известная бесконечная серия неквазираспознаваемых групп: для каждой из групп PSp q), где q не является нечетной степенью числа 3, существует изоспектральная ей группа с композиционным фактором PSL2(q2) [50].
Полупростые элементы классических групп
Данная глава посвящена изучению вопроса о том, может ли группа, изоспектральная простой классической группе L над полем характеристики p, содержать в качестве композиционного фактора группу, тоже являющуюся группой лиева типа в характеристике p, но не изоморфную L.
Теорема 2. Пусть q — степень простого числа p и L — одна из простых классических групп Ln(q), где n А 4, Un(q), где n А 4, причем L отлична от группы U4(2). Пусть G - конечная группа такая, что UJ(G) = u(L). Предположим, что среди неабеле-вых композиционных факторов группы, G есть фактор S, изоморфный группе лиева типа над полем характеристики p. Тогда S L.
Теорема 3. Пусть q — степень простого числа p и L — одна из простых классических групп S2n(q), где n А 2, O2n+1(q), где n А 3, и O±n(q), где n А 4, причем L отлична от группы (3). Пусть G — конечная группа такая, что u(G) = u(L). Предположим, что среди неабелевых композиционных факторов группы G есть фактор S, изоморфный группе лиева типа над полем характеристики p, и S L. Тогда выполнено одно из следующих утверждений: Отметим, что условие L = [Лі(2) в теореме 2 является существенным, поскольку в [49] построена группа с композиционным фактором Alt5 L2(4), изоспектральная группе [Лі(2). Вопрос о реализуемости случаев в теореме 3 освещен в 3.4.
Результаты главы опубликованы в [20, 5] и [23, 5]. Лемма 3.1.1. Пусть L — простая классическая группа над полем характеристики p, отличная от L2(q), L3(q) и U3(q), S — простая группа лиева типа над полем характеристики p, G - конечная группа такая, что u(G) = u(L) и S фG = G/K ф Aut S, где K - разрешимый радикал группы G. Предположим, что S L2(p). Тогда любое число г из 7r(L) \ {р}, несмежное с р в GK(L), взаимно просто с 3\K\-\G/S\; в частности, t(p,S)Xt(p,L).
Пусть г Є 7г(Х). Покажем, что гр Є w(G). Пусть R - силовская r-подгруппа группы К и N = NG(R). Тогда в силу аргумента Фраттини N/(N П X) G/X S, поэтому без ограничения общности можно считать, что R нормальна в 6? и силовская p-подгруппа Р группы G действует на ней сопряжением. Поскольку р іг(К) U TT(G/S), группа Р изоморфна силовской p-подгруппе группы S. По условию S отлична от L2(p), поэтому ее силовская p-подгруппа содержит элементарную абелеву подгруппу порядка p2 (см., например, [89, таблица 3.3.1]). Таким образом, элементарная абелева группа Р1 порядка p2 действует на R. По теореме Бернсайда о дополнениях Фробениуса [108, Satz 8.15], в Р1 есть нетривиальный элемент, централизующий нетривиальный элемент группы R. Следовательно, G содержит элемент порядка рг; противоречие.
Множества е(р, L) для всех групп лиева типа несложно находятся по таблице 2. Лемма 3.1.2. Пусть G - конечная группа, К - нормальная разрешимая подгруппа в G и S G = G/K AutS для неабелевои простой группы S. Пусть в n(S) \ -к(К) есть числа t и s такие, что их окрестности в GK(G) не пересекаются. Если г Є п{К) не смежно ни с t, ни с s в GK{G), а в S есть подгруппа Фробениуса с циклическим дополнением С и ядром F таким, что (F\,r) = 1, то г\С\ Є u(G).
Предположим, что К = R. Тогда найдется простое число и такое, что группа U = Ou(K/R) нетривиальна. Так как Ог (К) = 1, то U П RCR(R)/R = 1. По условию хотя бы одно из чисел t и s несмежно сив GK(G). Обозначим это число через v. Пусть х — элемент группы G/R порядка v. Тогда Я = U X (х) - подгруппа Фробениуса в G/R. Прообраз Н в G удовлетворяет условиям леммы 2.1.3, поэтому в G существует элемент порядка ГУ] противоречие.
