Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные определения и предварительные результаты 13
1.1. Конечные группы лиева типа 13
1.2. Арифметические свойства классических групп лиева типа . 17
1.3. Распознавание по спектру 21
Глава 2. Бесконечные серии распознаваемых ортогональных групп 30
2.1. Свойства ортогональных групп 31
2.2. Доказательство теоремы 2.2 36
2.3. Доказательство теоремы 2.1 41
2.4. Доказательство теоремы 2.3 42
Глава 3. Бесконечные серии распознаваемых линейных групп 45
3.1. Свойства спектров линейных групп 46
3.2. Доказательство теоремы 3.1. Квазираспознаваемость 46
3.3. Завершение доказательства теоремы 3.1 50
3.4. Доказательство теоремы 3.2 52
3.5. Доказательство теоремы 3.3 56
Глава 4. Минимальные подстановочные представления 60
4.1. Обозначения и предварительные результаты 61
4.2. Линейные группы 68
4.3. Симплектические группы 70
4.4. Ортогональные группы типа Вп 72
4.5. Ортогональные группы типа Dn 75
4.6. Ортогональные группы типа 2Dn 78
4.7. Унитарные группы 80
Литература 84
- Арифметические свойства классических групп лиева типа
- Доказательство теоремы 2.2
- Завершение доказательства теоремы
- Ортогональные группы типа Вп
Введение к работе
В теории конечных групп большое значение играют так называемые арифметические свойства группы, т. е. свойства, представимые числовыми характеристиками. К ним относятся порядок группы и порядки ее элементов, порядки и индексы различных подгрупп, степени подстановочных и размерности матричных представлений и т. п. В терминах арифметических свойств можно получить содержательное описание группы, а в некоторых случаях и полностью (с точностью до изоморфизма) охарактеризовать ее в классе всех конечных групп. Особенно важным описание в терминах арифметических свойств становится в случае, когда мы имеем дело с неразрешимой группой, среди композиционных факторов которой имеется неабелева простая группа. Согласно классификационной теореме все неабелевы простые группы, помимо спорадических и знакопеременных, являются группами лиева типа. Диссертация посвящена изучению арифметических свойств конечных простых групп лиева типа. В ней рассматриваются две проблемы: вопрос о распознавании этих групп по спектру и задача описания их минимальных подстановочных представлений.
Спектром UJ(G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Группа G называется распознаваемой по спектру, если для любой конечной группы Я из равенства w(H) = w(G) следует изоморфизм Н G. Другими словами, если обозначить через h(G) число попарно неизоморфных групп с таким же спектром, что и G, то группа G распознаваема по спектру, если h(G) — 1. Для групп, которые не являются распознаваемыми, принята следующая терминология: группа G называется почти распознаваемой по спектру, если 1 h(G) со, и нераспознаваемой по спектру, если h(G) = со. Говорят, что для группы G проблема распознавания решена, если известно точное значение h(G).
Безусловно, вопрос о связи между спектром группы и ее строением изучался специалистами давно. Так, хорошо известно, что группа G с w(G) = {1,2} является элементарной абелевой 2-группой. В 1932 г. Леви и ван дер Варден [52] доказали, что группа G с w(G) = {1,3} нильпотентна и её ступень нильпотентности ограничена числом три. Нойман [66] описал группы G с w(G) = {1,2,3}. Санов [28] Введение и М. Холл [49] установили, что группы G, для которых u{G) С {1,2,3,4}, соответственно, u{G) С {1,2,3,6}, локально нильпотентны. Отметим, что все эти результаты получены без предположения о конечности группы G. Целый ряд результатов был получен и для конечных групп. Выделим среди них результаты Хигмана и Сузуки о конечных группах, спектр которых содержит только степени простых чисел (их называют ЕРРО-группами). В 1957 г. Хигман [50] показал, что порядок конечной разрешимой -ЕРРО-группы имеет не более двух простых делителей, а в 1962 г. Сузуки [89] описал все конечные простые РР0-группы. В середине 80-х годов, рассматривая общую проблему строения конечных ЕРРО-групп, китайский математик Ши Вуджи обнаружил (см. [69,72]), что знакопеременная группа Alts и простая линейная группа 1/2(7) однозначно характеризуются своим спектром в классе конечных групп. Именно Ши принадлежит постановка вопроса о распознаваемости конечных групп по спектру в том виде, в котором он сформулирован в диссертационной работе.
