Содержание к диссертации
Введение
1 Обозначения и предварительные результаты 9
1.1. Обозначения в группах лиева типа 9
1.2. Свойства строго вещественных групп 13
2 Регулярные унипотентные элементы 16
2.1. Предварительные леммы 17
2.2. Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов 19
3 Доказательство основной теоремы 36
3.1. Исключительные группы и группы больших рангов 36
3.2. Группы малых рангов 39
Список литературы 58
- Свойства строго вещественных групп
- Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов
- Исключительные группы и группы больших рангов
- Группы малых рангов
Введение к работе
Нормальные и скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn(K)— группа верхних унитреугольных пхп- матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские р -подгруппы, когда К—поле характеристики р. Подгруппа UTn(K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn(K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.
Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.
Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.
В 1995 г. А.А. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn(K) над полем К = GF(2), т.е. гипотезу о вещественности группы UTn(2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn(2). В 1998 г. И.М. Айзеке и Д. Карагуиузян [14] привели пример матрицы А из группы UTiz(2), которая не сопряжена в группе UT\2,(2) со своей обратной, тем самым гипотеза А.А. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе /Тіз(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов
(с представителями An А *) [18].
В силу результатов Д.З. Джоковича [19] (1967 г.) , П.Х. Тьепа и А.Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе GLn(2m) все унипотентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в GLn(K) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипотентные элементы из специальной линейной группы SLn(2m) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы PSp2n{K) для любого поля К характеристики 2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И.М. Айзекса и Д. Карагупузяна получаем, что в силовской 2-подгруппе . строго вещественной группы PSp2n{2m) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе $2-
Я.Н. Нужин записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 16.76].
Одним из основных результатов работы является
Теорема 1. Пусть U — унипотентная подгруппа группы лиева типа G ранга I над полем К характеристики 2.
Подгруппа U не является строго вещественной если:
тип G равен 2Ai\, I > I, 2В2, 2F^;
I > 13 и тип G равен Ai-i, B\,C\,Di, М2г_ъ 2Д+ь'
в поле К существует элемент ц такой, что многочлен Х2+Х+Т] неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен F±, Eq, Ej, ЕЯ.
в подполе неподвиэюных элементов Kq существует элемент щ такой, что многочлен X2 + X + щ неприводим в Kq[X] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен 2Eq.
Подгруппа U является строго вещественной, если I < 4 и тип G отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип G равен А\ ul = 5,6.
Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на указанный выше вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга / при / < 4 и / > 13 , а для типа А\ и при / = 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент г) такой, что многочлен X2+X+rj
неприводим в К\Х] или Kq[X] (в частности, если К — конечное поле). При исследовании вопроса 16.76 принципиально важно и полезно знать являются ли строго вещественными регулярные унипотентные элементы?
По определению регулярными унипотентными элементами в группе лиева типа G, ассоциированной с фундаментальной системой корней П = {гі, Г2,..., ri}, являются элементы, сопряженные с элементами вида
xri(ti)xr2(t2)...xri(ti)xSl(ui)...xSk(uk), U^Q, ri
В частности, если группа G типа Аі, то регулярным элементом является элемент, приводимый к нормальной жордановой форме с одним блоком. Основным результатом главы 2 является следующая
Теорема 2. Пусть G — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2.
В группе G типа А\, 2А2\-\, В\, Ci, Di, 2D\, 3>4> G2 все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.
В группе G типа 2А%, 2В2, 2F^, все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны.
Группа G типа Eq, 2Eq содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.
Группа G типа Ej, Е$, F± содержит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряоюенных регулярных унипотентных элементов.
По теореме 2 группы типа 2A2i, I > 1, 2В2, 2F^ F4, 2EQ, Eq, Ej, E& над конечным полем характеристики 2 содержат хотя бы один не строго вещественный класс сопряженных регулярных унипотентных элементов. Таким образом, из теоремы 2 вытекает
Следствие. Группы Шевалле типа 2А2\, I > I, 2В2, 2F^, F4, 2Eq, Eq, E-j, E% над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными.
В 1999 г. А.И. Созутов записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [20, вопрос 14.82]. Отметим,
что конечная простая группа является строго вещественной тогда и только тогда, когда каждый ее элемент представим в виде произведения двух инволюций.
