Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции Левчук Денис Владимирович

Основная теорема и вспомогательные результаты

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]— [26], включая публикацию из перечня ВАК.

Результаты диссертации были представлены на международных алгебраических конференциях в Санкт-Петербурге (2007), Красноярске (2007), Москве (2008), на V конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2008), на Красноярском алгебраическом семинаре.

Автор благодарен своему научному руководителю Я.Н. Нужину за помощь при постановке задач и в подготовке работ. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией. Работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 06-01-00824а. В этой главе доказывается, что проективная специальная линейная группа PSLn(Z + iZ) над кольцом Гауссовых чисел Z + iZ при п 7 порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Порождающие тройки инволюций указываются явно. В параграфе 1.1 формулируется основной вопрос и приводится основная теорема 1.1 главы, устанавливаются вспомогательные результаты о порождающих множествах группы PSLn(R) над произвольным Евклидовым кольцом R, которые имеют и самостоятельный интерес. В параграфе 1.2 указываются тройки инволюций, две из которых перестановочны, а в следующих двух параграфах устанавливается, что они порождают группу PSLn(Z + iZ) при п 7. Далее всюду Z — кольцо целых чисел, Z + iZ — кольцо (целых) Гауссовых чисел, где г2 = — 1. Основной в этой главе является Теорема 1.1. При п 7 проективная специальная линейная группа PSLn(Z + iZ) над кольцом Гауссовых чисел Z + iZ порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, а при п — 2,3 не порождается такими тремя инволюциями. Из работ Я.Н. Нужина [6] следует, что группы PSb ) и PSLs(9) не являются (2x2,2)-порожденными и поэтому, в силу существования гомоморфизма PSLn(Z -f- iZ) на PSLn(9), группа PSLn(Z + iZ) не является (2 х 2,2)-порожденной при п = 2, 3. При п нечетном специальная линейная группа SLn{Z) над Z совпадает с PSLn(Z). При четном п центр группы SLn(Z) составляют матрицы ztEn, где Еп — единичная п х n-матрица. Порядок центра группы PSLn(Z + iZ) равен 1, 2 или 4, в зависимости от п. Кольца Z и Z+iZ являются евклидовыми. Пусть R — произвольное евклидово кольцо. Как обычно, через tij(k), к Є R, гф j, будем обозначать трансвекции Еп-\-кец, а е.ц — матричные единицы. Множество tij(R) = {Uj(k), к Є R} является подгруппой специальной линейной группы SLn(R) над кольцом R, i,j = 1, 2,..., п, причем

Доказательство основной теоремы для случая п > 7

В 1936 году Ф. Холл в статье [13] определил для произвольной группы G число ipn(G), как число всех n-баз группы G, то есть упорядоченных порождающих наборов из п ее элементов. Функция ifn в [13] названа n-той функцией Эйлера. Для циклической группы G конечного порядка б? имеем fi{G) — /?(G), где у? есть обычная арифметическая функция Эйлера.

Согласно определению, pn{G) О тогда и только тогда, когда G есть n-порожденная группа. Сейчас уже известно, что любая конечная простая группа G порождается двумя элементами; для нее P2(G) 0.

Другой инвариант Ф. Холла наиболее естественно определяется для конечной простой неабелевой группы G; это наибольшее число d = dn{G) такое, что прямое произведение d групп, изоморфных G, есть г-порожденная группа [13, 1.6]. Вопрос, заключающийся в вычислении для п = 2 этого инварианта, записал С.А. Сыскин в Коуровской тетради:

Для каждой известной простой конечной группы G найти максимальное число d такое, что прямое произведение d экземпляров группы G порождается двумя элементами [2, вопрос 12.86]. Ф. Холл заметил, что группа автоморфизмов Aut G произвольной группы G действует как регулярная группа подстановок на множестве всех ее 7г-баз и установил тесную связь введенных инвариантов [13, 1.3]: Группы автоморфизмов конечных простых групп и их порядки к настоящему времени известны. Таким образом, вопрос 12.86 о нахождении инварианта c G) равносилен вопросу о нахождении значения 2-й функции Эйлера (G) на группах. Ф. Холл [13] вычислил инвариант ip2{G) явно для некоторых групп подстановок небольших степеней и для групп PSL2 над полем простого порядка. Н. М. Сучков и Д. М. Приходько [9] решили вопрос С.А. Сыскина для групп Сузуки и групп PSL2(q) над полем четного порядка q. Для некоторых групп PSL,2(q) с нечетным q вопрос исследовался в [7]. См. также [4] и [14]. Отметим, что Ф. Холл [13] использует для перечислений также обобщенные функции Мебиуса. Выберем произвольную конечную систему S подмножеств данного множества G так, что G принадлежит S. Функция Мебиуса /is определяется уравнениями /] /is(A ) — 0 для всех Н G, Н Є S, к н где суммирование ведется по всем К є S, содержащим Н. Для любой функции / на S через / определяют функцию д{Н), полагая суммирование ведется по всем К Є 5, которые содержатся в Н. Ф. Холл [13, 2] доказал следующее равенство, устанавливающее принцип перечисления, Вопрос С.А. Сыскина в диссертации изучается для групп лиева типа ранга 1. В исследовавшихся в [13] и [9] простых группах каждая неразрешимая подгруппа имеет единичный разрешимый радикал. По определению, разрешимый радикал произвольной группы есть ее наибольшая разрешимая нормальная подгруппа. Множество всех пар элементов группы G, лежащих в какой-либо подгруппе с неединичным разрешимым радикалом, далее обозначаем через W(G) или, кратко, W. В диссертации инварианты p-2,{G) и d-2(G) исследуются, в первую очередь, для простых групп Ри; они обладают неразрешимой подгруппой М с неединичным разрешимым радикалом. В 2.3 доказывается следующее рекуррентное соотношение. Заметим, что для групп G(q) = SL2{q) с четным q и групп Сузу-ки равенство также выполняется, если в его правой части опустить последнее слагаемое. Число \W\ из теоремы 2.2 исследуется в параграфе 2.4. Нам потребуются подгрупповые свойства групп лиева типа ранга 1, то есть типа А\, 2А2, 2В2 или 2G2. Простая группа G(q) лиева типа ранга 1 определяется над конечным полем порядка 3. Соответственно ее типу G = А\, 2В2, 2G2 или 2А2 она является одной из следующих групп: PSL2(q), Sz(q), q = 22"+1 (группа Сузуки), Re(q), q = 32n+1 (группа Ри) и PSUz(q2) (унитарный случай). В стандартном линейном представлении группы G(q) ее порождают антидиагональная инволюция т с коэффициентами из простого подполя GF(p) С GF(q) и силовская р-подгруппа U - нижняя (или верхняя) унитреугольная подгруппа в G(q). Основными являются также диагональная подгруппа Н, подгруппа Бореля В — U X Н -нормализатор подгруппы U и мономиальная подгруппа N = Н\(т) (это диэдральная группа, исключая унитарный случай).

Подгруппы групп лиева типа ранга 1 и представление групп Ри

Группа Re(3) Aut 51 (8)) является единственной непростой группой Ри. Ее коммутант Ле(3) , изоморфный 51/2(8), есть подгруппа индекса 3. В группе 6X2(8) вес собственные подгруппы разрешимы по лемме 2.4. Следовательно, всякая собственная неразрешимая подгруппа группы Яе(3) сопряжена с коммутантом Яе(3) . Остальные собственные подгруппы сопряжены с расширением разрешимой подгруппы из Яе(3) с помощью группы порядка 1 или 3 и поэтому разрешимы. Лемма доказана.