После того, как в [81] Ши показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, обязательно нераспознаваема (строгое доказательство этого утверждения содержится в [24]), стало понятно, что содержательной проблема распознаваемости является только для групп, представляющих из себя расширение прямого произведения М простых неабелевых групп с помощью некоторой подгруппы из Out(M). Из всего класса групп с подобным строением первоочередной интерес вызывают группы, для которых произведение М состоит из одного множителя, т. е. простые и почти простые группы. Именно этим группам посвящено подавляющее число работ по проблеме распознаваемости.
Список простых и почти простых групп, для которых вопрос о их распознаваемости решен, можно найти в обзоре Мазурова [26]. Мы приводим этот список, добавив в него результаты, полученные после выхода обзора (табл. 1-3 в §1.3). Как демонстрирует список, с каждым годом растет количество работ, посвященных этой проблеме, расширяется и география стран, в которых работают специалисты, интересующиеся вопросом распознаваемости; но, тем не менее, завершение исследований по проблеме распознаваемости, даже если ограничиться рассмотрением только конечных простых групп, представляется достаточно отдаленным. Хотелось бы, однако, отметить, что именно в настоящее время в данной области открываются совершенно новые перспективы, позволяющие надеяться на возможность полного решения. Для того чтобы пояснить, каковы эти перспективы, остановимся более подробно на сложившейся схеме проверки свойства распознаваемости простой группы.
Введение Пусть L — конечная неабелева простая группа. На первом этапе проверки для любой конечной группы G такой, что u(G) = OJ(L), требуется показать, что G обладает единственным неабелевым композиционным фактором и что этот фактор изоморфен L. Если этот этап пройден успешно, то группа L называется квазираспознаваемой по спектру. На практике доказательство квазираспознаваемости выполняется в два шага. Пусть ui{G) =CJ(L). Сначала доказывается, что факторгруппа группы G по ее разрешимому радикалу К, т.е. максимальной разрешимой нормальной подгруппе, является почти простой. Затем устанавливается, что неа-белев простой фактор S группы G/K изоморфен L.
Для формулировок результатов, служащих основными инструментами при доказательстве квазираспознаваемости, удобно воспользоваться понятием графа простых чисел группы G. Графом простых чисел или графом Грюнберга-Кегеля GK(G) группы G называется граф, множеством вершин которого служит множество простых делителей порядка группы Сив котором две вершины р и q смежны тогда и только тогда, когда pq Є CJ(G). Ясно, что граф простых чисел группы определяется ее спектром; в частности, группы с одинаковым спектром имеют одинаковые графы простых чисел. Обозначим число компонент связности графа GK{G) через s{G).
Первая серия результатов относится к конечным группам, граф простых чисел которых несвязен. Структурное описание таких групп было получено Грюнбергом и Кегелем (см. [91]). Список простых групп с несвязным графом простых чисел был найден Вильямсом и Кондратьевым [17,91] (см. табл. 4-6 в § 1.3). Грюнберг и Кегель установили, что конечная группа G с s(G) 1 либо является разрешимой группой специального вида, либо имеет единственный неабелев композиционный фактор S, причем s(S) s(G). Таким образом, если L — простая неабелева группа с s(L) 1 и u)(G) = из(Ь), то либо спектр группы L имеет специальный вид, либо фактор-группа группы G по ее разрешимому радикалу почти проста. Как следует из работы Алеевой [2], первый случай возможен только для L з(3), /з(3), (З). Следовательно, в случае, когда L отлична от 3(3), з(З) и 54(3), группа G имеет единственный неабелев композиционный фактор S, причем s(S) s(L); в частности, группа S содержится в списке, полученном Вильямсом и Кондратьевым. Используя эту информацию можно пытаться доказать, что S L.
К сожалению, как видно из табл. 4-6, несвязность графа простых чисел является среди конечных простых групп скорее исключением, чем правилом. Общего же подхода для доказательства квазираспознаваемости групп со связным графом до недавнего времени просто не существовало.
Арифметические свойства классических групп лиева типа
Поскольку группа гФ( 7о) является подгруппой в Ф(д), можно рассмотреть ее полный прообраз в универсальной группе Ф(д). Будем называть этот прообраз универсальной скрученной группой типа Ф над полем К и обозначать через Ф о) Как известно (см. [36, теоремы 11.1.2 и 14.4.1]), все конечные группы Шевалле, кроме групп Лі(2), А\{2)), В2(2) И G2{2), а также все конечные скрученные группы, кроме групп 2А(2), 2В2(2), 2G2(3) и 2F4(2), являются простыми. Отметим также, что для любого четного q группы Bn(q) и Cn(q) изоморфны. Все изоморфизмы между различными группами лиева типа можно найти в [29, теорема 37].