Вопрос о строгой вещественности отдельных классов конечных простых групп рассматривался и ранее. К. Багински [4] (1987 г.) доказал, что знакопеременная группа Ап, п > 5, строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5, б, 10,14; строгую вещественность симплектиче-ской группы PSp2n{q) установили Р. Гов при q = 2т [1] (1981) и при q = \{mod 4) [3] (1988 г.) и Э.В. Элерс и В. Нольт при q = 2т [2] (1982 г.); в [5] (2005 г.) С.Г. Колесников и Я.Н. Нужин доказали, что среди спорадических групп только две группы Янко «Д и Зч являются строго вещественными, там же было установлено, что группы PSLn(q), п > 3, PSUn(q), п > 3, PSp2n{q) при п > 1 и q = 3(mod 4), а также некоторые ортогональные группы и некоторые исключительные группы лиева типа не являются строго вещественными. В 2005 г. П.Х. Тьеп и А.Е. За-лесский [6] показали, что все исключительные группы лиева типа над любым конечным полем не являются даже вещественными. Таким образом, вопрос о строгой вещественности конечных простых групп (следовательно, и вопрос 14.82) остается открытым только для некоторых ортогональных групп.
Диссертация состоит из введения и трех глав. Опишем содержание диссертации по главам.
В 1.1. приводятся основные обозначения подгрупп, элементов и вспомогательные леммы для группах лиева типа. В 1.2. приведены леммы, описывающие основные свойства строго вещественных групп и вводится понятие графа коммутативности Г(д) элемента д в заданном представлении. По определению графом коммутативности Г(д) элемента д произвольной группы G в представлении
д = д\---9п, gizG,
является простой граф Т(д) = Г(...,дп) на вершинах д\,... ,дп, в котором вершины ді и gj соединены ребром тогда и только тогда, когда
9i9j Ф 9j9i-
На основе данного понятия и леммы 1.2.4 формулируется лемма 1.2.5, которая является основной при доказательстве теоремы 2 и теоремы 1 для групп малых рангов.
Лемма 1.2.5. Пусть в представлении g = gi.--gn, g% G, все gi
инволюции и граф коммутативности Т(д) является лесом. Тогда g
строго вещественный элемент.
Свойства строго вещественных групп
Пусть G — строго вещественная группа, тогда по определению для любого ее неединичного элемента g существует инволюция г Є g такая, что igi = g l. Отсюда g есть произведение двух инволюций і и гд или д = і. Обратно, если д = ij, где г, j — две различные инволюции, то элемент д является строго вещественным. Отметим некоторые менее очевидные свойства строго вещественных групп. Лемма 1.2.1. Класс строго вещественных групп замкнут относительно гомоморфных образов и центральных произведений. Доказательство. Пусть G — строго вещественная группа и G — ее фактор-группа. Тогда для любого неединичного элемента g Є G существует инволюция і Є G такая, что дг = д 1 и, следовательно, дг = д 1, где дні — образы элементов д и і соответственно. Очевидно, что элемент г является либо инволюцией, либо единицей группы G. Во втором случае либо g — инволюция и, следовательно, является строго вещественным элементом, либо g = 1. Пусть группа G является центральным произведением строго вещественных групп А и В, т.е. G = АВ и [А, В] = 1. Пусть g = а&, а Є А, b Є В. В силу строгой вещественности подгрупп А и В существуют инволюции г Є А и j Є В такие, что аг — а 1 и V = Ь"1. Ясно, что либо произведение ij является инволюцией и она инвертирует элемент д, либо і = j и инволюция г инвертирует д. Лемма доказана. Из теории характеров известно, что элемент сопряжен со своим обратным, тогда и только тогда, когда значения всех (комплексных) характеров на этом элементе — вещественные числа. Следовательно, справедлива Лемма 1.2.2. Пусть G — конечная строго вещественная группа. Тогда для любого ее элемента g и любого ее (комплексного) характера все числа ( ?) вещественные. Обычно элемент g (характер ) группы G называют вещественным, если числа (д) являются вещественными для любого характера (соответственно, для любого элемента д) группы G. Отметим, что вещественность и даже рациональность всех характеров группы G не влечет ее строгую вещественность. Лемма 1.2.3. Пусть А — нормальная подгруппа группы G. Тогда для любого а Є А и любого g EG если элемент gag-1 строго вещественен в А, то и элемент а строго вещественен в А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ а є A, g є G и существует инволюция і є А такая, что igag li = ga lg l, то элемент а инвертируется инволюцией g lig из А. Лемма доказана. Лемма 1.2.4. ([7], стр. 146) Пусть X —множество вершин конечного леса, х — дх — такое отобраэюение X в группу G, что дх и ду коммутируют всякий раз, когда вершины х и у не соединены в этом лесе. Пусть Т — множество все линейных порядков на X. Для любого т Є Т обозначим символом рт произведение в G последовательности элементов (дх)хех, определенной порядком т.
