Введение к работе
Актуальность темы. К главным в диссертационной работе относятся две исследуемые взаимосвязано задачи:
(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала U подгруппы Бореля группы G лиева типа над полем;
(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы G лиева типа над конечным полем.
По-видимому Уир [19] первой начала изучать задачу (А); она решила ее для унитреугольной группы UT(n, К) над конечным полем нечетного порядка. В [6] задача (А) решена для всех групп UT(n,K) над полем К.
Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [10].
Для одной серии классических комплексных групп Ли решение его задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп SL(n, С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами.
Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны; автоморфизмами они переводятся в нильпо-тентную подалгебру МФ(С) с базисом {ег \ г Є Ф+} алгебры Шевалле, [12].
Подобно схеме из [10] задача (Б) о больших абелевых подгруппах групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп U. Более точно, большая абелева подгруппа конечной группы G лиева типа совпадает с большой абелевой унипотентной подгруппой или с одним из максимальных торов в G; последние в 1978 - 1984 гг. перечислили Р. Картер и Д. Деризиотис.
В 70-80-е гг. Барри и Вонг в серии работ описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножествами An(U) нормальных в U и Ae(U) элементарных абелевых подгрупп в U, а также подгруппы Томпсона J(U) = (А \ А Є A{U)) и Je{U) = (А \ А Є Ae(U)).
В 1986 г. в обзоре А.С. Кондратьева [4] записана, как проблема (1.6),
Проблема (В). Описать множества A{U), Ae{U), An(U) и подгруппы Томпсона J(U), Je{U) для оставшихся случаев G.
Порядки a(U) больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона в 1999 - 2001 г. устанавливал Е.П. Вдовин [3], развивая метод А.И. Мальцева [10] с использованием компьютерных методов.
Применяемый в работах Барри, Вонга и Е.П. Вдовина подход к задаче (Б) отличается от подхода в диссертации (анонс см. [9]), связанного с предварительным решением задачи (А) и подтверждением следующей гипотезы.
Гипотеза (Г): Верно ли, что большая нормальная абелева подгруппа в U всегда есть большая абелева подгруппа ?
(Примеры показывают, что большая нормальная Р-подгруппа конечной группы в общем случае не обязана быть большой 'Р-подгруппой.) Поскольку решение задачи (А) сразу же дает описание больших нормальных абелевых подгрупп в U, то одновременно найдем множество An(U) и порядки a(U). Далее (Б) редуцируется к следующей задаче.
(Д) Выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и описать исключения.
Решение задачи (А) дает решение и другой известной задачи. Абелеву нормальную подгруппу А в U называют экстремальной, если она не лежит во втором члене U2 стандартного центрального ряда в U. С целью применения к симплектическим амальгамам [17] и в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп), Паркер и Раули изучают в [15] - [18] следующую задачу.
(Е) Описать группы U с экстремальной подгруппой, то есть с нормальной абелевой подгрупппой, не лежащей во втором члене [72 стандартного цен-
трального ряда в U.
В [7], [8] вопросы нормального строения и автоморфизмов групп U исследовались взаимосвязано. Наиболее изучено нормальное строение группы U типа An_i, то есть унитреугольной группы UT(n, К). Она представлена в [6] как присоединенная группа кольца NT(n,K) (нижних) нильтреугольных матриц над К (относительно присоединенного умножения aob = a-\-b-\- ab); ассоциированное кольцо Ли изоморфно кольцу N<&(K) типа Ап_\. Там же доказано, что нормальные подгруппы присоединенной группы кольца NT(n, К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли; они описаны, когда К - тело.
Вопрос характеризации радикальных колец с таким соответствием записан в [5], вопрос 6.19 (см. там же комментарий Е.И. Хухро к этому вопросу) и 10.19. Указанное структурное соответствие изучалось для кольца Rn(K, J) всех п х гг-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на и над главной диагональю. Естественна задача
(Ж!) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U = 11Ф(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли МФ(К).
С 90-х годов стали систематически изучаться локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а Є А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от выбора а. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [13]. Естественно возникает задача
(3) Построить примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр МФ(К).
Исследования нормального строения и автоморфизмов классических линейных групп и групп Шевалле традиционно вызывают интерес, они отражались в обзорах Д.А. Супруненко, Ю.И. Мерзлякова [11], А.В. Михалева, Абэ и др.
Целью работы является решение задач (А) - (3).
Основные методы исследования. Наряду с общими методами исследования теории групп, колец и алгебр Ли, используются специальные методы А. И. Мальцева и Е.П. Вдовина. Введенные фреймы и специальное представление унипотентной группы U позволили использовать в исследовании ее нормального строения линейные методы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в ревизии классификации конечных простых групп, в исследованиях групп, колец и алгебр, а также при чтении спецкурсов.
Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на алгебраических семинарах в МГУ (2007), ИМ СФУ (2012). Они были представлены на "Мальцевских чтениях"(Новосибирск, 2004, 2006, 2009, 20011, 2012), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004), на Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы"(Бийск, 2005, 2006), на Международной конференции "Antalya Algebra Days IX"(Ankara, 2007), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007), на Международной конференции "Классы групп, алгебр и их при л ожения" (Гомель, 2007), на Международном российско-китайском семинаре "Алгебра и логика" (Иркутск, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), на Международной школе-конференции, посвященной 60-летию А.С. Кондратьева (Челябинск, 2008), на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (Красноярск, 2010), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию ОН. Черникова (Киев, 2012).
Основные публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]-[43], 11 из которых - в изданиях из перечня ВАК. Все совместные результаты получены в неразделимом соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 128 страницах. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 96 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.