В заключении этого параграфа приведем изоморфизмы между группами лиева типа и классическими группами матриц. Напомним, что в [42] группа PSLn(q) обозначается через Ln(q), группа PSUn(q2) — через Un(q), группа PSpn(q) — через $п(о), группы ln(q) и Р&п(я) через On(q) и 0„(q) соответственно.
Лемма 1.1.4 [36, теоремы 12.1.1, 14.5.1, 14.5.2]. (1) An{q) Ln+l{q); (2) 2An(q) Un+1{q); (3) Bn{q) 02n+l(q); (4) Cn(q) S2n(q); (5) Dn(q) O&fo); (6) 2Dn(q) 02n (). В соответствии с этими изоморфизмами группы An(q), 2An(q), Bn(q), Cn(q), Dn(q) и 2Dn(q) называются классическими группами лиева типа. Все остальные группы лиева типа называются исключительными.
В данном параграфе собраны сведения, касающиеся порядков групп лиева типа, порядков их элементов, а также их подгрупп Фробениуса. На протяжении всей диссертации мы будем пользоваться следующими теоретико-числовыми обозначениями. Через [х] обозначается целая часть числа х. Для натурального числа п через 7г(п) обозначается множество его простых делителей. Для р Є 7г(п) через щр} обозначается максимальная степень числа р, являющаяся делителем числа п. Наибольший общий делитель двух чисел тип обозначается через (т,п). Наименьшее общее кратное чисел из множества М будет обозначаться через 1cm М. Если q и г — взаимно простые натуральные числа, то через e(r, q) обозначается показатель числа q по модулю г, т. е. наименьшее натуральное число а такое, что qa = 1 (mod г).
Через G, как обычно, обозначается порядок группы G. Через n(G) обозначается множество TT(G). Через UJ(G) обозначается спектр группы G — множество порядков ее элементов. Для г Є 7r(G) максимальная степень числа г, лежащая в w(G), называется г-периодом группы G. Графом Грюнберга-Кегеля или графом простых чисел группы G называется граф на множестве 7r(G), в котором два числа р\ и р2 смежны тогда и только тогда, когда р\р2 Є ui(G).
Лемма 1.2.1 [36, теоремы 9.4.10 и 14.3.1]. Порядки конечных классических групп лиева типа даются следующими формулами:
Пусть G — классическая группа лиева типа над полем порядка q и характеристики р. Как видно из предыдущей леммы, множество 7г(С7) состоит из числа р и простых делителей чисел ql — 1 для некоторых целых г. Следующая теорема Жигмонди, говорящая о поведении таких простых делителей, играет важную роль при исследовании арифметических свойств групп лиева типа.
Лемма 1.2.2 (Жигмонди) [93]. Пусть q — натуральное число, большее 1. Тогда для всех натуральных і существует простое г такое, что г делит ql — 1 и не делит qi — 1 для всех j г, за исключением следующих случаев: (а) і = б и q = 2; (б) і = 2 и q = Iі — 1 для некоторого натурального числа I.
Простое число г, удовлетворяющее требованиям теоремы Жигмонди для натурального числа г, называется примитивным простым делителем числа ql — 1. Заметим, что примитивные простые делители числа ql — 1 — это в точности простые числа г, для которых e(r, q) = і. Если число q зафиксировано, то через Г{ обозначается любой из примитивный делителей числа ql — 1. Многие свойства спектров конечных групп лиева типа были получены с применением теории алгебраических групп, поэтому мы коротко напомним, как связаны конечные группы лиева и линейные алгебраические группы.
Пусть G — простая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики р. Пусть а — отображение Фробениуса на G, т.е. инъективный эндоморфизм группы G такой, что группа G = С а( ?) конечна. Как известно, любая простая группа лиева типа G может быть получена в виде G = G(r при подходящем выборе G и а.
Унипотентные элементы группы G = Gff — это в точности р-элементы, т.е. элементы, порядок которых является степенью числа р. Порядки унипотентных элементов групп лиева типа даются следующей леммой.
Лемма 1.2.3. Пусть G = 1Ф(а), где q — степень числа р, и пусть а0 — корень в Ф наибольшей высоты. Тогда р-период группы G равен ра, где а — наименьшее натуральное число со свойством ра ht(ao). Утверждение леммы следует из [90, предложение 0.5].