Тогда все произведения рт сопряжены в группе G. на вершинахgi,...,gn- По определению вершины gi и gj соединены ребром тогда и только тогда, когда gigj ф gjgi. Граф Г(д) будем называть графом коммутативности элемента д в представлении (1.2.1). Лемма 1.2.5. Пусть в представлении g (1.2.1) все gi — инволюции и граф коммутативности Т(д) является лесом. Тогда g — строго вещественный элемент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Множество вершин X = {д\,..., дп} любого леса можно разбить на два подмножества Х\ и Хч таким образом, что если д, / Є ХІ,І = 1,2, то вершины д и / не соединены в этом лесе. Поэтому элемент раскладывается в поизведение двух инволюций и, следовательно, он является строго вещественным элементом. Осталось воспользоваться леммой 1.2.4. Лемма доказана. В данном разделе рассматриваются регулярные унипотентные элементы. В 2.1. вводится понятие регулярных унипотентных элементов и формулируются вспомогательные леммы. В лемме 2.1.1 приводится число классов сопряженных регулярных унипотентных элементов d(G) группы лиева типа над конечным полем характеристики 2. В лемме 2.1.4 устанавливается строгая вещественность регулярных унипотентных элементов в простой линейной алгебраической группе G над полем характеристики 2. В 2.2. формулируется теорема 2, описывающая строго вещественные регулярные унипотентные элементы групп лиева типа над конечными полями характеристики 2. При доказательстве теоремы 2 для каждого лиева типа (исключая типы 2B i и 2Fn) над конечным полем явно выписываются представители классов сопряженных регулярных унипотентных элементов и устанавливается их строгая вещественность. Из теоремы 2 вытекает следствие 2.2.1, о том , что простые группы исключительных типов 2i?2, 2F\, F4,2EQ, EQ, E7, E$ над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными. В 2.2. так же приведена таблица 1, где для каждого типа (исключая типы 2i?2 и 2F ±) явно выписаны представители каждого класса сопряженных регулярных унипотентных элементов группы лиева типа над конечным полем К и указано, является ли данный класс строго вещественным.
Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов
Теорема 2. Пусть G — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2. 1) В группе G типа А\, Мгг-ь Ві, Сі, Di, 2Di, 3D , Gi все регулярные унипотентные элементы строго вещественны. 2) В группе G типа Аіі, 2#2, 2-?4 все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны. 3) Группа G типа EQ, 2EQ содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов. 4) Группа G типа E-j, Е$, F\ содерэюит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нескрученных групи в качестве представителя первого класса сопряженных регулярных унипотентных элементов можно всегда взять элемент (2.1.2). Рассуждения из доказательтва леммы 2.1.4 для элемента (2.1.2) проходят и в этом случае. Тип Аі. В группе G один класса сопряженных регулярных унипотентных элементов с представителем (2.1.2), который строго вещественный. Тип 2А%-\, / 2. В группе G все регулярные унипотептные элементы сопряжены и в качестве представителя можно взять элемент Все сомножители (: (1): (1)), (хГ2(1)хГ21_2(1)),... (а;Г1_1(1)а;Г1+1(1)), хп{1) в представлении элемента (2.2.1) лежат в группе G и являются инволюциями (именно здесь отличие типа 2Лг/-і от типа 2Л2/), а его граф коммутативности является цепью. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.1) строго вещественный. Тип Bi, I 2. В группе G типа Ві два класса сопряженных регулярных упипотентных элементов и в качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен Х2+Х + г\ неприводим в К[Х]. Действительно. По лемме 2.1.2 если элементы (2.1.2) и (2.2.2) сопряжены в G, то они сопряжены и в U. Пусть I = 2. Сопрягая (2.2.2) произвольным элементом из U получим Приравнивая последний элемент к элементу (2.1.2), получаем равенство х2 + х + 7] = 0.