Таким образом, К = R. Группа S, рассматриваемая как подгруппа в G/K, пересека ется с KCQ(K)/K ПО единице, так как иначе она в силу своей простоты содержалась бы в КСё(К)/К, и следовательно, в G был бы элемент порядка tr. Применяя лемму 2.1.3, получаем, что г\С\ Є u{G). Отметим, что по лемме 1.3.5 в графе простых чисел простой группы лиева типа всегда найдутся две вершины с непересекающимися окрестностями, и из доказательства леммы можно извлечь вид этих вершин для всех классических групп досточно большой размерности.
Следующая лемма использует критерии смежности в графых простых чисел сим-плектических и ортогональных групп из [14], и нам потребуется следующая функция на множестве натуральных чисел:
В этом параграфе мы докажем теорему 2. Пусть L = Ln(q), где n X 4, {+, -} и q = ра, и L = U4(2). Пусть G - конечная группа такая, что w(G) = UJ{L). В силу леммы 1.3.4 для G выполнено заключение леммы 1.3.3. Значит, если К — разрешимый радикал группы G и G = G/K, то S G Aut S для простой неабелевой группы S. Предположим, что S — группа лиева типа над полем порядка р?. Для доказательства теоремы 2 необходимо показать, что S L.
Группы L4(2a), где а 1, f/4(2a), где а 2, Lra(2) и С/6(2) распознаваемы по спектру [37,54,143], поэтому их можно не рассматривать. Мы отдельно рассмотрим еще несколько небольших групп, чтобы в дальнейшем избежать исключительного случая теоремы Жигмонди.
Унисингулярные элементы групп лиева типа
Напомним, что простая неабелева группа L называется квазираспознаваемой, если любая изоспектральная ей группа имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L.
Предложение 4.2.1. Все группы Len(q), где q = 2k,nX5, кроме U5(2), квазираспо-знаваемы, по спектру. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L = Ln(q), где q = 2k, п 5, и L = иъ{2). Пусть G -конечная группа такая, что w(G) = UJ{L). По лемме 1.3.4 найдется неабелева простая группа S такая, что S G = G/K AutS, где К — разрешимый радикал группы G. Наша цель — доказать, что S L. По теореме 2 если S — группа лиева типа над полем характеристики 2, то S L, поэтому можно считать, что S — знакопеременная, спорадическая или группа лиева типа над полем нечетного порядка.
Поскольку группы Ln(2) и U6(2) распознаваемы, можно считать, что L от них отличается. Как показано в [13], при этих ограничениях t(L) = [(n + 1)/2], t(2,L) = 3 и для любых s1 Є Rn(eq), s2 Є Rn-i(eq) множество {2,sbs2} - коклика в GK(L) (см. также таблицу 2). Также определены следующие числа гп и гп-\ rn = rnk(2) и rra_1 = r(ra_1)fc(2) при є = +
Поскольку гп Є Rn(eq), гп_г Є Rn-i(eq) в силу лемм 1.2.4 и 1.2.6, числа гп и гп_1 обладают следующими свойствами: они не смежны с 2, их окрестности в GK(L) не пересекаются в силу леммы 4.1.1 и каждое из них больше 5 в силу малой теоремы Ферма. Отметим, что rn_2(eq) также существует, и обозначим его через гп-2- Из леммы 4.1.1 следует, что {гга, гга_ь гга_2} - коклика в GK(L) и что 4гга_2 u(L). Также отметим, что гга_2 3. По лемме 1.3.3 группа S удовлетворяет условиям t{S) X t(L) -1 = [(n- 1)/2] и t(2, S) X 3 и {гп, гга_і, 2} - коклика в GK{S). Более того, числа из Rn(eq), Rn_ eq) не делят ни \К\, ни \G/S\ и, значит, kn(eq), kn-i(eq) u(S). 1. ПустП S - одна из апорадических групгр ТогдТ огS) )1 1 [14, таблица 1] и, значит, п 24. Как несложно проверить, используя [75], любое число, не смежное в GK(S) с 2, лежит в множестве р(2, S) из [13, таблица 2]. Таким образом, гп, гга_і Є р(2, S) и, следовательно, е(гга,2), е(гга_ь2) е (р(2,5),2) = {е(г,2) г Є р(2,5),г 5}. Так как е(гга,2) = пк, е(гга_і,2) = (га- 1)fc при = + и е(гга,2) = и(n)k, е(гга_ь2) = z/(ra - 1)fc при б- = — , в e (p(2,S),2) найдутся два числа, отношение которых равно (га — 1)/га или и(п-1)/и(п).