Полупростые элементы группы G = Ga — это в точности р -элементы, т.е. элементы, порядок которых взаимно прост с р. Как известно, каждый полупростой элемент группы G лежит в максимальном торе — максимальной связной замкнутой диагонализируемой подгруппе группы G. Максимальным тором группы G называется группа Су(о), где Т — ст-инвариантный максимальный тор группы G. В [37] найдены порядки централизаторов полупростых элементов и, в частности, порядки максимальных торов для всех конечных классических групп лиева типа. В [10] получен явный арифметический критерий смежности в графах простых чисел всех конечных простых групп лиева типа.
В заключение, пользуясь описанием максимальных торов конечных групп лиева типа из [39, глава 3], мы докажем существование в простых линейных группах подгрупп Фробепиуса определенного вида.
Лемма 1.2.4. Пусть G = Ln(q), d = (q — l,n) иг — примитивный простой делитель разности qn — 1, если он существует. Тогда в G есть подгруппы Фро-бениуса следующих видов: (1) с ядром порядка г и циклическим дополнением порядка п; (2) с ядром порядка qn l и циклическим дополнением порядка qn d l. Если X — группа и а — некоторый ее автоморфизм, то централизатор а в X обозначим через Ха.
Доказательство теоремы 2.2
Так как p ,pi -р2 Є OJ(G) \W(S), TO p ,pi Є u(K) для некоторого і Є {1,2}, следовательно, р -pi Є w(i ) С w(C) = LJ(L), что неверно.
Таким образом, теорема доказана для всех групп 2Dn+1(2) и групп 2Dn(2k) при п 4 и для групп СП(2А) при п 8. Кроме того, в [3] доказано, что группа 2Ai(2) распознаваема по своему спектру. Поэтому для завершения доказательства нам осталось рассмотреть группы 2Д}(г),г 2, и С&(г). Пусть L = 2D±(r), г — 2k 2. Нам достаточно рассмотреть те группы S, для отбрасывания которых использовалось неравенство п 4.
Предположим, S Лр+і,Лр+2,УІр+з, где р = г4 + 1. Пусть р — примитивный простой делитель числа г6 + 1. Тогда р делит (г6 — 1)/(г2 — 1) = г4 — г2 + 1 р, следовательно, в S есть элемент порядка р1. С другой стороны, в силу примитивности р не делит порядок группы L. Таким образом, р Є U}(S)\CJ(L) и мы пришли к противоречию.
Предположим, что S M{vl)i гДе р = тА -\- \. Порядок группы S равен р1(р1 + 1)(р — I)2. Нетрудно показать, что это число делится нар + 1 = г4 + 1 = = 24fc + 2 = 2(24fc_1 + 1). Так как к 1, то примитивный простой делитель числа 24fc_1 +1 не делит порядок группы L, поэтому u(S) 2 UJ(L), и мы опять пришли к противоречию.
Предположим, S С±(г). Достаточно доказать, что u(S) %. ш(Ь).
Мы докажем более общее утверждение о том, что для некоторого простого нечетного р число 2 -р Є oj(Cn(r)) \u(2Dn(r)), где г = 2к 2, п 4. Свойства централизаторов инволюций в группах С„(г) и 2Dn(r) описаны в [31]. Если С — централизатор инволюции в группе 2Dn(r) то фактор-группа C/L2(C) изоморфна группе Ci(r) х 2ДІ_2/(Г) или группе Ci-i(r) х Cn-2i(r), где I п/2. Таким образом, 7г(С) С 7г(С„_2(г)). В группе Сп(г) есть централизатор инволюции С такой, что С/1/2 (С) Cn_i(r). Если пара (п, г) ф (4,2) и р — примитивный простой делитель числа rra_1 + 1, то р не делит порядок группы Сп-2(г) и делит порядок группы Cn_i(r). Если (п, г) = (4,2), то таким же свойством обладает число р = 7. Таким образом, в любом случае р связано с 2 в и (Сп(г)) и не связано в w(2Dn(r)). Случай L — 2D±(r) разобран полностью.
Пусть L = Cs(r). Единственная простая группа S, при отбрасывании которой использовалось условие п 8 — это группа S 2D&(r). Ранее было доказано, что если Pi и р [ — примитивные простые делители чисел r/2+1 - 1 и г71/2-1 - 1 соответственно, то Р 1Р [ Є U(L)\UI(S). Следовательно, для некоторого є Є {+, —} число р = р\ Є o /f).