Общий случай следует из случая / = 2 по лемме 1.1.2. Граф коммутативности элемента (2.2.2) имеет вид xr(t), нумеруются корнями г. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.2) строго вещественный. Тип Сі, I 2. Здесь нужно лишь отметить, что группы типа Ві и Сі над полем характеристики 2 изоморфны. Тип Д, I 4. В группе G типа Д, / 4, два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов и в качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + г] неприводим в ifpf]. Действительно, при / = 4 по лемме 2.1.2 и лемме 2.1.5 элементы (2.1.2) и (2.2.3) не сопряжены. Общий случай следует из случая / = 4 по лемме 1.1.2. Граф коммутативности элемента (2.2.3) имеет вид и является деревом. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.3) строго вещественный. Тип 2Di, I 4. В группе G типа 2Д, I 4, два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя первого класса можно взять элемент (2.1.2). Все сомножители хп(1), хГ2(1),...,хп_2(1), (жг,_г(1)а;г,(1)) в представлении элемента (2.1.2) лежат в группе G и являются инволюциями, а его граф коммутативности в этом представлении является цепью. Поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.1.2) является строго вещественным элементом в группе G. В качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + г] неприводим в ifoW- Здесь Ко — поле неподвижных элементов относительно полевого автоморфизма, участвующего в построении группы С Действительно, пусть #1, 2) 9, t, Tj такие как в лемме 2.1.5. Если ді,д2,д Є 2Di(K), то по лемме 2.1.5 ддчд х = д\ тогда и только тогда, когда t Є KQ и t2 -f t + ц — 0. Отсюда при / = 4 по лемме 2.1.2 и лемме 2.1.5 существует такое т\ Є KQ, что элементы (2.1.2) и (2.2.4) не сопряжены. Общий случай следует из случая / = 4 по лемме 1.1.2. Все сомножители хГі(1), хГ2(1),...,хГі_2(1), (жГ_1(1)я:Гі(1)), xn-2+ri-i+ri(v) в представлении элемента (2.2.4) лежат в группе G и являются инволюциями, а его граф коммутативности в этом представлении такой как на рисунке 2.2.2, поэтому в силу леммы 1.2.5 элемент (2.2.4) строго вещественный. Тип 3L 4.
В группе G типа 3D два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя первого класса можно взять элемент (1) (1) (1) (1), (2.2.5) который строго вещественен, так является произведением двух инволюций хГ1(1)хГз(1)хи(1) и хГ2(1) из G. В качестве представителя второго класса можно взять элемент 1) 1) 1) (1) 4+ ), (2-2-6) где г] Є Ко и многочлен X2 + X + г) неприводим в -КоИ- Граф коммутативности элемента (2.2.6) является цепью с тремя вершинами хГ2(1), хГ1(1)хГз(1)хп(1) и Хзг1+Г2(г]). Так же как и для типа 2D\ можно показать, что элементы (2.2.5) и (2.2.6) не сопряжены. Тип (. В группе G типа ( два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя второго класса можно взять элемент хГ1(1)хГ2(1)х3п+Г2(7]), (2.2.7) где Г] Є К и многочлен X2 + X + г\ неприводим в К[Х]. Граф коммутативности элемента (2.2.7) является цепью. Если при построении группы типа 3Ді взять тривиальный полевой автоморфизм, то получим группу, изоморфную группе типа Gi- Поэтому элементы (2.1.2) и (2.2.7) не сопряжены. Типы 2А%, 2?2? 2-?4- Подгруппа U типа 2Ач и 2#2 имеет ступень нильпотентности 2 и все ее инволюции лежат в центре, поэтому все ее регулярные элементы не могут быть строго вещественными, так как они имеют порядок 4. Отсюда по лемме 2.1.3 все регулярные унипотептные элементы группы G типа 2A2i, 2F также не могут быть строго вещественными. Тип Е$. В группе G типа EQ два класса сопряженных регулярных унипотентных элементов. В качестве представителя второго класса можно взять элемент где многочлен X2 + X + 7] неприводим в К[Х]. Действительно, корни 2 3 4,7 составляют фундаментальную систему типа Ді, поэтому так же как и для типа 2D\ можно показать, что элементы (2.1.2) и (2.2.8) не сопряжены. Граф коммутативности элемента (2.2.8) содержит циклы. Покажем, что он не является строго вещественным. Предположим, элемент д инвертируется некоторой инволюцией і Є U, т.е. Для подходящих U Є К и подходящего Щ Є U2 Представим элементы д и д 1 в виде произведения корневых элементов, согласованного с высотой корней: Глава 2. Регулярные унипотентные элементы для некоторого из Є [/з- В силу равенства (2.2.9) имеем следующую систему уравнений
Исключительные группы и группы больших рангов
В данной главе приводится доказательство теоремы 1. В 3.1. рассматриваются группы больших рангов и исключительные группы. При доказательстве теоремы 1 для групп больших рангов используется пример унитреугольной матрицы А размерности 13 х 13 над полем GF(2) И.М. Айзэкса и Д. Карагуиузяна [14], которая не сопряжена со своей обратной. Для исключительных групп типа E 2E E-j E F\ утверждение теоремы 1 выводится из доказательства теоремы 2, в котором для конкретных регулярных унипотентпых элементов устанавливалось, что они не являются строго вещественными, при этом на основное поле К накладывалось только следующее ограничение: многочлен X2 + X + г\ неприводим в кольце К[Х] для некоторого 7] Є К. В 3.2. приводится доказательство теоремы 1 для групп малых рангов, а именно, для групп лиева типа ранга / 4 и для типа А\ при / 6. Каждый из типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая. больших рангов Типы 2А2і, 2В2, 2І 4.