Рассматривая дроби вида (га - 1)/га и i/(ra - 1)/i/(ra) для всех 5 ф га ф 24 и множества е (р(2, 5 ), 2) для всех спорадических групп S , получаем, что дробь нужного вида найдется только в следующих случаях: S = J3 и L = [Л, (2); 5 = Swz и L = L6(4); S = 0 N,Th и L = C/10(2); 5 = Fi и L = L5(27). Поскольку t(J3) = 3 и і(ЕЛ (2)) = 5, 24 u(Suz)\u(L6(A)) и 11 w(Fi) \ w(L5(27)), остается рассмотреть случай 5 = F3,0 N и L = С/ю(2). В этом случае числа 19 = r9(-2), 17 = r8(-2) и 43 = r7(-2) образуют коклику в графе GX(L), значит, по п. 2 леммы 1.3.3 хотя бы одно из чисел 17 и 43 должно делить порядок группы S, но это не так.
Предположим, что S A/tra/, га 5. Поскольку тг() содержит гп и гга_ь и эти делители не смежны с 2 в GK(S), среди чисел га , га — 1, га — 2, га — 3 есть два нечетных простых числа, больших 5; в частности, га 13. Обозначим гга_2 через r. Напомним, что 4r не лежит в UJ{G). Значит, если г Є тг(S), то г га - 6, и среди чисел га , га - 1,... , га - 5 оказываются три различных простых числа, больших 3. Поскольку последнее невозможно, г 7г(). Таким образом, либо г Є тг(К), либо г Є vr(OutS). Поскольку OutS = 2, получаем, что г Є п(К). По лемме 2.1.8 в группе УШ6 - L2(9), а значит и в S, есть подгруппа Фробениуса с ядром порядка 9 и циклическим дополнением порядка 4. Применяя лемму 3.1.2 с числами гп и rra_1 в качестве вершин с непересекающимися окрестностями, получаем, что 4r Є 7r(G); противоречие.
Таким образом, S — группа лиева типа над полем нечетной характеристики. Согласно таблице 1 из условия t(2,S) А 3 следует, что S — одна из групп L2(u), где и 3, Ьеп,(u), где га 2 = (u - б) 2 2, групп 0 ,(u), где га 5, га нечетно иИ-Е4 (mod 8) или одна из исключительных групп, кроме групп ТИПОВ F4 и 3 4.
Поскольку п 5, в группе L есть элемент порядка 8. Покажем, что либо в S, либо в К есть элемент порядка 4. Предположим противное. Тогда в G/S должен быть элемент порядка 2. Группа Out S является прямым произведением группы Outdiag S порядка 2 и циклической группы порядка l. Если / было бы четным, то (u - 1)/2 делилось бы на 4 и 4 лежало бы в u(S). Следовательно, / нечетно и G содержит группу InndiagS, изоморфную PGL2(u). В группе PGL2(u) есть элемент порядка и + е, значит, одно из чисел гга и rra_1 смежно с 2 в GK(G); противоречие.