Пусть Р — силовская р-подгруппа группы К. Подгруппа Ф(Р) нормальна в G. Рассмотрим вместо групп G, К и Р фактор-группы G = GJ$(P), К = К/Ф(Р) и V = Р/Ф(Р). Нетрудно заметить, что так как р Є ni(G), ТО граф GK(G) несвязен, как и граф GK(G). По п.1 леммы 2.1.5 в группе L есть подгруппа Фробепиуса R с ядром порядка г7 и циклическим дополнением порядка г7 - 1. Группы G, К, R L G/K, V и М = V X R удовлетворяют условиям леммы 1.3.8. Следовательно, ш(М) С LJ(G) С LJ(G) = w(L).
Поскольку К CQ(V) (G) и группа G/K L проста, то CQ(V) = К или CQ(V) = G. Поскольку граф GK(G) несвязен, последний случай невозможен и CQ(V) = К. По лемме 1.3.6 в группе М, а значит, и в группе L, есть элемент порядка р-(г7-1). По п. 3 леммы 2.1.3 числор делит г+1 или г-1, что противоречит примитивности числа р.
Случай L = С$(г) также разобран и теорема доказана. Пусть L = Сп(2), где п = 2т 4, и G — конечная группа такая, что w(G) — u)(L). По результатам предыдущего параграфа в группе G есть нормальная нильпотентная подгруппа К такая, что L G/K Aut L. Группа Aut L = L, поэтому G/K = L. Докажем, что К = 1.
Предположим, что К ф 1. Без ограничения общности можно считать, что К — — элементарная абелева р-группа. Поскольку граф GK(G) несвязен, CQ{K) ф G. Так как группа L проста, то CQ(K) = K,uG индуцирует при сопряжении группу автоморфизмов группы К, изоморфную L.
По лемме 2.1.5 группа L содержит подгруппу Фробениуса с ядром порядка 2 + 1 и циклическим дополнением порядка In. Если р = 2, то по лемме 1.3.6 группа G, а значит, и группа L, содержит элемент порядка 2-2п, что противоречит п. 1 леммы 2.1.3.
По лемме 2.1.4 группа L содержит подгруппу Фробениуса с ядром порядка 22 3 и циклическим дополнением порядка Зг+1, где 3 п 3 +1. Если р = 3, то по лемме 1.3.6 группа G содержит элемент порядка 3 Зг+1, что противоречит п. 2 леммы 2.1.3.
Пусть теперь рф2,Ъ. По лемме 2.1.5 группа L содержит подгруппу Фробениуса с ядром порядка 2n_1 и циклическим дополнением порядка 2П-1 — 1. Так как рф2, то по лемме 1.3.6 группа G содержит элемент порядка р (2n_1 — 1). По п. 3 леммы 2.1.3 число р равно 3. Противоречие. Таким образом, К = 1. Следовательно, G = L и для группы С„(2) теорема доказана.
Пусть L = 2Dn+i(2), где п = 2 4 и G — конечная группа такая, что OJ{G) = u{D). По результатам предыдущего параграфа в группе G есть нормальная нильпотентная подгруппа К такая, что L G/K AutL. Известно, что AutL = L 2 и AutL\L содержит инволютивный полевой автоморфизм д. Централизатор элемента д в группе L содержит подгруппу, изоморфную группе С„(2), следовательно, содержит элемент порядка 2п +1. Таким образом, число 2 (271 +1) лежит в oj(AutL) и не лежит в ш(Ь). Следовательно, w(AutL) ф ui(G) и G/K = L.
Как и в предыдущем случае, можно считать, что К — элементарная абелева р-группа и CG(K) = К.
Если р = 2, то проводится то же самое рассуждение, что и для группы С„(2). По лемме 2.1.6 группа L содержит подгруппу Фробениуса с ядром порядка 2n + 1 и циклическим дополнением порядка 2п. Следовательно, по лемме 1.3.6 группа G содержит элемент порядка 2 2п, что противоречит п. 1 леммы 2.1.3.
Пусть р ф 2. По лемме 2.1.6 группа L содержит подгруппу Фробениуса с ядром четного порядка и циклическим дополнением порядка 2 + 1. Значит, группа G содержит элемент порядка р(2п + 1), но число 2П + 1 принадлежит p,(D) = n(G). Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Завершение доказательства теоремы
Поскольку для п 8 и га = 11,12,13 уже доказано, что группа Ln(2) является распознаваемой (см. обзор в [59]), можно считать, что либо га = 9,10, либо га 14.
Пусть L = Ln{2) — Л„_і(2), где га 9. По [10, 8, табл. 4,8] заключаем, что p{2,L) = {2,rn,rn_!}, t(2,L) = 3, t(L) = 4 при га = 9,10 и t(L) = [(n+ 1)/2] 7 при га 14. Кроме того, из леммы 3.1.2 следует, что все элементы множества ш(Ь) не превосходят числа 2 — 1.