Унипотентная подгруппа типа Мг и 2Вг имеет ступень нильпотентности 2 и все ее инволюции лежат в центре, поэтому она не может быть строго вещественной. В подгруппе U типа 2Ач\ и 2і 4 существует корневая подгруппа Xs, изоморфная унипотентной подгруппе типа 2Ai и 2Вг соответственно. Здесь S — класс эквивалентности типа Л2 или Дг, состоящий из фундаментальных корней изначальной Глава 3. Доказательство основной теоремы системы корней типа А ц или F\ соответственно. Пусть J = S, тогда U есть полупрямое произведение нормальной подгруппы Uj и подгруппы Lj = Xs- Поэтому в силу леммы 1.2.1 группа U не может быть строго вещественной. Таким образом, справедлива Лемма 3.1.1. Унипотпентная подгруппа U типа 2Лг/, I 1, 2Д2, 2F над полем характеристики 2 не является строго вещественной. Типы Уїм, Си А, Мм-1, 2Д+і при / 13. Через UTn(K) обозначим группу унитреугольпых пх п матриц над полем К, и положим UTn(q) = UTn(K) при К = GF{q). В 1998 г. И.М. Айзэкс и Д. Карагуи-узян [14] привели пример матрицы из группы С/Тіз(2), которая не сопряжена со своей обратной. (Опечатки из [14] устраняются в [15].) Вычисления проводились на компьютере, а именно, было показано, что система линейных однородных уравнений АХ А — X = 0 с 78 неизвестными Ху, i,j = 1,...,13, і j, не имеет решений в поле GF(2). В [14] также отмечается, что А. Вера-Лопэз и Дж.М. Ареги, опираясь на свои результаты из [16, 17], установили вещественность характеров группы UTn(2) при п 12. Вычисления также проводились на компьютере. В [18] установлено даже, что в группе ІУХіз(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов (с представителями А и А 1, где А такая как показано выше). Таким образом, п = 13 является минимальной размерностью, для которой существует унитреугольная матрица, несопряженная в группе UTn{2) со своей обратной. Лемма 3.1.2. При I 13 унипотпентпная подгруппа U типа А\-\, Q, Di, 2А2і-і, 2Д+і над полем К характеристики 2 не является строго вещественной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Uj и Lj такие же как в лемме 1.1.1.
При указанных ограничениях на лневский ранг / существует J такое, что подгруппа Lj изоморфна группе UTis(K) и группа U есть полупрямое произведение нормальной подгруппы Uj и подгруппы Lj. Очевидно, что система линейных однородных уравнений с коэфициентами из некоторого поля F имеет ненулевое решение в поле F тогда и только тогда, когда она имеет ненулевое решение в любом его расширении. Поэтому указанный выше пример И.М. Айзэкса и Д. Карагуиузяна приводит к тому, что группа U\z(K) не может быть строго вещественной для любого поля К характеристики 2. Отсюда в силу леммы 1.2.1 группа U не является строго вещественной. Лемма доказана. Тип EQ. Если К — конечное поле, то утверждение теоремы 1 следует из теоремы 2, которая утвеждает, что в этом случае унипотентная подгруппа U содержит регулярный не сторого вещественный элемент. В доказательств теоремы 2 выбирался конкретный регулярный унипо-тентный элемент (2.2.8) и устанавливалось, что он не является строго вещественным, при этом, в действительности, на основное поле К накладывалось только следующее ограничение: многочлен X2 + X + г] неприводим в кольце К\Х] для некоторого п Є К. В конечном поле всегда найдется такой элемент г]. Поэтому, используя доказательство нестрогой вещественности элемента (2.2.8), получаем следующее утверждение: если в поле К существует элемент г] такой, что многочлен X2 + X + г\ неприводим в кольце if pf], то подгруппа U не является строго вещественной. Это и есть утверждение теоремы 1 для типа EQ. Типы Ej, Е$.