Лемма 2.6. Если G(q) есть группа PSL2(q) с четным q, группа Сузуки Sz(q) или группа Ри Re(q), то все ее подгруппы G(m) самонормализуемы. В общем случае \N[G(m)] : G(m)\ = 1 или d. Доказательство. Известно, что индекс \N[G(m)] : G{m)\ для любого подполя GF(m) С GF(q) есть делитель числа d, определенного в (2.5), в частности, d = 1,2 или 3. Если индекс 1, то он равен d и нормализатор N[G(m)] подгруппы G(m) изоморфен расширенной группе Шевалле G(m). Согласно [12, 8.4], к расширенной группе Шевалле G(q) приво-дит расширенная диагональная подгруппа Н, причем G(q) = G{q)H = В(т)В, B = U\H. В случаях G(q) = PSL2{q) и G(q) = PSU3(q) имеем, соответствен-но, G{q) PGL2(q) и G(q) PU-s{q). Кроме того, \G(q)/G(q)\ = \Н/Н\ = d. Формула (2.5) завершает доказательство леммы. Через W или W[(7(g)] обозначим, как и в 2.1, множество всех пар элементов группы G(q), лежащих в какой-либо ее подгруппе с неединичным разрешимым радикалом. Пусть G(q) — Re{q). Все пары (х,у) Є (G(q),G(q)), порождающие группу G(q), мы получим, отбрасывая из (G(q), G(q)) все пары из W и все пары, порождающие какую-либо из \G(q) : G(m)\ сопряженных с G(m) подгрупп для собственных подполей GF(m) С GF(q) или \G(q) : (7(3) сопряженных с G( S) подгрупп. Таким образом, приходим к формуле Согласно [9, Теорема 1], для любого простого числа к имеем При к = 3 это дает G 71. Поэтому предыдущее рекуррентное соотношение переписывается следующим образом: 4 2{G{q)) = \G{q)\2-\W\ Теорема 2.2 сводит построение функций f2(G(q)) и d-2.{G{q)) в случае групп Ри к вычислению чисел W. В этом параграфе устанавливаются вспомогательные утверждения, с целью вычисления \W\ и, следовательно, инвариантов y 2{G{q)) и d,2{G(q)). Лемма 2.7. Всякий элемент группы G(q) Ф PSU {q) сопряжен некоторому элементу подгруппы U, Н или Д-, а подгруппы Н и А{ содержат централизаторы своих элементов порядка 2. Лемма 2.8. Пусть М есть одна из подгрупп А{ (i = 0,1, 2,3) в простой группе Ри Re{q). Тогда нормализатор N{M) подгруппы М в Re(q) содержит нормализатор любой ее неединичной подгруппы. Кроме того, сопряженность в Be(q) элементов из М равносильна их сопряженности в нормализаторе N(M). Доказательство. [17], [3, стр 31, п.8], [12, Предложение 8.4.5]. Лемма 2.9. В группе Ри 2-подгруппы равных порядков сопряжены, а силовская 2-подгруппа есть самоцентрализуемая элементарная абелева подгруппа порядка 8 и индекса 21 в нормализаторе. Подгруппы АІ есть самоцентрализуемые циклические холловы подгруппы нечетных порядков, содержащие централизаторы своих неединичных элементов. Подгруппа N(AQ) является диэдральной. Перечислим классы сопряженных инволюций диэдральной конечной группы. Лемма 2,10. Конечная диэдралъная группа, D имеет три класса или один класс сопряженных инволюций, если ее порядок \D\ делится или, соответственно, не делится на 4 Доказательство. Диэдральная группа D порождается двумя инволюциями, скажем т и о. Если с — та, то Для любого целого числа к имеем тскт = с к и поэтому Заметим, что подгруппы с и с2 совпадают тогда и только тогда, когда с есть элемент конечного нечетного порядка; в этом (и только в этом) случае классы rD и {rc)D совпадают и других инволюций в D нет. Когда с — элемент конечного четного порядка 2т, центральная инволюция образует отдельный класс сопряженных инволюций. Лемма доказана. Как обычно, CG{S) И NQ(S) обозначают, соответственно, централизатор и нормализатор подмножества S в группе G. Лемма 2.11. Допустим, что элементы подгруппы S группы G, сопряженные в G с элементом а Є S, сопряжены с ним и в нормализаторе NG{S). Тогда число подгрупп, сопряженных S о G и содержащих а, равно индексу \CG{C ) : Nc(S) П Сс(а). Доказательство. Если а Є x lSx при х Є G, то хах 1 Є S. По условию леммы это означает, что 7 1(rCQ:a 1)7 = а ПРИ некотором 7 Є NG(S). Следовательно, у гх Є Сс(а) — Н, так что х Є NG{S)H. Таким образом, сопряженная с S подгруппа в G содержит а тогда и только тогда, когда она сопряжена с S посредством элемента из централизатора Сс{сх) — Н. В силу [10, теорема 1.6.1], число таких подгрупп равно \Н : Nc{S) П Н\. Лемма доказана. Далее через Wt обозначаем совокупность всех пар (ж, у) из W с первым элементом порядка t. Через ТУ(_) (аналогично, W(+)) обозначим множество пар {х,у) Є W, х- 2, для которых подгруппа (х,у) сопряжением переводится в В или N (соответственно, нормализует циклическую подгруппу порядка, делящего число 1 4- \U\ и не делящего \Н\).

Основное рекуррентное соотношение для групп Ри

Доказательство. Выберем произвольный элемент а из G, не являющийся {2, 3}-элементом. Его порядок \а\ имеет простой делитель 3 и не является взаимно простым с числом \Аг\ при единственном г = 0,1,2 или 3, поскольку І оІ ИіІ ИгІ ИзІ — \G\/(Sq3). Так как силовские подгруппы равных порядков сопряжены, должны иметь (а) П АІ ф 1, с точностью до сопряжения элемента а. Следовательно, Через Oj обозначим множество упорядоченных пар элементов группы G — Re(q), порождающих подгруппу, изоморфную Re(3k), k\m, или Яе(3) , и у которых порядок 1-го элемента а не взаимно прост с Д. Для нахождения чисел і7г перечислим подгруппы, содержащие а и сопряженные с одной из максимальных подгрупп (2.9).