Пусть G — конечная группа такая, что CJ(G) = CJ(L), и К — разрешимый радикал группы G. По теореме 1.3.4 существует конечная неабелева простая группа S такая, что S G = G/K Aut S. Более того, t(S) t{G)—l и либо rn, гп_і Є n(S), либо S Alfy или Ai(q), где / нечетно.
(1) Прежде всего мы рассмотрим исключения. Пусть S Altr или S с Лі(д), где g = pk 3 нечетно. Поскольку t(S) = 3, выполнено неравенство t(L) 4 и, следовательно, га = 9 или га = 10. Согласно критерию смежности простые числа г5 = 31, г7 = 127, г8 = 17 и r9 = 73 попарно несмежны в GK(G). Как следует из [9, предложение 3], по крайней мере трое из этих чисел лежат в n(S). Следовательно, S ф Alt-j. Положим р = {г5,Г7, r8,rg} и//= pnn(S). Поскольку р — это независимое множество графа GK(S) с наибольшим количеством вершин, из результатов [10, предложения 2.1,3.1,4.1] следует, что р = {р,г[,г2}, где г[ делит q - 1 и г2 делит 7 + 1. Таким образом, р Є р и р \ [р] С 7г(д2 - 1). Отсюда следует, что 7г(д2 — 1) П р содержит два элемента. С другой стороны, число q = pk должно удовлетворять неравенству (q + 1)/2 210 - 1, в противном случае мно жество LJ(S) не содержалось бы в u)(L). Следовательно, если р равно 17 или 31, то к 2; если же р равно 73 или 127, то к = 1. Прямым подсчетом проверяется, что 7г(#2 — 1) С {2,3,5,7,13,29,37} для всех возможных значений q. Откуда 7г((?2 - 1) П р — 0; противоречие.
Таким образом, имеет место второе утверждение леммы 1.3.4 и, следовательно, числа гп и rn_i делят 5. Более того, эти числа несмежны с 2 в GK(S). Это означает, что t(2, S) 3. Простые группы, удовлетворяющие этому условию, описаны в [10]. Рассмотрим их последовательно.
(2) Пусть S является спорадической группой. Заметим, что в этом случае множество р(2,S) определено однозначно. Поскольку гп,гп-\ Є 7г(5) и несмежны с 2 в GK(S), в p(2,S) должны найтись два нечетных простых числа р\ и рг таких, что e(pi, 2)/е(р2,2) = п/(п + 1). Это неверно, если п 7 и п Ф 11 (см. [10, табл. 2] или [42]).
(3) Предположим, что S Altn . Поскольку t(2,S) 3, среди чисел п , п — 1, п -2, п —З есть два простых; это числа гп и rn_i. По [38, предложение 7] выполнено 4-гп_2 . u(L), хотя 2-гп_2 Є CJ(L). Предположим, что гп_2 делит порядок группы S. Поскольку группа S не содержит элемент порядка 4 г„_2, для гп_2 выполняются неравенства п rn_2 п — 5. Значит, среди шести последовательных чисел п ,...,п — 5 есть три различных простых числа, откуда п = 7 или п = 8. Таким образом, либо п = 7,8, либо гп_2 Є тг(- ) Невозможность случаев п = 7 и п = 8 доказывается так же, как в (1). Если п 9 и гп_2 Є 7г( ), противоречие достигается буквальным повторением той части 3.2, которая касается знакопеременных групп.
Рассматривая группы лиева типа, удобно отделить случаи п = 9,10 от остальных. Сначала предположим, что п 14. Тогда вдобавок к неравенству t(2, S) 3 должно быть выполнено неравенство t(S) t(G) — 1 6. Простые группы лиева типа, удовлетворяющие этим двум условиям, находятся по [10, табл. 4-9].
(4) Пусть S — группа лиева типа над полем нечетного порядка q = рк. Предположим, что S E${q),E q) или Ee&{q). Если S E8(q), то t(S) = 11, откуда из неравенства t(S) t(L) — 1 следует, что п 24. Поскольку q8 — 1 не должно превосходить 2" — 1 224 — 1, получаем, что q 8. Значит, q = 3,5 или 7. Если S #7(), то t(S) = 8, откуда п 18. Поскольку (q7 - 1)/2 218 - 1, в этом случае q = 3,5. Если же S Eg(q), то t(S) б, n 14, и из неравенства (q6 - el)/(3,q - el) 214 — 1 получаем, что q = 3,5. Таким образом, достаточно рассмотреть ограниченное число вариантов для q. Заметим, что какую бы из трех групп мы не рассматривали, либо примитивный делитель г 9 числа q — 1, либо примитивный делитель г 18 числа qls - 1 лежит в тг(5) С n(L). Предположим, что г9 Є 7г(Ь). Для каждого q из множества {3,5,7} мы вычисляем возможные значения г9 и убеждаемся, что все они удовлетворяют неравенству е(г9,2) 36. В силу последнего неравенства из предположения о том, что г9 Є 7r(Lra(2)), следует, что п 36. Это противоречит полученному ранее ограничению п 24. Случай, когда г 18 Є u (L), может быть рассмотрен аналогичным образом.