Как и в предыдущем пункте, выясним, какое из чисел \G/S\, \S\ и \К\ делит г = гп-2. Если г Є n{G/S), то в G есть полевой автоморфизм р порядка Г. Централизатор Cs( p) содержит L2(u1/r) в качестве секции, следовательно, vr Є CJ(G); противоречие с тем, что v равно гп или rra_1. Предположим, что г Є 7г(). Поскольку г не смежно с гп и гга_1 в GX(S), оно делит (u - е)/2. Если 4 w(S), то 4 делит (u - е)/2 и в G есть элемент порядка 4r, что невозможно. Если 4 w(S), то 2 7г(Х). По лемме 2.1.8 в 5 есть подгруппа Фробениуса В с ядром порядка и и циклическим дополнением порядка (и — 1)/2 . Применяя лемму 3.1.2, получаем, что и - 1 Є w(G). Таким образом, если є = 1, то 4r Є u(G), а если б = -1, то одно из чисел гп, тп-\ смежно с 2 в GK(G). В любом случае мы приходим к противоречию.
Наконец, предположим, что г Є ж {К). Отметим, что г = v. Опять применяя лемму 3.1.2 с группой Фробениуса В, получаем, что г {и - 1)/2 u(G). Если е = -1, то одно из чисел гпг, гп-\Г лежит в CJ(G); противоречие. Если (u — 1)/2 делится на 4, то 4r Є w(G); противоречие. Следовательно, и = 1 (mod 4) и в 5 нет элемента порядка 4. Значит, 4 w(X). Пусть Я - холлова {2, Г}-подгруппа группы К и N = NG(H). По аргументу Фраттини G = NK, поэтому ЛГ/(ЛГ ПК) G/X. Элемент группы N порядка гга действует на Н без неподвижных точек, следовательно, по теореме Томпсона группа Н нильпотентна. Значит, 4r лежит в л(Н); противоречие.
Квазираспознаваемость
Допустим, что г = ГІ делит IG/S l. Поскольку г 3, это означает, что G содержит полевой автоморфизм группы S порядка г. В централизаторе такого автоморфизма в группе S всегда есть элемент порядка v, значит, rv Є UJ(G); противоречие, так как rv = тгт3 и{Ь).
Предположим, что г делит порядок группы К. Пусть R — силовская r-подгруппа группы К. В силу аргумента Фраттини NG(R)/(NG(R) П К) ф G/K S, поэтому можно считать, что R нормальна в G. Положим G = G/R и К = K/R, тогда G/K S. По лемме 2.1.8 в группе S, а значит, и в группе G/K, есть подгруппа Фробениуса F с ядром порядка и и циклическим дополнением порядка г к. Обозначим через F полный прообраз подгруппы F в G. Поскольку число F = иг к взаимно просто с числом \К\, по теореме Шура-Цассенхауза группа F содержит подгруппу Фробениуса, изоморфную F. Ядро этой группы действует на R без неподвижных точек, так как rv g u(G). Следовательно, по лемме 2.1.3 имеем ггк Є UJ(G); противоречие.
III. Пусть L - одна из групп B4(q) nC4(q),q ,. Если Е нечетно, то по т16, оеорема ре единственный неабелев композиционный фактор любой конечной группы, изоспектраль-ной L, изоморфен либо L, либо 2D4(q), поэтому можно считать, что q 4 четно. Поскольку t(L) = 4, имеем t(S) 3, откуда следует, что S ф. B2(u). Кроме того, GK(L) несвязен и ({Ь) = {q4 + 1}. По теореме Грюнберга - Кегеля q4 + 1 G w(S) и К нильпотентна. Предположим, что S ф A1(u),Ає2(u). Тогда a(m) 2. Следовательно, n/a(m) 2 и vs(n,v)/a(m) v6(4 v)/2. РассматриваЯ) как и прежде, отдельно случай S ф. E8(u) и случай S Е$(u), выводим из (5.25) неравенство
Допустим, что г = п делит G/S. Поскольку г 3, это означает, что G содержит полевой автоморфизм группы S порядка г. В централизаторе такого автоморфизма в группе S всегда есть элемент порядка v, значит, rv Є UJ(G); противоречие, так как rv = rirj u(L). Значит, г делит порядок группы К. Поскольку К нильпотентна и GK(G) несвязен, можно считать, что К — элементарная абелева r-группа, на которой группа S действует так, что CS(K) = 1. В группе S есть подгруппа Фробениуса с ядром порядка и и циклическим дополнением порядка (u — 1)/2, следовательно, г (и — 1)/2 Є UJ(G); противоречие.