По лемме 2.1.3 утверждение теоремы 1 для этих типов следует из утвеждения теоремы 1 для типа EQ. Тип 2EQ. Так же как и для типа EQ получаем следующее утверждение: если в поле KQ существует элемент т] такой, что многочлен Х2+Х+Г] неприводим в кольце -КоИ, то подгруппа U не является строго вещественной. Тип F4. Элемент ?2, указанный в доказательстве теоремы 2, не является строго вещественным, если в поле К существует элемент Г) такой, что многочлен Х2+Х+г] неприводим в кольце К[Х]. Поэтому подгруппа U не является строго вещественной. Здесь теорема 1 доказывается для групп лиева типа ранга I 4 и для типа А\ при / б. В силу леммы 2.1.3 достаточно исследовать только предельные случаи. Так как типы 2Лг/, 2Д2,2- 4 FA Уже изучены выше, то остается рассмотреть только следующие типы: В , СА, 4, 2 7, 2 5, (?2, 3Лі и AQ. Далее каждый из этих восьми типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая, а именно, следующая. Пусть Для элемента v строим его граф коммутативности Г(г ). Очевидно граф коммутативности Т(и) любого другого элемента из U будет его подграфом. Достаточно найти такой элемент д Є В, чтобы граф Т(и9) являлся бы лесом, потому что, тогда по лемме 1.2.3 и лемме 1.2.5 группа U должна быть строго вещественной. Далее фраза "сопрягая элементом хг, получим ts = 0" означает, что сопрягая корневым элементом xr(tr) для подходящего tr исходный элемент и, получим нулевой коэффициент ts у xs(ts) в разложении и. После сопряжения новый элемент мы также обозначаем через и. Тип 2)5- С группой G типа 2Dr естественно связана система корней типа В4 с базой {a, Ь, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина
Группы малых рангов
Здесь теорема 1 доказывается для групп лиева типа ранга I 4 и для типа А\ при / б. В силу леммы 2.1.3 достаточно исследовать только предельные случаи. Так как типы 2Лг/, 2Д2,2- 4 FA Уже изучены выше, то остается рассмотреть только следующие типы: В , СА, 4, 2 7, 2 5, (?2, 3Лі и AQ. Далее каждый из этих восьми типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая, а именно, следующая. Пусть Для элемента v строим его граф коммутативности Г(г ). Очевидно граф коммутативности Т(и) любого другого элемента из U будет его подграфом. Достаточно найти такой элемент д Є В, чтобы граф Т(и9) являлся бы лесом, потому что, тогда по лемме 1.2.3 и лемме 1.2.5 группа U должна быть строго вещественной. Далее фраза "сопрягая элементом хг, получим ts = 0" означает, что сопрягая корневым элементом xr(tr) для подходящего tr исходный элемент и, получим нулевой коэффициент ts у xs(ts) в разложении и. После сопряжения новый элемент мы также обозначаем через и. Тип 2)5- С группой G типа 2Dr естественно связана система корней типа В4 с базой {a, Ь, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина Глава 3. Доказательство основной теоремы По теореме 2 регулярные унипотентные элементы группы G строго вещественные.