Предположим, что S Aen,_x{q), где п 2 = (q - є1)2 2. Неравенство t(S) t(G)-l вместе с i(5) = [(n +l)/2], i(G) = [(п+1)/2] дает, что п n-З. Поскольку группа S содержит элемент порядка qn 2—l, элемент такого же порядка содержит и группа L. В силу того, что все числа в из{Ь) не превосходят числа 2" — 1, мы имеем неравенство 2" - 1 qn 2 — 1. С другой стороны, qn 2 qn 5 Зп 5 2П для всех n 14; противоречие.
Предположим, что 5 Dni(q), где п нечетно и q = 5 (mod 8). Из () ( 7)—1 и f (S) = [(Зп + 1)/4], i(G) = [(п + 1)/2] получаем, что n (2n - 5)/3. В группе S есть элемент порядка (qn — 1)/4, следовательно, (qn — 1)/4 2П — 1, откуда qn 2П+2. Это невозможно, поскольку qn q(2n 5)/3 5(2п_5)/3 2П+2 для всех О 14.
Предположим, что 5 2Dni(q), где п нечетно и q = 3 (mod 8). Поскольку i(5) = [(Зп + 4)/4] = [(Зп + 3)/4], из t(S) t(G) - 1 следует, что п (2п - 7)/3. В группе S есть элемент порядка (qn + 1)/4, следовательно, (g71 + 1)/4 2" — 1. Откуда gn 2П+2 и, значит, g(2n 7)/3 2П+2. Последнее неравенство выполнено только для q = 3 и п 100.
Пусть 5 2Ді (3) и 9 п 100. Поскольку n 5, в группе 5 есть элемент порядка (З5 + 1)/4 = 61. Следовательно, 61 Є n(L) и п е(61,2) = 60. Если же п 60, то n (2n—7)/3 37. Следовательно, в S есть элемент порядка Гз6 = 757. Откуда 757 Є n(L) ип) е(757,2) = 756; противоречие.
(5) Пусть S — группа лиева типа над полем порядка q = 2k. Заметим, что S не является группой Ри или группой Сузуки, потому что для этих групп неплотность меньше 6. Напомним, что гп и rn_i лежат в 7г(5) и несмежны с 2 в GK(S). Положим еп = e(rn,2k) и e„_i = e(rn_i,2fc). Поскольку г„ делит 2Enfe - 1, число п делит епк. По тем же соображениям п - 1 делит еп-.\к. Предположим, что епк п. Тогда число г, задаваемое условием е(г, 2) = епк, делит порядок группы 5 и не делит порядок группы L. Следовательно, г Є w(S) \ui(G), что невозможно. Таким образом, епк = п. Предположим, что еп-\к п — 1. Тогда еп-\к 2(п — 1) п и те же рассуждения приводят к противоречию. Таким образом, en-ik = п — 1.
Ортогональные группы типа Вп
На протяжение этой главы через А В (А : В) обозначается (расщепляемое) расширение группы А с помощью группы В. Циклическая группа порядка а иногда для краткости обозначается через а; соответственно прямое произведение m циклических групп порядка а иногда обозначается через am.
Пусть конечная группа G точно представлена своим действием на множестве Q правых смежных классов по ее некоторой собственной подгруппе М. Будем обозначать через I и г степень и ранг представления соответственно. Пусть под действием М множество Q, распадается на орбиты fii, 72)..., fir. Подстепень представления, равную длине орбиты fij, будем обозначать через U, а двойной стабилизатор, равный стабилизатору точки из орбиты fij, — через М{. Обозначим через Г2і тривиальную орбиту {М}; в соответствии с этим обозначением \\ = 1 и М\ — М.