По лемме 5.4.6 либо q = 4, либо г; = 2 и g = 5, 7, 9. В действительности, первое из предыдущих неравенств не выполнено ни при q = 4, ни при (v, q) = (2, 9).
Пусть v = 2 и g = 5. Тогда (q2 + 1)/2 = 13 и vr(L) = {2, 3, 5,13}, следовательно, S -группа лиева типа над полем характеристики 2 и 13 Є ir(S) С {2, 3,5,13}. Как следует из [163, таблица 1], этим условиям удовлетворяют только группы 2F4(2) и 2A2(4). По предположению S ф- 2A2(u) и, как было отмечено в начале 5.3, группа S отлична от группы Титса.
Пусть v = 2 и q = 7. Тоода (q( + 1)/2 = 25 и vr(L) = {2,3,5,7}, следовательно, S — группа лиева типа над полем характеристики 2, ir(S) С {2,3,5,7} и 25 Є u(S). Из [163, таблица 1] вытекает, что первым двум условиям удовлетворяют только группы A2(4), A3(2), B3(2) и 4(2). Ни в одной из этих групп нет элемента порядка 25.
Пусть S A1(u). Тогда а равно одному из чисел г;, (u - 1)/(2, u - 1), (u+ 1)/(2, u - 1). Поскольку в группе S существует группа Фробениуса с ядром порядка и и дополнением порядка (и — 1)/(2,и — 1)ир делит порядок группы К, по лемме 2.1.3 в G есть элемент порядкар(u-1)/(2, u-l).ВL элементов порядкара нет, поэтому а не равно (u-1)/(2, и-1). Предположим, что а = v. Поскольку (a, L/a) = 1, имеем и = v = a, в частности, г; = 2. Как показано в предыдущем абзаце, число \S\ja должно делить число (q2 - 1)2. Но число (u + 1)/2 = (q2 + 3)/4 взаимно просто с числом q2 - 1, так как (q2 - 1,q2 + 3) = 4; противоречие. Если (q2 + 1)/2 = (u + 1)/2, то г; = р; противоречие. Если (q2 + 1)/2 = и + 1, то и = 2е и q2 = 2e+1 +1, что невозможно, так как q 3. Таким образом, случай L = C2(q) полностью рассмотрен.
Пусть S A1(u). Поскольку (м-1)/(2, м-1) является дополнением подгруппы Фробениуса, лежащей в S, ир Є 7г(Х), любой делитель числа [и-\)/(2, и-1) смежен ср в GX(G). Поэтому k3(q) и fc6(q) взаимно просты с м-1, а значит, одно из них делит u. Следовательно,
силовская v-подгруппа группы S должна быть циклической. Поэтому и = v. В частности, v 3. Поскольку r4(q) не смежно с r3(q) и r6(q), число k4(q) делит (г; - 1)/2. В частности, отсюда вытекает, что холлова 7г(/с4(д))-подгруппа группы S, а значит, и группы L, является циклической. Следовательно, L не может быть группой D4(q). Поэтому L = B3(q) или L = C3(q). Тот факт, что р делит К, влечет в силу леммы 5.3.3 равенство \К\Р = q6, а значит, \S\P q. Поскольку р не смежно с r3(q) и r6(q), то q делит (г; - 1)/2. Значит, q(q2 + 1)/(2,q-l) делит (г;-1)/2. Откуда, q(q2+1) г;-К г; max{fc3(q), fc6(q)} q2+q+1, что невозможно. Таким образом, S ф Aх{u).