При а є Aj, j = 2 или 3, подгруппа АГ (А,) оказывается единственной из подгрупп, содержащих а и сопряженных с одной из подгрупп В частности, число всех пар (а, (3) элементов из N(Aj) равно, таким образом, iV(Aj) (\Aj\ — 1). Умножая на индекс нормализатора, находим число нар во всех сопрялсениых с N(A 2) или А (Лз) подгруппах: Если a Є А; и a Є C(rj) П C(r])x при x Є G, то г = 0 или 1 и,,по доказанному, х Є C(r])N(Ai). Пусть г = 1. Тогда С(т;)х = Г2іС(г))№ = 0( ), j = 0,1,2; действительно, (7(77) П і\Г(Лі) = С((г),т)), и следовательно, C(r/)7V(Ai) = C(T])(t2}. Таким образом, здесь С{г))х = С{т}), С{т) или С{г)т). Для четверной подгруппы Т = (г),т) подгруппу А] и элемент t порядка 6 можно выбрать в C{rf) так, что

При таком выборе подгруппы N(Ai), C{rj), С(т), С(г)т) и только они содержат а и сопряжены с одной из подгрупп (2.9). Кроме того, попарные пересечения подгрупп N(Ai), С(г]), С {г), С{г]т) совпадает с С{Т). Отсюда

Элемент t порядка 6, участвующий в построении нормализаторов N(Ai), і = 1,2,3, с точностью до сопряжения N(Af) можно выбрать так, что t3 = 77, t2 Є В П L(3). Если элемент tk = t, t2 или t3 лежит в N(Ai)x, х Є G, то xtkx l Є N{Ai) как перестановочные силовские подгруппы при & = 2,3, и, как следствие, при к = 1. Поэтому х Є N{Ai)NG{{tk}) и Л Д) є Л Д) ». Очевидно, 7У(Д) nNG((tk)) = Й(=5П(М х L(3))). JVGfa) = (77), WG« 2)) = ад /?(1))) = tf Xfo), iVG((i)) = iVc(7/)((t2» = (LTnJ5) x (ту) = (UnL(q)) x (77). Поэтому число сопряженных с N(Ai) (г = 2,3) подгрупп, содержащих (), равно ([/ П L(g)) х (77)1/6 = 2g/6 = q/3, содержащих 77, равно \N(Ai)c \ = С(т7)/6 = (g2 - 1)д/6 и, наконец, содержащих t27 равно [/ X (77) = 2g2/6 = д2/3. Кроме того, (д2 — 1)д/6 подгрупп, сопряженных с ІУ(Д) и содержащих 77 разбивается на m — (g2 — 1)/2 = \C{rj) : 7(/7)(( 2)) I подмно 46 жеств Tj1,Tj2,--- ,Tj /3 по g/З подгруппы, попарно пересекающихся по циклической подгруппе (tj) порядка 6, = г\. Предположим N(Ai)x П N(Ai)y содержит циклическую подгруппу 6-го порядка при х, у Є С(т]). Тогда существуют a, b Є Аг такие, что (t)ax = (fyby и, не теряя общности, можем считать, что х = 1. Поэтому N{Af) П N{Ai)y Э (rj,ta). Если г/ (ta), то порядок подгруппы (г], ta) больше 6, так что пересечение Аг П Ау должно быть неединичным и, поскольку его нормализатор содержит (А[,АУ), то N(Ai)y = iV(A;). Поэтому ту Є {ta} и rj = t3 = {t3)a = тД т.е. а Є АІП С(г]) = 1 и аналогично 6 = 1, у Є ІУ з (()). Отсюда вытекает, что T3k П Тщ, = (77) при v ф j.

Включение N(Ao) С C{rj) для і = 0 дает равенство С(?7) = С{г))х. Поэтому подгруппы С (77), JB, 5Г и только они содержат а и сопряжены с одной из подгрупп (2.9), согласно теореме 2 [3].

Похожие диссертации на Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции

Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1Ушаков, Юрий Юрьевич

Расположение подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций, содержащих квадратичный торДзигоева Валентина Созрыкоевна

Группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп и алгебраические схемы построения односторонних функцийЕрофеев, Степан Юрьевич

Усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера свободных абелевых и близких к ним группКукина Екатерина Георгиевна

Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типаГречкосеева Мария Александровна

Сопряженная плотность и факторизуемость подгрупп групп лиева типаЗюбин Сергей Александрович

Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типаГазданова Марина Алтеговна

Арифметические свойства конечных групп лиева типаГречкосеева Мария Александровна

Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типаСулейманова, Галина Сафиуллановна

Парные силовские пересечения групп лиева типаВойтенко Татьяна Юрьевна