Пусть К — поле порядка q и характеристики р и пусть G = Ф(д). Параболической подгруппой группы G называется подгруппа, содержащая подгруппу Бо-реля В или сопряженную к ней. Пусть J — некоторое подмножество множества П простых корней системы Ф. Обозначим через Wj подгруппу группы Вейля W, порожденную множеством отражений {wa а Є J} и через Nj — прообраз группы Wj относительно естественного гомоморфизма из мономиальной группы N BW. Тогда Pj = BNjB является подгруппой в G и любая параболическая подгруппа сопряжена с Pj при подходящем выборе J (см. [36, предложение 8.2.2 и теорема 8.3.2]). В частности, G = BNB.
Мы будем называть подмножество простых корней / С J связной компонентой, если часть диаграммы Дынкина, соответствующая корням из /, является связным графом и для любых двух корней aGlvi/3EJ\I выполняется равенство (а, /3) = 0. Очевидно, что J можно единственным образом представить в виде объединения «7 = /i U 1-і U U It непересекающихся между собой связных компонент. Порядки параболических подгрупп даются следующей леммой.
При изучении строения параболических групп важную роль играет представление параболической подгруппы в виде полупрямого произведения, называемое разложением Леей. Для J С П обозначим через Фу множество тех корней, который являются целочисленными комбинациями корней из «7, и через Фу, Ф}" пересечения Фу П Ф+, Фу П Ф соответственно.
Лемма 4.1.2 [36, теорема 8.5.2]. Пусть Uj = (XQ а Є Ф+\Фу) u L/ = (#,XQ а Є Фу). Тогда PJ = UJ: Lj.
Группа Uj называется радикалом Леей группы Pj, а группы L9j, g Є /у, называются факторами Леей группы Pj.
Поскольку при I С J группа Р[ является подгруппой в Pj, максимальными параболическими подгруппами группы G будут группы, соответствующие множествам вида П\{а}, а Є П. Для 1 і j : j обозначим через J І множество П\{О;І} и через Зц — множество 11\{аі,щ} . Для краткости будем обозначать группу Pj{ через Pi и группу Pjtj через Pij. Точно так же будем заменять индекс J І на г и индекс J на i, j при обозначении соответствующих систем корней, подгрупп группы Вейля, радикалов и факторов Леви. На рис. 2 указано, как осуществляется нумерация вершин диаграмм Дынкина классического типа.
В следующих параграфах будет показано, что одной из параболических подгрупп группы G наименьшего индекса является группа Р\. Далее добавление черты к обозначению подгруппы группы Ф(а) означает переход к ее полному прооб разу Предложение 4.1.3. 1) Если Ф Є {An, Bn, Dn}, mo группа U\ является элементарной абелевой р-группой порядка qf, где р — характеристика поля К и / = Ф+\Ф!. 2) Пусть Ф имеет тип Ап, Вп, Сп, где п 2, или тип Dn, где п 4. Полооїсим Ті = (Ха а Є Фі). Тогда Тх а. Ща) uL1=Tl: Hai.
1) Группа U\ порождается корневыми подгруппами Ха, где ае Ф+\Ф[. Заметим, что в системах типа Ап, Вп и Dn нет корней, в разложении которых корень а.\ имел бы коэффициент больший 1. С другой стороны, в разложении любого корня из Ф+\Фі корень ot\ участвует с положительным коэффициентом. Следовательно, в любой сумме а + Р, где а,/? Є Ф+\Фі, этот простой корень имеет коэффициент больший 1, и значит, а + /? Ф. Следовательно, по формуле Шевалле для коммутаторов 1.1.1 группа U\ является прямым произведением групп Ха, а Є Ф+ \ Фі. Каждая из этих групп изоморфна аддитивной группе поля GF(q), и этот пункт доказан.
2) Группа Ті является универсальной группой Шевалле типа Фі по теореме Стейнберга 1.1.3. Она нормальна в Ь\, поскольку группа Я нормализует Ха для любого а Є Ф. Поскольку группа Я является прямым произведением групп На, а Є П, пересечение групп На1 и Ті тривиально. Кроме того, они вместе порождают группу L\. Предложение доказано.
Из определения двойных стабилизаторов следует, что двойные стабилизаторы представления на смежных классах по подгруппе Pj имеют вид Pj П Pj, g Є G. В силу разложения G = BNB для получения групп, сопряженных Pj, достаточно ограничится сопряжением элементами из N. Поскольку группа N нормализует Я, а действие ее элементов на корневых подгруппах зависит только от их образов в W, каждый двойной стабилизатор будет иметь вид PjCiPj, где w Є W действует на Pj естественным образом. По [36, лемма 7.2.1] для а Є Ф и w Є W выполнено К = xw{a)- Следовательно, Р:ПР} = (Я, Ха а Є ЦФ+ U bj) П (Ф+ U Ф,)).