Поскольку S ф A1(u), силовская v-подгруппа группы S не может быть циклической, а значит, не может быть циклической и силовская v-подгруппа группы G. Поэтому v не делит k3(q)k6(q). Предположим, что v делит k4(q). Тогда L должна быть равна D4(q). Кроме того, (6,k4(q)) = 1, а значит, v 5. Положим г;7 = (k4(q))v. Поскольку (h(q),\K\-\G/S\) = 1, выполняется \S\v = \L\V = (k4(q)2)v = v2y, т.е. порядок силовской v-подгруппы равен квадрату v-периода группы S. Перебором вариантов в соответствии с п. 3 предложения 5.4.7 несложно проверить, что это невозможно. Таким образом, v не делит k4(q) и в случае, когда L = D4(q). Следовательно, v делит q2-1.
В диссертации решены следующие проблемы, возникшие в контексте изучения групп, изоспектральных простым группам:
1) доказано, что все неабелевы простые группы, кроме нескольких групп лиева типа ранга не выше трех, распознаваемы по спектру среди своих накрытий (теорема 1);
2) доказано, что конечная группа, изоспектральная простой линейной или унитарной группе L размерности не менее пяти, не может иметь в качестве композиционного фактора группу лиева типа над полем той же характеристики, что и L, но при этом не изоморфную L (теорема 2);
3) показано, что если конечная группа G изоспектральна простой симплектической или ортогональной группе L размерности не менее девяти, то для неабелевого композиционного фактора группы G, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L, существует не более двух возможностей (теорема 3);
4) полностью решена проблема распознаваемости по спектру для всех простых линейных и унитарных групп над полями характеристики 2 (теорема 4; совместно с А.В. Васильевым и В. Ши);
5) доказана справедливость гипотезы В. Ши о том, что любая конечная простая группа однозначно определяется своими спектром и порядком среди всех конечных групп (теорема 5; совместно с А.В. Васильевым и В.Д. Мазуровым).
Полученные результаты вносят существенный вклад в обоснование гипотезы, известной как гипотеза В.Д. Мазурова, о том, что «почти все простые группы почти распознаваемы по спектру». Точная формулировка этой гипотезы, возникшая около 2005 г., звучит следующим образом: для любой конечной неабе левой простой группы L, за исключением конечного числа спорадических, знакопеременных и исключительных групп и за исключением некоторого числа серий классических групп небольших размерностей, и любой конечной группы G, изоспектральной L, выполнено L ф G ф AutL, и в частности число различных групп, изоспектральных L, конечно. Будем для краткости говорить, что неабе-лева простая группа L почти распознаваема по спектру, если она обладает свойством из гипотезы Мазурова, т. е. любая группа, изоспектральная L, является почти простой группой с цоколем L. Отметим, что неабелева простая группа L почти распознаваема тогда и только тогда, когда она квазираспознаваема и распознаваема среди своих накрытий.
Все спорадические группы, кроме J2, и все знакопеременные группы АЫn, где n 5 и n = 6,10, распознаваемы по спектру [25,116,122, 132, 133, 135,137,141, 143]. Из теоремы 1 диссертации и предшествующих результатов об исключительных группах лиева типа [2-4,24,44,66,78,138,146] вытекает, что все исключительные группы лиева типа, кроме 3L 4(2), почти распознаваемы. Теоремы 1, 2, 3 и [20, теоремы 1,2], [23, теоремы 1,2] сводят доказательство почти распознаваемости классических групп к изучению вопроса о том, может ли спектр простой классической группы над полем характеристики р совпасть со спектром группы, имеющей в качестве композиционного фактора группу лиева типа над полем характеристики, не равной р. Решение последнего вопроса было недавно получено А.В. Васильевым [155]. Таким образом, гипотезу Мазурова можно считать доказанной.
Напомним, что решение проблемы распознаваемости по спектру для группы L подразумевает описание групп, изоспектральных L, поэтому в общем случае это решение не следует из почти распознаваемости (можно сравнить гипотезу Мазурова и список групп с решенной проблемой распознаваемости из 1.4). Теорема 4 дает первый пример полного решения проблемы распознаваемости для всех классических групп данного типа в данной характеристике, без ограничений на размерность или порядок поля определения. Методы доказательства этой теоремы могут быть использованы и для других групп лиева типа в произвольной характеристике.