Поэтому далее считаем, что хотя бы какой-то один из коэффициентов ta, tb, tc, td равен нулю. 1) Пусть ta ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хь, Хь+с, Xb+c+d, ПОЛУЧИМ СООТВЄТСТВЄННО ta+b = ta+b+c = ta+b+c+d = 0. la) Пусть tb ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хс, Xc+d, 2а+Ь+о ПОЛУЧИМ СООТВЄТСТВЄННО tb+c = h+c+d = ha+2b+c = 0. Если tc = 0, то Т(и) — лес. Если tc ф 0, то td = 0. Сопрягая элементом Xd, получим tc+d = 0, и, следовательно, Г(и) — лес. 16) Пусть tb ф 0. Тогда Т(и) — лес. 2) Пусть ta = 0, ta+b ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Хь+с, Ч+c+d, ПОЛУЧИМ Соответственно ta+Ъ+с = ta+b+c+d = 0. 2а) Пусть tc Ф 0. Сопрягая и последовательно элементами Xd, хь, получим соответственно tc+d = tb+c = 0 и, следовательно, Т(и) — лес. 26) Пусть tc = 0. Если tc+d = 0, то Т(и) — лес. Пусть tc+d Ф 0. Сопрягая и элементом хъ, получим U+c+d = 0) и граф Г (и) становится 3) Пусть ta = 0, ta+b = 0. Заметим, что здесь одновременно рассматривается и случай А , потому что длинные корни в системе корней типа В4 составляют систему корней типа D а "висячая цепь"с короткими корнями a + Ь + с, а + 6 + с+йв этом случае никак не влияет на то, будет граф Т(и) лесом или нет. За) Пусть І2а+Ь Ф 0- Сопрягая и последовательно элементами Хс, Xc+d, Хь+с, ПОЛУЧИМ Соответственно t2a+b+c = ha+b+c+d = ha+2b+c = 0. Если tc = 0, то Г (и) — лес. Если tc ф 0, то сопрягая и элементом х&, получим tc+d = 0, и, следовательно, Г (и) — лес. 36) Пусть t2a+b — 0. Если tc = 0, то Г(и) — лес. Пусть tc Ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хъ, Xd, %2а+ь, получим соответственно tb+c — tc+d = ha+b+c = 0, и граф Г (и) становится лесом. Типы В4, С4 и D\. Прежде всего отметим, что унипотентные подгруппы типа В\ и С\ над полем характеристики 2 изоморфны. Граф коммутативности элемента и для типа В\ получается из графа на рисунке 3.2.2 стиранием ребер, соединяющих короткие корни а, а + Ь, а + Ь + с, a+b+c+d. Поэтому доказательство, приведенное для типа 2D$ проходит и для типа Вц. В пункте 3) этого же доказательства отмечается, что одновременно охватывается и случай D .
Таким образом, унипотентные подгруппы типа В , С\ и Aj также являются строго вещественными. Тип 2A-j. С группой G типа 2Aj естественно связана система корней типа С с базой {а, 6, с, d}. Мы фиксируем следующее расположение фундаментальных корней на схеме Дынкина Далее приняты такие же сокращения как и в доказательстве для типа 2 5. По теореме 2 регулярные унипотентные элементы группы G строго вещественные. Поэтому далее считаем, что хотя бы какой-то один из коэффициентов ta, tb, tc, td равен нулю. 1) Пусть ta ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хь, хь+с, Xb+c+d, %b+2c+d, ПОЛУЧИМ С00ТВЄТСТВЄШЮ ta+b = ta+b+c = ta+b+c+d = ta+b+2c+d = 0. la) Пусть tb = 0. Если tb+c = 0, то T(u) — лес. Пусть tb+c Ф 0. Сопрягая и элементом Xd, получим tb+c+d = 0. Если td = 0, то Г (и) — лес. Если td ф 0, то, сопрягая и элементом хс, получим tc+d = 0, и граф Т(и) снова становится лесом. 16) Пусть tb ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хс, xc+d, X2c+d, получим соответственно tb+c = U+c+d = h+2c+d = 0, и граф Г(м) становится лесом. 2) Пусть ta = 0, tb = 0. Если tc = td = 0, то Г(и) — лес. Если tc ф 0, то, сопрягая и последовательно элементами Xd, ха+ь, получим соответственно tc+d = ta+b+c = 0. В этом случае граф Г (и) также является лесом. Если tc = 0,tdФ 0, то сопрягая и последовательно элементами хс, хь+с, получим соответственно tc+d = h+c+d = 0, и граф Г (и) становится лесом. 3) Пусть ta = 0, іь ф 0. Сопрягая и последовательно элементами хс, Глава 3. Доказательство основной теоремы ха, получим соответственно tb+c = ta+b = 0. Если tc = 0, то Г(м) — лес. Если tc ф 0, то, сопрягая и элементом ха+ь, получим ха+ь+с = 0, и граф Г (и) становится лесом.
